§E12.35弱コンパクト性

証明.§E12.27 命題 1.2 (3)をノルム空間$X^*$に適用すると、$(X^*,X^{**})$は$\langle f,\psi\rangle=\psi(f)$について双対対であり、したがって$(X^{**},X^*)$は双対対である。§E12.27 定義 4.2をノルム空間$X^*$に適用すると、$X^{**}$の＊弱位相は双対対$(X^{**},X^*)$の定める弱い位相$\sigma(X^{**},X^*)$である。$f\in X^*$について、写像$x\mapsto(J_Xx)(f)=f(x)$は§E12.27 命題 2.2 (3)により$\sigma(X,X^*)$に関して連続であるから、§E12.27 命題 2.2 (4)を双対対$(X^{**},X^*)$に適用すると、$J_X$は連続である。

§E12.17 定理 4.7により$J_X$は単射であるから、$x\mapsto J_Xx$は$X$から$J_X(X)$への全単射であり、§E2.12 定理 4.4 (3)によりこの全単射は連続である。その逆写像を$S\colon J_X(X)\to X$とする。$f\in X^*$と$\psi\in J_X(X)$について、$\psi=J_X(S\psi)$であるから$f(S\psi)=\psi(f)$である。写像$\psi\mapsto\psi(f)$は§E12.27 命題 2.2 (3)により$\sigma(X^{**},X^*)$に関して連続であり、包含写像$J_X(X)\to X^{**}$は§E2.12 定理 4.4 (1)により連続であるから、§E2.12 命題 1.10により$J_X(X)$上の写像$\psi\mapsto f(S\psi)$は連続である。§E12.27 命題 2.2 (4)を双対対$(X,X^*)$と位相空間$J_X(X)$からの写像$S$に適用すると、$S$は連続である。▨

証明.$\iota\colon M\to X$を包含写像とする。§E2.12 命題 4.3により、$M$が$(X,\sigma(X,X^*))$から受ける部分空間位相は$\iota$による始位相であり、§E12.27 定義 2.1により$\sigma(X,X^*)$は写像$f\colon X\to\mathbb K$（$f\in X^*$）の族による始位相であるから、§E2.12 命題 3.7により、この部分空間位相は写像$f\circ\iota=f|_M$（$f\in X^*$）の族による始位相に等しい。$f\in X^*$について、$f|_M$は線形であり、§E10.2 命題 1.2によりすべての$m\in M$について$\lvert f(m)\rvert\leq\lVert f\rVert\lVert m\rVert$であるから、$f|_M\in M^*$である。逆に$g\in M^*$とすると、§E12.17 系 4.1（$\mathbb K=\R$のとき）または§E12.17 系 4.2（$\mathbb K=\C$のとき）により、$F|_M=g$を満たす$F\in X^*$が存在する。したがって$\{f|_M\mid f\in X^*\}=M^*$である。$\sigma(M,M^*)$は写像$g\colon M\to\mathbb K$（$g\in M^*$）の族による始位相であるから、二つの位相は同じ写像の全体による始位相であり、等しい。

最後の主張は、§E2.19 補題 2.7を$M$の部分集合と$M\subseteq X$に適用すると従う。▨

証明.$B=\{x\in X\mid\lVert x\rVert\leq r\}$とおく。$x,x'\in B$と$0\leq s\leq1$を満たす実数$s$について、三角不等式により$\lVert(1-s)x+sx'\rVert\leq(1-s)\lVert x\rVert+s\lVert x'\rVert\leq r$であるから、$B$は凸である。$B$は連続写像$x\mapsto\lVert x\rVert$による$\R$の閉集合$(-\infty,r]$の逆像であるから、§E2.12 命題 1.6 (2)によりノルムが定める位相に関して閉集合であり、§E12.30 系 1.2 (2)により弱位相に関して閉集合である。▨

証明.$X^{**}$に＊弱位相$\sigma(X^{**},X^*)$を入れ、$B_{X^{**}}=\{\varphi\in X^{**}\mid\lVert\varphi\rVert\leq1\}$とする。§E12.29 系 4.3をノルム空間$X^*$に適用すると、$B_{X^{**}}$はコンパクトである。

必要性を示す。$X$が回帰的であるとすると、$J_X$は全射であり、§E12.17 定理 4.7により等長であるから、$J_X(X)=X^{**}$かつ$J_X(B_X)=B_{X^{**}}$である。補題 1.1により、$J_X$の逆写像$X^{**}\to X$は$\sigma(X^{**},X^*)$と弱位相に関して連続であるから、§E2.19 定理 4.2により$B_X$は弱位相に関してコンパクトである。

十分性を示す。$B_X$が弱位相に関してコンパクトであるとする。補題 1.1と§E2.19 定理 4.2により、$J_X(B_X)$は$\sigma(X^{**},X^*)$に関してコンパクトである。§E12.27 命題 2.2 (3)を双対対$(X^{**},X^*)$に適用すると$\sigma(X^{**},X^*)$は Hausdorff であるから、§E2.19 命題 6.4により$J_X(B_X)$は閉集合であり、§E2.11 命題 2.5 (2)により$J_X(B_X)$はその閉包に等しい。§E12.28 系 4.1により$J_X(B_X)=B_{X^{**}}$である。$\varphi\in X^{**}$が$\varphi\neq0$を満たすならば、$\lVert\varphi\rVert^{-1}\varphi\in B_{X^{**}}$であるから$\lVert\varphi\rVert^{-1}\varphi=J_Xx$を満たす$x\in B_X$が存在し、$\varphi=J_X(\lVert\varphi\rVert x)$である。$J_X0=0$であるから$J_X$は全射であり、$X$は回帰的である。▨

証明.$B_X=\{x\in X\mid\lVert x\rVert\leq1\}$とし、$s=\lvert r\rvert+1$とおくと、$D\subseteq sB_X$である。定理 2.1により$B_X$は弱位相に関してコンパクトである。§E12.27 命題 2.2 (3)により$(X,\sigma(X,X^*))$は位相線形空間であるから、§E12.16 命題 1.4 (1)により$x\mapsto sx$は弱位相に関して$X$から$X$への同相写像であり、§E2.19 定理 4.2により$sB_X$は弱位相に関してコンパクトである。§E2.12 命題 4.6により$D=D\cap sB_X$は$sB_X$の閉集合であるから、§E2.19 命題 4.1と§E2.19 補題 2.7により、$D$は弱位相に関してコンパクトである。最後の主張は、§E12.30 系 1.2 (2)によりそのような凸集合が弱位相に関して閉集合であることから従う。▨

証明.§E12.29 例 6.3により、ノルムが定める位相は双対対$(X,X^*)$と両立する。$c=\varphi(x_1)$とおくと$c$は実数であり、$K_c=\{x\in C\mid\varphi(x)\leq c\}$は$x_1$を含む。§E12.30 定理 1.1 (1)と§E12.30 系 3.2により$C$と$\{x\in X\mid\varphi(x)\leq c\}$は弱位相に関して閉集合であるから、§E2.11 定理 2.3 条件 (b)により$K_c$は弱位相に関して閉集合である。仮定により、すべての$x\in K_c$について$\lVert x\rVert\leq r$となる実数$r$が存在するから、系 2.2により$K_c$は弱位相に関してコンパクトである。§E12.30 定理 3.3を$\tau$をノルムが定める位相として適用すればよい。▨

証明.$f\in X^*$とし、$B_X=\{x\in X\mid\lVert x\rVert\leq1\}$とおく。定理 2.1により、$B_X$に弱位相$\sigma(X,X^*)$から受ける部分空間位相を入れた位相空間はコンパクトであり、$0\in B_X$であるから空でない。§E12.27 命題 2.2 (3)により$f$は弱位相に関して連続であり、$\Re\colon\mathbb K\to\R$は連続であるから、§E2.12 定理 4.4 (1)と§E2.12 命題 1.10により、$\Re f$の$B_X$への制限は連続である。§E2.19 定理 4.4により、すべての$x\in B_X$について$\Re f(x)\leq\Re f(x_0)$を満たす$x_0\in B_X$が存在する。$x\in B_X$とし、$\gamma f(x)=\lvert f(x)\rvert$を満たす$\gamma\in\mathbb K$を$\lvert\gamma\rvert=1$にとると、$\gamma x\in B_X$であるから$\lvert f(x)\rvert=\Re f(\gamma x)\leq\Re f(x_0)$である。§E10.2 定義 1.1により$\lVert f\rVert=\sup_{x\in B_X}\lvert f(x)\rvert\leq\Re f(x_0)$であり、§E10.2 命題 1.2により$\Re f(x_0)\leq\lvert f(x_0)\rvert\leq\lVert f\rVert$である。したがって$\Re f(x_0)=\lvert f(x_0)\rvert=\lVert f\rVert$であり、$\lvert f(x_0)\rvert^2=(\Re f(x_0))^2+(\Im f(x_0))^2$により$\Im f(x_0)=0$であるから、$f(x_0)=\lVert f\rVert$である。▨

証明.$B_Y=\{y\in Y\mid\lVert y\rVert\leq1\}$とし、$D=T^{-1}(B_Y)=\{x\in X\mid\lVert Tx\rVert\leq1\}$とおく。§E10.2 命題 1.2により、$x\in D$について$\lVert x\rVert=\lVert T^{-1}(Tx)\rVert\leq\lVert T^{-1}\rVert$である。$x,x'\in D$と$0\leq s\leq1$を満たす実数$s$について、$T$の線形性により$\lVert T((1-s)x+sx')\rVert\leq(1-s)\lVert Tx\rVert+s\lVert Tx'\rVert\leq1$であるから、$D$は凸である。補題 1.3により$B_Y$はノルムが定める位相に関して閉集合であり、§E10.2 定理 1.5により$T$はノルムが定める位相に関して連続であるから、§E2.12 命題 1.6 (2)により$D$は閉集合である。系 2.2により、$D$は弱位相$\sigma(X,X^*)$に関してコンパクトである。§E12.27 命題 7.2 (5)により$T$は$\sigma(X,X^*)$と$\sigma(Y,Y^*)$に関して連続であり、$T$は全射であるから$T(D)=B_Y$である。§E2.19 定理 4.2により$B_Y$は$\sigma(Y,Y^*)$に関してコンパクトであり、定理 2.1により$Y$は回帰的である。▨

証明.$B_M=\{y\in M\mid\lVert y\rVert\leq1\}$とおく。補題 1.3により$\{x\in X\mid\lVert x\rVert\leq1\}$はノルムが定める位相に関して閉じた凸集合であり、$M$は閉線形部分空間であるから、§E2.11 定理 2.3 条件 (b)により$B_M=M\cap\{x\in X\mid\lVert x\rVert\leq1\}$は、元のノルムが$1$以下であり、ノルムが定める位相に関して閉集合である$X$の凸集合である。系 2.2により$B_M$は$\sigma(X,X^*)$に関してコンパクトであり、補題 1.2により$\sigma(M,M^*)$に関してコンパクトである。定理 2.1をノルム空間$M$に適用すると、$M$は回帰的である。▨

証明. 演習とする（問題 8.1）。▨

証明.§E12.34 系 3.3 (2)により、$a\in\ell^\infty$に$\Phi_a(x)=\sum_{n=1}^\infty x_na_n$で定まる$\Phi_a\in(\ell^1)^*$を対応させる写像$\Phi\colon\ell^\infty\to(\ell^1)^*$は線形な等長全単射である。§E12.34 命題 4.3により、$b\in\ell^1$に$I(b)(a)=\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$で定まる$I(b)\in(\ell^\infty)^*$を対応させる写像$I\colon\ell^1\to(\ell^\infty)^*$は全射でないから、$I$の像に属さない$\Lambda_0\in(\ell^\infty)^*$が存在する。$\Lambda=\Lambda_0\circ\Phi^{-1}\colon(\ell^1)^*\to\mathbb K$とおくと、$\Lambda$は線形であり、§E10.2 命題 1.2によりすべての$g\in(\ell^1)^*$について$\lvert\Lambda(g)\rvert\leq\lVert\Lambda_0\rVert\lVert\Phi^{-1}g\rVert_\infty=\lVert\Lambda_0\rVert\lVert g\rVert$であるから、$\Lambda\in(\ell^1)^{**}$である。

$\Lambda=J_{\ell^1}b$を満たす$b\in\ell^1$が存在すると仮定する。すべての$a\in\ell^\infty$について

であるから、$\Lambda_0=I(b)$である。これは$\Lambda_0$が$I$の像に属さないことに反する。ゆえに$\Lambda$は$J_{\ell^1}$の像に属さず、$J_{\ell^1}$は全射でない。▨

証明.(1)を示す。$\NN$に§E12.34 補題 3.1の数え上げ測度$\kappa$を入れる。§E12.34 補題 3.1 (1)と§E12.34 補題 3.1 (2)により、$x\in\ell^p$にその類を対応させる写像$\iota_p\colon\ell^p\to L^p(\kappa;\mathbb K)$は線形な全単射であり、すべての$x\in\ell^p$について$x$の類の$L^p$ノルムは$\lVert x\rVert_p$に等しい。したがって$\iota_p$と$\iota_p^{-1}$は有界である。§E12.34 系 2.1により$L^p(\kappa;\mathbb K)$は回帰的であるから、系 2.5を$\iota_p^{-1}$に適用すると、$\ell^p$は回帰的である。

(2)は、命題 3.1と定理 2.1から従う。

(3)を示す。§E12.30 例 3.6により、$c_0$の閉単位球は弱位相に関してコンパクトでないから、定理 2.1により$c_0$は回帰的でない。

(4)を示す。§E10.1 例 3.4により、$c_0$は$\ell^\infty$の閉線形部分空間であり、$c_0$のノルムは$\ell^\infty$のノルムの制限である。$\ell^\infty$が回帰的であると仮定すると、補題 2.6により$c_0$は回帰的である。これは(3)に反するから、$\ell^\infty$は回帰的でない。▨

証明.$\mathbb K=\R$のとき$Q=\Q$とし、$\mathbb K=\C$のとき$Q=\{s+it\mid s,t\in\Q\}$とする。§E1.18 定理 4.1 (2)により$\Q$は可算であり、$\mathbb K=\C$のとき$Q$は写像$(s,t)\mapsto s+it$による$\Q\times\Q$の像であるから、§E1.18 定理 5.2 (2)と§E1.18 補題 3.5により、いずれの場合も$Q$は高々可算である。$c\in\mathbb K$と実数$\delta>0$について、§D1.4 系 2.2により$\lvert\Re c-s\rvert<\delta/2$と$\lvert\Im c-t\rvert<\delta/2$を満たす$s,t\in\Q$が存在し（$\mathbb K=\R$のときは$t=0$とする）、$q=s+it\in Q$は$\lvert c-q\rvert<\delta$を満たす。

$\{x_n\mid n\in\NN\}$の張る$X$の線形部分空間を$L$とする。$L$の各元$z$について、$z=\sum_{k=1}^mc_kx_k$を満たす$m\in\NN$と$c_1,\ldots,c_m\in\mathbb K$が存在する。$m\in\NN$について$D_m=\bigl\{\sum_{k=1}^mq_kx_k\bigm|q_1,\ldots,q_m\in Q\bigr\}$とおく。$D_m$は写像$Q^m\to X$,$(q_1,\ldots,q_m)\mapsto\sum_{k=1}^mq_kx_k$による像であるから、§E1.18 定理 5.2 (1)と§E1.18 補題 3.5により高々可算であり、§E1.18 定理 6.3 (2)により$D=\bigcup_{m\in\NN}D_m$は高々可算である。$D\subseteq L\subseteq M$である。

$y\in M$と実数$\varepsilon>0$をとる。$y$は$L$の閉包に属するから、§E2.11 命題 7.2 (2)と§E2.11 命題 6.3により、$\lVert y-z\rVert<\varepsilon/2$を満たす$z\in L$が存在する。$z=\sum_{k=1}^mc_kx_k$（$m\in\NN$、$c_1,\ldots,c_m\in\mathbb K$）と書き、$c=1+\sum_{k=1}^m\lVert x_k\rVert$とおき、各$k$について$\lvert c_k-q_k\rvert<\varepsilon/(2c)$を満たす$q_k\in Q$をとる。$w=\sum_{k=1}^mq_kx_k$とおくと、$w\in D_m\subseteq D$であり、

である。§E2.1 命題 2.2と§E2.11 命題 6.3により、$M$における$y$の任意の近傍$V$に対して、$\{w\in M\mid\lVert w-y\rVert<\varepsilon\}\subseteq V$を満たす実数$\varepsilon>0$が存在するから、$V$は$D$と交わる。§E2.11 命題 7.2 (2)により$y$は$M$における$D$の閉包に属する。§E2.11 定義 2.7により$D$は$M$で稠密であり、§E2.13 定義 6.1により$M$は可分空間である。▨

証明.§E2.13 定義 6.1により、$X^*$で稠密な高々可算部分集合$D$が存在する。$0\in X^*$であり、空集合の閉包は空集合であるから$D$は空でなく、$D=\{f_n\mid n\in\NN\}$を満たす$X^*$の点列$(f_n)_{n\in\NN}$が存在する。各$n$について、$f_n=0$ならば$x_n=0$とし、$f_n\neq0$ならば、§E10.2 定義 1.1により$\sup_{\lVert x\rVert\leq1}\lvert f_n(x)\rvert=\lVert f_n\rVert>\lVert f_n\rVert/2$であるから、$\lVert x_n\rVert\leq1$と$\lvert f_n(x_n)\rvert>\lVert f_n\rVert/2$を満たす$x_n\in X$をとる。いずれの場合も$\lVert x_n\rVert\leq1$かつ$\lvert f_n(x_n)\rvert\geq\lVert f_n\rVert/2$である。$\{x_n\mid n\in\NN\}$の張る$X$の線形部分空間の、ノルムが定める位相に関する閉包を$M$とする。§E12.16 命題 2.10と§E12.16 補題 1.6 (2)により、$M$は$X$の閉線形部分空間である。

$M\neq X$と仮定し、$x_0\in X\setminus M$をとる。§E12.17 定理 5.1により、すべての$m\in M$について$f(m)=0$を満たし$f(x_0)=1$を満たす$f\in X^*$が存在する。$f\neq0$であるから$\lVert f\rVert>0$である。$D$は$X^*$で稠密であるから、§E2.11 命題 7.2 (2)と§E2.11 命題 6.3により$\lVert f-f_n\rVert<\lVert f\rVert/3$を満たす$n$が存在する。このとき$\lVert f_n\rVert\geq\lVert f\rVert-\lVert f-f_n\rVert>2\lVert f\rVert/3$であるから、$\lvert f_n(x_n)\rvert\geq\lVert f_n\rVert/2>\lVert f\rVert/3$である。一方、$x_n\in M$であるから$f(x_n)=0$であり、§E10.2 命題 1.2により$\lvert f_n(x_n)\rvert=\lvert(f_n-f)(x_n)\rvert\leq\lVert f_n-f\rVert\lVert x_n\rVert<\lVert f\rVert/3$である。この二つは両立しないから、$M=X$である。補題 4.1により、$X$は可分空間である。▨

証明. 必要性を示す。$X$が可分空間であるとし、§E2.13 定義 6.1により$X$で稠密な高々可算部分集合$D$をとる。§E1.18 補題 3.5により$J_X(D)$は高々可算である。$\varphi\in X^{**}$と実数$\varepsilon>0$をとる。$X$は回帰的であるから$\varphi=J_Xx$を満たす$x\in X$が存在し、§E2.11 命題 7.2 (2)と§E2.11 定義 2.7により$\lVert x-d\rVert<\varepsilon$を満たす$d\in D$が存在する。§E12.17 定理 4.7により$\lVert\varphi-J_Xd\rVert=\lVert x-d\rVert<\varepsilon$である。§E2.11 命題 6.3により$\varphi$の任意の近傍は$J_X(D)$と交わるから、§E2.11 命題 7.2 (2)と§E2.11 定義 2.7により$J_X(D)$は$X^{**}$で稠密であり、$X^{**}=(X^*)^*$は可分空間である。補題 4.2をノルム空間$X^*$に適用すると、$X^*$は可分空間である。

十分性は補題 4.2である。▨

証明.$n\in\NN$について、第$n$成分だけが$1$であり他の成分が$0$である数列を$e_n\in\ell^1$とする。$x\in\ell^1$と$N\in\NN$について

であり、級数$\sum_k\lvert x_k\rvert$は収束するから、右辺は$N\to\infty$のとき$0$に収束する。§E2.11 命題 6.3と§E2.11 命題 7.2 (2)により、$x$は$\{e_n\mid n\in\NN\}$の張る線形部分空間の閉包に属する。したがってこの閉包は$\ell^1$であり、補題 4.1により$\ell^1$は可分空間である。

$(\ell^1)^*$が可分空間であると仮定し、§E2.13 定義 6.1により$(\ell^1)^*$で稠密な高々可算部分集合$D$をとる。§E12.34 系 3.3 (2)の線形な等長全単射$\Phi\colon\ell^\infty\to(\ell^1)^*$,$a\mapsto\Phi_a$について、§E1.18 補題 3.5により$\Phi^{-1}(D)$は高々可算である。$a\in\ell^\infty$と実数$\varepsilon>0$をとると、§E2.11 命題 7.2 (2)と§E2.11 定義 2.7により$\lVert\Phi_a-g\rVert<\varepsilon$を満たす$g\in D$が存在し、$\lVert a-\Phi^{-1}g\rVert_\infty=\lVert\Phi_a-g\rVert<\varepsilon$である。§E2.11 命題 6.3と§E2.11 命題 7.2 (2)により$\Phi^{-1}(D)$は$\ell^\infty$で稠密であり、$\ell^\infty$は可分空間である。これは§E12.17 例 4.6により$\ell^\infty$が可分空間でないことに反する。ゆえに$(\ell^1)^*$は可分空間でない。▨

証明. すべての$m\in\NN$について$\lVert g_m\rVert\leq1$を満たし、すべての$y\in M$について$\lVert y\rVert=\sup_{m\in\NN}\lvert g_m(y)\rvert$を満たす$X^*$の点列$(g_m)_{m\in\NN}$について、$m\in\NN$に対し$q_m\colon M\to[0,\infty)$を$q_m(y)=\lvert g_m(y)\rvert$で定め、$\mathcal Q=\{q_m\mid m\in\NN\}$とおく。$g_m$は線形であるから$q_m$は$M$上の半ノルムである。$y\in M$が$y\neq0$を満たすならば$\sup_mq_m(y)=\lVert y\rVert>0$であるから、$q_m(y)\neq0$を満たす$m$が存在し、$\mathcal Q$は$M$の点を分離する。§E12.16 命題 5.12を半ノルムの列$(q_m)_{m\in\NN}$に適用すると、主張 (1)の$d$は$M$上の距離であり、$d$が定める位相は$\tau_{\mathcal Q}$に等しい。

主張 (1)を示す。補題 4.1により$M$は可分空間であるから、§E12.17 系 4.5を$Y=M$に適用すると、主張の点列$(g_m)_{m\in\NN}$が存在する。前段により、そのような任意の点列について$d$は$M$上の距離である。

主張 (2)を示す。$d$を定める点列を$(g_m)_{m\in\NN}$とし、$M$が$(X,\sigma(X,X^*))$から受ける部分空間位相を$\tau_M$とする。$m\in\NN$と$a\in M$について、写像$y\mapsto q_m(y-a)=\lvert g_m(y)-g_m(a)\rvert$は、§E12.27 命題 2.2 (3)により弱位相に関して連続な$g_m$の$M$への制限と、連続写像$\mathbb K\to\R$,$c\mapsto\lvert c-g_m(a)\rvert$との合成であるから、§E2.12 定理 4.4 (1)と§E2.12 命題 1.10により$\tau_M$に関して連続である。§E2.12 命題 3.3 (2)により$\tau_{\mathcal Q}\subseteq\tau_M$である。$d_K$を$d$の$K\times K$への制限とし、主張の恒等写像を$\mathrm{id}$とする。$O$を距離空間$(K,d_K)$の開集合とすると、各$y_0\in O$について$B_{d_K}(y_0,r_{y_0})\subseteq O$を満たす実数$r_{y_0}>0$が存在し、§E2.1 命題 2.2により$B_{d_K}(y_0,r_{y_0})=K\cap B_d(y_0,r_{y_0})$である。§E2.2 補題 1.2により$B_d(y_0,r_{y_0})$は$d$が定める位相$\tau_{\mathcal Q}$の開集合であり、したがって$\tau_M$の開集合であるから、$B_d(y_0,r_{y_0})=M\cap V_{y_0}$を満たす弱位相の開集合$V_{y_0}$が存在する。$K\subseteq M$であるから$O=K\cap\bigcup_{y_0\in O}V_{y_0}$であり、$O$は$K$の部分空間位相の開集合である。ゆえに$\mathrm{id}$は連続である。$\mathrm{id}$の定義域はコンパクトであり、§E2.15 定理 3.2 (1)により終域は Hausdorff であるから、§E2.19 定理 6.8により$\mathrm{id}$は同相写像である。