§E12.10Hilbert–Schmidt 作用素

証明.$\alpha\in A$について、$(f_\beta)$が完全であるから§E12.7 補題 2.2 (4)により$\|Te_\alpha\|^2=\sum_{\beta\in B}|\langle Te_\alpha,f_\beta\rangle|^2$である。$\beta\in B$について、$\langle Te_\alpha,f_\beta\rangle=\langle e_\alpha,T^*f_\beta\rangle=\overline{\langle T^*f_\beta,e_\alpha\rangle}$であり、$(e_\alpha)$が完全であるから§E12.7 補題 2.2 (4)により$\|T^*f_\beta\|^2=\sum_{\alpha\in A}|\langle Te_\alpha,f_\beta\rangle|^2$である。$c_{\alpha,\beta}=|\langle Te_\alpha,f_\beta\rangle|^2$に§E12.7 補題 1.2を適用すると

である。$G$は§E12.7 命題 2.3により完全正規直交系をもつ。その一つ$(f_\beta)$を固定すると、最右辺は$(e_\alpha)$に依らないから、最後の主張を得る。▨

証明.$T\in B(H,G)$に$(Te_\alpha)_{\alpha\in A}\in\prod_{\alpha\in A}G$を対応させる写像は線形であり、$\mathcal S_2(H,G)$はこの写像による$\bigoplus_{\alpha\in A}G$の逆像である。§E12.7 命題 1.6 (1)により$\bigoplus_{\alpha\in A}G$は成分ごとの演算について線形空間であるから、$\mathcal S_2(H,G)$は線形部分空間であり、$\Phi$は線形である。$\|\Phi T\|^2=\sum_\alpha\|Te_\alpha\|^2=\|T\|_{\mathrm{HS}}^2$は定義である。

$\Phi T=0$ならば$T$は$(e_\alpha)$の線形包の上で$0$であり、この線形包は$H$で稠密で$T$は連続であるから$T=0$である。したがって$\Phi$は単射である。

$y=(y_\alpha)\in\bigoplus_{\alpha\in A}G$とする。$(e_\alpha)$は一次独立であるから、$T_0\bigl(\sum_{\alpha\in F}c_\alpha e_\alpha\bigr)=\sum_{\alpha\in F}c_\alpha y_\alpha$（$F\in\mathcal F(A)$、$c_\alpha\in\mathbb K$）は$(e_\alpha)$の線形包$D$の上の線形写像を定める。有限次元の空間$\R^F$における Cauchy–Schwarz の不等式（§E3.33 定理 1.3）により

である。$T_0$は有界であり、$D$は$H$で稠密で$G$は Banach 空間であるから、§E10.4 系 2.2により$T_0$の有界線形な延長$T\in B(H,G)$が存在する。$Te_\alpha=y_\alpha$であるから、$\Phi T=y$である。したがって$\Phi$は全射である。▨

証明.主張 (1)を示す。$x\in H$を$\|x\|=1$とする。$\{x\}$を含む完全正規直交系$(e)_{e\in E}$が§E12.7 命題 2.3により存在し、命題 1.1により$\|Tx\|^2\le\sum_{e\in E}\|Te\|^2=\|T\|_{\mathrm{HS}}^2$である。したがって$\|T\|\le\|T\|_{\mathrm{HS}}$である。

主張 (2)を示す。補題 2.1により、$\mathcal S_2(H,G)$は$B(H,G)$の線形部分空間である。$\Phi$の値域は補題 2.1により$\bigoplus_{\alpha\in A}G$の全体であり、§E12.7 命題 1.6 (1)により$(\langle Se_\alpha,Te_\alpha\rangle)_{\alpha\in A}$は総和可能で、その和は$\langle\Phi S,\Phi T\rangle$に等しい。$\Phi$は線形であるから、$\langle S,T\rangle_{\mathrm{HS}}=\langle\Phi S,\Phi T\rangle$は第1変数について線形、第2変数について共役線形（$\mathbb K=\R$では双線形）でエルミートであり、$\langle T,T\rangle_{\mathrm{HS}}=\|T\|_{\mathrm{HS}}^2$は$0$以上で、零であることは$T=0$と同値である。したがって内積であり、誘導するノルムは$\|\cdot\|_{\mathrm{HS}}$である。$\mathbb K=\C$のとき、§E12.1 補題 2.3 (1)により$\langle S,T\rangle_{\mathrm{HS}}=\frac14\sum_{k=0}^3i^k\|S+i^kT\|_{\mathrm{HS}}^2$であり、$\mathbb K=\R$のとき、§E12.1 補題 2.3 (2)により$\langle S,T\rangle_{\mathrm{HS}}=\frac14\bigl(\|S+T\|_{\mathrm{HS}}^2-\|S-T\|_{\mathrm{HS}}^2\bigr)$である。右辺は命題 1.1により完全正規直交系のとり方によらないから、内積もよらない。$\Phi$は内積を保つ全単射であり、$\bigoplus_{\alpha\in A}G$は Hilbert 空間であるから、$\mathcal S_2(H,G)$は完備であり、$\Phi$はユニタリ作用素である。

主張 (3)を示す。$G$の完全正規直交系$(f_\beta)$をとると、命題 1.1により$\|T\|_{\mathrm{HS}}^2=\sum_\beta\|T^*f_\beta\|^2$であり、右辺は$T^*\in B(G,H)$の Hilbert–Schmidt ノルムの二乗である。

$X,Y\in\mathcal S_2(H,G)$とし、$a(X,Y)=\langle Y^*,X^*\rangle_{\mathrm{HS}}$とおく。§E12.1 命題 1.3 (1)と§E12.1 命題 1.3 (2)により共役をとる写像は加法的かつ共役斉次的であるから、$a$は第1変数について線形、第2変数について共役線形であり、エルミートである（$\mathbb K=\R$では対称双線形である）。共役の Hilbert–Schmidt ノルム保存により$a(X,X)=\|X^*\|_{\mathrm{HS}}^2=\|X\|_{\mathrm{HS}}^2=\langle X,X\rangle_{\mathrm{HS}}$である。$\mathbb K=\C$では§E12.1 補題 2.3 (1)を、$\mathbb K=\R$では§E12.1 補題 2.3 (2)を$a$と$\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathrm{HS}}$に適用すると、$\langle Y^*,X^*\rangle_{\mathrm{HS}}=a(X,Y)=\langle X,Y\rangle_{\mathrm{HS}}$を得る。$X$と$Y$を入れ替えて所要の等式を得る。

主張 (4)を示す。$F\in B(H,G)$を有限階数作用素とする。§E3.33 定理 2.2により$\im F$は正規直交基底$(f_i)_{i\le n}$をもち、§E12.7 命題 2.3により、$\{f_i:i\le n\}\subseteq E$を満たす$G$の部分集合$E$で、$(f)_{f\in E}$が完全正規直交系であるものが存在する。$f\in E$が$\{f_i:i\le n\}$に属さないならば、$f$は$\im F$と直交するから、すべての$x\in H$について$\langle x,F^*f\rangle=\langle Fx,f\rangle=0$であり、$F^*f=0$である。命題 1.1により$\|F\|_{\mathrm{HS}}^2=\sum_{f\in E}\|F^*f\|^2=\sum_{i\le n}\|F^*f_i\|^2<\infty$であるから、$F\in\mathcal S_2(H,G)$である。

$T\in\mathcal S_2(H,G)$とし、$H$の完全正規直交系$(e_\alpha)_{\alpha\in A}$と$\ep>0$をとる。$\sum_{\alpha\in A}\|Te_\alpha\|^2$は有限であるから、$\sum_{\alpha\in F_0}\|Te_\alpha\|^2>\|T\|_{\mathrm{HS}}^2-\ep^2$を満たす$F_0\in\mathcal F(A)$がある。$F_0\subseteq F\in\mathcal F(A)$について$T_Fx=\sum_{\alpha\in F}\langle x,e_\alpha\rangle Te_\alpha$と定めると、$T_F\in B(H,G)$は有限階数作用素である。$(T-T_F)e_\beta$は$\beta\in F$ならば$0$であり、$\beta\notin F$ならば$Te_\beta$である。$\sum_{\alpha\in A}\|Te_\alpha\|^2=\|T\|_{\mathrm{HS}}^2<\infty$であるから、§E12.7 定義 1.1の末尾の注意により、族$(\|Te_\alpha\|^2)_{\alpha\in A}$は$\R$において総和可能であり、その和は$\|T\|_{\mathrm{HS}}^2$である。§E12.7 補題 1.3 (3)により、族$(\|Te_\beta\|^2)_{\beta\in A\setminus F}$は$\R$において総和可能であり、その和は$\|T\|_{\mathrm{HS}}^2-\sum_{\beta\in F}\|Te_\beta\|^2$である。この部分族の非負の和は全体の和以下であって有限であるから、同じ注意と和の一意性により、この非負の和は$\R$における和と一致する。したがって

である。したがって、有限階数作用素は$\mathcal S_2(H,G)$で稠密である。主張 (1)により$\|T-T_F\|<\ep$であるから、$T$は有限階数作用素の作用素ノルムの極限である。§E12.2 命題 1.4により有限階数作用素はコンパクトであり、$G$は Banach 空間であるから、§E12.2 命題 1.6により$T$はコンパクトである。

主張 (5)を示す。$H$の完全正規直交系$(e_\alpha)$で計算すると$\sum_\alpha\|RTe_\alpha\|^2\le\|R\|^2\sum_\alpha\|Te_\alpha\|^2$であるから、$RT\in\mathcal S_2(H,G')$であり$\|RT\|_{\mathrm{HS}}\le\|R\|\|T\|_{\mathrm{HS}}$である。この不等式は、Hilbert 空間$H,G,G'$のとり方によらず成り立つ。§E12.1 命題 1.3 (3)により$(TQ)^*=Q^*T^*$である。主張 (3)により$T^*\in\mathcal S_2(G,H)$であり、不等式$\|RT\|_{\mathrm{HS}}\le\|R\|\|T\|_{\mathrm{HS}}$を$T^*$と$Q^*\in B(H,H')$に適用すると、$\|Q^*T^*\|_{\mathrm{HS}}\le\|Q^*\|\|T^*\|_{\mathrm{HS}}=\|Q\|\|T\|_{\mathrm{HS}}$である（$\|Q^*\|=\|Q\|$は§E12.1 命題 1.2）。主張 (3)を$TQ$に適用すると、$TQ\in\mathcal S_2(H',G)$であり$\|TQ\|_{\mathrm{HS}}=\|(TQ)^*\|_{\mathrm{HS}}\le\|Q\|\|T\|_{\mathrm{HS}}$である。不等式$\|RT\|_{\mathrm{HS}}\le\|R\|\|T\|_{\mathrm{HS}}$を$TQ$と$R$に適用して$\|RTQ\|_{\mathrm{HS}}\le\|R\|\|TQ\|_{\mathrm{HS}}\le\|R\|\|T\|_{\mathrm{HS}}\|Q\|$を得る。▨

証明.§E12.2 命題 4.2により、$I_H$は$\dim H=\infty$のときコンパクトでない。定理 2.2 (4)により、$I_H$は Hilbert–Schmidt 作用素でない。▨

証明.主張 (1)を示す。$\beta\ne\beta'$ならば$\langle u_\beta,u_{\beta'}\rangle=0\ne1=\langle u_\beta,u_\beta\rangle$であるから、$u_\beta$（$\beta\in B$）は相異なる。§E12.7 命題 2.3により、$\{u_\beta:\beta\in B\}\subseteq E$を満たす$H_1$の部分集合$E$で、$(e)_{e\in E}$が完全正規直交系であるものが存在する。定義 1.2により$\|T\|_{\mathrm{HS}}^2=\sum_{e\in E}\|Te\|^2$であり、非負の族の和は部分族の和以上であるから、$\sum_{\beta\in B}\|Tu_\beta\|^2\le\|T\|_{\mathrm{HS}}^2$である。

主張 (2)を示す。$s_k=s_k(T)$と書き、$(e_k)_{k\le p}$を$(\lambda_k^+(T^*T))$に付随する正規直交系とし、$f_k=s_k^{-1}Te_k$とおく。§E12.6 定理 7.2 (1)により$(f_k)$は正規直交系であるから$\|Te_k\|=s_k$である。§E12.7 命題 2.3により、$\{e_k:k\le p\}\subseteq E$を満たす$H_1$の部分集合$E$で、$(e)_{e\in E}$が完全正規直交系であるものをとる。$e\in E$が$\{e_k:k\le p\}$に属さないならば、$e$はすべての$e_k$と直交するから、§E12.6 定理 7.2 (1)により$Te=0$である。したがって

である。定理 2.2 (4)により Hilbert–Schmidt 作用素はコンパクトであるから、最後の主張を得る。▨

証明.$H$の完全正規直交系$(e_\alpha)_{\alpha\in A}$をとる。$x,x'\in H$について、§E12.7 補題 2.2 (3)により$x'=\sum_\alpha\langle x',e_\alpha\rangle e_\alpha$であるから、$\ep>0$に対して$F_0\in\mathcal F(A)$を、$F_0\subseteq F$を満たす$F\in\mathcal F(A)$のすべてについて$\bigl\|x'-\sum_{\alpha\in F}\langle x',e_\alpha\rangle e_\alpha\bigr\|<\ep$となるようにとる。§E10.3 補題 1.2の Cauchy–Schwarz の不等式により$\bigl|\langle x',x\rangle-\sum_{\alpha\in F}\langle x',e_\alpha\rangle\langle e_\alpha,x\rangle\bigr|\le\ep\|x\|$であり、したがって

が総和可能な族の和として成り立つ。$\theta_{y,x}e_\alpha=\langle e_\alpha,x\rangle y$であるから、$x'=x$とすると$\sum_\alpha\|\theta_{y,x}e_\alpha\|^2=\|y\|^2\sum_\alpha|\langle e_\alpha,x\rangle|^2=\|y\|^2\|x\|^2$（§E12.7 補題 2.2 (4)）となり、$\theta_{y,x}\in\mathcal S_2(H,G)$である。定理 2.2 (2)の内積を$(e_\alpha)$で計算すると

である。

$B(y,\overline x)=\theta_{y,x}$は$G\times\overline H$から$\mathcal S_2(H,G)$への双線形写像である。実際、$\theta_{y,x}$は$y$について線形であり、$x$について加法的で、$\theta_{y,\beta x}=\overline\beta\,\theta_{y,x}$であるから、§E12.9 定義 1.1のスカラー倍$\beta\cdot\overline x=\overline{\overline\beta x}$について$B(y,\beta\cdot\overline x)=\beta B(y,\overline x)$である。$\langle\overline x,\overline{x'}\rangle=\langle x',x\rangle$であるから、等式$\langle\theta_{y,x},\theta_{y',x'}\rangle_{\mathrm{HS}}=\langle y,y'\rangle\langle x',x\rangle$により$\langle B(y,\overline x),B(y',\overline{x'})\rangle_{\mathrm{HS}}=\langle y,y'\rangle\langle\overline x,\overline{x'}\rangle$である。$\mathcal S_2(H,G)$は定理 2.2 (2)により Hilbert 空間であるから、§E12.9 定理 2.4により、$U(y\otimes\overline x)=\theta_{y,x}$を満たす有界線形作用素$U$がただ一つ存在し、$U$は内積を保つ。

$y\in G$と$x\in H$について、$\theta_{y,x}$の値域は$y$の線形包に含まれるから、$\theta_{y,x}$は有限階数作用素である。$F\in B(H,G)$を有限階数作用素とし、§E3.33 定理 2.2により$\im F$の正規直交基底$(f_i)_{i\le n}$をとると、すべての$x'\in H$について$Fx'=\sum_{i\le n}\langle Fx',f_i\rangle f_i=\sum_{i\le n}\langle x',F^*f_i\rangle f_i$であるから、$F=\sum_{i\le n}\theta_{f_i,F^*f_i}$である。したがって、$B$の値の線形包は$H$から$G$への有限階数作用素の全体に一致し、定理 2.2 (4)により$\mathcal S_2(H,G)$で稠密である。§E12.9 定理 2.4により$U$はユニタリ作用素である。▨

証明.$g\in L^2(\nu)$の代表元の複素共役の類を$Cg$と書く（$\mathbb K=\R$では$Cg=g$）。$C$は$L^2(\nu)$の全単射で、$C(\beta g)=\overline\beta\,Cg$と$\langle Cg,Cg'\rangle=\langle g',g\rangle$を満たす。$a\in L^2(\mu)$と$b\in L^2(\nu)$に対して、$B(a,\overline b)=a\boxtimes Cb$を、関数$(x,y)\mapsto a(x)\overline{b(y)}$の$L^2(\rho)$における類とする。ここで$\boxtimes$は§E12.9 定理 8.1の記号であり、$\overline b$は$L^2(\nu)$の共役空間$\overline{L^2(\nu)}$の元である。$B$は$L^2(\mu)\times\overline{L^2(\nu)}$から$L^2(\rho)$への双線形写像である。実際、$B(a,\beta\cdot\overline b)=a\boxtimes C(\overline\beta b)=a\boxtimes(\beta\,Cb)=\beta B(a,\overline b)$である。§E12.9 定理 8.1のユニタリ作用素$U_1$と§E12.9 命題 2.3 (1)により、

である。$C$は全射であるから、$B$の値の線形包は$\{a\boxtimes g\}$の線形包であり、§E12.2 補題 2.1により$L^2(\rho)$で稠密である。§E12.9 定理 2.4により、$\Psi(a\otimes\overline b)=a\boxtimes Cb$を満たすユニタリ作用素$\Psi\colon L^2(\mu)\otimes\overline{L^2(\nu)}\to L^2(\rho)$が存在する。

定理 4.1を$G=L^2(\mu)$、$H=L^2(\nu)$に適用して得るユニタリ作用素を$V\colon L^2(\mu)\otimes\overline{L^2(\nu)}\to\mathcal S_2(L^2(\nu),L^2(\mu))$とし、$W=V\Psi^{-1}$とおく。$W$はユニタリ作用素である。$K=a\boxtimes Cb$について$WK=\theta_{a,b}$であり、$f\in L^2(\nu)$について§E10.22 定理 4.2により$\overline bf$は$\nu$について可積分で、$(T_Kf)(x)=a(x)\int_{\Omega_2}\overline{b(y)}f(y)\,d\nu(y)=\langle f,b\rangle a(x)$である。したがって$T_K=\theta_{a,b}=WK$である。$K\mapsto T_K$は積分の線形性により線形であり、§E12.2 定理 2.3により$\|T_K\|\le\|K\|_{L^2(\rho)}$を満たす。$W$も線形であり、定理 2.2 (1)により$\|WK\|\le\|WK\|_{\mathrm{HS}}=\|K\|_{L^2(\rho)}$を満たす。したがって、$K\mapsto WK-T_K$は$L^2(\rho)$から$B(L^2(\nu),L^2(\mu))$への連続な線形写像であり、$\{a\boxtimes g\}$の線形包の上で$0$である。この線形包は稠密であるから、すべての$K\in L^2(\rho)$について$T_K=WK$である。

$W$がユニタリ作用素であることから、主張 (1)と主張 (2)が従う。主張 (3)は、$(\Omega_2,\Sigma_2,\nu)=(\Omega_1,\Sigma_1,\mu)$の場合である。▨

証明.主張 (1)を示す。$De_n=\lambda_ne_n$であるから、$(e_n)$による二乗和は$\sum_n|\lambda_n|^2$である。

主張 (2)を示す。$\lambda_n=n^{-1/2}\to0$であるから、§E12.2 命題 1.9により$D$はコンパクトである。$\sum_n|\lambda_n|^2=\sum_n1/n=\infty$であるから、主張 (1)により$D$は Hilbert–Schmidt 作用素でない。▨