§E12.25自己共役作用素の半群

証明.$E$を§E12.15 定理 2.1 (1)の$A$の射影値測度とし、$S=\sigma(A)$とおき、$\iota\colon\R\to\C$を包含写像とする。§E12.15 命題 3.1 (1)により、$S$は$\R$の閉集合であって$E(\R\setminus S)=0$を満たす。$t\ge0$について$g_t(\lambda)=e^{tc\lambda}$、$\tilde g_t=g_t\mathbf 1_S$とおく。§E5.3 命題 1.8により$g_t$は連続であるから、§E10.7 命題 1.3により$g_t$と$\tilde g_t$は Borel 関数である。$\lambda\in S$について、§E5.3 命題 1.7 (1)により$\lvert g_t(\lambda)\rvert=e^{t\Re(c\lambda)}$であり、$t\Re(c\lambda)\le\kappa t$と§E12.23 補題 2.1 (1)により$\lvert g_t(\lambda)\rvert\le e^{\kappa t}$である。したがって$\tilde g_t$は有界であり、$\|\tilde g_t\|_\infty\le e^{\kappa t}$である。

§E12.15 補題 3.2を$g_t$と定数$e^{\kappa t}$に適用すると、$e^{tcA}=g_t(A)\in B(H)$かつ$\|e^{tcA}\|\le e^{\kappa t}$である。$t,s\ge0$について、§E5.3 命題 1.6により$g_tg_s=g_{t+s}$であるから、同じ補題の積の規則により$e^{(t+s)cA}=e^{tcA}e^{scA}$である。$g_0=1$であるから、§E12.7 命題 5.1 (3)と§E12.7 定理 4.5 (2)により$e^{0cA}=I$である。$g_t$と$\tilde g_t$は$\R\setminus S$の外で一致するから、§E12.7 命題 5.1 (4)と§E12.7 命題 5.1 (3)により$e^{tcA}=\Phi_E(\tilde g_t)$であり、同様に$\Phi_E(\mathbf 1_S)=I$である。

$x\in H$とし、$(t_n)$を$(0,1]$の点列で$t_n\to0$を満たすものとする。各$\lambda\in\R$について、§E5.3 命題 1.8により$\tilde g_{t_n}(\lambda)\to\mathbf 1_S(\lambda)$である。$\kappa t_n\le\max\{\kappa,0\}$と§E12.23 補題 2.1 (1)により$\|\tilde g_{t_n}\|_\infty\le e^{\max\{\kappa,0\}}$である。§E12.7 定理 4.5 (4)により、$e^{t_ncA}x$はノルムについて$\Phi_E(\mathbf 1_S)x=x$に収束する。$(t_n)$は任意であるから、§D1.11 命題 2.1を$(0,1]$上の実数値関数$t\mapsto\|e^{tcA}x-x\|$に適用して、$\lim_{t\downarrow0}\|e^{tcA}x-x\|=0$を得る。したがって$t\mapsto e^{tcA}$は$H$上の強連続半群である。その生成作用素を$G$とする。

§E12.15 定理 2.1 (1)により$\Phi_E(\iota)=A$であり、$c\ne0$と§E12.15 定理 1.2 (3)により$\Phi_E(c\iota)=cA$であって、その定義域は$D(A)$である。$x\in D(A)$とし、$0<h\le1$について$\psi_h=h^{-1}(\tilde g_h-\mathbf 1_S)-c\iota$とおく。$h^{-1}(\tilde g_h-\mathbf 1_S)$は有界な Borel 関数であり、§E12.7 定理 4.5 (2)によりその積分は$h^{-1}(e^{hcA}-I)$であるから、§E12.15 定理 1.2 (3)により$\Phi_E(\psi_h)=h^{-1}(e^{hcA}-I)-cA$であって、その定義域は$D(A)$である。§E12.7 命題 5.1 (2)により

である。$\lambda\in S$について$\psi_h(\lambda)=h^{-1}(e^{hc\lambda}-1)-c\lambda$である。§E12.23 補題 2.1 (3)を$c\lambda$と$h$に適用すると、$\Re(c\lambda)\le\kappa$と§E12.23 補題 2.1 (1)により$\lvert\psi_h(\lambda)\rvert\le C\lvert\lambda\rvert$を得る。ここで$C=\lvert c\rvert(e^{\max\{\kappa,0\}}+1)$である。§E12.23 補題 2.1 (2)を$c\lambda$に適用すると、$h\downarrow0$のとき$\psi_h(\lambda)\to0$である。§E12.7 命題 3.2 (2)により$E_{x,x}(\R\setminus S)=\|E(\R\setminus S)x\|^2=0$であり、§E12.15 定理 2.1 (1)により$\int_\R\lambda^2\,dE_{x,x}(\lambda)<\infty$である。$(h_n)$を$(0,1]$の点列で$h_n\to0$を満たすものとする。§E10.11 定理 3.1を有限な正測度$E_{x,x}$、関数$\lvert\psi_{h_n}\rvert^2$と極限$0$、支配関数$\lambda\mapsto C^2\lambda^2$に適用すると、$\int_\R\lvert\psi_{h_n}\rvert^2\,dE_{x,x}\to0$を得る。$(h_n)$は任意であるから、§D1.11 命題 2.1により、$h\downarrow0$のとき$h^{-1}(e^{hcA}x-x)$はノルムについて$cAx$に収束する。したがって$x\in D(G)$かつ$Gx=cAx$であり、$cA\subseteq G$である。

$\mu>\kappa$を実数とする。$\mu/c\in\sigma(A)$と仮定すると、§E12.12 命題 3.3により$\lambda=\mu/c$は実数であり、$\Re(c\lambda)=\mu>\kappa$であるから、$\kappa$についての仮定に反する。したがって$\mu/c\in\rho(A)$であり、$(\mu/c)I-A$は$D(A)$から$H$への全単射であるから、$\mu I-cA=c\bigl((\mu/c)I-A\bigr)$は$D(A)$から$H$への全射である。すべての$t\ge0$について$\|e^{tcA}\|\le e^{\kappa t}$であり、$cA\subseteq G$であるから、§E12.23 補題 4.2を$M=1$、$\omega=\kappa$、$\mu$と作用素$cA$に適用すると、$D(G)=D(A)$かつ$G=cA$である。▨

証明.$H=\{0\}$ならば$B(H)=\{0\}$であるから、両者は等しい。$z=0$ならば、関数$\lambda\mapsto e^{0\lambda}$は定数関数$1$であるから、§E12.7 命題 5.1 (3)と§E12.7 定理 4.5 (2)により$e^{0A}=I$であり、級数の和も$I$である。以下では$H\ne\{0\}$、$z\ne0$とする。§E12.12 定義 3.1により、$A$は定義域$H$をもつ自己共役作用素である。§E12.12 定義 1.5により$\sigma(A)$は§E12.1 定義 3.2のスペクトルに一致し、§E12.1 命題 4.4 (1)により、$\sigma(A)\subseteq[m,M]$を満たす実数$m\le M$が存在する。$r=\max\{\lvert m\rvert,\lvert M\rvert\}$とおくと、すべての$\lambda\in\sigma(A)$について$\Re(z\lambda)\le\lvert z\rvert r$である。補題 1.2を$c=z$、$\kappa=\lvert z\rvert r$について適用すると、$t\mapsto e^{tzA}$は生成作用素$zA$（定義域$H$）をもつ強連続半群である。§E12.23 命題 6.1 (2)により、$t\mapsto\sum_{n=0}^\infty(tzA)^n/n!$も生成作用素$zA$をもつ強連続半群である。§E12.23 系 5.5により二つの半群はすべての$t\ge0$で一致し、$t=1$とおくと主張を得る。▨

証明.§E12.12 命題 3.4により$\sigma(A)\subseteq[m,\infty)$であるから、すべての$\lambda\in\sigma(A)$について$\Re((-1)\lambda)=-\lambda\le-m$である。補題 1.2を$c=-1$、$\kappa=-m$について適用すると、$t\mapsto e^{-tA}$は生成作用素$-A$をもつ強連続半群であり、すべての$t\ge0$について$e^{-tA}\in B(H)$かつ$\|e^{-tA}\|\le e^{-mt}$である。

$t\ge0$とする。関数$\lambda\mapsto e^{-t\lambda}$は実数値であるから、§E12.15 定理 1.2 (2)により$e^{-tA}$は自己共役作用素であり、$e^{-tA}\in B(H)$であるから、§E12.12 定義 3.1により§E12.1 定義 2.1の意味で自己共役作用素である。$x\in H$とする。$e^{-tA}=e^{-(t/2)A}e^{-(t/2)A}$であり、$e^{-(t/2)A}$は自己共役作用素であるから

である。§E12.1 定義 2.5により$e^{-tA}$は正作用素である。$A$が非負ならば$m=0$とおくことができ、$e^{0}=1$であるから、すべての$t\ge0$について$\|e^{-tA}\|\le1$であり、§E12.23 定義 1.2により$t\mapsto e^{-tA}$は縮小半群である。▨

証明.$n\ge1$について$e_n\in D(D_d)$かつ$D_de_n=-ne_n$であり、$\langle D_de_n,e_n\rangle=-n$である。$m\in\R$とし、$n>-m$を満たす$n$をとると$\langle D_de_n,e_n\rangle<m\|e_n\|^2$であるから、$D_d$は$m$で下に有界でない。

$D(-D_d)=D(D_d)=\{x\in\ell^2:\sum_{n=1}^\infty n^2\lvert x_n\rvert^2<\infty\}$であり、$x\in D(D_d)$について$-D_dx=(nx_n)_{n\ge1}$である。§E12.23 例 7.1 (1)により、$-D_d$は$\ell^2$上のどの強連続半群の生成作用素でもない。▨

証明.$E$を$A$の射影値測度とし、$S=\sigma(A)$とおき、$\iota\colon\R\to\C$を包含写像とする。§E12.12 命題 3.4により$S\subseteq[m,\infty)$である。$t>0$とし、$g(\lambda)=e^{-t\lambda}$、$k(\lambda)=(\lambda-m)e^{-t\lambda}$とおく。$g$と$k$は連続な Borel 関数であり、すべての$\lambda\in S$について$|g(\lambda)|\le e^{-mt}$である。また、$\lambda\in S$について$\lambda-m\ge0$であり、§E5.3 命題 1.6と§E12.23 補題 2.1 (1)により

である。したがって$\iota g=k+mg$も$S$上で有界である。§E12.15 補題 3.2により$D(g(A))=D((\iota g)(A))=H$であるから、§E12.15 定理 1.2 (4)の積の定義域公式により

である。よって、すべての$x\in H$について$e^{-tA}x\in D(A)$である。§E12.15 定理 1.2 (3)を関数$(\iota-m)g$と$mg$に適用すると、両者の作用素の定義域が$H$であるから$(A-mI)e^{-tA}=k(A)$である。§E12.15 補題 3.2を$k$に適用すると、$\|k(A)\|\le t^{-1}e^{-mt}$であるから、すべての$x\in H$について$\|(A-mI)e^{-tA}x\|\le t^{-1}e^{-mt}\|x\|$である。

$x\in H$、$s>0$とし、$y=e^{-(s/2)A}x$とおく。$s/2>0$であるから、すべての$t>0$について$e^{-tA}x\in D(A)$であることにより、$y\in D(A)$である。定理 2.1により$r\mapsto e^{-rA}$は生成作用素$-A$をもつ強連続半群であり、$r\ge s/2$について$u(r)=e^{-(r-s/2)A}y$である。§E12.23 定理 3.2 (3)を$y$に適用すると、$r'\mapsto e^{-r'A}y$は$r'=s/2>0$でノルムについて微分可能であり、その微分係数は$-Ae^{-(s/2)A}y=-Au(s)$である。したがって$u$は$s$で微分可能であり、$u'(s)=-Au(s)$である。$A$が非負ならば$m=0$とおくことができ、$e^0=1$であるから、最後の主張を得る。▨

証明. 演習とする（問題 6.2）。▨

証明.系 1.3により$e^{-tA}=\sum_{n=0}^\infty(-ta)^nI/n!=e^{-ta}I$である。したがって、$(A+\kappa I)^me^{-tA}=(a+\kappa)^me^{-ta}I$であり、$a+\kappa\ge0$と$\|I\|=1$により所要のノルムの等式を得る。$a+\kappa=m/t$ならば

である。▨

証明.$E$を§E12.15 定理 2.1 (1)の$A$の射影値測度とする。$t\in\R$について$f_t(\lambda)=e^{it\lambda}$とおく。§E5.3 命題 1.7 (1)により$\lvert f_t\rvert=1$であり、§E5.3 命題 1.6により$t,s\in\R$について$f_tf_s=f_{t+s}$と$f_tf_{-t}=1$が成り立つから、$\overline{f_t}=\overline{f_t}f_tf_{-t}=\lvert f_t\rvert^2f_{-t}=f_{-t}$である。$f_t$は有界な連続関数であるから、§E12.7 命題 5.1 (3)により$e^{itA}=\Phi_E(f_t)\in B(H)$であり、§E12.7 定理 4.5 (2)により

である。したがって$(e^{itA})^*e^{itA}=e^{itA}(e^{itA})^*=I$であり、§E12.1 定義 2.2により$e^{itA}$はユニタリ作用素である。

§E12.12 命題 3.3により$\sigma(A)\subseteq\R$であるから、すべての$\lambda\in\sigma(A)$について$\Re(i\lambda)=0$である。補題 1.2を$c=i$、$\kappa=0$について適用すると、$t\mapsto e^{itA}$（$t\ge0$）は生成作用素$iA$をもつ強連続半群である。したがって$t\mapsto e^{itA}$は強連続ユニタリ群であり、その生成作用素は$iA$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$t\in\R$とする。$U(t)U(-t)=U(0)=I$であり、$U(t)^*U(t)=I$であるから、$U(t)^*=U(t)^*U(t)U(-t)=U(-t)$である。$z\in H$について$\|U(t)z\|^2=\langle U(t)^*U(t)z,z\rangle=\|z\|^2$である。

主張 (2)を示す。$x\in H$、$t_0\in\R$、$h>0$とする。$U(t_0+h)=U(t_0)U(h)$と$U(t_0)=U(t_0-h)U(h)$であるから、主張 (1)により

である。右辺は$h\downarrow0$のとき$0$に収束するから、$t\mapsto U(t)x$は$t_0$で連続である。

主張 (3)を示す。$\tilde U(0)=I$であり、$t,s\in\R$について$\tilde U(t+s)=U(-t)U(-s)=\tilde U(t)\tilde U(s)$であり、各$\tilde U(t)$はユニタリ作用素である。主張 (2)により、すべての$z\in H$について、$h\downarrow0$のとき$\|\tilde U(h)z-z\|=\|U(-h)z-z\|$は$0$に収束する。したがって$\tilde U$は強連続ユニタリ群である。その生成作用素を$\tilde G$とする。$x\in D(G)$、$h>0$とする。$U(-h)x-x=-U(-h)(U(h)x-x)$であるから

であり、主張 (1)により右辺のノルムは$\|h^{-1}(U(h)x-x)-Gx\|+\|\tilde U(h)Gx-Gx\|$以下である。これは$h\downarrow0$のとき$0$に収束するから、$x\in D(\tilde G)$かつ$\tilde Gx=-Gx$であり、$-G\subseteq\tilde G$である。$t\mapsto\tilde U(-t)$は$U$に等しいから、いま示したことを$\tilde U$に適用すると$-\tilde G\subseteq G$であり、$\tilde G\subseteq-G$である。したがって$\tilde G=-G$である。

主張 (4)を示す。$x,y\in D(G)$、$h>0$とする。主張 (1)により

である。主張 (3)と、§E10.3 補題 1.2による内積の連続性により、$h\downarrow0$とすると$\langle Gx,y\rangle=\langle x,-Gy\rangle=-\langle x,Gy\rangle$を得る。▨

証明.主張 (1)を示す。$x,y\in D(G)$とする。補題 3.3 (4)と内積の第2変数についての共役線形性により

である。§E12.23 定理 3.2 (2)により$D(G)$は$H$で稠密であるから、$A$は対称作用素である。補題 3.3 (1)により、すべての$t\ge0$について$\|U(t)\|\le1$である。§E12.23 定理 4.1を$U$の$[0,\infty)$への制限に$M=1$、$\omega=0$、$\lambda=1$で適用すると$1\in\rho(G)$であり、補題 3.3 (3)の$\tilde U$の制限に同じく適用すると$1\in\rho(-G)$である。したがって$\im(I-G)=\im(I+G)=H$である。$x\in D(G)$について$Gx=iAx$であるから

であり、$\im(A+iI)=\im(A-iI)=H$である。§E12.12 定理 3.5 (1)を$\lambda=i$について適用すると、$A$は自己共役作用素である。

$W(t)=e^{itA}$とおく。命題 3.2により、$W$は生成作用素$iA=G$をもつ強連続ユニタリ群である。§E12.23 系 5.5を$U$と$W$の$[0,\infty)$への制限に適用すると、すべての$t\ge0$について$U(t)=W(t)$である。$t<0$ならば、補題 3.3 (1)を$U$と$W$に適用して$U(t)=U(-t)^*=W(-t)^*=W(t)$を得る。

主張 (2)を示す。命題 3.2により、$t\mapsto e^{itA}$と$t\mapsto e^{itB}$の生成作用素はそれぞれ$iA$と$iB$である。仮定によりこの二つの強連続ユニタリ群の$[0,\infty)$への制限は等しいから、$iA=iB$である。したがって$D(A)=D(B)$であり、$x\in D(A)$について$Ax=-i(iAx)=-i(iBx)=Bx$である。

自己共役作用素$A$に$t\mapsto e^{itA}$を対応させる写像は、命題 3.2により自己共役作用素を強連続ユニタリ群へ写し、主張 (1)により全射であり、主張 (2)により単射である。▨

証明.$t\in\R$とする。$\R$の有限部分集合$F$に$F+t=\{s+t:s\in F\}$を対応させる写像は、$\R$の有限部分集合の全体の上の全単射である。$x,y\in H$とすると、$\sum_{s\in F}\lvert x_{s+t}\rvert^2=\sum_{s\in F+t}\lvert x_s\rvert^2$であるから、§E12.7 定義 1.1 (1)により$\sum_{s\in\R}\lvert x_{s+t}\rvert^2=\sum_{s\in\R}\lvert x_s\rvert^2<\infty$であり、$U(t)x\in H$である。同じ全単射と§E12.7 定義 1.1 (2)により、族$(x_{s+t}\overline{y_{s+t}})_{s\in\R}$は総和可能であって、その和は$\sum_{s\in\R}x_s\overline{y_s}$に等しい。したがって$U(t)$は内積を保つ線形写像であり、特に$\|U(t)x\|=\|x\|$を満たす有界線形作用素である。$r\in\R$について$(U(t)U(s)x)_r=(U(s)x)_{r+t}=x_{r+t+s}$であるから$U(t)U(s)=U(t+s)$であり、$U(0)=I$である。$U(t)U(-t)=I$により$U(t)$は全射であるから、§E12.1 命題 2.4 (3)により$U(t)$はユニタリ作用素である。

$x=J_01$とおく。$x$は第$0$成分が$1$であり、他の成分が$0$である。$t\ne0$ならば$U(t)x=J_{-t}1$であり、$U(t)x-x$の零でない成分は第$-t$成分の$1$と第$0$成分の$-1$だけであるから、$\|U(t)x-x\|^2=2$である。したがって、$t\downarrow0$のとき$\|U(t)x-x\|$は$0$に収束しない。自己共役作用素$A$がすべての$t\in\R$について$U(t)=e^{itA}$を満たすならば、命題 3.2により$\lim_{t\downarrow0}\|U(t)x-x\|=0$であり、これは$\|U(t)x-x\|^2=2$（$t\ne0$）と両立しない。▨