§E12.24Hille–Yosida の定理

証明.$\tau>0$とする。$x\in X$について$f_x(s)=BS(s)x$とおくと、§E12.23 系 1.5と$B$の有界性により$f_x\colon[0,\tau]\to X$は連続である。§E12.23 補題 5.2 (2)により、すべての$t\in[0,\tau]$について$s\mapsto T(t-s)f_x(s)$は$[0,t]$上で連続である。

$x\in D(G)$とし、$u(s)=S(s)x$とおく。§E12.23 定理 3.2 (3)を$S$と$G$に適用すると、$u$は連続であり、すべての$s\in[0,\tau]$について$u(s)\in D(G)\subseteq D(A)$である。さらに、$s\in(0,\tau)$について$u'(s)=Gu(s)=Au(s)+Bu(s)=Au(s)+f_x(s)$である。§E12.23 補題 5.3を$T$、$A$、$u$と$f_x$に適用すると、すべての$t\in[0,\tau]$について

を得る。

$x\in X$とする。§E12.23 定理 3.2 (2)により$D(G)$は$X$で稠密であるから、$x_n\to x$を満たす$D(G)$の点列$(x_n)$が存在する。§E12.23 補題 5.2 (1)を$T$と$S$に適用すると、すべての$r\in[0,\tau]$について$\lVert T(r)\rVert\le C_T$と$\lVert S(r)\rVert\le C_S$を満たす実数$C_T,C_S\ge1$が存在する。$t\in[0,\tau]$について、§E10.18 命題 4.3と§E10.18 補題 7.3 (1)により

である。$T(t)$と$S(t)$は有界作用素であるから、$x_n$についての等式で$n\to\infty$とすると、$x$についての等式を得る。$\tau>0$は任意であるから、すべての$t\ge0$について主張が成り立つ。▨

証明.§E12.23 命題 6.1 (2)により、$T(r)=e^{rC}$と$S(r)=e^{rB}$は、それぞれ定義域$X$をもつ生成作用素$C$と$B$をもつ$X$上の強連続半群である。$B-C\in B(X)$かつ$B=C+(B-C)$であるから、補題 1.1を$T$、$S$と有界摂動$B-C$に適用すると、被積分関数の連続性と主張の等式を得る。▨

証明.主張 (1)を示す。$\lambda>\omega$を実数とし、$R=R(\lambda,A)$とおく。§E12.12 命題 1.6 (1)により$\im R=D(A)$かつ$AR=\lambda R-I\in B(X)$であるから、$A_\lambda=\lambda AR$の定義域は$X$であり、$A_\lambda=\lambda^2R-\lambda I\in B(X)$である。$\mu>\omega$を実数とすると、§E12.12 命題 1.6 (4)により$R(\lambda,A)R(\mu,A)=R(\mu,A)R(\lambda,A)$であるから、$A_\lambda A_\mu=A_\mu A_\lambda$である。

主張 (2)を示す。実数$\lambda$が$\lambda>0$かつ$\lambda>2\omega$を満たすとする。$\omega\le0$ならば$\lambda-\omega\ge\lambda>\lambda/2$であり、$\omega>0$ならば$\lambda-\omega>\lambda-\lambda/2=\lambda/2$であるから、$\lambda>\omega$かつ$\lVert\lambda R(\lambda,A)\rVert\le M\lambda/(\lambda-\omega)\le2M$である。$y\in D(A)$とすると、§E12.12 命題 1.6 (1)により$\lambda R(\lambda,A)y-y=AR(\lambda,A)y=R(\lambda,A)Ay$であるから、$\lVert\lambda R(\lambda,A)y-y\rVert\le M\lVert Ay\rVert/(\lambda-\omega)$であり、右辺は$\lambda\to\infty$のとき$0$に収束する。$x\in X$とし、$\varepsilon>0$とする。$A$は稠密に定義されているから、$\lVert x-y\rVert\le\varepsilon$を満たす$y\in D(A)$が存在し、

である。したがって$\limsup_{\lambda\to\infty}\lVert\lambda R(\lambda,A)x-x\rVert\le(2M+1)\varepsilon$であり、$\varepsilon>0$は任意であるから、主張が成り立つ。

主張 (3)を示す。$x\in D(A)$とし、$\lambda>\omega$を実数とする。§E12.12 命題 1.6 (1)により$A_\lambda x=\lambda AR(\lambda,A)x=\lambda R(\lambda,A)Ax$である。主張 (2)を$Ax$に適用すると、$\lambda\to\infty$のとき$A_\lambda x\to Ax$である。

主張 (4)を示す。$\lambda>\omega$を実数とし、$t\ge0$とし、$R=R(\lambda,A)$とおく。主張 (1)により$A_\lambda=-\lambda I+\lambda^2R$であり、$-\lambda I$と$\lambda^2R$は可換であるから、§E12.23 命題 6.1 (3)により$e^{tA_\lambda}=e^{-t\lambda I}e^{t\lambda^2R}$である。§E5.3 定義 1.3により$e^{-t\lambda I}=\sum_{n=0}^\infty(-\lambda t)^nI/n!=e^{-\lambda t}I$である。$R^0=I$とし、$N\in\N$とすると、$\lVert I\rVert\le1\le M$と仮定により

であり、$N\to\infty$とすると$\lVert e^{t\lambda^2R}\rVert\le Me^{t\lambda^2/(\lambda-\omega)}$を得る。$\lambda^2/(\lambda-\omega)-\lambda=\omega\lambda/(\lambda-\omega)$であるから、§E5.3 命題 1.6により

である。▨

証明.$x\in X$と$t\ge0$について$e^{-\omega t}\lVert T(t)x\rVert\le M\lVert x\rVert$であり、$t=0$における値は$\lVert x\rVert$であるから、$\lVert x\rVert\le\lVert x\rVert_T\le M\lVert x\rVert$である。$x,y\in X$、$\alpha\in\mathbb K$、$t\ge0$について

であるから、$t$について上限をとると$\lVert x+y\rVert_T\le\lVert x\rVert_T+\lVert y\rVert_T$と$\lVert\alpha x\rVert_T=\lvert\alpha\rvert\lVert x\rVert_T$を得る。$\lVert x\rVert_T=0$ならば$\lVert x\rVert=0$であり、$x=0$である。したがって$\lVert\cdot\rVert_T$はノルムである。$(X,\lVert\cdot\rVert_T)$の Cauchy 列は、$\lVert\cdot\rVert\le\lVert\cdot\rVert_T$により$(X,\lVert\cdot\rVert)$の Cauchy 列であって、$X$の完備性により、ある$x\in X$にノルム$\lVert\cdot\rVert$について収束する。$\lVert\cdot\rVert_T\le M\lVert\cdot\rVert$により、この列は$\lVert\cdot\rVert_T$についても$x$に収束する。したがって$(X,\lVert\cdot\rVert_T)$は Banach 空間である。

$s\ge0$、$x\in X$とする。$t\ge0$について、§E5.3 命題 1.6により

であるから、$\lVert T(s)x\rVert_T\le e^{\omega s}\lVert x\rVert_T$である。特に、$T(s)$は$(X,\lVert\cdot\rVert_T)$上の有界線形作用素である。$h>0$について$\lVert T(h)x-x\rVert_T\le M\lVert T(h)x-x\rVert$であるから、$h\downarrow0$のとき$\lVert T(h)x-x\rVert_T\to0$であり、$T$は$(X,\lVert\cdot\rVert_T)$上の強連続半群である。$\lVert\cdot\rVert\le\lVert\cdot\rVert_T\le M\lVert\cdot\rVert$により、$y\in X$について、$h\downarrow0$のとき$h^{-1}(T(h)x-x)$が$\lVert\cdot\rVert$について$y$に収束することは、$\lVert\cdot\rVert_T$について$y$に収束することと同値である。したがって、$(X,\lVert\cdot\rVert_T)$上の$T$の生成作用素は、定義域$D(A)$をもつ$A$である。▨

証明. 必要性を示す。$A$が、すべての$t\ge0$について$\lVert T(t)\rVert\le Me^{\omega t}$を満たす強連続半群$T$を生成するとする。§E12.23 定理 3.2 (2)と§E12.23 定理 3.2 (5)により、$A$は稠密に定義された閉作用素である。$\lambda>\omega$を実数とする。§E12.23 定理 4.1により$\lambda\in\rho(A)$である。$\lVert\cdot\rVert_T$を補題 2.1のノルムとすると、$T$は Banach 空間$(X,\lVert\cdot\rVert_T)$上の生成作用素$A$をもつ強連続半群であり、すべての$t\ge0$と$x\in X$について$\lVert T(t)x\rVert_T\le1\cdot e^{\omega t}\lVert x\rVert_T$を満たす。§E12.23 定理 4.1を$(X,\lVert\cdot\rVert_T)$上の$T$と実数$1$、$\omega$に適用すると、$\lambda I-A$の逆写像$R(\lambda,A)$はすべての$y\in X$について$\lVert R(\lambda,A)y\rVert_T\le\lVert y\rVert_T/(\lambda-\omega)$を満たす。$n$に関する帰納法により、すべての$n\in\NN$と$x\in X$について$\lVert R(\lambda,A)^nx\rVert_T\le\lVert x\rVert_T/(\lambda-\omega)^n$であるから、補題 2.1の二つの不等式により

である。したがって$\lVert R(\lambda,A)^n\rVert\le M/(\lambda-\omega)^n$である。

十分性を示す。$A$が条件を満たすとする。$\lambda_1=2\lvert\omega\rvert+1$、$\kappa=2\lvert\omega\rvert$とおく。実数$\lambda\ge\lambda_1$について、$\lambda>0$かつ$\lambda>2\omega$であるから$\lambda-\omega>\lambda/2>0$であり、$\omega\le0$ならば$\omega\lambda/(\lambda-\omega)\le0\le\kappa$、$\omega>0$ならば$\omega\lambda/(\lambda-\omega)<2\omega=\kappa$である。補題 1.4 (4)と§D1.24 命題 3.1により、すべての実数$\lambda\ge\lambda_1$と$t\ge0$について$\lVert e^{tA_\lambda}\rVert\le Me^{\kappa t}$である。

$x\in X$、$t\ge0$とする。$(\lambda_k)_{k\in\NN}$を$\lambda_k\to\infty$を満たす$[\lambda_1,\infty)$の点列とすると、主張 2.2.1を$\tau=t+1$に適用して、$(e^{tA_{\lambda_k}}x)_{k\in\NN}$は$X$の Cauchy 列であり、$X$の完備性により収束する。このような二つの点列について、項を交互に並べた点列もこの性質をもつから、二つの極限は等しい。したがって、実数$\lambda\to\infty$のとき$e^{tA_\lambda}x$はある元に収束する。この元を$T(t)x$と書く。主張 2.2.1で$\mu\to\infty$とすると、すべての$\tau>0$と$\varepsilon>0$について、ある実数$\Lambda\ge\lambda_1$が、すべての実数$\lambda\ge\Lambda$とすべての$t\in[0,\tau]$について$\lVert e^{tA_\lambda}x-T(t)x\rVert\le\varepsilon$を満たす。

$t\ge0$とする。極限の線形性により$T(t)\colon X\to X$は線形である。$\omega\lambda/(\lambda-\omega)=\omega+\omega^2/(\lambda-\omega)$は$\lambda\to\infty$のとき$\omega$に収束するから、補題 1.4 (4)と§E5.3 命題 1.8により、$x\in X$について$\lVert T(t)x\rVert=\lim_{\lambda\to\infty}\lVert e^{tA_\lambda}x\rVert\le Me^{\omega t}\lVert x\rVert$である。したがって$T(t)\in B(X)$かつ$\lVert T(t)\rVert\le Me^{\omega t}$である。$e^{0A_\lambda}=I$であるから$T(0)=I$である。$t,s\ge0$、$x\in X$とする。§E12.23 命題 6.1 (2)により$e^{(t+s)A_\lambda}=e^{tA_\lambda}e^{sA_\lambda}$であり、

の右辺は$\lambda\to\infty$のとき$0$に収束するから、$T(t+s)x=T(t)T(s)x$である。$x\in X$、$\varepsilon>0$とし、すべての$t\in[0,1]$について$\lVert e^{tA_\lambda}x-T(t)x\rVert\le\varepsilon$を満たす実数$\lambda\ge\lambda_1$をとる。§E12.23 命題 6.1 (2)により$t\mapsto e^{tA_\lambda}$は強連続半群であるから、ある$\delta\in(0,1]$がすべての$t\in[0,\delta]$について$\lVert e^{tA_\lambda}x-x\rVert\le\varepsilon$を満たし、このとき$\lVert T(t)x-x\rVert\le2\varepsilon$である。したがって$T$は$X$上の強連続半群であり、すべての$t\ge0$について$\lVert T(t)\rVert\le Me^{\omega t}$を満たす。

$G$を$T$の生成作用素とする。$x\in D(A)$、$t>0$とする。§E12.23 命題 6.1 (2)により$A_\lambda$は$t\mapsto e^{tA_\lambda}$の生成作用素であるから、§E12.23 定理 3.2 (4)により$e^{tA_\lambda}x-x=\int_0^te^{sA_\lambda}A_\lambda x\,ds$である。$s\in[0,t]$について

であり、補題 1.4 (3)と上の一様収束により、右辺の$s\in[0,t]$についての上限は$\lambda\to\infty$のとき$0$に収束する。§E12.23 系 1.5により$s\mapsto T(s)Ax$は連続であるから、§E10.18 命題 4.3と§E10.18 補題 7.3 (1)の評価により$\int_0^te^{sA_\lambda}A_\lambda x\,ds\to\int_0^tT(s)Ax\,ds$であり、

を得る。§E10.18 補題 7.3 (2)を$[0,1]$上の$s\mapsto T(s)Ax$に$t=0$で適用すると、$h\downarrow0$のとき$h^{-1}(T(h)x-x)\to T(0)Ax=Ax$である。したがって、$D(A)\subseteq D(G)$であり、すべての$x\in D(A)$について$Gx=Ax$である。$\lambda=\omega+1$とおくと、仮定により$\lambda\in\rho(A)$であるから、$\lambda I-A\colon D(A)\to X$は全射である。$T$はすべての$t\ge0$について$\lVert T(t)\rVert\le Me^{\omega t}$を満たし、$\Re\lambda>\omega$であるから、§E12.23 補題 4.2により$D(A)=D(G)$かつ$A=G$であり、$A$は$T$を生成する。

$S$を、$A$が生成し、すべての$t\ge0$について$\lVert S(t)\rVert\le Me^{\omega t}$を満たす$X$上の強連続半群とする。必要性により$A$は条件を満たすから、上の$T$も$A$が生成する。§E12.23 系 5.5により$S=T$であり、すべての$x\in X$と$t\ge0$について$e^{tA_\lambda}x\to T(t)x=S(t)x$である。▨

証明.$e^0=1$であるから、§E12.23 定義 1.2により、$X$上の強連続半群$T$が縮小半群であることは、すべての$t\ge0$について$\lVert T(t)\rVert\le1\cdot e^{0t}$が成り立つことである。必要性は、定理 2.2を$M=1$、$\omega=0$とし、$n=1$として適用したものである。十分性を示す。実数$\lambda>0$と$n\in\NN$について、§E10.2 命題 2.4により$\lVert R(\lambda,A)^n\rVert\le\lVert R(\lambda,A)\rVert^n\le1/\lambda^n$であるから、定理 2.2を$M=1$、$\omega=0$として適用すると、$A$は縮小半群を生成する。▨

証明.$X$は有限次元ノルム空間であるから、§E10.1 系 2.3により Banach 空間である。実数$p,q\ge0$と$z\in X$について$\lVert(pI+qN)z\rVert=\max\{\lvert pz_1+qz_2\rvert,p\lvert z_2\rvert\}\le(p+q)\lVert z\rVert$であり、$\lVert(1,1)\rVert=1$かつ$\lVert(pI+qN)(1,1)\rVert=p+q$であるから、$\lVert pI+qN\rVert=p+q$である。$N^2=0$であり、$N$は$I$と可換である。

$\lambda>0$を実数とし、$s=1/(\lambda+1)$とおく。$\lambda I-A=(\lambda+1)I-4N=s^{-1}(I-4sN)$であり、$N^2=0$により$(I-4sN)(I+4sN)=(I+4sN)(I-4sN)=I$であるから、$\lambda I-A$は全単射であって、その逆写像は$sI+4s^2N\in B(X)$である。§E12.12 定義 1.5により$\lambda\in\rho(A)$かつ$R(\lambda,A)=sI+4s^2N$である。特に$\rho(A)\ne\emptyset$であるから、§E12.12 命題 1.6 (2)により、$A$は定義域$X$をもつ閉作用素である。$\lambda s=1-s$であるから

である。

§E12.23 命題 6.1 (2)により、$t\mapsto e^{tA}$は生成作用素$A$をもつ強連続半群であり、§E12.23 系 5.5により、$A$が生成する強連続半群はこの$T(t)=e^{tA}$だけである。$-I$と$4N$は可換であるから、§E12.23 命題 6.1 (3)により$T(1)=e^{-I}e^{4N}$である。§E5.3 定義 1.3により$e^{-I}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nI/n!=e^{-1}I$であり、$N^2=0$により$e^{4N}=I+4N$であるから、$T(1)=e^{-1}I+4e^{-1}N$であって$\lVert T(1)\rVert=5/e$である。$n\in\NN$について$n!\ge2^{n-1}$であるから、§E5.3 定義 1.3により$e\le1+\sum_{n=1}^\infty2^{1-n}=3$であり、$\lVert T(1)\rVert\ge5/3>25/16=M$である。▨