§E12.36補間定理

証明.$M_0,M_1>0$とし、実対数を用いて

とおく。$G$は$S$上で有界であり、両境界直線上で$|G|\leq1$を満たす。$\varepsilon>0$に対して

とおく。$z=x+it$ならば$|e^{\varepsilon(z^2-1)}|=e^{\varepsilon(x^2-t^2-1)}$である。したがって縦の境界では$|G_\varepsilon|\leq1$であり、$G$の有界性から、十分大きい$R$に対して横の境界$t=\pm R$でも$|G_\varepsilon|\leq1$となる。

閉長方形$0\leq x\leq1$、$|t|\leq R$上で$|G_\varepsilon|$は最大値をとる§E5.9 命題 1.1。最大値が$1$を超えるならば、その最大値は内部で達成される。局所最大値原理§E5.9 定理 3.1により$G_\varepsilon$は内部で定数となり、境界での連続性と$|G_\varepsilon|\leq1$に反する。よって

である。$\varepsilon\downarrow0$とすれば結論を得る。いずれかの$M_j$が零の場合は、正の境界上界$M_j+\delta$に得られた不等式を適用し、$\delta\downarrow0$とする。▨

証明.$1\leq r\leq\infty$の共役指数を$r'$と書く。

$\|f\|_{p_\theta}=1$である単関数$f$をとる。$p_\theta<\infty$ならば、その台は有限測度である§E10.23 補題 2.3。$p_\theta=\infty$ならば$p_0=p_1=\infty$であり、台に制限を課さない。有限測度の台をもち、$\|g\|_{q_\theta'}=1$となる単関数$g$をとる。互いに素な水準集合を用いて

と書く。$p_\theta<\infty$ならば$\alpha(z)=p_\theta((1-z)/p_0+z/p_1)$とし、$p_\theta=\infty$ならば$\alpha(z)=1$とする。同じく$q_\theta'<\infty$ならば$\beta(z)=q_\theta'((1-z)/q_0'+z/q_1')$とし、$q_\theta'=\infty$ならば$\beta(z)=1$とする。正数の複素冪を実対数で定め、

とおく。$f_\theta=f$、$g_\theta=g$であり、各$t\in\R$と$j=0,1$に対して

である。端点指数が有限の場合は、冪を積分して正規化条件を用いる。中間指数が有限で端点指数が無限大の場合は、対応する冪指数の実部が零となるため、各非零係数の絶対値が$1$となる。$p_\theta=\infty$の場合は$p_0=p_1=\infty$かつ$f_z=f$であり、もとの正規化から両端点でノルムは$1$である。$q_\theta'=\infty$の場合も$q_0'=q_1'=\infty$かつ$g_z=g$であり、もとの正規化から両端点でノルムは$1$である。

関数

を考える。各$\mathbf1_{E_k}$は両端点空間に属し、各$F_\ell$は有限測度であるから、右辺の積分は Hölder の不等式により有限である。右辺は指数関数の有限和であり、閉帯上で連続かつ有界、内部で正則である。端点評価と§E10.22 定理 4.2により$|F(j+it)|\leq M_j$である。三線定理定理 1.1と主張 2.1.1により

を得る。零関数の場合とスカラー倍を含めると、同じ不等式はすべての所定の単関数について成り立つ。

単関数の稠密性§E10.23 定理 2.2、有限指数における台の有限測度性§E10.23 補題 2.3、$L^p$空間の完備性§E10.23 定理 1.1、稠密部分空間からの有界線形延長§E10.4 系 2.2により、有界線形作用素

が得られる。$p_\theta=\infty$の場合にも、台を制限しない単関数の一様近似を使うので同じ延長定理を適用することができる。

$f\in L^{p_\theta}$をとる。$p_0\ne p_1$ならば$a=\min(p_0,p_1)<p_\theta<b=\max(p_0,p_1)$であり、

である。$f$を$1/n\leq|f|\leq n$に切断し、各点での非零値を相対誤差$1/n$以下で有限個の値に置き換えた単関数$s_n$をとる。このような置換は、複素平面のコンパクトな環帯を有限分割することによって行うことができる。$s_n$の台は有限測度であり、$s_n\to f$が各点で成り立ち、$|s_n|\leq2|f|$である。優収束定理§E10.11 定理 3.1より$\|s_n-f\|_{p_\theta}\to0$である。また、$u_n=(f-s_n)\mathbf1_{\{|f|>1\}}$、$v_n=(f-s_n)\mathbf1_{\{|f|\leq1\}}$とすれば、

実際、有限指数では$3^a|f|^a\mathbf1_{\{|f|>1\}}$と$3^b|f|^b\mathbf1_{\{|f|\leq1\}}$を可積分上界として優収束定理を使う。$b=\infty$では$\|v_n\|_\infty\leq1/n$である。$p_0=p_1$の場合には、単関数の稠密性による近似を選べば同じ結論を得る。

端点評価により$T(f-s_n)$は、対応する$L^{q_j}$ノルムが零へ収束する二つの関数の和となる。有限指数$q$については

であり、無限指数については$\|w\|_\infty\leq\delta$ならば水準集合の測度は零である。したがって、任意の有限測度集合上で$Ts_n\to Tf$が測度収束する。一方、$Ts_n=\widetilde T s_n\to\widetilde T f$は$L^{q_\theta}$ノルムで収束するので、同じ集合上で測度収束する。三角不等式によって測度収束の極限はほとんど至る所で一意である。よって、すべての有限測度集合上で$Tf=\widetilde T f$がほとんど至る所で成り立つ。半有限性から$Y$全体でも両者はほとんど至る所で一致する。▨

証明.$T_\C(u+iv)=Tu+iTv$と定めると、$T_\C$は複素線形であり、各端点で

となる。定理 2.1を適用して実数値関数に制限すればよい。複素化の端点定数が$M_j$である場合には、その定数を同じ定理に用いる。▨

証明. 尾分布表示§E10.19 命題 6.1を$|h|^r$に適用すると

となる。$s=t^r$と変数変換すれば結論を得る。非負積分の変数変換は有限区間で行った後、単調収束定理§E10.11 定理 1.1で全区間へ移すので、積分の有限性を要しない。▨

証明.$f\in L^p$と$s>0$に対して

とおく。$\int_{|f|>s}|f|^{p_0}\,d\mu\leq s^{p_0-p}\|f\|_p^p$であるから、$f^{>s}\in L^{p_0}$である。$p_1<\infty$ならば$\int_{|f|\leq s}|f|^{p_1}\,d\mu\leq s^{p_1-p}\|f\|_p^p$であり、$p_1=\infty$ならば$\|f^{\leq s}\|_\infty\leq s$である。したがって$f\in L^{p_0}+L^{p_1}$であり、$Tf$は定義される。

$p_1<\infty$とする。準線形性と両端の弱型評価により

層の公式命題 3.2と Tonelli の定理§E10.19 定理 2.3により

$f(x)=0$での内側の積分との積は、元の非負被積分関数が恒等的に零であることに従って零とする。

$p_1=\infty$とする。端点定数を大きくしても仮定は保たれるので$A_1>0$としてよい。$s=t/(2KA_1)$とおくと$\|Tf^{\leq s}\|_\infty\leq t/(2K)$であり、準線形性から

層の公式命題 3.2と Tonelli の定理§E10.19 定理 2.3を用いると

いずれの場合にも右辺は有限であるから、$Tf\in L^p$と所要の評価を得る。▨

証明. Hölder の不等式§E10.22 定理 4.2によって、$L^1(\R^d)+L^\infty(\R^d)$の各元は局所可積分である。球平均の連続性§E10.45 補題 1.3により、各$r>0$で$x\mapsto\lambda_d(B(x,r))^{-1}\int_{B(x,r)}|f|$は連続である。したがって、任意の$t$に対して$\{Mf>t\}$は開集合であり、$Mf$は可測である。

積分の三角不等式から$M(f+g)\leq Mf+Mg$であり、$M(af)=|a|Mf$である。また、$f\in L^\infty$ならば任意の球で平均が$\|f\|_\infty$以下であるから、$Mf\leq\|f\|_\infty$である。弱型$(1,1)$の評価§E10.45 定理 2.3と定理 4.1を適用すると、$1<p<\infty$で結論を得る。$p=\infty$の結論は球平均の直接評価による。▨