1 グラフの閉性の点列判定 補題 1.1. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } E , F E,F E , F K \mathbb K K d E , d F d_E,d_F d E , d F E , F E,F E , F E , F E,F E , F T : E → F T\colon E\to F T : E → F G T = { ( x , T x ) ∣ x ∈ E } G_T=\{(x,Tx)\mid x\in E\} G T = {( x , T x ) ∣ x ∈ E } E × F E\times F E × F E E E ( x k ) k ∈ N ≥ 1 (x_k)_{k\in\NN} ( x k ) k ∈ N ≥ 1 x ∈ E x\in E x ∈ E y ∈ F y\in F y ∈ F E E E x k → x x_k\to x x k → x F F F T x k → y Tx_k\to y T x k → y y = T x y=Tx y = T x
証明. d d d §E12.16 補題 5.15 (2) の最大値距離とする。§E12.16 補題 5.15 (2) により、E × F E\times F E × F d d d E × F E\times F E × F ( ( x k , y k ) ) k ∈ N ≥ 1 ((x_k,y_k))_{k\in\NN} (( x k , y k ) ) k ∈ N ≥ 1 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) E E E x k → x x_k\to x x k → x F F F y k → y y_k\to y y k → y §E2.3 定理 3.1 を距離空間( E × F , d ) (E\times F,d) ( E × F , d ) G T G_T G T G T G_T G T G T G_T G T G T G_T G T G T G_T G T ( ( x k , T x k ) ) k ∈ N ≥ 1 ((x_k,Tx_k))_{k\in\NN} (( x k , T x k ) ) k ∈ N ≥ 1 ( x , y ) ∈ G T (x,y)\in G_T ( x , y ) ∈ G T y = T x y=Tx y = T x ▨
2 F 空間の開写像定理と閉グラフ定理 定理 2.1. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } X X X K \mathbb K K Y Y Y K \mathbb K K T : X → Y T\colon X\to Y T : X → Y T ( X ) T(X) T ( X ) Y Y Y T ( X ) = Y T(X)=Y T ( X ) = Y T T T
とくに、Y Y Y T T T T T T
証明. d d d X X X §E12.16 定義 5.13 の条件を満たす距離とし、実数r > 0 r>0 r > 0 B r = { x ∈ X ∣ d ( x , 0 ) < r } B_r=\{x\in X\mid d(x,0)<r\} B r = { x ∈ X ∣ d ( x , 0 ) < r } d d d X X X B r B_r B r X X X X X X B r B_r B r
主張 2.1.1. X X X V V V T ( V ) ‾ \tpcl{T(V)} T ( V ) Y Y Y
証明. §E12.16 命題 1.4 (4) と§E12.16 命題 1.4 (3) により、W + W ⊆ V W+W\subseteq V W + W ⊆ V W W W A = T ( W ) ‾ A=\tpcl{T(W)} A = T ( W ) T T T T ( W ) T(W) T ( W ) §E12.16 補題 1.6 (4) によりA A A Y Y Y x ∈ X x\in X x ∈ X §E12.16 命題 1.4 (2) によりx ∈ t W x\in tW x ∈ t W t > 0 t>0 t > 0 n ≥ t n\geq t n ≥ t n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 W W W x ∈ t W = n ( ( t / n ) W ) ⊆ n W x\in tW=n\bigl((t/n)W\bigr)\subseteq nW x ∈ t W = n ( ( t / n ) W ) ⊆ nW T ( X ) = ⋃ n ∈ N ≥ 1 n T ( W ) ⊆ ⋃ n ∈ N ≥ 1 n A T(X)=\bigcup_{n\in\NN}nT(W)\subseteq\bigcup_{n\in\NN}nA T ( X ) = ⋃ n ∈ N ≥ 1 n T ( W ) ⊆ ⋃ n ∈ N ≥ 1 n A T ( X ) T(X) T ( X ) Y Y Y §E12.20 補題 1.3 をE = Y E=Y E = Y S = T ( X ) S=T(X) S = T ( X ) A A A A + A A+A A + A Y Y Y
y , y ′ ∈ A y,y'\in A y , y ′ ∈ A N N N Y Y Y §E12.16 命題 1.4 (4) によりN ′ + N ′ ⊆ N N'+N'\subseteq N N ′ + N ′ ⊆ N N ′ N' N ′ §E12.16 命題 1.4 (5) によりy , y ′ ∈ T ( W ) + N ′ y,y'\in T(W)+N' y , y ′ ∈ T ( W ) + N ′ y + y ′ ∈ T ( W + W ) + N ′ + N ′ ⊆ T ( V ) + N y+y'\in T(W+W)+N'+N'\subseteq T(V)+N y + y ′ ∈ T ( W + W ) + N ′ + N ′ ⊆ T ( V ) + N N N N §E12.16 命題 1.4 (5) によりy + y ′ ∈ T ( V ) ‾ y+y'\in\tpcl{T(V)} y + y ′ ∈ T ( V ) A + A ⊆ T ( V ) ‾ A+A\subseteq\tpcl{T(V)} A + A ⊆ T ( V ) T ( V ) ‾ \tpcl{T(V)} T ( V ) Y Y Y ▨
主張 2.1.2. 任意の実数r > 0 r>0 r > 0 T ( B r / 2 ) ‾ ⊆ T ( B r ) \tpcl{T(B_{r/2})}\subseteq T(B_r) T ( B r /2 ) ⊆ T ( B r )
証明. k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 r k = 2 − k r r_k=2^{-k}r r k = 2 − k r C k = T ( B r k ) ‾ C_k=\tpcl{T(B_{r_k})} C k = T ( B r k ) 主張 2.1.1 により、各C k C_k C k Y Y Y d d d x , x ′ ∈ X x,x'\in X x , x ′ ∈ X d ( x + x ′ , 0 ) ≤ d ( x + x ′ , x ′ ) + d ( x ′ , 0 ) = d ( x , 0 ) + d ( x ′ , 0 ) d(x+x',0)\leq d(x+x',x')+d(x',0)=d(x,0)+d(x',0) d ( x + x ′ , 0 ) ≤ d ( x + x ′ , x ′ ) + d ( x ′ , 0 ) = d ( x , 0 ) + d ( x ′ , 0 )
y ∈ C 1 y\in C_1 y ∈ C 1 X X X ( x k ) k ∈ N ≥ 1 (x_k)_{k\in\NN} ( x k ) k ∈ N ≥ 1 Y Y Y ( y k ) k ∈ N ≥ 1 (y_k)_{k\in\NN} ( y k ) k ∈ N ≥ 1 y 1 = y y_1=y y 1 = y x k ∈ B r k x_k\in B_{r_k} x k ∈ B r k y k + 1 = y k − T x k ∈ C k + 1 y_{k+1}=y_k-Tx_k\in C_{k+1} y k + 1 = y k − T x k ∈ C k + 1 y k ∈ C k y_k\in C_k y k ∈ C k §E12.16 命題 1.4 (5) を零近傍C k + 1 C_{k+1} C k + 1 y k ∈ T ( B r k ) + C k + 1 y_k\in T(B_{r_k})+C_{k+1} y k ∈ T ( B r k ) + C k + 1 y k = T x k + c y_k=Tx_k+c y k = T x k + c x k ∈ B r k x_k\in B_{r_k} x k ∈ B r k c ∈ C k + 1 c\in C_{k+1} c ∈ C k + 1 y k + 1 = c y_{k+1}=c y k + 1 = c
k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 s k = x 1 + ⋯ + x k s_k=x_1+\cdots+x_k s k = x 1 + ⋯ + x k k < l k<l k < l d d d d ( x + x ′ , 0 ) ≤ d ( x , 0 ) + d ( x ′ , 0 ) d(x+x',0)\leq d(x,0)+d(x',0) d ( x + x ′ , 0 ) ≤ d ( x , 0 ) + d ( x ′ , 0 )
d ( s l , s k ) = d ( x k + 1 + ⋯ + x l , 0 ) ≤ ∑ i = k + 1 l d ( x i , 0 ) < ∑ i = k + 1 ∞ 2 − i r = 2 − k r d(s_l,s_k)=d(x_{k+1}+\cdots+x_l,0)\leq\sum_{i=k+1}^ld(x_i,0)<\sum_{i=k+1}^\infty2^{-i}r=2^{-k}r d ( s l , s k ) = d ( x k + 1 + ⋯ + x l , 0 ) ≤ i = k + 1 ∑ l d ( x i , 0 ) < i = k + 1 ∑ ∞ 2 − i r = 2 − k r であるから、( s k ) (s_k) ( s k ) ( X , d ) (X,d) ( X , d ) ( X , d ) (X,d) ( X , d ) x ∈ X x\in X x ∈ X d d d d ( s k , 0 ) ≤ d ( x 1 , 0 ) + ∑ i = 2 k d ( x i , 0 ) < d ( x 1 , 0 ) + r / 2 d(s_k,0)\leq d(x_1,0)+\sum_{i=2}^kd(x_i,0)<d(x_1,0)+r/2 d ( s k , 0 ) ≤ d ( x 1 , 0 ) + ∑ i = 2 k d ( x i , 0 ) < d ( x 1 , 0 ) + r /2 d ( x , 0 ) ≤ d ( x , s k ) + d ( s k , 0 ) d(x,0)\leq d(x,s_k)+d(s_k,0) d ( x , 0 ) ≤ d ( x , s k ) + d ( s k , 0 ) k → ∞ k\to\infty k → ∞ d ( x , 0 ) ≤ d ( x 1 , 0 ) + r / 2 < r d(x,0)\leq d(x_1,0)+r/2<r d ( x , 0 ) ≤ d ( x 1 , 0 ) + r /2 < r x ∈ B r x\in B_r x ∈ B r
T ( s k ) = ∑ i = 1 k ( y i − y i + 1 ) = y − y k + 1 T(s_k)=\sum_{i=1}^k(y_i-y_{i+1})=y-y_{k+1} T ( s k ) = ∑ i = 1 k ( y i − y i + 1 ) = y − y k + 1 N N N Y Y Y §E12.16 命題 1.4 (6) によりN 1 ‾ ⊆ N \tpcl{N_1}\subseteq N N 1 ⊆ N N 1 N_1 N 1 T T T T 0 = 0 T0=0 T 0 = 0 T − 1 ( N 1 ) T^{-1}(N_1) T − 1 ( N 1 ) X X X B r k 0 ⊆ T − 1 ( N 1 ) B_{r_{k_0}}\subseteq T^{-1}(N_1) B r k 0 ⊆ T − 1 ( N 1 ) k 0 ∈ N ≥ 1 k_0\in\NN k 0 ∈ N ≥ 1 k ≥ k 0 k\geq k_0 k ≥ k 0 T ( B r k ) ⊆ N 1 T(B_{r_k})\subseteq N_1 T ( B r k ) ⊆ N 1 C k ⊆ N 1 ‾ ⊆ N C_k\subseteq\tpcl{N_1}\subseteq N C k ⊆ N 1 ⊆ N y k ∈ N y_k\in N y k ∈ N ( y k ) (y_k) ( y k ) Y Y Y 0 0 0 §E12.16 命題 1.4 (1) によりz ↦ y − z z\mapsto y-z z ↦ y − z Y Y Y Y Y Y ( T ( s k ) ) = ( y − y k + 1 ) (T(s_k))=(y-y_{k+1}) ( T ( s k )) = ( y − y k + 1 ) y y y §E2.13 命題 7.2 により( s k ) (s_k) ( s k ) X X X x x x T T T ( T ( s k ) ) (T(s_k)) ( T ( s k )) T x Tx T x Y Y Y §E2.15 命題 1.3 によりT x = y Tx=y T x = y y ∈ T ( B r ) y\in T(B_r) y ∈ T ( B r ) ▨
O O O X X X x ∈ O x\in O x ∈ O §E12.16 命題 1.4 (1) によりO − x O-x O − x B r ⊆ O − x B_r\subseteq O-x B r ⊆ O − x r > 0 r>0 r > 0 主張 2.1.1 と主張 2.1.2 によりT ( B r / 2 ) ‾ \tpcl{T(B_{r/2})} T ( B r /2 ) Y Y Y T ( B r ) T(B_r) T ( B r )
T ( O ) ⊇ T x + T ( B r ) ⊇ T x + T ( B r / 2 ) ‾ T(O)\supseteq Tx+T(B_r)\supseteq Tx+\tpcl{T(B_{r/2})} T ( O ) ⊇ T x + T ( B r ) ⊇ T x + T ( B r /2 ) であり、§E12.16 命題 1.4 (1) によりT ( O ) T(O) T ( O ) T x Tx T x T ( O ) T(O) T ( O ) T ( O ) T(O) T ( O ) §E2.11 補題 2.6 によりT ( O ) T(O) T ( O ) T T T O = X O=X O = X T ( X ) T(X) T ( X ) 0 0 0 §E12.16 命題 1.4 (2) により、各y ∈ Y y\in Y y ∈ Y y ∈ t T ( X ) y\in tT(X) y ∈ tT ( X ) t > 0 t>0 t > 0 T ( X ) T(X) T ( X ) y ∈ T ( X ) y\in T(X) y ∈ T ( X ) T ( X ) = Y T(X)=Y T ( X ) = Y
Y Y Y T T T Y Y Y §E12.16 定義 5.13 の距離について完備距離空間であり、0 ∈ Y 0\in Y 0 ∈ Y §E2.28 系 4.3 によりT ( X ) = Y T(X)=Y T ( X ) = Y Y Y Y §E2.15 定理 3.2 によりY Y Y T T T ▨
例 2.2. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } Y Y Y { ∅ , K } \{\emptyset,\mathbb K\} { ∅ , K } K \mathbb K K T : K → Y T\colon\mathbb K\to Y T : K → Y K \mathbb K K §E10.1 系 2.3 により Banach 空間であり、§E12.16 系 5.16 (4) により F 空間である。§E12.16 例 4.2 (1) により、Y Y Y T T T T − 1 T^{-1} T − 1 Y Y Y ∅ \emptyset ∅ Y Y Y Y Y Y Y Y Y int ( Y ) = Y ≠ ∅ \tpint{Y}=Y\neq\emptyset int ( Y ) = Y = ∅ Y Y Y ∅ \emptyset ∅ Y Y Y ∅ \emptyset ∅ T ( K ) = Y T(\mathbb K)=Y T ( K ) = Y Y Y Y T T T K \mathbb K K O O O ( T − 1 ) − 1 ( O ) = T ( O ) (T^{-1})^{-1}(O)=T(O) ( T − 1 ) − 1 ( O ) = T ( O ) T − 1 T^{-1} T − 1 T T T 定理 2.1 の結論は、Y Y Y
系 2.3. X , Y X,Y X , Y K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } T : X → Y T\colon X\to Y T : X → Y T T T
証明. 定理 2.1 の後半によりT T T X X X O O O ( T − 1 ) − 1 ( O ) = T ( O ) (T^{-1})^{-1}(O)=T(O) ( T − 1 ) − 1 ( O ) = T ( O ) Y Y Y T − 1 T^{-1} T − 1 T T T ▨
定理 2.4. X , Y X,Y X , Y K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } T : X → Y T\colon X\to Y T : X → Y G T = { ( x , T x ) ∣ x ∈ X } G_T=\{(x,Tx)\mid x\in X\} G T = {( x , T x ) ∣ x ∈ X } X × Y X\times Y X × Y T T T
証明. §E12.16 補題 5.15 (2) によりX × Y X\times Y X × Y T T T G T G_T G T X × Y X\times Y X × Y §E12.16 補題 5.15 (3) により部分空間位相について F 空間である。p r X : X × Y → X \mathrm{pr}_X\colon X\times Y\to X pr X : X × Y → X p r Y : X × Y → Y \mathrm{pr}_Y\colon X\times Y\to Y pr Y : X × Y → Y ι : G T → X × Y \iota\colon G_T\to X\times Y ι : G T → X × Y §E2.12 命題 3.3 (1) により射影は連続であり、§E2.12 定理 4.4 (1) によりι \iota ι P = p r X ∘ ι : G T → X P=\mathrm{pr}_X\circ\iota\colon G_T\to X P = pr X ∘ ι : G T → X P ( x , T x ) = x P(x,Tx)=x P ( x , T x ) = x P P P 系 2.3 によりP − 1 : X → G T P^{-1}\colon X\to G_T P − 1 : X → G T T = p r Y ∘ ι ∘ P − 1 T=\mathrm{pr}_Y\circ\iota\circ P^{-1} T = pr Y ∘ ι ∘ P − 1 T T T ▨
系 2.5. X , Y X,Y X , Y K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } A : X → Y A\colon X\to Y A : X → Y π : X → X / ker A \pi\colon X\to X/\ker A π : X → X / ker A Y = im A ⊕ Y 1 Y=\im A\oplus Y_1 Y = im A ⊕ Y 1 Y Y Y Y 1 Y_1 Y 1 im A = A ( X ) \im A=A(X) im A = A ( X ) Y Y Y im A \im A im A Y Y Y A ~ ∘ π = A \widetilde A\circ\pi=A A ∘ π = A A ~ : X / ker A → im A \widetilde A\colon X/\ker A\to\im A A : X / ker A → im A A ~ \widetilde A A X X X ker A \ker A ker A X 1 X_1 X 1 A ∣ X 1 : X 1 → im A A|_{X_1}\colon X_1\to\im A A ∣ X 1 : X 1 → im A X X X ker A \ker A ker A X X X Y Y Y A A A §E12.19 命題 5.1 の仮定を満たし、§E12.19 命題 5.1 (1) のA ∣ X 1 A|_{X_1} A ∣ X 1
証明. M = ker A M=\ker A M = ker A Y Y Y §E2.15 定理 3.2 により Hausdorff であり、§E12.16 命題 1.5 により{ 0 } \{0\} { 0 } Y Y Y A A A §E2.12 命題 1.6 (2) によりM = A − 1 ( { 0 } ) M=A^{-1}(\{0\}) M = A − 1 ({ 0 }) §E12.19 命題 1.2 (7) によりX / M X/M X / M π ( x ) = π ( x ′ ) \pi(x)=\pi(x') π ( x ) = π ( x ′ ) x − x ′ ∈ M x-x'\in M x − x ′ ∈ M A x = A x ′ Ax=Ax' A x = A x ′ A ~ ∘ π = A \widetilde A\circ\pi=A A ∘ π = A A ~ : X / M → im A \widetilde A\colon X/M\to\im A A : X / M → im A π \pi π A ~ \widetilde A A A ~ ( π ( x ) ) = 0 \widetilde A(\pi(x))=0 A ( π ( x )) = 0 x ∈ M x\in M x ∈ M A ~ \widetilde A A §E12.19 命題 1.2 (3) によりA ~ \widetilde A A X / M X/M X / M Y Y Y §E2.12 定理 4.4 (3) によりim A \im A im A
§E12.16 系 4.3 (1) によりY 1 Y_1 Y 1 Y Y Y §E12.16 補題 5.15 (3) により F 空間である。§E12.16 補題 5.15 (2) によりX / M × Y 1 X/M\times Y_1 X / M × Y 1 ι : im A → Y \iota\colon\im A\to Y ι : im A → Y ι 1 : Y 1 → Y \iota_1\colon Y_1\to Y ι 1 : Y 1 → Y Φ ( ξ , y ) = ι ( A ~ ξ ) + ι 1 ( y ) \Phi(\xi,y)=\iota(\widetilde A\xi)+\iota_1(y) Φ ( ξ , y ) = ι ( A ξ ) + ι 1 ( y ) Φ : X / M × Y 1 → Y \Phi\colon X/M\times Y_1\to Y Φ : X / M × Y 1 → Y ( ξ , y ) ↦ ( ι ( A ~ ξ ) , ι 1 ( y ) ) (\xi,y)\mapsto(\iota(\widetilde A\xi),\iota_1(y)) ( ξ , y ) ↦ ( ι ( A ξ ) , ι 1 ( y )) Y × Y Y\times Y Y × Y ι ∘ A ~ ∘ p r 1 \iota\circ\widetilde A\circ\mathrm{pr}_1 ι ∘ A ∘ pr 1 ι 1 ∘ p r 2 \iota_1\circ\mathrm{pr}_2 ι 1 ∘ pr 2 §E2.12 命題 3.3 (1) 、§E2.12 定理 4.4 (1) 、§E2.12 定理 3.4 により連続であり、Y Y Y Φ \Phi Φ Y = im A + Y 1 Y=\im A+Y_1 Y = im A + Y 1 Φ \Phi Φ Φ ( ξ , y ) = 0 \Phi(\xi,y)=0 Φ ( ξ , y ) = 0 A ~ ξ = − y ∈ im A ∩ Y 1 = { 0 } \widetilde A\xi=-y\in\im A\cap Y_1=\{0\} A ξ = − y ∈ im A ∩ Y 1 = { 0 } A ~ \widetilde A A ( ξ , y ) = ( 0 , 0 ) (\xi,y)=(0,0) ( ξ , y ) = ( 0 , 0 ) Φ \Phi Φ 系 2.3 により線形同相写像である。
Y 1 Y_1 Y 1 §E12.16 補題 1.6 (1) により Hausdorff 位相線形空間であるから、§E12.16 命題 1.5 により{ 0 } \{0\} { 0 } Y 1 Y_1 Y 1 X / M × { 0 } = p r 2 − 1 ( { 0 } ) X/M\times\{0\}=\mathrm{pr}_2^{-1}(\{0\}) X / M × { 0 } = pr 2 − 1 ({ 0 }) X / M × Y 1 X/M\times Y_1 X / M × Y 1 Φ − 1 \Phi^{-1} Φ − 1 §E2.12 命題 1.6 (2) によりim A = Φ ( X / M × { 0 } ) = ( Φ − 1 ) − 1 ( X / M × { 0 } ) \im A=\Phi(X/M\times\{0\})=(\Phi^{-1})^{-1}(X/M\times\{0\}) im A = Φ ( X / M × { 0 }) = ( Φ − 1 ) − 1 ( X / M × { 0 }) Y Y Y y ∈ im A y\in\im A y ∈ im A Φ − 1 ( ι ( y ) ) = ( A ~ − 1 y , 0 ) \Phi^{-1}(\iota(y))=(\widetilde A^{-1}y,0) Φ − 1 ( ι ( y )) = ( A − 1 y , 0 ) A ~ − 1 = p r 1 ∘ Φ − 1 ∘ ι \widetilde A^{-1}=\mathrm{pr}_1\circ\Phi^{-1}\circ\iota A − 1 = pr 1 ∘ Φ − 1 ∘ ι A ~ \widetilde A A
X X X M M M X 1 X_1 X 1 §E12.19 命題 3.3 (4) によりπ ∣ X 1 : X 1 → X / M \pi|_{X_1}\colon X_1\to X/M π ∣ X 1 : X 1 → X / M A ∣ X 1 = A ~ ∘ π ∣ X 1 A|_{X_1}=\widetilde A\circ\pi|_{X_1} A ∣ X 1 = A ∘ π ∣ X 1 A ∣ X 1 A|_{X_1} A ∣ X 1
X X X M M M X X X §E2.15 定理 3.2 により Hausdorff である。π im A : Y → Y / im A \pi_{\im A}\colon Y\to Y/\im A π im A : Y → Y / im A ker ( π im A ∣ Y 1 ) = im A ∩ Y 1 = { 0 } \ker(\pi_{\im A}|_{Y_1})=\im A\cap Y_1=\{0\} ker ( π im A ∣ Y 1 ) = im A ∩ Y 1 = { 0 } Y = im A + Y 1 Y=\im A+Y_1 Y = im A + Y 1 π im A ∣ Y 1 \pi_{\im A}|_{Y_1} π im A ∣ Y 1 dim coker A = dim Y 1 < ∞ \dim\operatorname{coker}A=\dim Y_1<\infty dim coker A = dim Y 1 < ∞ im A \im A im A X X X Y Y Y A A A §E12.19 命題 5.1 の仮定を満たす。§E12.19 命題 5.1 (1) のX 1 X_1 X 1 X X X M M M X 1 X_1 X 1 A ∣ X 1 A|_{X_1} A ∣ X 1 ▨
3 Banach 空間の開写像定理と閉グラフ定理 系 3.1 (開写像定理). X , Y X,Y X , Y K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } T ∈ B ( X , Y ) T\in B(X,Y) T ∈ B ( X , Y ) T T T { y ∈ Y ∣ ∥ y ∥ < δ } ⊆ T ( { x ∈ X ∣ ∥ x ∥ < 1 } ) \{y\in Y\mid\lVert y\rVert<\delta\}\subseteq T(\{x\in X\mid\lVert x\rVert<1\}) { y ∈ Y ∣ ∥ y ∥ < δ } ⊆ T ({ x ∈ X ∣ ∥ x ∥ < 1 }) δ > 0 \delta>0 δ > 0
証明. §E12.16 系 5.16 (4) によりX X X Y Y Y §E10.2 定理 1.5 によりT T T 定理 2.1 の後半によりT T T §E2.2 補題 1.2 により{ x ∈ X ∣ ∥ x ∥ < 1 } \{x\in X\mid\lVert x\rVert<1\} { x ∈ X ∣ ∥ x ∥ < 1 } T T T 0 0 0 Y Y Y { y ∈ Y ∣ ∥ y ∥ < δ } ⊆ T ( { x ∈ X ∣ ∥ x ∥ < 1 } ) \{y\in Y\mid\lVert y\rVert<\delta\}\subseteq T(\{x\in X\mid\lVert x\rVert<1\}) { y ∈ Y ∣ ∥ y ∥ < δ } ⊆ T ({ x ∈ X ∣ ∥ x ∥ < 1 }) δ > 0 \delta>0 δ > 0 ▨
系 3.2 (有界逆写像定理). X , Y X,Y X , Y K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } T ∈ B ( X , Y ) T\in B(X,Y) T ∈ B ( X , Y ) T − 1 ∈ B ( Y , X ) T^{-1}\in B(Y,X) T − 1 ∈ B ( Y , X )
系 3.3 (閉グラフ定理). X , Y X,Y X , Y K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } T : X → Y T\colon X\to Y T : X → Y G T = { ( x , T x ) ∣ x ∈ X } G_T=\{(x,Tx)\mid x\in X\} G T = {( x , T x ) ∣ x ∈ X } X × Y X\times Y X × Y T ∈ B ( X , Y ) T\in B(X,Y) T ∈ B ( X , Y ) G T G_T G T X X X ( x n ) n ∈ N ≥ 1 (x_n)_{n\in\NN} ( x n ) n ∈ N ≥ 1 x ∈ X x\in X x ∈ X y ∈ Y y\in Y y ∈ Y x n → x x_n\to x x n → x T x n → y Tx_n\to y T x n → y y = T x y=Tx y = T x
例 3.4. [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] f f f [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] 0 , 1 0,1 0 , 1 f ′ f' f ′ [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] C 1 [ 0 , 1 ] C^1[0,1] C 1 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] C [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] ∥ ⋅ ∥ ∞ \lVert\cdot\rVert_\infty ∥ ⋅ ∥ ∞ C 1 [ 0 , 1 ] C^1[0,1] C 1 [ 0 , 1 ] C [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] ∥ f ∥ C 1 = ∥ f ∥ ∞ + ∥ f ′ ∥ ∞ \lVert f\rVert_{C^1}=\lVert f\rVert_\infty+\lVert f'\rVert_\infty ∥ f ∥ C 1 = ∥ f ∥ ∞ + ∥ f ′ ∥ ∞ C 1 [ 0 , 1 ] C^1[0,1] C 1 [ 0 , 1 ] I : ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ C 1 ) → ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) I\colon(C^1[0,1],\lVert\cdot\rVert_{C^1})\to(C^1[0,1],\lVert\cdot\rVert_\infty) I : ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ C 1 ) → ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ C 1 ) (C^1[0,1],\lVert\cdot\rVert_{C^1}) ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ C 1 ) I − 1 I^{-1} I − 1 系 3.2 により( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (C^1[0,1],\lVert\cdot\rVert_\infty) ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) 系 3.2 の結論は終域の完備性を外すと成り立たない。
証明. f , g ∈ C 1 [ 0 , 1 ] f,g\in C^1[0,1] f , g ∈ C 1 [ 0 , 1 ] λ ∈ R \lambda\in\R λ ∈ R f + λ g f+\lambda g f + λ g [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] ( f + λ g ) ′ = f ′ + λ g ′ (f+\lambda g)'=f'+\lambda g' ( f + λ g ) ′ = f ′ + λ g ′ C 1 [ 0 , 1 ] C^1[0,1] C 1 [ 0 , 1 ] ∥ ⋅ ∥ ∞ \lVert\cdot\rVert_\infty ∥ ⋅ ∥ ∞ ( f + λ g ) ′ = f ′ + λ g ′ (f+\lambda g)'=f'+\lambda g' ( f + λ g ) ′ = f ′ + λ g ′ ∥ ⋅ ∥ C 1 \lVert\cdot\rVert_{C^1} ∥ ⋅ ∥ C 1 ∥ f ∥ C 1 = 0 \lVert f\rVert_{C^1}=0 ∥ f ∥ C 1 = 0 ∥ f ∥ ∞ = 0 \lVert f\rVert_\infty=0 ∥ f ∥ ∞ = 0 f = 0 f=0 f = 0 ∥ ⋅ ∥ C 1 \lVert\cdot\rVert_{C^1} ∥ ⋅ ∥ C 1 I I I ∥ I f ∥ ∞ = ∥ f ∥ ∞ ≤ ∥ f ∥ C 1 \lVert If\rVert_\infty=\lVert f\rVert_\infty\leq\lVert f\rVert_{C^1} ∥ I f ∥ ∞ = ∥ f ∥ ∞ ≤ ∥ f ∥ C 1
( f k ) k ∈ N ≥ 1 (f_k)_{k\in\NN} ( f k ) k ∈ N ≥ 1 ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ C 1 ) (C^1[0,1],\lVert\cdot\rVert_{C^1}) ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ C 1 ) ∥ f k − f l ∥ ∞ \lVert f_k-f_l\rVert_\infty ∥ f k − f l ∥ ∞ ∥ f k ′ − f l ′ ∥ ∞ \lVert f_k'-f_l'\rVert_\infty ∥ f k ′ − f l ′ ∥ ∞ ∥ f k − f l ∥ C 1 \lVert f_k-f_l\rVert_{C^1} ∥ f k − f l ∥ C 1 ( f k ) (f_k) ( f k ) ( f k ′ ) (f_k') ( f k ′ ) ( C [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (C[0,1],\lVert\cdot\rVert_\infty) ( C [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) §E10.1 定理 3.6 により、それぞれあるf , g ∈ C [ 0 , 1 ] f,g\in C[0,1] f , g ∈ C [ 0 , 1 ] f k f_k f k [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] f k ′ f_k' f k ′ ( f k ′ ) (f_k') ( f k ′ ) g g g ( f k ( 0 ) ) (f_k(0)) ( f k ( 0 )) §D1.22 定理 4.2 により、f f f ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) f ′ = g f'=g f ′ = g 0 0 0 1 1 1 g ( 0 ) g(0) g ( 0 ) g ( 1 ) g(1) g ( 1 ) f ∈ C 1 [ 0 , 1 ] f\in C^1[0,1] f ∈ C 1 [ 0 , 1 ] f ′ = g f'=g f ′ = g ∥ f k − f ∥ C 1 = ∥ f k − f ∥ ∞ + ∥ f k ′ − g ∥ ∞ → 0 \lVert f_k-f\rVert_{C^1}=\lVert f_k-f\rVert_\infty+\lVert f_k'-g\rVert_\infty\to0 ∥ f k − f ∥ C 1 = ∥ f k − f ∥ ∞ + ∥ f k ′ − g ∥ ∞ → 0 ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ C 1 ) (C^1[0,1],\lVert\cdot\rVert_{C^1}) ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ C 1 )
n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 f n ( t ) = t n f_n(t)=t^n f n ( t ) = t n f n ∈ C 1 [ 0 , 1 ] f_n\in C^1[0,1] f n ∈ C 1 [ 0 , 1 ] f n ′ ( t ) = n t n − 1 f_n'(t)=nt^{n-1} f n ′ ( t ) = n t n − 1 ∥ f n ∥ ∞ = 1 \lVert f_n\rVert_\infty=1 ∥ f n ∥ ∞ = 1 ∥ I − 1 f n ∥ C 1 = 1 + n \lVert I^{-1}f_n\rVert_{C^1}=1+n ∥ I − 1 f n ∥ C 1 = 1 + n I − 1 I^{-1} I − 1 §E10.2 命題 1.2 によりすべてのn n n 1 + n ≤ ∥ I − 1 ∥ 1+n\leq\lVert I^{-1}\rVert 1 + n ≤ ∥ I − 1 ∥ ∥ I − 1 ∥ \lVert I^{-1}\rVert ∥ I − 1 ∥ I − 1 I^{-1} I − 1 ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (C^1[0,1],\lVert\cdot\rVert_\infty) ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) 系 3.2 によりI − 1 I^{-1} I − 1 ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (C^1[0,1],\lVert\cdot\rVert_\infty) ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) ▨
例 3.5. C 1 [ 0 , 1 ] C^1[0,1] C 1 [ 0 , 1 ] C [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] 例 3.4 のとおりとし、C 1 [ 0 , 1 ] C^1[0,1] C 1 [ 0 , 1 ] ∥ ⋅ ∥ ∞ \lVert\cdot\rVert_\infty ∥ ⋅ ∥ ∞ D : C 1 [ 0 , 1 ] → C [ 0 , 1 ] D\colon C^1[0,1]\to C[0,1] D : C 1 [ 0 , 1 ] → C [ 0 , 1 ] D f = f ′ Df=f' D f = f ′ C [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] G D = { ( f , D f ) ∣ f ∈ C 1 [ 0 , 1 ] } G_D=\{(f,Df)\mid f\in C^1[0,1]\} G D = {( f , D f ) ∣ f ∈ C 1 [ 0 , 1 ]} C 1 [ 0 , 1 ] × C [ 0 , 1 ] C^1[0,1]\times C[0,1] C 1 [ 0 , 1 ] × C [ 0 , 1 ] D D D ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (C^1[0,1],\lVert\cdot\rVert_\infty) ( C 1 [ 0 , 1 ] , ∥ ⋅ ∥ ∞ ) 例 3.4 により Banach 空間でない。したがって、系 3.3 の結論は定義域の完備性を外すと成り立たない。
証明. §E10.1 定理 3.6 によりC [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] §E12.16 命題 2.10 によりC 1 [ 0 , 1 ] C^1[0,1] C 1 [ 0 , 1 ] C [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] §E10.1 命題 1.2 によりノルムから定まる距離は平行移動で不変であってこの位相を定める。( f k ) k ∈ N ≥ 1 (f_k)_{k\in\NN} ( f k ) k ∈ N ≥ 1 C 1 [ 0 , 1 ] C^1[0,1] C 1 [ 0 , 1 ] f ∈ C 1 [ 0 , 1 ] f\in C^1[0,1] f ∈ C 1 [ 0 , 1 ] g ∈ C [ 0 , 1 ] g\in C[0,1] g ∈ C [ 0 , 1 ] ( f k ) (f_k) ( f k ) f f f ( D f k ) (Df_k) ( D f k ) g g g ( f k ( 0 ) ) (f_k(0)) ( f k ( 0 )) §D1.22 定理 4.2 によりf f f ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) g g g g g g g = f ′ = D f g=f'=Df g = f ′ = D f 補題 1.1 によりG D G_D G D n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 f n ( t ) = t n f_n(t)=t^n f n ( t ) = t n ∥ f n ∥ ∞ = 1 \lVert f_n\rVert_\infty=1 ∥ f n ∥ ∞ = 1 ∥ D f n ∥ ∞ = n \lVert Df_n\rVert_\infty=n ∥ D f n ∥ ∞ = n §E10.2 命題 1.2 によりD D D ▨
4 全単射性と逆作用素の有界性 系 4.1. X , Y X,Y X , Y K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } T T T X X X Y Y Y T T T D ( T ) D(T) D ( T ) Y Y Y T − 1 ∈ B ( Y , X ) T^{-1}\in B(Y,X) T − 1 ∈ B ( Y , X ) X X X T T T λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K λ \lambda λ T T T ρ ( T ) \rho(T) ρ ( T ) λ I − T \lambda I-T λ I − T D ( T ) D(T) D ( T ) X X X
証明. T T T im T = Y \im T=Y im T = Y T − 1 : Y → X T^{-1}\colon Y\to X T − 1 : Y → X Y Y Y ( y n ) n ∈ N ≥ 1 (y_n)_{n\in\NN} ( y n ) n ∈ N ≥ 1 y ∈ Y y\in Y y ∈ Y ( T − 1 y n ) (T^{-1}y_n) ( T − 1 y n ) x ∈ X x\in X x ∈ X x n = T − 1 y n x_n=T^{-1}y_n x n = T − 1 y n x n ∈ D ( T ) x_n\in D(T) x n ∈ D ( T ) x n → x x_n\to x x n → x T x n = y n → y Tx_n=y_n\to y T x n = y n → y §E12.12 補題 1.3 (1) によりx ∈ D ( T ) x\in D(T) x ∈ D ( T ) T x = y Tx=y T x = y x = T − 1 y x=T^{-1}y x = T − 1 y 系 3.3 によりT − 1 ∈ B ( Y , X ) T^{-1}\in B(Y,X) T − 1 ∈ B ( Y , X )
T T T X X X λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K D ( T ) D(T) D ( T ) ( x n ) (x_n) ( x n ) x x x ( − T x n ) (-Tx_n) ( − T x n ) y y y T x n → − y Tx_n\to-y T x n → − y §E12.12 補題 1.3 (1) によりx ∈ D ( T ) x\in D(T) x ∈ D ( T ) − T x = y -Tx=y − T x = y §E12.12 補題 1.3 (1) により− T -T − T §E12.12 補題 1.3 (3) により定義域D ( T ) D(T) D ( T ) λ I − T = ( − T ) + λ I \lambda I-T=(-T)+\lambda I λ I − T = ( − T ) + λ I §E12.12 定義 1.5 により、λ ∈ ρ ( T ) \lambda\in\rho(T) λ ∈ ρ ( T ) λ I − T \lambda I-T λ I − T D ( T ) D(T) D ( T ) X X X ( λ I − T ) − 1 ∈ B ( X ) (\lambda I-T)^{-1}\in B(X) ( λ I − T ) − 1 ∈ B ( X ) λ I − T \lambda I-T λ I − T ( λ I − T ) − 1 ∈ B ( X ) (\lambda I-T)^{-1}\in B(X) ( λ I − T ) − 1 ∈ B ( X ) ▨
系 4.2. X X X K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } T ∈ B ( X ) T\in B(X) T ∈ B ( X ) λ ∈ K \lambda\in\mathbb K λ ∈ K λ I − T \lambda I-T λ I − T X X X X X X V ( λ I − T ) = ( λ I − T ) V = I V(\lambda I-T)=(\lambda I-T)V=I V ( λ I − T ) = ( λ I − T ) V = I V ∈ B ( X ) V\in B(X) V ∈ B ( X ) X ≠ { 0 } X\neq\{0\} X = { 0 } §E12.1 定義 3.2 のT T T σ ( T ) = { λ ∈ C ∣ λ I − T は全単射でない } \sigma(T)=\{\lambda\in\C\mid\lambda I-T\text{ は全単射でない}\} σ ( T ) = { λ ∈ C ∣ λ I − T は全単射でない }
証明. X X X ( x n ) n ∈ N ≥ 1 (x_n)_{n\in\NN} ( x n ) n ∈ N ≥ 1 x ∈ X x\in X x ∈ X ( T x n ) (Tx_n) ( T x n ) y ∈ X y\in X y ∈ X T T T y = T x y=Tx y = T x §E12.12 補題 1.3 (1) によりT T T X X X X X X 系 4.1 と§E12.12 定義 1.5 により、λ I − T \lambda I-T λ I − T λ I − T \lambda I-T λ I − T B ( X ) B(X) B ( X ) V ( λ I − T ) = ( λ I − T ) V = I V(\lambda I-T)=(\lambda I-T)V=I V ( λ I − T ) = ( λ I − T ) V = I V ∈ B ( X ) V\in B(X) V ∈ B ( X ) K = C \mathbb K=\C K = C X ≠ { 0 } X\neq\{0\} X = { 0 } §E12.12 定義 1.5 によりT T T §E12.1 定義 3.2 のρ ( T ) \rho(T) ρ ( T ) ρ ( T ) = { λ ∈ C ∣ λ I − T は全単射 } \rho(T)=\{\lambda\in\C\mid\lambda I-T\text{ は全単射}\} ρ ( T ) = { λ ∈ C ∣ λ I − T は全単射 } σ ( T ) \sigma(T) σ ( T ) ▨
5 至る所で定義された対称作用素 定理 5.1 (Hellinger–Toeplitz の定理). H H H K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } A : H → H A\colon H\to H A : H → H x , y ∈ H x,y\in H x , y ∈ H ⟨ A x , y ⟩ = ⟨ x , A y ⟩ \langle Ax,y\rangle=\langle x,Ay\rangle ⟨ A x , y ⟩ = ⟨ x , A y ⟩ A ∈ B ( H ) A\in B(H) A ∈ B ( H ) A A A
証明. H H H ( x n ) n ∈ N ≥ 1 (x_n)_{n\in\NN} ( x n ) n ∈ N ≥ 1 x ∈ H x\in H x ∈ H ( A x n ) (Ax_n) ( A x n ) z ∈ H z\in H z ∈ H y ∈ H y\in H y ∈ H §E10.3 補題 1.2 の Cauchy–Schwarz の不等式により
∣ ⟨ A x n , y ⟩ − ⟨ z , y ⟩ ∣ ≤ ∥ A x n − z ∥ ∥ y ∥ → 0 , ∣ ⟨ x n , A y ⟩ − ⟨ x , A y ⟩ ∣ ≤ ∥ x n − x ∥ ∥ A y ∥ → 0 \lvert\langle Ax_n,y\rangle-\langle z,y\rangle\rvert\leq\lVert Ax_n-z\rVert\lVert y\rVert\to0,\qquad\lvert\langle x_n,Ay\rangle-\langle x,Ay\rangle\rvert\leq\lVert x_n-x\rVert\lVert Ay\rVert\to0 ∣⟨ A x n , y ⟩ − ⟨ z , y ⟩∣ ≤ ∥ A x n − z ∥ ∥ y ∥ → 0 , ∣⟨ x n , A y ⟩ − ⟨ x , A y ⟩∣ ≤ ∥ x n − x ∥ ∥ A y ∥ → 0 であり、⟨ A x n , y ⟩ = ⟨ x n , A y ⟩ \langle Ax_n,y\rangle=\langle x_n,Ay\rangle ⟨ A x n , y ⟩ = ⟨ x n , A y ⟩ ⟨ z , y ⟩ = ⟨ x , A y ⟩ = ⟨ A x , y ⟩ \langle z,y\rangle=\langle x,Ay\rangle=\langle Ax,y\rangle ⟨ z , y ⟩ = ⟨ x , A y ⟩ = ⟨ A x , y ⟩ y = z − A x y=z-Ax y = z − A x ∥ z − A x ∥ 2 = ⟨ z − A x , z − A x ⟩ = 0 \lVert z-Ax\rVert^2=\langle z-Ax,z-Ax\rangle=0 ∥ z − A x ∥ 2 = ⟨ z − A x , z − A x ⟩ = 0 z = A x z=Ax z = A x 系 3.3 によりA ∈ B ( H ) A\in B(H) A ∈ B ( H ) §E12.1 定義 2.1 によりA A A ▨
6 開写像定理・閉グラフ定理・一様有界性原理の関係 命題 6.1. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } X X X K \mathbb K K Y Y Y K \mathbb K K T : X → Y T\colon X\to Y T : X → Y M = ker T M=\ker T M = ker T π : X → X / M \pi\colon X\to X/M π : X → X / M M M M X X X
S ∘ T = π S\circ T=\pi S ∘ T = π S : Y → X / M S\colon Y\to X/M S : Y → X / M G S = { ( y , S y ) ∣ y ∈ Y } G_S=\{(y,Sy)\mid y\in Y\} G S = {( y , S y ) ∣ y ∈ Y } Y × X / M Y\times X/M Y × X / M S S S T T T X X X X / M X/M X / M 証明. Y Y Y §E12.16 命題 1.5 により{ 0 } \{0\} { 0 } Y Y Y T T T §E2.12 命題 1.6 (2) によりM = T − 1 ( { 0 } ) M=T^{-1}(\{0\}) M = T − 1 ({ 0 }) X X X
主張 (1) を示す。§E3.6 定理 2.1 により、T ~ ∘ π = T \widetilde T\circ\pi=T T ∘ π = T T ~ : X / M → Y \widetilde T\colon X/M\to Y T : X / M → Y §E12.19 命題 1.2 (3) によりT ~ \widetilde T T T ~ ( π ( x ) ) = 0 \widetilde T(\pi(x))=0 T ( π ( x )) = 0 x ∈ M x\in M x ∈ M π ( x ) = 0 \pi(x)=0 π ( x ) = 0 T ~ \widetilde T T T T T T ~ \widetilde T T S = T ~ − 1 S=\widetilde T^{-1} S = T − 1 S S S S ∘ T = T ~ − 1 ∘ T ~ ∘ π = π S\circ T=\widetilde T^{-1}\circ\widetilde T\circ\pi=\pi S ∘ T = T − 1 ∘ T ∘ π = π T T T S ∘ T = π S\circ T=\pi S ∘ T = π S S S
Y × X / M Y\times X/M Y × X / M T ~ \widetilde T T Y Y Y F ( y , ξ ) = y − T ~ ξ F(y,\xi)=y-\widetilde T\xi F ( y , ξ ) = y − T ξ F : Y × X / M → Y F\colon Y\times X/M\to Y F : Y × X / M → Y y = T ~ ξ y=\widetilde T\xi y = T ξ ξ = S y \xi=Sy ξ = S y
G S = { ( y , ξ ) ∈ Y × X / M ∣ y − T ~ ξ = 0 } = F − 1 ( { 0 } ) G_S=\{(y,\xi)\in Y\times X/M\mid y-\widetilde T\xi=0\}=F^{-1}(\{0\}) G S = {( y , ξ ) ∈ Y × X / M ∣ y − T ξ = 0 } = F − 1 ({ 0 }) である。{ 0 } \{0\} { 0 } Y Y Y §E2.12 命題 1.6 (2) によりG S G_S G S Y × X / M Y\times X/M Y × X / M
主張 (2) を示す。S S S X / M X/M X / M O O O T ~ ( O ) = S − 1 ( O ) \widetilde T(O)=S^{-1}(O) T ( O ) = S − 1 ( O ) Y Y Y T ~ \widetilde T T §E12.19 命題 1.2 (1) によりπ \pi π T = T ~ ∘ π T=\widetilde T\circ\pi T = T ∘ π T T T O O O X / M X/M X / M π \pi π π − 1 ( O ) \pi^{-1}(O) π − 1 ( O ) X X X π ( π − 1 ( O ) ) = O \pi(\pi^{-1}(O))=O π ( π − 1 ( O )) = O S − 1 ( O ) = T ~ ( O ) = T ( π − 1 ( O ) ) S^{-1}(O)=\widetilde T(O)=T(\pi^{-1}(O)) S − 1 ( O ) = T ( O ) = T ( π − 1 ( O )) Y Y Y S S S
主張 (3) を示す。X X X M M M X X X §E12.19 命題 1.2 (7) によりX / M X/M X / M ▨
証明. I I I K = R \mathbb K=\R K = R ℓ ∞ ( I ) \ell^\infty(I) ℓ ∞ ( I ) §E2.5 定義 5.2 のF b ( I ) \mathcal F_b(I) F b ( I ) ∥ g − h ∥ ∞ = d ∞ ( g , h ) \lVert g-h\rVert_\infty=d_\infty(g,h) ∥ g − h ∥ ∞ = d ∞ ( g , h ) §E2.5 定理 5.5 により完備である。点ごとの絶対値の性質により∥ ⋅ ∥ ∞ \lVert\cdot\rVert_\infty ∥ ⋅ ∥ ∞ ℓ ∞ ( I ) \ell^\infty(I) ℓ ∞ ( I ) K = C \mathbb K=\C K = C ℓ ∞ ( I ) = F b ( I ) + i F b ( I ) \ell^\infty(I)=\mathcal F_b(I)+i\mathcal F_b(I) ℓ ∞ ( I ) = F b ( I ) + i F b ( I ) §E10.1 補題 3.3 によりℓ ∞ ( I ) \ell^\infty(I) ℓ ∞ ( I )
x ∈ X x\in X x ∈ X α ∈ A \alpha\in A α ∈ A ∥ f ∥ ≤ 1 \lVert f\rVert\leq1 ∥ f ∥ ≤ 1 f ∈ Y ∗ f\in Y^* f ∈ Y ∗ §E10.2 命題 1.2 により∣ f ( T α x ) ∣ ≤ ∥ T α x ∥ \lvert f(T_\alpha x)\rvert\leq\lVert T_\alpha x\rVert ∣ f ( T α x )∣ ≤ ∥ T α x ∥ §E12.17 系 4.4 により、このようなf f f ∣ f ( T α x ) ∣ \lvert f(T_\alpha x)\rvert ∣ f ( T α x )∣ ∥ T α x ∥ \lVert T_\alpha x\rVert ∥ T α x ∥ Φ x ∈ ℓ ∞ ( I ) \Phi x\in\ell^\infty(I) Φ x ∈ ℓ ∞ ( I ) ∥ Φ x ∥ ∞ = sup α ∈ A ∥ T α x ∥ \lVert\Phi x\rVert_\infty=\sup_{\alpha\in A}\lVert T_\alpha x\rVert ∥ Φ x ∥ ∞ = sup α ∈ A ∥ T α x ∥ f ∘ T α f\circ T_\alpha f ∘ T α Φ \Phi Φ
X X X ( x n ) n ∈ N ≥ 1 (x_n)_{n\in\NN} ( x n ) n ∈ N ≥ 1 x x x ( Φ x n ) (\Phi x_n) ( Φ x n ) g ∈ ℓ ∞ ( I ) g\in\ell^\infty(I) g ∈ ℓ ∞ ( I ) ( α , f ) ∈ I (\alpha,f)\in I ( α , f ) ∈ I ∣ ( Φ x n ) ( α , f ) − g ( α , f ) ∣ ≤ ∥ Φ x n − g ∥ ∞ → 0 \lvert(\Phi x_n)(\alpha,f)-g(\alpha,f)\rvert\leq\lVert\Phi x_n-g\rVert_\infty\to0 ∣( Φ x n ) ( α , f ) − g ( α , f )∣ ≤ ∥ Φ x n − g ∥ ∞ → 0 f ∘ T α f\circ T_\alpha f ∘ T α ( Φ x n ) ( α , f ) = f ( T α x n ) → f ( T α x ) (\Phi x_n)(\alpha,f)=f(T_\alpha x_n)\to f(T_\alpha x) ( Φ x n ) ( α , f ) = f ( T α x n ) → f ( T α x ) g = Φ x g=\Phi x g = Φ x 系 3.3 の同値によりG Φ G_\Phi G Φ
実数M ≥ 0 M\geq0 M ≥ 0 §E10.2 命題 1.2 により、すべてのα \alpha α ∥ T α ∥ ≤ M \lVert T_\alpha\rVert\leq M ∥ T α ∥ ≤ M α \alpha α x x x ∥ T α x ∥ ≤ M ∥ x ∥ \lVert T_\alpha x\rVert\leq M\lVert x\rVert ∥ T α x ∥ ≤ M ∥ x ∥ x x x ∥ Φ x ∥ ∞ ≤ M ∥ x ∥ \lVert\Phi x\rVert_\infty\leq M\lVert x\rVert ∥ Φ x ∥ ∞ ≤ M ∥ x ∥ §E10.2 定義 1.1 により、共通の上界M M M Φ \Phi Φ Φ \Phi Φ §E10.2 命題 1.2 の作用素ノルムの定義と上の評価により、∥ Φ ∥ = sup α ∈ A ∥ T α ∥ \lVert\Phi\rVert=\sup_{\alpha\in A}\lVert T_\alpha\rVert ∥ Φ ∥ = sup α ∈ A ∥ T α ∥ ▨
7 局所凸帰納極限からの線形写像 命題 7.1. E E E K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } ( E m ) m ∈ N ≥ 1 (E_m)_{m\in\NN} ( E m ) m ∈ N ≥ 1 E m ⊆ E m + 1 E_m\subseteq E_{m+1} E m ⊆ E m + 1 ⋃ m ∈ N ≥ 1 E m = E \bigcup_{m\in\NN}E_m=E ⋃ m ∈ N ≥ 1 E m = E E E E E m E_m E m τ m \tau_m τ m E E E ( ( E m , τ m ) ) m ∈ N ≥ 1 ((E_m,\tau_m))_{m\in\NN} (( E m , τ m ) ) m ∈ N ≥ 1 F F F K \mathbb K K T : E → F T\colon E\to F T : E → F T T T m ∈ N ≥ 1 m\in\NN m ∈ N ≥ 1 T ∣ E m : ( E m , τ m ) → F T\vert_{E_m}\colon(E_m,\tau_m)\to F T ∣ E m : ( E m , τ m ) → F
証明. 必要性を示す。§E12.16 命題 8.5 (1) により包含写像i m : ( E m , τ m ) → E i_m\colon(E_m,\tau_m)\to E i m : ( E m , τ m ) → E T ∣ E m = T ∘ i m T\vert_{E_m}=T\circ i_m T ∣ E m = T ∘ i m
十分性を示す。F F F P F \mathcal P_F P F §E12.16 定理 2.9 条件 (d) によりF F F τ P F \tau_{\mathcal P_F} τ P F q ∈ P F q\in\mathcal P_F q ∈ P F T T T q ∘ T q\circ T q ∘ T E E E m m m ( q ∘ T ) ∣ E m = q ∘ T ∣ E m (q\circ T)\vert_{E_m}=q\circ T\vert_{E_m} ( q ∘ T ) ∣ E m = q ∘ T ∣ E m τ m \tau_m τ m §E12.16 定義 8.4 によりq ∘ T q\circ T q ∘ T P i n d \mathcal P_{\mathrm{ind}} P ind §E12.16 命題 2.4 (2) によりE E E §E12.16 命題 2.4 (5) によりT T T ▨
系 7.2. n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R n \Omega\subseteq\R^n Ω ⊆ R n W n W_n W n ∂ w \partial^w ∂ w D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) r K , w r_{K,w} r K , w D ( Ω ) \mathcal D(\Omega) D ( Ω ) §E12.16 定義 8.6 のとおりとする。F F F K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } T : D ( Ω ) → F T\colon\mathcal D(\Omega)\to F T : D ( Ω ) → F
T T T Ω \Omega Ω K K K T ∣ D K ( Ω ) : D K ( Ω ) → F T\vert_{\mathcal D_K(\Omega)}\colon\mathcal D_K(\Omega)\to F T ∣ D K ( Ω ) : D K ( Ω ) → F Ω \Omega Ω K K K F F F q q q W n W_n W n S S S C ≥ 0 C\geq0 C ≥ 0 f ∈ D K ( Ω ) f\in\mathcal D_K(\Omega) f ∈ D K ( Ω ) q ( T f ) ≤ C max w ∈ S r K , w ( f ) q(Tf)\leq C\max_{w\in S}r_{K,w}(f) q ( T f ) ≤ C max w ∈ S r K , w ( f ) S = ∅ S=\emptyset S = ∅ 0 0 0 Ω \Omega Ω K K K D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) ( f k ) k ∈ N ≥ 1 (f_k)_{k\in\NN} ( f k ) k ∈ N ≥ 1 w ∈ W n w\in W_n w ∈ W n ∂ w f k \partial^wf_k ∂ w f k K K K 0 0 0 ( T f k ) (Tf_k) ( T f k ) F F F 0 0 0 とくに、任意のv ∈ W n v\in W_n v ∈ W n f ↦ ∂ v f f\mapsto\partial^vf f ↦ ∂ v f D ( Ω ) \mathcal D(\Omega) D ( Ω ) D ( Ω ) \mathcal D(\Omega) D ( Ω )
証明. (a) ⇒ \Rightarrow ⇒ (b) §E12.16 命題 8.7 (3) により包含写像D K ( Ω ) → D ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega)\to\mathcal D(\Omega) D K ( Ω ) → D ( Ω ) T T T
(b) ⇒ \Rightarrow ⇒ (a) ( K j ) j ∈ N ≥ 1 (K_j)_{j\in\NN} ( K j ) j ∈ N ≥ 1 §E12.16 定義 8.6 のコンパクト集合の列とすると、D ( Ω ) \mathcal D(\Omega) D ( Ω ) ( D K j ( Ω ) ) j ∈ N ≥ 1 (\mathcal D_{K_j}(\Omega))_{j\in\NN} ( D K j ( Ω ) ) j ∈ N ≥ 1 命題 7.1 によりT T T
(b) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ (c) K K K Ω \Omega Ω P F \mathcal P_F P F F F F §E12.16 定理 2.9 条件 (d) によりF F F τ P F \tau_{\mathcal P_F} τ P F §E12.16 命題 2.4 (5) により、T ∣ D K ( Ω ) T\vert_{\mathcal D_K(\Omega)} T ∣ D K ( Ω ) q ∈ P F q\in\mathcal P_F q ∈ P F D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) q ∘ T ∣ D K ( Ω ) q\circ T\vert_{\mathcal D_K(\Omega)} q ∘ T ∣ D K ( Ω ) D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) { r K , w ∣ w ∈ W n } \{r_{K,w}\mid w\in W_n\} { r K , w ∣ w ∈ W n } §E12.16 命題 2.4 (4) により、これは条件 (c) の評価と同値である。
(b) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ (d) K K K Ω \Omega Ω §E12.16 命題 8.7 (2) によりD K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) §E12.16 定義 5.13 の距離の位相をもつから、§E2.13 命題 4.2 により第一可算である。§E2.13 定理 7.7 により、T ∣ D K ( Ω ) T\vert_{\mathcal D_K(\Omega)} T ∣ D K ( Ω ) D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) f k → f f_k\to f f k → f F F F T f k → T f Tf_k\to Tf T f k → T f T T T §E12.16 命題 1.4 (1) によりD K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) f k → f f_k\to f f k → f f k − f → 0 f_k-f\to0 f k − f → 0 F F F T f k → T f Tf_k\to Tf T f k → T f T ( f k − f ) → 0 T(f_k-f)\to0 T ( f k − f ) → 0 f k → 0 f_k\to0 f k → 0 T f k → 0 Tf_k\to0 T f k → 0 §E12.16 命題 2.4 (6) により、D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) f k → 0 f_k\to0 f k → 0 w ∈ W n w\in W_n w ∈ W n r K , w ( f k ) = sup x ∈ K ∣ ∂ w f k ( x ) ∣ → 0 r_{K,w}(f_k)=\sup_{x\in K}\lvert\partial^wf_k(x)\rvert\to0 r K , w ( f k ) = sup x ∈ K ∣ ∂ w f k ( x )∣ → 0 ∂ w f k \partial^wf_k ∂ w f k K K K 0 0 0
v ∈ W n v\in W_n v ∈ W n K K K Ω \Omega Ω f ∈ D K ( Ω ) f\in\mathcal D_K(\Omega) f ∈ D K ( Ω ) Ω ∖ K \Omega\setminus K Ω ∖ K 0 0 0 ∂ v f \partial^vf ∂ v f Ω ∖ K \Omega\setminus K Ω ∖ K 0 0 0 ∂ v f ∈ D K ( Ω ) \partial^vf\in\mathcal D_K(\Omega) ∂ v f ∈ D K ( Ω ) w ∈ W n w\in W_n w ∈ W n w w w v v v w v wv w v ∂ w ∂ v f = ∂ w v f \partial^w\partial^vf=\partial^{wv}f ∂ w ∂ v f = ∂ w v f r K , w ( ∂ v f ) = r K , w v ( f ) r_{K,w}(\partial^vf)=r_{K,wv}(f) r K , w ( ∂ v f ) = r K , w v ( f ) §E12.16 命題 2.4 (2) によりr K , w v r_{K,wv} r K , w v D K ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega) D K ( Ω ) §E12.16 命題 2.4 (5) により∂ v : D K ( Ω ) → D K ( Ω ) \partial^v\colon\mathcal D_K(\Omega)\to\mathcal D_K(\Omega) ∂ v : D K ( Ω ) → D K ( Ω ) §E12.16 命題 8.7 (3) の包含写像D K ( Ω ) → D ( Ω ) \mathcal D_K(\Omega)\to\mathcal D(\Omega) D K ( Ω ) → D ( Ω ) §E12.16 命題 8.7 (3) によりD ( Ω ) \mathcal D(\Omega) D ( Ω ) 条件 (b) から条件 (a) への含意により、∂ v : D ( Ω ) → D ( Ω ) \partial^v\colon\mathcal D(\Omega)\to\mathcal D(\Omega) ∂ v : D ( Ω ) → D ( Ω ) ▨
8 演習 問題 8.1. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } X X X K \mathbb K K ∥ ⋅ ∥ a \lVert\cdot\rVert_a ∥ ⋅ ∥ a ∥ ⋅ ∥ b \lVert\cdot\rVert_b ∥ ⋅ ∥ b X X X X X X C ≥ 0 C\geq0 C ≥ 0 x ∈ X x\in X x ∈ X ∥ x ∥ b ≤ C ∥ x ∥ a \lVert x\rVert_b\leq C\lVert x\rVert_a ∥ x ∥ b ≤ C ∥ x ∥ a C ′ ≥ 0 C'\geq0 C ′ ≥ 0 x ∈ X x\in X x ∈ X ∥ x ∥ a ≤ C ′ ∥ x ∥ b \lVert x\rVert_a\leq C'\lVert x\rVert_b ∥ x ∥ a ≤ C ′ ∥ x ∥ b [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] K \mathbb K K C [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] ∥ f ∥ L 1 = ∫ 0 1 ∣ f ( t ) ∣ d t \lVert f\rVert_{L^1}=\int_0^1\lvert f(t)\rvert\,dt ∥ f ∥ L 1 = ∫ 0 1 ∣ f ( t )∣ d t
解答. 恒等写像I : ( X , ∥ ⋅ ∥ a ) → ( X , ∥ ⋅ ∥ b ) I\colon(X,\lVert\cdot\rVert_a)\to(X,\lVert\cdot\rVert_b) I : ( X , ∥ ⋅ ∥ a ) → ( X , ∥ ⋅ ∥ b ) ∥ I x ∥ b ≤ C ∥ x ∥ a \lVert Ix\rVert_b\leq C\lVert x\rVert_a ∥ I x ∥ b ≤ C ∥ x ∥ a 系 3.2 によりI − 1 I^{-1} I − 1 §E10.2 命題 1.2 によりC ′ = ∥ I − 1 ∥ C'=\lVert I^{-1}\rVert C ′ = ∥ I − 1 ∥ ∥ x ∥ a = ∥ I − 1 x ∥ a ≤ C ′ ∥ x ∥ b \lVert x\rVert_a=\lVert I^{-1}x\rVert_a\leq C'\lVert x\rVert_b ∥ x ∥ a = ∥ I − 1 x ∥ a ≤ C ′ ∥ x ∥ b
f ∈ C [ 0 , 1 ] f\in C[0,1] f ∈ C [ 0 , 1 ] ∣ f ∣ \lvert f\rvert ∣ f ∣ ∥ f ∥ L 1 \lVert f\rVert_{L^1} ∥ f ∥ L 1 ∥ λ f ∥ L 1 = ∣ λ ∣ ∥ f ∥ L 1 \lVert\lambda f\rVert_{L^1}=\lvert\lambda\rvert\lVert f\rVert_{L^1} ∥ λ f ∥ L 1 = ∣ λ ∣ ∥ f ∥ L 1 ∥ f + g ∥ L 1 ≤ ∥ f ∥ L 1 + ∥ g ∥ L 1 \lVert f+g\rVert_{L^1}\leq\lVert f\rVert_{L^1}+\lVert g\rVert_{L^1} ∥ f + g ∥ L 1 ≤ ∥ f ∥ L 1 + ∥ g ∥ L 1 f ( t 0 ) ≠ 0 f(t_0)\neq0 f ( t 0 ) = 0 t 0 ∈ [ 0 , 1 ] t_0\in[0,1] t 0 ∈ [ 0 , 1 ] ∣ f ∣ \lvert f\rvert ∣ f ∣ ℓ > 0 \ell>0 ℓ > 0 J ⊆ [ 0 , 1 ] J\subseteq[0,1] J ⊆ [ 0 , 1 ] J J J ∣ f ∣ ≥ ∣ f ( t 0 ) ∣ / 2 \lvert f\rvert\geq\lvert f(t_0)\rvert/2 ∣ f ∣ ≥ ∣ f ( t 0 )∣ /2 ∥ f ∥ L 1 ≥ ℓ ∣ f ( t 0 ) ∣ / 2 > 0 \lVert f\rVert_{L^1}\geq\ell\lvert f(t_0)\rvert/2>0 ∥ f ∥ L 1 ≥ ℓ ∣ f ( t 0 )∣ /2 > 0 ∥ ⋅ ∥ L 1 \lVert\cdot\rVert_{L^1} ∥ ⋅ ∥ L 1 C [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] ∥ f ∥ L 1 ≤ ∥ f ∥ ∞ \lVert f\rVert_{L^1}\leq\lVert f\rVert_\infty ∥ f ∥ L 1 ≤ ∥ f ∥ ∞ §E10.1 定理 3.6 によりC [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] C [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] ∥ ⋅ ∥ L 1 \lVert\cdot\rVert_{L^1} ∥ ⋅ ∥ L 1 ∥ ⋅ ∥ a = ∥ ⋅ ∥ ∞ \lVert\cdot\rVert_a=\lVert\cdot\rVert_\infty ∥ ⋅ ∥ a = ∥ ⋅ ∥ ∞ ∥ ⋅ ∥ b = ∥ ⋅ ∥ L 1 \lVert\cdot\rVert_b=\lVert\cdot\rVert_{L^1} ∥ ⋅ ∥ b = ∥ ⋅ ∥ L 1 C = 1 C=1 C = 1 f f f ∥ f ∥ ∞ ≤ C ′ ∥ f ∥ L 1 \lVert f\rVert_\infty\leq C'\lVert f\rVert_{L^1} ∥ f ∥ ∞ ≤ C ′ ∥ f ∥ L 1 C ′ C' C ′ n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 f n ( t ) = t n f_n(t)=t^n f n ( t ) = t n ∥ f n ∥ ∞ = 1 \lVert f_n\rVert_\infty=1 ∥ f n ∥ ∞ = 1 ∥ f n ∥ L 1 = 1 / ( n + 1 ) \lVert f_n\rVert_{L^1}=1/(n+1) ∥ f n ∥ L 1 = 1/ ( n + 1 ) n n n 1 ≤ C ′ / ( n + 1 ) 1\leq C'/(n+1) 1 ≤ C ′ / ( n + 1 ) C ′ C' C ′ C [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] ∥ ⋅ ∥ L 1 \lVert\cdot\rVert_{L^1} ∥ ⋅ ∥ L 1 ▨
問題 8.2. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } X , Y X,Y X , Y K \mathbb K K Λ ⊆ Y ∗ \Lambda\subseteq Y^* Λ ⊆ Y ∗ y ≠ 0 y\neq0 y = 0 y ∈ Y y\in Y y ∈ Y f ( y ) ≠ 0 f(y)\neq0 f ( y ) = 0 f ∈ Λ f\in\Lambda f ∈ Λ T : X → Y T\colon X\to Y T : X → Y f ∈ Λ f\in\Lambda f ∈ Λ f ∘ T ∈ X ∗ f\circ T\in X^* f ∘ T ∈ X ∗ T ∈ B ( X , Y ) T\in B(X,Y) T ∈ B ( X , Y ) Λ = Y ∗ \Lambda=Y^* Λ = Y ∗ 1 ≤ p < ∞ 1\leq p<\infty 1 ≤ p < ∞ Y = ℓ p Y=\ell^p Y = ℓ p Λ \Lambda Λ y ↦ y k y\mapsto y_k y ↦ y k k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1
解答. X X X ( x n ) n ∈ N ≥ 1 (x_n)_{n\in\NN} ( x n ) n ∈ N ≥ 1 x ∈ X x\in X x ∈ X ( T x n ) (Tx_n) ( T x n ) y ∈ Y y\in Y y ∈ Y f ∈ Λ f\in\Lambda f ∈ Λ f f f f ∘ T f\circ T f ∘ T f ( y ) = lim n f ( T x n ) = lim n ( f ∘ T ) ( x n ) = ( f ∘ T ) ( x ) = f ( T x ) f(y)=\lim_nf(Tx_n)=\lim_n(f\circ T)(x_n)=(f\circ T)(x)=f(Tx) f ( y ) = lim n f ( T x n ) = lim n ( f ∘ T ) ( x n ) = ( f ∘ T ) ( x ) = f ( T x ) f ( y − T x ) = 0 f(y-Tx)=0 f ( y − T x ) = 0 Λ \Lambda Λ y − T x = 0 y-Tx=0 y − T x = 0 系 3.3 によりT ∈ B ( X , Y ) T\in B(X,Y) T ∈ B ( X , Y )
Λ = Y ∗ \Lambda=Y^* Λ = Y ∗ §E12.17 系 4.3 によりΛ \Lambda Λ f ∈ Y ∗ f\in Y^* f ∈ Y ∗ f ∘ T ∈ X ∗ f\circ T\in X^* f ∘ T ∈ X ∗ T : X → Y T\colon X\to Y T : X → Y Y = ℓ p Y=\ell^p Y = ℓ p §E10.1 命題 3.2 によりℓ p \ell^p ℓ p e k ∗ ( y ) = y k e_k^*(y)=y_k e k ∗ ( y ) = y k ∣ e k ∗ ( y ) ∣ ≤ ∥ y ∥ p \lvert e_k^*(y)\rvert\leq\lVert y\rVert_p ∣ e k ∗ ( y )∣ ≤ ∥ y ∥ p ( ℓ p ) ∗ (\ell^p)^* ( ℓ p ) ∗ y ≠ 0 y\neq0 y = 0 y k ≠ 0 y_k\neq0 y k = 0 k k k T : X → ℓ p T\colon X\to\ell^p T : X → ℓ p k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1 x ↦ ( T x ) k x\mapsto(Tx)_k x ↦ ( T x ) k X X X ▨
問題 8.3. K ∈ { R , C } \mathbb K\in\{\R,\C\} K ∈ { R , C } X X X K \mathbb K K Y Y Y K \mathbb K K T ∈ B ( X , Y ) T\in B(X,Y) T ∈ B ( X , Y ) r > 0 r>0 r > 0 B X ( r ) = { x ∈ X ∣ ∥ x ∥ < r } B_X(r)=\{x\in X\mid\lVert x\rVert<r\} B X ( r ) = { x ∈ X ∣ ∥ x ∥ < r } B Y ( r ) = { y ∈ Y ∣ ∥ y ∥ < r } B_Y(r)=\{y\in Y\mid\lVert y\rVert<r\} B Y ( r ) = { y ∈ Y ∣ ∥ y ∥ < r } 定理 2.1 とその系を用いずに、次を示せ。
Y Y Y T T T B Y ( r ) ⊆ T ( B X ( 1 ) ) ‾ B_Y(r)\subseteq\tpcl{T(B_X(1))} B Y ( r ) ⊆ T ( B X ( 1 )) r > 0 r>0 r > 0 実数r > 0 r>0 r > 0 B Y ( r ) ⊆ T ( B X ( 1 ) ) ‾ B_Y(r)\subseteq\tpcl{T(B_X(1))} B Y ( r ) ⊆ T ( B X ( 1 )) B Y ( r / 2 ) ⊆ T ( B X ( 1 ) ) B_Y(r/2)\subseteq T(B_X(1)) B Y ( r /2 ) ⊆ T ( B X ( 1 )) T T T Y Y Y
(1) と(2) から系 3.1 を導け。 解答. 閉包と開写像はノルムが定める位相についてとる。λ ∈ K ∖ { 0 } \lambda\in\mathbb K\setminus\{0\} λ ∈ K ∖ { 0 } s > 0 s>0 s > 0 y ↦ λ y y\mapsto\lambda y y ↦ λ y λ T ( B X ( s ) ) ‾ = T ( λ B X ( s ) ) ‾ = T ( B X ( ∣ λ ∣ s ) ) ‾ \lambda\tpcl{T(B_X(s))}=\tpcl{T(\lambda B_X(s))}=\tpcl{T(B_X(\lvert\lambda\rvert s))} λ T ( B X ( s )) = T ( λ B X ( s )) = T ( B X (∣ λ ∣ s )) λ B Y ( s ) = B Y ( ∣ λ ∣ s ) \lambda B_Y(s)=B_Y(\lvert\lambda\rvert s) λ B Y ( s ) = B Y (∣ λ ∣ s )
(1) を示す。X = ⋃ n ∈ N ≥ 1 B X ( n ) X=\bigcup_{n\in\NN}B_X(n) X = ⋃ n ∈ N ≥ 1 B X ( n ) T T T Y = ⋃ n ∈ N ≥ 1 T ( B X ( n ) ) ‾ Y=\bigcup_{n\in\NN}\tpcl{T(B_X(n))} Y = ⋃ n ∈ N ≥ 1 T ( B X ( n )) Y Y Y §E12.20 定理 1.2 によりint ( T ( B X ( n ) ) ‾ ) ≠ ∅ \tpint{\tpcl{T(B_X(n))}}\neq\emptyset int ( T ( B X ( n )) ) = ∅ n ∈ N ≥ 1 n\in\NN n ∈ N ≥ 1 { y ∈ Y ∣ ∥ y − y 0 ∥ < ε } ⊆ T ( B X ( n ) ) ‾ \{y\in Y\mid\lVert y-y_0\rVert<\varepsilon\}\subseteq\tpcl{T(B_X(n))} { y ∈ Y ∣ ∥ y − y 0 ∥ < ε } ⊆ T ( B X ( n )) y 0 ∈ Y y_0\in Y y 0 ∈ Y ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 y ∈ B Y ( ε ) y\in B_Y(\varepsilon) y ∈ B Y ( ε ) η > 0 \eta>0 η > 0 y 0 + y y_0+y y 0 + y y 0 y_0 y 0 T ( B X ( n ) ) ‾ \tpcl{T(B_X(n))} T ( B X ( n )) ∥ T x ′ − ( y 0 + y ) ∥ < η \lVert Tx'-(y_0+y)\rVert<\eta ∥ T x ′ − ( y 0 + y )∥ < η ∥ T x ′ ′ − y 0 ∥ < η \lVert Tx''-y_0\rVert<\eta ∥ T x ′′ − y 0 ∥ < η x ′ , x ′ ′ ∈ B X ( n ) x',x''\in B_X(n) x ′ , x ′′ ∈ B X ( n ) x ′ − x ′ ′ ∈ B X ( 2 n ) x'-x''\in B_X(2n) x ′ − x ′′ ∈ B X ( 2 n ) ∥ T ( x ′ − x ′ ′ ) − y ∥ < 2 η \lVert T(x'-x'')-y\rVert<2\eta ∥ T ( x ′ − x ′′ ) − y ∥ < 2 η η \eta η y ∈ T ( B X ( 2 n ) ) ‾ y\in\tpcl{T(B_X(2n))} y ∈ T ( B X ( 2 n )) B Y ( ε ) ⊆ T ( B X ( 2 n ) ) ‾ B_Y(\varepsilon)\subseteq\tpcl{T(B_X(2n))} B Y ( ε ) ⊆ T ( B X ( 2 n )) ( 2 n ) − 1 (2n)^{-1} ( 2 n ) − 1 r = ε / ( 2 n ) r=\varepsilon/(2n) r = ε / ( 2 n )
B Y ( r ) ⊆ T ( B X ( 1 ) ) ‾ B_Y(r)\subseteq\tpcl{T(B_X(1))} B Y ( r ) ⊆ T ( B X ( 1 )) (8.3.1) \text{(8.3.1)} (8.3.1) を得る。
(2) を示す。式 (8.3.1) に2 − k 2^{-k} 2 − k k ∈ N ≥ 0 k\in\N k ∈ N ≥ 0 B Y ( 2 − k r ) ⊆ T ( B X ( 2 − k ) ) ‾ B_Y(2^{-k}r)\subseteq\tpcl{T(B_X(2^{-k}))} B Y ( 2 − k r ) ⊆ T ( B X ( 2 − k )) y ∈ B Y ( r / 2 ) y\in B_Y(r/2) y ∈ B Y ( r /2 ) X X X ( x k ) k ∈ N ≥ 1 (x_k)_{k\in\NN} ( x k ) k ∈ N ≥ 1 k ∈ N ≥ 1 k\in\NN k ∈ N ≥ 1
∥ x k ∥ < 2 − k , ∥ y − T ( ∑ j = 1 k x j ) ∥ < 2 − k − 1 r \lVert x_k\rVert<2^{-k},\qquad\Bigl\lVert y-T\Bigl(\sum_{j=1}^kx_j\Bigr)\Bigr\rVert<2^{-k-1}r ∥ x k ∥ < 2 − k , y − T ( j = 1 ∑ k x j ) < 2 − k − 1 r (8.3.2) \text{(8.3.2)} (8.3.2) を満たすように帰納的に定める。y ∈ B Y ( r / 2 ) ⊆ T ( B X ( 1 / 2 ) ) ‾ y\in B_Y(r/2)\subseteq\tpcl{T(B_X(1/2))} y ∈ B Y ( r /2 ) ⊆ T ( B X ( 1/2 )) ∥ y − T x 1 ∥ < r / 4 \lVert y-Tx_1\rVert<r/4 ∥ y − T x 1 ∥ < r /4 x 1 ∈ B X ( 1 / 2 ) x_1\in B_X(1/2) x 1 ∈ B X ( 1/2 ) x 1 , … , x k x_1,\ldots,x_k x 1 , … , x k y − T ( ∑ j = 1 k x j ) ∈ B Y ( 2 − k − 1 r ) ⊆ T ( B X ( 2 − k − 1 ) ) ‾ y-T(\sum_{j=1}^kx_j)\in B_Y(2^{-k-1}r)\subseteq\tpcl{T(B_X(2^{-k-1}))} y − T ( ∑ j = 1 k x j ) ∈ B Y ( 2 − k − 1 r ) ⊆ T ( B X ( 2 − k − 1 )) ∥ y − T ( ∑ j = 1 k x j ) − T x k + 1 ∥ < 2 − k − 2 r \lVert y-T(\sum_{j=1}^kx_j)-Tx_{k+1}\rVert<2^{-k-2}r ∥ y − T ( ∑ j = 1 k x j ) − T x k + 1 ∥ < 2 − k − 2 r x k + 1 ∈ B X ( 2 − k − 1 ) x_{k+1}\in B_X(2^{-k-1}) x k + 1 ∈ B X ( 2 − k − 1 ) 式 (8.3.2) の第一の不等式により∑ k ∥ x k ∥ ≤ ∥ x 1 ∥ + ∑ k ≥ 2 2 − k < 1 / 2 + 1 / 2 = 1 \sum_k\lVert x_k\rVert\leq\lVert x_1\rVert+\sum_{k\geq2}2^{-k}<1/2+1/2=1 ∑ k ∥ x k ∥ ≤ ∥ x 1 ∥ + ∑ k ≥ 2 2 − k < 1/2 + 1/2 = 1 §E10.1 命題 1.5 により部分和s k = ∑ j = 1 k x j s_k=\sum_{j=1}^kx_j s k = ∑ j = 1 k x j x ∈ X x\in X x ∈ X ∥ x ∥ ≤ ∑ k ∥ x k ∥ < 1 \lVert x\rVert\leq\sum_k\lVert x_k\rVert<1 ∥ x ∥ ≤ ∑ k ∥ x k ∥ < 1 T T T T s k → T x Ts_k\to Tx T s k → T x T s k → y Ts_k\to y T s k → y T x = y Tx=y T x = y
B Y ( r / 2 ) ⊆ T ( B X ( 1 ) ) B_Y(r/2)\subseteq T(B_X(1)) B Y ( r /2 ) ⊆ T ( B X ( 1 )) (8.3.3) \text{(8.3.3)} (8.3.3) である。
O O O X X X x ∈ O x\in O x ∈ O x + B X ( ρ ) ⊆ O x+B_X(\rho)\subseteq O x + B X ( ρ ) ⊆ O ρ > 0 \rho>0 ρ > 0 式 (8.3.3) にρ \rho ρ T ( O ) ⊇ T x + T ( B X ( ρ ) ) ⊇ T x + B Y ( ρ r / 2 ) T(O)\supseteq Tx+T(B_X(\rho))\supseteq Tx+B_Y(\rho r/2) T ( O ) ⊇ T x + T ( B X ( ρ )) ⊇ T x + B Y ( ρ r /2 ) T ( O ) T(O) T ( O ) T T T y ∈ Y ∖ { 0 } y\in Y\setminus\{0\} y ∈ Y ∖ { 0 } λ = r / ( 4 ∥ y ∥ ) \lambda=r/(4\lVert y\rVert) λ = r / ( 4 ∥ y ∥) λ y ∈ B Y ( r / 2 ) \lambda y\in B_Y(r/2) λ y ∈ B Y ( r /2 ) T u = λ y T u=\lambda y T u = λ y u ∈ B X ( 1 ) u\in B_X(1) u ∈ B X ( 1 ) x = λ − 1 u x=\lambda^{-1}u x = λ − 1 u T x = y Tx=y T x = y ∥ x ∥ < 4 ∥ y ∥ / r \lVert x\rVert<4\lVert y\rVert/r ∥ x ∥ < 4 ∥ y ∥ / r T T T y ∈ Y y\in Y y ∈ Y T x = y Tx=y T x = y ∥ x ∥ ≤ 4 ∥ y ∥ / r \lVert x\rVert\leq4\lVert y\rVert/r ∥ x ∥ ≤ 4 ∥ y ∥ / r x ∈ X x\in X x ∈ X y = 0 y=0 y = 0 x = 0 x=0 x = 0 ( y k ) k ∈ N ≥ 1 (y_k)_{k\in\NN} ( y k ) k ∈ N ≥ 1 ∑ k ∥ y k ∥ < ∞ \sum_k\lVert y_k\rVert<\infty ∑ k ∥ y k ∥ < ∞ Y Y Y k k k T x k ′ = y k Tx_k'=y_k T x k ′ = y k ∥ x k ′ ∥ ≤ 4 ∥ y k ∥ / r \lVert x_k'\rVert\leq4\lVert y_k\rVert/r ∥ x k ′ ∥ ≤ 4 ∥ y k ∥ / r x k ′ ∈ X x_k'\in X x k ′ ∈ X ∑ k ∥ x k ′ ∥ < ∞ \sum_k\lVert x_k'\rVert<\infty ∑ k ∥ x k ′ ∥ < ∞ §E10.1 命題 1.5 により∑ k = 1 N x k ′ \sum_{k=1}^Nx_k' ∑ k = 1 N x k ′ x ′ ∈ X x'\in X x ′ ∈ X T T T ∑ k = 1 N y k = T ( ∑ k = 1 N x k ′ ) \sum_{k=1}^Ny_k=T(\sum_{k=1}^Nx_k') ∑ k = 1 N y k = T ( ∑ k = 1 N x k ′ ) T x ′ Tx' T x ′ §E10.1 命題 1.5 によりY Y Y
(3) を示す。X , Y X,Y X , Y T ∈ B ( X , Y ) T\in B(X,Y) T ∈ B ( X , Y ) (1) により式 (8.3.1) を満たす実数r > 0 r>0 r > 0 (2) によりT T T δ = r / 2 \delta=r/2 δ = r /2 { y ∈ Y ∣ ∥ y ∥ < δ } ⊆ T ( { x ∈ X ∣ ∥ x ∥ < 1 } ) \{y\in Y\mid\lVert y\rVert<\delta\}\subseteq T(\{x\in X\mid\lVert x\rVert<1\}) { y ∈ Y ∣ ∥ y ∥ < δ } ⊆ T ({ x ∈ X ∣ ∥ x ∥ < 1 }) 系 3.1 の結論である。▨