§E12.20樽型空間

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Banach 空間からノルム空間への有界線形作用素の族は、各点で有界ならば、作用素ノルムについて一様に有界である。この一様有界性原理は、各点での有界性から一様な評価を導く原理として関数解析の最も基本的な定理の一つであり、その証明は完備距離空間についての Baire の範疇定理に依拠する。定義域の完備性は外すことができず、たとえば、有限個の項だけが零でない数列の空間に上限ノルムを入れると、各点で有界であるが作用素ノルムが有界でない連続線形汎関数の列が存在する。一方、試験関数の空間は Fréchet 空間の増大列の局所凸帰納極限として位相を定める空間であり、このような空間を定義域とする線形写像の族を扱うには、定義域に課す条件を完備な距離によらない形で述べる必要がある。そこで、閉かつ吸収的かつ絶対凸な集合がすべて零近傍であるような位相線形空間を、樽型空間として導入する。樽型性は、Baire 空間である位相線形空間で成り立つうえに、樽型な局所凸空間の増大列の局所凸帰納極限へ受け継がれる性質であり、Banach 空間の一様有界性原理は、樽型空間を定義域とする一様有界性原理の特別な場合として位置づけられる。本記事では、樽型空間の基本的な性質と一様有界性原理、および代表的な例について解説する。

1 樽と Baire の範疇定理

定義 1.1.EEをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の位相線形空間とする。EEの閉集合であって、吸収的かつ絶対凸であるものを、EEの 樽 (barrel) という。EEのすべての樽がEEの零近傍であるとき、EEは 樽型 (barreled) であるといい、樽型である位相線形空間を樽型空間という。

定理 1.2 (Baire の範疇定理).(X,d)(X,d)を完備な距離空間とする。このときXXは Baire 空間であり、XXの閉集合からなる列(Fn)n∈N≥1(F_n)_{n\in\NN}とXXの空でない開集合WWがW⊆⋃n∈N≥1FnW\subseteq\bigcup_{n\in\NN}F_nを満たすならば、int⁡(Fn)≠∅\tpint{F_n}\neq\emptysetを満たすn∈N≥1n\in\NNが存在する。

証明.§E2.28 定理 4.2によりXXは Baire 空間であり、Baire 空間は§E2.28 命題 1.3 (3)の条件を満たす。▨

補題 1.3.EEをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の位相線形空間とし、AAをEEの閉かつ平衡な集合とし、SSをEEにおける第二類集合であってS⊆⋃n∈N≥1nAS\subseteq\bigcup_{n\in\NN}nAを満たすものとする。このとき、int⁡(A)≠∅\tpint{A}\neq\emptysetであり、A+AA+AはEEの零近傍である。

証明.n∈N≥1n\in\NNとする。§E12.16 命題 1.4 (1)によりx↦nxx\mapsto nxはEEからEEへの同相写像であるから、nAnAはEEの閉集合である。すべてのn∈N≥1n\in\NNについてint⁡(nA)=∅\tpint{nA}=\emptysetであると仮定する。n∈N≥1n\in\NNについてSn=S∩nAS_n=S\cap nAとおくと、§E2.11 命題 2.5 (1)によりSn‾⊆nA\tpcl{S_n}\subseteq nAでありint⁡(Sn‾)⊆int⁡(nA)=∅\tpint{\tpcl{S_n}}\subseteq\tpint{nA}=\emptysetであるから、§E2.28 定義 1.1 (1)によりSnS_nはEEで疎である。S⊆⋃n∈N≥1nAS\subseteq\bigcup_{n\in\NN}nAであるからS=⋃n∈N≥1SnS=\bigcup_{n\in\NN}S_nであり、§E2.28 定義 1.1 (2)によりSSはEEにおける第一類集合である。これはSSがEEにおける第二類集合であることと両立しない。ゆえにint⁡(nA)≠∅\tpint{nA}\neq\emptysetを満たすn∈N≥1n\in\NNが存在する。同相写像x↦n−1xx\mapsto n^{-1}xはint⁡(nA)\tpint{nA}をint⁡(A)\tpint{A}へ写すから、int⁡(A)≠∅\tpint{A}\neq\emptysetである。

x0∈int⁡(A)x_0\in\tpint{A}をとる。AAは平衡であるから−x0∈A-x_0\in Aである。§E12.16 命題 1.4 (1)によりO=int⁡(A)−x0O=\tpint{A}-x_0は00を含む開集合であり、EEの零近傍である。u∈Ou\in Oについてu+x0∈int⁡(A)⊆Au+x_0\in\tpint{A}\subseteq Aであるから、u=(u+x0)+(−x0)∈A+Au=(u+x_0)+(-x_0)\in A+Aである。ゆえにO⊆A+AO\subseteq A+Aであり、A+AA+AはEEの零近傍である。▨

補題 1.4.EEをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の位相線形空間とする。このとき、EEが Baire 空間であるならば、EEは樽型である。

証明.BBをEEの樽とする。x∈Ex\in Eとすると、BBは吸収的であるからx∈tBx\in tBを満たす実数t>0t>0があり、n≥tn\geq tを満たすn∈N≥1n\in\NNをとると、BBは平衡であるからx∈tB=n((t/n)B)⊆nBx\in tB=n\bigl((t/n)B\bigr)\subseteq nBである。ゆえにE=⋃n∈N≥1nBE=\bigcup_{n\in\NN}nBである。EEがEEにおける第一類集合であると仮定すると、EEは Baire 空間であるから、§E2.28 命題 1.3 (2)によりint⁡(E)=∅\tpint{E}=\emptysetである。一方、EEはEEの開集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (2)により0∈E=int⁡(E)0\in E=\tpint{E}である。int⁡(E)=∅\tpint{E}=\emptysetと0∈int⁡(E)0\in\tpint{E}は両立しないから、EEはEEにおける第二類集合である。BBは閉かつ平衡であるから、補題 1.3をA=BA=B、S=ES=Eに適用すると、B+BB+BはEEの零近傍である。BBは凸であるから、b,b′∈Bb,b'\in Bについて12(b+b′)∈B\tfrac12(b+b')\in Bであり、12(B+B)⊆B\tfrac12(B+B)\subseteq Bである。§E12.16 命題 1.4 (1)により12(B+B)\tfrac12(B+B)は零近傍であるから、BBは零近傍である。▨

系 1.5.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の F 空間は樽型である。とくに、Fréchet 空間と、ノルムが定める位相を入れた Banach 空間は樽型である。

証明.EEを F 空間とし、§E12.16 定義 5.13の距離ddをとる。(E,d)(E,d)は完備距離空間であるから、定理 1.2により、ddが定める位相すなわちEEの位相についてEEは Baire 空間である。補題 1.4によりEEは樽型である。Fréchet 空間は§E12.16 定義 5.14により F 空間であり、Banach 空間は§E12.16 系 5.16 (4)により Fréchet 空間である。▨

注意 1.6. 樽型性を局所凸空間に対してだけ定める文献もある。一方、樽型性を位相線形空間に対して定めると、系 1.5により、局所凸でない F 空間も樽型である。たとえば、0<p<10<p<1を満たす実数ppについて、Lp([0,1])L^p([0,1])は§E12.16 命題 7.3 (2)により局所凸空間でなく、§E12.16 例 7.2により F 空間であるから樽型であり、その樽はLp([0,1])L^p([0,1])自身に限る。実際、Lp([0,1])L^p([0,1])の樽は零近傍であるから00を内点とする凸集合であり、§E12.16 命題 7.3 (1)によりLp([0,1])L^p([0,1])に等しい。

2 同程度連続性と一様有界性原理

定義 2.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、E,FE,FをK\mathbb K上の位相線形空間とし、H\mathcal HをEEからFFへの線形写像からなる集合とする。FFの任意の零近傍VVに対して、すべてのT∈HT\in\mathcal HについてT(U)⊆VT(U)\subseteq Vを満たすEEの零近傍UUが存在するとき、H\mathcal Hは 同程度連続 (equicontinuous) であるという。任意のx∈Ex\in Eについて{Tx∣T∈H}\{Tx\mid T\in\mathcal H\}がFFの有界な部分集合であるとき、H\mathcal Hは 各点有界 (pointwise bounded) であるという。

補題 2.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、E,FE,FをK\mathbb K上の位相線形空間とし、H\mathcal HをEEからFFへの線形写像からなる集合とする。

  1. H\mathcal Hが同程度連続ならば、H\mathcal Hの各元は連続である。
  2. H\mathcal Hが同程度連続ならば、H\mathcal Hは各点有界である。
  3. EEとFFがノルム空間であるとする。このとき、H\mathcal Hが同程度連続であるための必要十分条件は、H⊆B(E,F)\mathcal H\subseteq B(E,F)であり、すべてのT∈HT\in\mathcal Hについて∥T∥≤M\lVert T\rVert\leq Mを満たす実数M≥0M\geq0が存在することである。

証明.主張 (1)を示す。T∈HT\in\mathcal Hとし、VVをFFの零近傍とする。T(U)⊆VT(U)\subseteq Vを満たすEEの零近傍UUが存在するから、TTは00で連続であり、§E12.16 補題 1.7により連続である。

主張 (2)を示す。x∈Ex\in Eとし、VVをFFの零近傍とする。すべてのT∈HT\in\mathcal HについてT(U)⊆VT(U)\subseteq Vを満たすEEの零近傍UUをとる。§E12.16 命題 1.4 (2)によりx=tux=tuを満たす実数t>0t>0とu∈Uu\in Uが存在し、すべてのT∈HT\in\mathcal HについてTx=tTu∈tVTx=tTu\in tVである。ゆえに{Tx∣T∈H}\{Tx\mid T\in\mathcal H\}は有界である。

主張 (3)を示す。§E12.16 命題 2.10により、EEとFFの零近傍はそれぞれある開球{x∣∥x∥<δ}\{x\mid\lVert x\rVert<\delta\}（δ>0\delta>0）を含み、各開球は零近傍である。必要性を示す。FFの零近傍{y∣∥y∥<1}\{y\mid\lVert y\rVert<1\}に対して、すべてのT∈HT\in\mathcal HについてT(U)⊆{y∣∥y∥<1}T(U)\subseteq\{y\mid\lVert y\rVert<1\}を満たすEEの零近傍UUをとり、{x∣∥x∥<δ}⊆U\{x\mid\lVert x\rVert<\delta\}\subseteq Uを満たす実数δ>0\delta>0をとる。T∈HT\in\mathcal Hと∥x∥≤1\lVert x\rVert\leq1を満たすx∈Ex\in Eについて∥(δ/2)x∥<δ\lVert(\delta/2)x\rVert<\deltaであるから∥T((δ/2)x)∥<1\lVert T((\delta/2)x)\rVert<1であり、∥Tx∥<2/δ\lVert Tx\rVert<2/\deltaである。ゆえにT∈B(E,F)T\in B(E,F)かつ∥T∥≤2/δ\lVert T\rVert\leq2/\deltaであり、M=2/δM=2/\deltaが条件を満たす。十分性を示す。VVをFFの零近傍とし、{y∣∥y∥<ε}⊆V\{y\mid\lVert y\rVert<\varepsilon\}\subseteq Vを満たす実数ε>0\varepsilon>0をとり、U={x∣∥x∥<ε/(M+1)}U=\{x\mid\lVert x\rVert<\varepsilon/(M+1)\}とおく。T∈HT\in\mathcal Hとx∈Ux\in Uについて、§E10.2 命題 1.2により∥Tx∥≤∥T∥∥x∥≤M∥x∥<ε\lVert Tx\rVert\leq\lVert T\rVert\lVert x\rVert\leq M\lVert x\rVert<\varepsilonであるから、T(U)⊆VT(U)\subseteq Vである。▨

定理 2.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の樽型空間、FFをK\mathbb K上の局所凸空間とし、H\mathcal HをEEからFFへの連続な線形写像からなる集合とする。このとき、H\mathcal Hが各点有界ならば、H\mathcal Hは同程度連続である。

証明.VVをFFの零近傍とする。§E12.16 命題 1.4 (6)によりV1‾⊆V\tpcl{V_1}\subseteq Vを満たす零近傍V1V_1をとり、§E12.16 定理 2.9 条件 (b)によりV2⊆V1V_2\subseteq V_1を満たす絶対凸な零近傍V2V_2をとる。W=V2‾W=\tpcl{V_2}とおく。WWはV2V_2を含むから零近傍であり、§E12.16 補題 1.6 (3)と§E12.16 補題 1.6 (4)により絶対凸な閉集合であり、W⊆V1‾⊆VW\subseteq\tpcl{V_1}\subseteq Vを満たす。

B={x∈E∣すべての T∈H について Tx∈W}=⋂T∈HT−1(W)B=\{x\in E\mid\text{すべての }T\in\mathcal H\text{ について }Tx\in W\}=\bigcap_{T\in\mathcal H}T^{-1}(W)

とおく（H=∅\mathcal H=\emptysetのときB=EB=Eである）。各T∈HT\in\mathcal Hは連続であるから、§E2.12 命題 1.6 (2)によりT−1(W)T^{-1}(W)は閉集合であり、BBは閉集合である。各TTは線形でありWWは絶対凸であるから、T−1(W)T^{-1}(W)は絶対凸であり、BBは絶対凸である。x∈Ex\in Eとする。{Tx∣T∈H}\{Tx\mid T\in\mathcal H\}は有界でありWWは零近傍であるから、すべてのT∈HT\in\mathcal HについてTx∈tWTx\in tWを満たす実数t>0t>0が存在し、T(t−1x)=t−1Tx∈WT(t^{-1}x)=t^{-1}Tx\in Wであるからx∈tBx\in tBである。ゆえにBBは吸収的であり、BBはEEの樽である。EEは樽型であるからU=BU=BはEEの零近傍であり、すべてのT∈HT\in\mathcal HについてT(U)⊆W⊆VT(U)\subseteq W\subseteq Vである。▨

定理 2.4.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の局所凸空間とする。このとき、EEが樽型であるための必要十分条件は、E′E'の各点有界な部分集合がすべて同程度連続であることである。ここでE′E'の部分集合はEEからK\mathbb Kへの線形写像からなる集合とみなす。

証明. 必要性を示す。K\mathbb Kは絶対値をノルムとするノルム空間であるから、§E12.16 命題 2.10により局所凸空間である。定理 2.3をF=KF=\mathbb Kに適用すればよい。

十分性を示す。BBをEEの樽とし、

H={f∈E′∣すべての b∈B について ∣f(b)∣≤1}H=\{f\in E'\mid\text{すべての }b\in B\text{ について }\lvert f(b)\rvert\leq1\}

とおく。x∈Ex\in Eとすると、BBは吸収的であるからx∈tBx\in tBを満たす実数t>0t>0があり、すべてのf∈Hf\in Hについて∣f(x)∣≤t\lvert f(x)\rvert\leq tである。§E12.16 命題 3.3 (3)により{f(x)∣f∈H}\{f(x)\mid f\in H\}はK\mathbb Kの有界な部分集合であるから、HHは各点有界であり、仮定により同程度連続である。したがって、すべてのf∈Hf\in Hについてf(U)⊆{c∈K∣∣c∣<1}f(U)\subseteq\{c\in\mathbb K\mid\lvert c\rvert<1\}を満たすEEの零近傍UUが存在する。

u∈Uu\in Uとし、u∉Bu\notin Bと仮定する。BBは吸収的であるから0∈B0\in Bであり、BBはEEの空でない閉凸集合である。§E12.18 系 2.3 (1)により、ℜf(u)>sup⁡b∈Bℜf(b)\Re f(u)>\sup_{b\in B}\Re f(b)を満たすf∈E′f\in E'が存在する。s=sup⁡b∈Bℜf(b)s=\sup_{b\in B}\Re f(b)とおくと、0∈B0\in Bであるからs≥0s\geq0である。b∈Bb\in Bとし、∣μ∣=1\lvert\mu\rvert=1かつμf(b)=∣f(b)∣\mu f(b)=\lvert f(b)\rvertを満たすμ∈K\mu\in\mathbb Kをとると、BBは平衡であるからμb∈B\mu b\in Bであり、∣f(b)∣=ℜf(μb)≤s\lvert f(b)\rvert=\Re f(\mu b)\leq sである。s<c<ℜf(u)s<c<\Re f(u)を満たす実数ccをとり、g=c−1fg=c^{-1}fとおく。c>0c>0であるから、すべてのb∈Bb\in Bについて∣g(b)∣≤s/c<1\lvert g(b)\rvert\leq s/c<1であり、g∈Hg\in Hである。u∈Uu\in Uであるから∣g(u)∣<1\lvert g(u)\rvert<1であり、一方∣g(u)∣≥ℜg(u)=c−1ℜf(u)>1\lvert g(u)\rvert\geq\Re g(u)=c^{-1}\Re f(u)>1である。この二つは両立しない。ゆえにU⊆BU\subseteq Bであり、BBは零近傍である。EEの任意の樽が零近傍であるから、EEは樽型である。▨

3 一様有界性原理の系

系 3.1 (一様有界性原理).K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、XXをK\mathbb K上の Banach 空間、YYをK\mathbb K上のノルム空間とし、(Tα)α∈A(T_\alpha)_{\alpha\in A}をB(X,Y)B(X,Y)の元の族とする。各x∈Xx\in Xに対して、すべてのα∈A\alpha\in Aについて∥Tαx∥≤Cx\lVert T_\alpha x\rVert\leq C_xを満たす実数CxC_xが存在するとする。このとき、すべてのα∈A\alpha\in Aについて∥Tα∥≤M\lVert T_\alpha\rVert\leq Mを満たす実数MMが存在する。

証明.§E12.16 系 5.16 (4)と系 1.5によりXXは樽型空間であり、§E12.16 命題 2.10によりYYは局所凸空間である。H={Tα∣α∈A}\mathcal H=\{T_\alpha\mid\alpha\in A\}とおく。§E10.2 定理 1.5によりH\mathcal Hの各元は連続であり、仮定と§E12.16 命題 3.3 (3)によりH\mathcal Hは各点有界である。定理 2.3によりH\mathcal Hは同程度連続であり、補題 2.2 (3)により結論の実数MMが存在する。▨

系 3.2 (Banach–Steinhaus の定理).K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、EEをK\mathbb K上の樽型空間、FFをK\mathbb K上の Hausdorff 局所凸空間とし、(Tn)n∈N≥1(T_n)_{n\in\NN}をEEからFFへの連続な線形写像の列とする。各x∈Ex\in Eについて点列(Tnx)n∈N≥1(T_nx)_{n\in\NN}がFFのある点に収束するとし、その点をTxTxと書く。FFは Hausdorff であるから、§E2.15 命題 1.3によりTxTxは一意に定まる。このとき、{Tn∣n∈N≥1}\{T_n\mid n\in\NN\}は同程度連続であり、T ⁣:E→FT\colon E\to Fは連続な線形写像である。

とくに、XXをK\mathbb K上の Banach 空間、YYをK\mathbb K上のノルム空間とし、Tn∈B(X,Y)T_n\in B(X,Y)（n∈N≥1n\in\NN）とし、各x∈Xx\in Xについて(Tnx)n∈N≥1(T_nx)_{n\in\NN}がYYのノルムについてTx∈YTx\in Yに収束するとする。このときT∈B(X,Y)T\in B(X,Y)であり、∥T∥≤lim inf⁡n→∞∥Tn∥<∞\lVert T\rVert\leq\liminf_{n\to\infty}\lVert T_n\rVert<\inftyである。

証明.H={Tn∣n∈N≥1}\mathcal H=\{T_n\mid n\in\NN\}とおく。x∈Ex\in Eとする。(Tnx)n∈N≥1(T_nx)_{n\in\NN}はTxTxに収束するから、§E2.38 補題 1.2により{Tx}∪{Tnx∣n∈N≥1}\{Tx\}\cup\{T_nx\mid n\in\NN\}はFFのコンパクト集合であり、§E12.16 命題 3.3 (2)と§E12.16 命題 3.3 (1)により有界である。その部分集合である{Tnx∣n∈N≥1}\{T_nx\mid n\in\NN\}も有界であるから、H\mathcal Hは各点有界である。定理 2.3によりH\mathcal Hは同程度連続である。

x,y∈Ex,y\in Eとλ∈K\lambda\in\mathbb Kをとり、VVをFFの零近傍とする。§E12.16 命題 1.4 (4)によりW+W⊆VW+W\subseteq Vを満たす零近傍WWをとる。λ≠0\lambda\neq0のとき§E12.16 命題 1.4 (1)によりλ−1W\lambda^{-1}Wは零近傍であるから、十分大きいすべてのnnについてTnx−Tx∈WT_nx-Tx\in Wかつλ(Tny−Ty)∈W\lambda(T_ny-Ty)\in Wであり、λ=0\lambda=0のときは後者が自明に成り立つ。そのようなnnについてTn(x+λy)−(Tx+λTy)∈W+W⊆VT_n(x+\lambda y)-(Tx+\lambda Ty)\in W+W\subseteq Vである。§E12.16 命題 1.4 (1)により(Tn(x+λy))n∈N≥1(T_n(x+\lambda y))_{n\in\NN}はTx+λTyTx+\lambda Tyに収束し、§E2.15 命題 1.3によりT(x+λy)=Tx+λTyT(x+\lambda y)=Tx+\lambda Tyである。ゆえにTTは線形である。

VVをFFの零近傍とする。§E12.16 命題 1.4 (6)によりV1‾⊆V\tpcl{V_1}\subseteq Vを満たす零近傍V1V_1をとり、すべてのnnについてTn(U)⊆V1T_n(U)\subseteq V_1を満たすEEの零近傍UUをとる。x∈Ux\in Uとし、Tx∉V1‾Tx\notin\tpcl{V_1}と仮定すると、F∖V1‾F\setminus\tpcl{V_1}はTxTxを含む開集合であるから、十分大きいnnについてTnx∈F∖V1‾T_nx\in F\setminus\tpcl{V_1}となり、Tnx∈V1T_nx\in V_1と両立しない。ゆえにTx∈V1‾⊆VTx\in\tpcl{V_1}\subseteq Vであり、T(U)⊆VT(U)\subseteq Vである。TTは00で連続であり、§E12.16 補題 1.7により連続である。

XX、YY、(Tn)n∈N≥1(T_n)_{n\in\NN}を後半のとおりとする。§E12.16 系 5.16 (4)と系 1.5によりXXは樽型空間であり、§E12.16 命題 2.10によりYYは Hausdorff 局所凸空間であり、§E10.2 定理 1.5により各TnT_nは連続である。前半によりTTは連続な線形写像であり、§E10.2 定理 1.5によりT∈B(X,Y)T\in B(X,Y)である。前半により{Tn∣n∈N≥1}\{T_n\mid n\in\NN\}は同程度連続であるから、補題 2.2 (3)により、すべてのnnについて∥Tn∥≤M\lVert T_n\rVert\leq Mを満たす実数MMが存在し、lim inf⁡n∥Tn∥≤M<∞\liminf_n\lVert T_n\rVert\leq M<\inftyである。x∈Xx\in Xとする。∣∥Tnx∥−∥Tx∥∣≤∥Tnx−Tx∥→0\bigl\lvert\lVert T_nx\rVert-\lVert Tx\rVert\bigr\rvert\leq\lVert T_nx-Tx\rVert\to0であり、§E10.2 命題 1.2により∥Tnx∥≤∥Tn∥∥x∥\lVert T_nx\rVert\leq\lVert T_n\rVert\lVert x\rVertであるから、

∥Tx∥=lim⁡n→∞∥Tnx∥≤(lim inf⁡n→∞∥Tn∥)∥x∥\lVert Tx\rVert=\lim_{n\to\infty}\lVert T_nx\rVert\leq\Bigl(\liminf_{n\to\infty}\lVert T_n\rVert\Bigr)\lVert x\rVert

である。∥x∥≤1\lVert x\rVert\leq1を満たすxxについて上限をとると、∥T∥≤lim inf⁡n∥Tn∥\lVert T\rVert\leq\liminf_n\lVert T_n\rVertを得る。▨

系 3.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、XXをK\mathbb K上のノルム空間、A⊆XA\subseteq Xとする。各f∈X∗f\in X^*に対して、すべてのa∈Aa\in Aについて∣f(a)∣≤Cf\lvert f(a)\rvert\leq C_fを満たす実数CfC_fが存在するとする。このとき、すべてのa∈Aa\in Aについて∥a∥≤M\lVert a\rVert\leq Mを満たす実数MMが存在する。

証明.§E10.2 系 2.3によりX∗X^*は Banach 空間である。J ⁣:X→X∗∗J\colon X\to X^{**}を§E12.17 定理 4.7の写像とすると、a∈Aa\in AについてJa∈X∗∗=B(X∗,K)Ja\in X^{**}=B(X^*,\mathbb K)であり、各f∈X∗f\in X^*について∣(Ja)(f)∣=∣f(a)∣≤Cf\lvert(Ja)(f)\rvert=\lvert f(a)\rvert\leq C_fである。系 3.1を Banach 空間X∗X^*、ノルム空間K\mathbb K、族(Ja)a∈A(Ja)_{a\in A}に適用すると、すべてのa∈Aa\in Aについて∥Ja∥≤M\lVert Ja\rVert\leq Mを満たす実数MMが存在する。§E12.17 定理 4.7により∥a∥=∥Ja∥≤M\lVert a\rVert=\lVert Ja\rVert\leq Mである。▨

4 有限個の項だけが零でない数列の空間

例 4.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、K\mathbb Kの元の列x=(xk)k∈N≥1x=(x_k)_{k\in\NN}であって有限個のkkを除いてxk=0x_k=0を満たすものの全体をc00c_{00}とし、上限ノルム∥x∥∞=sup⁡k∈N≥1∣xk∣\lVert x\rVert_\infty=\sup_{k\in\NN}\lvert x_k\rvertを入れる。n∈N≥1n\in\NNについてTn ⁣:c00→KT_n\colon c_{00}\to\mathbb KをTn(x)=nxnT_n(x)=nx_nで定める。このとき、各TnT_nは(c00)∗(c_{00})^*に属して∥Tn∥=n\lVert T_n\rVert=nを満たし、各x∈c00x\in c_{00}についてsup⁡n∈N≥1∣Tn(x)∣<∞\sup_{n\in\NN}\lvert T_n(x)\rvert<\inftyである。§E10.1 例 2.6によりc00c_{00}は Banach 空間でないノルム空間である。したがって、系 3.1の結論は、定義域が完備であるという仮定を外すと成り立たない。

証明. 演習とする（問題 7.2）。▨

例 4.2.c00c_{00}を例 4.1のとおりとし、

B={x∈c00∣すべての n∈N≥1 について n∣xn∣≤1}B=\{x\in c_{00}\mid\text{すべての }n\in\NN\text{ について }n\lvert x_n\rvert\leq1\}

とおく。このとき、BBはc00c_{00}の樽であるが、c00c_{00}の零近傍でない。とくにc00c_{00}は樽型でない。

証明.TnT_nを例 4.1のとおりとし、D={c∈K∣∣c∣≤1}D=\{c\in\mathbb K\mid\lvert c\rvert\leq1\}とおくと、B=⋂n∈N≥1Tn−1(D)B=\bigcap_{n\in\NN}T_n^{-1}(D)である。例 4.1と§E10.2 定理 1.5により各TnT_nは連続であり、DDは閉集合であるから、§E2.12 命題 1.6 (2)によりBBは閉集合である。DDは絶対凸であり各TnT_nは線形であるから、BBは絶対凸である。x∈c00x\in c_{00}とし、k>Nk>Nならばxk=0x_k=0を満たすN∈N≥1N\in\NNをとり、t=1+max⁡1≤n≤Nn∣xn∣t=1+\max_{1\leq n\leq N}n\lvert x_n\rvertとおくと、すべてのnnについてn∣t−1xn∣≤1n\lvert t^{-1}x_n\rvert\leq1であるからx∈tBx\in tBである。ゆえにBBは吸収的であり、c00c_{00}の樽である。

UUをc00c_{00}の零近傍とし、{x∣∥x∥∞<δ}⊆U\{x\mid\lVert x\rVert_\infty<\delta\}\subseteq Uを満たす実数δ>0\delta>0をとる。n>2/δn>2/\deltaを満たすn∈N≥1n\in\NNと、第nn項が11で他の項が00であるen∈c00e_n\in c_{00}について、∥(δ/2)en∥∞=δ/2<δ\lVert(\delta/2)e_n\rVert_\infty=\delta/2<\deltaであるから(δ/2)en∈U(\delta/2)e_n\in Uであり、nδ/2>1n\delta/2>1であるから(δ/2)en∉B(\delta/2)e_n\notin Bである。ゆえにU⊈BU\not\subseteq Bであり、BBは零近傍を含まないから零近傍でない。▨

5 局所凸帰納極限の樽型性

命題 5.1.EEをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の線形空間とし、(Em)m∈N≥1(E_m)_{m\in\NN}をEm⊆Em+1E_m\subseteq E_{m+1}と⋃m∈N≥1Em=E\bigcup_{m\in\NN}E_m=Eを満たすEEの線形部分空間の列とし、各EmE_mに局所凸空間の位相τm\tau_mが与えられ、(Em,τm)(E_m,\tau_m)が樽型であるとする。EEに((Em,τm))m∈N≥1((E_m,\tau_m))_{m\in\NN}の局所凸帰納極限位相を入れる。このとき、EEは樽型である。とくに、n∈N≥1n\in\NNと空でない開集合Ω⊆Rn\Omega\subseteq\R^nについて、Ω\Omega上の試験関数の空間D(Ω)\mathcal D(\Omega)は樽型である。

証明.BBをEEの樽とし、m∈N≥1m\in\NNとする。§E12.16 命題 8.5 (1)により包含写像im ⁣:(Em,τm)→Ei_m\colon(E_m,\tau_m)\to Eは連続であるから、B∩Em=im−1(B)B\cap E_m=i_m^{-1}(B)は(Em,τm)(E_m,\tau_m)の閉集合である。B∩EmB\cap E_mは絶対凸である。x∈Emx\in E_mについて、x∈tBx\in tBを満たす実数t>0t>0をとるとt−1x∈Emt^{-1}x\in E_mであるからx∈t(B∩Em)x\in t(B\cap E_m)であり、B∩EmB\cap E_mはEmE_mで吸収的である。ゆえにB∩EmB\cap E_mは(Em,τm)(E_m,\tau_m)の樽であり、(Em,τm)(E_m,\tau_m)は樽型であるから零近傍である。BBは絶対凸であり、すべてのmmについてB∩EmB\cap E_mは(Em,τm)(E_m,\tau_m)の零近傍であるから、§E12.16 命題 8.5 (3)によりBBはEEの零近傍である。

(Kj)j∈N≥1(K_j)_{j\in\NN}を§E12.16 補題 8.1のコンパクト集合の列とする。Kj⊆Kj+1K_j\subseteq K_{j+1}であるから、§E12.16 命題 8.7 (2)によりDKj(Ω)⊆DKj+1(Ω)\mathcal D_{K_j}(\Omega)\subseteq\mathcal D_{K_{j+1}}(\Omega)であり、各DKj(Ω)\mathcal D_{K_j}(\Omega)は Fréchet 空間であるから、系 1.5により樽型である。§E12.16 定義 8.6によりD(Ω)\mathcal D(\Omega)は⋃j∈N≥1DKj(Ω)\bigcup_{j\in\NN}\mathcal D_{K_j}(\Omega)に(DKj(Ω))j∈N≥1(\mathcal D_{K_j}(\Omega))_{j\in\NN}の局所凸帰納極限位相を入れたものであるから、前段により樽型である。▨

6 至る所微分不可能な連続関数

命題 6.1.[0,1][0,1]上の実数値連続関数の全体C[0,1]C[0,1]に一様ノルム∥⋅∥∞\lVert\cdot\rVert_\inftyを入れる。f∈C[0,1]f\in C[0,1]であって、[0,1][0,1]のどの点xxにおいても、y∈[0,1]∖{x}y\in[0,1]\setminus\{x\}をy→xy\to xとしたときの(f(y)−f(x))/(y−x)(f(y)-f(x))/(y-x)の極限が実数として存在しないものの全体をN\mathcal Nとする。このとき、C[0,1]∖NC[0,1]\setminus\mathcal NはC[0,1]C[0,1]における第一類集合であり、N\mathcal NはC[0,1]C[0,1]で稠密である。

証明.n∈N≥1n\in\NNについて

Fn={f∈C[0,1]∣ある x∈[0,1] が存在して、すべての y∈[0,1] について ∣f(y)−f(x)∣≤n∣y−x∣}F_n=\{f\in C[0,1]\mid\text{ある }x\in[0,1]\text{ が存在して、すべての }y\in[0,1]\text{ について }\lvert f(y)-f(x)\rvert\leq n\lvert y-x\rvert\}

とおく。

f∈C[0,1]∖Nf\in C[0,1]\setminus\mathcal Nとし、y→xy\to xとしたときの(f(y)−f(x))/(y−x)(f(y)-f(x))/(y-x)の極限が実数ccとして存在する点x∈[0,1]x\in[0,1]をとる。0<∣y−x∣<δ0<\lvert y-x\rvert<\deltaを満たすすべてのy∈[0,1]y\in[0,1]について∣(f(y)−f(x))/(y−x)−c∣<1\lvert(f(y)-f(x))/(y-x)-c\rvert<1となる実数δ>0\delta>0が存在するから、

∣f(y)−f(x)∣≤(∣c∣+1)∣y−x∣(y∈[0,1], ∣y−x∣<δ)\lvert f(y)-f(x)\rvert\leq(\lvert c\rvert+1)\lvert y-x\rvert\qquad(y\in[0,1],\ \lvert y-x\rvert<\delta)(6.1.1)\text{(6.1.1)}

が成り立つ。∣y−x∣≥δ\lvert y-x\rvert\geq\deltaを満たすy∈[0,1]y\in[0,1]については∣f(y)−f(x)∣≤2∥f∥∞≤(2∥f∥∞/δ)∣y−x∣\lvert f(y)-f(x)\rvert\leq2\lVert f\rVert_\infty\leq(2\lVert f\rVert_\infty/\delta)\lvert y-x\rvertである。n≥max⁡{∣c∣+1,2∥f∥∞/δ}n\geq\max\{\lvert c\rvert+1,2\lVert f\rVert_\infty/\delta\}を満たすn∈N≥1n\in\NNをとると、式 (6.1.1)と合わせてf∈Fnf\in F_nである。ゆえにC[0,1]∖N⊆⋃n∈N≥1FnC[0,1]\setminus\mathcal N\subseteq\bigcup_{n\in\NN}F_nである。

n∈N≥1n\in\NNとする。(fk)k∈N≥1(f_k)_{k\in\NN}をFnF_nの点列とし、∥fk−f∥∞→0\lVert f_k-f\rVert_\infty\to0を満たすf∈C[0,1]f\in C[0,1]が存在するとする。各kkについて、fkf_kに対してFnF_nの条件を満たす点xk∈[0,1]x_k\in[0,1]をとる。§E2.9 定理 4.3により[0,1][0,1]はコンパクトであり、§E2.9 定理 3.1により点列コンパクトであるから、(xk)(x_k)のある部分列(xki)i∈N≥1(x_{k_i})_{i\in\NN}はあるx∈[0,1]x\in[0,1]に収束する。y∈[0,1]y\in[0,1]とi∈N≥1i\in\NNについて、∣f(y)−fki(y)∣\lvert f(y)-f_{k_i}(y)\rvertと∣fki(xki)−f(xki)∣\lvert f_{k_i}(x_{k_i})-f(x_{k_i})\rvertは∥f−fki∥∞\lVert f-f_{k_i}\rVert_\infty以下であり、∣fki(y)−fki(xki)∣≤n∣y−xki∣\lvert f_{k_i}(y)-f_{k_i}(x_{k_i})\rvert\leq n\lvert y-x_{k_i}\rvertであるから、三角不等式により

∣f(y)−f(x)∣≤2∥f−fki∥∞+n∣y−xki∣+∣f(xki)−f(x)∣\lvert f(y)-f(x)\rvert\leq2\lVert f-f_{k_i}\rVert_\infty+n\lvert y-x_{k_i}\rvert+\lvert f(x_{k_i})-f(x)\rvert

である。ffはxxで連続であるから、i→∞i\to\inftyとすると右辺はn∣y−x∣n\lvert y-x\rvertに収束し、∣f(y)−f(x)∣≤n∣y−x∣\lvert f(y)-f(x)\rvert\leq n\lvert y-x\rvertを得る。ゆえにf∈Fnf\in F_nであり、§E2.3 定理 3.1によりFnF_nはC[0,1]C[0,1]の閉集合である。

n∈N≥1n\in\NNとし、f∈C[0,1]f\in C[0,1]と実数ε>0\varepsilon>0をとる。§E2.9 定理 4.3により[0,1][0,1]はコンパクトであるから、§E2.9 定理 5.1によりffは一様連続であり、∣t−t′∣≤1/N\lvert t-t'\rvert\leq1/Nを満たすすべてのt,t′∈[0,1]t,t'\in[0,1]について∣f(t)−f(t′)∣<ε/2\lvert f(t)-f(t')\rvert<\varepsilon/2となるN∈N≥1N\in\NNが存在する。k∈{0,1,…,N}k\in\{0,1,\ldots,N\}についてφk(t)=max⁡{0,1−∣Nt−k∣}\varphi_k(t)=\max\{0,1-\lvert Nt-k\rvert\}とおき、p=∑k=0Nf(k/N)φkp=\sum_{k=0}^Nf(k/N)\varphi_kとおく。ppは連続であり、0≤k<N0\leq k<Nとt∈[k/N,(k+1)/N]t\in[k/N,(k+1)/N]について、σ=Nt−k∈[0,1]\sigma=Nt-k\in[0,1]とおくとφk(t)=1−σ\varphi_k(t)=1-\sigma、φk+1(t)=σ\varphi_{k+1}(t)=\sigmaであり、他のφj(t)\varphi_j(t)は00であるから、

p(t)=(1−σ)f(k/N)+σf((k+1)/N),∣f(t)−p(t)∣≤(1−σ)∣f(t)−f(k/N)∣+σ∣f(t)−f((k+1)/N)∣<ε/2p(t)=(1-\sigma)f(k/N)+\sigma f((k+1)/N),\qquad\lvert f(t)-p(t)\rvert\leq(1-\sigma)\lvert f(t)-f(k/N)\rvert+\sigma\lvert f(t)-f((k+1)/N)\rvert<\varepsilon/2

である。L=max⁡0≤k<NN∣f((k+1)/N)−f(k/N)∣L=\max_{0\leq k<N}N\lvert f((k+1)/N)-f(k/N)\rvertとおく。ppは各区間[k/N,(k+1)/N][k/N,(k+1)/N]の上で傾きN(f((k+1)/N)−f(k/N))N(f((k+1)/N)-f(k/N))の一次関数であるから、0≤x<y≤10\leq x<y\leq1について、xxとyyの間にある点k/Nk/Nで[x,y][x,y]を分けて各区間での差を加えると、∣p(y)−p(x)∣≤L(y−x)\lvert p(y)-p(x)\rvert\leq L(y-x)を得る。

M=n+L+1M=n+L+1とおき、M/(2K)<ε/2M/(2K)<\varepsilon/2を満たすK∈N≥1K\in\NNをとり、t∈[0,1]t\in[0,1]についてh(t)=Mmin⁡0≤j≤K∣t−j/K∣h(t)=M\min_{0\leq j\leq K}\lvert t-j/K\rvertとおく。hhは連続であり、0≤h≤M/(2K)<ε/20\leq h\leq M/(2K)<\varepsilon/2を満たす。0≤i<2K0\leq i<2KについてIi=[i/(2K),(i+1)/(2K)]I_i=[i/(2K),(i+1)/(2K)]とおくと、0≤j<K0\leq j<Kについて、I2jI_{2j}の上ではh(t)=M(t−j/K)h(t)=M(t-j/K)、I2j+1I_{2j+1}の上ではh(t)=M((j+1)/K−t)h(t)=M((j+1)/K-t)であるから、hhは各IiI_iの上で傾きMMまたは−M-Mの一次関数である。g=p+hg=p+hとおくと、g∈C[0,1]g\in C[0,1]であり、∥g−f∥∞≤∥p−f∥∞+∥h∥∞<ε\lVert g-f\rVert_\infty\leq\lVert p-f\rVert_\infty+\lVert h\rVert_\infty<\varepsilonである。x∈[0,1]x\in[0,1]をとり、x∈Iix\in I_iを満たすiiと、IiI_iの端点のうちxxと異なるものyyをとる。∣h(y)−h(x)∣=M∣y−x∣\lvert h(y)-h(x)\rvert=M\lvert y-x\rvertであるから

∣g(y)−g(x)∣≥∣h(y)−h(x)∣−∣p(y)−p(x)∣≥(M−L)∣y−x∣=(n+1)∣y−x∣>n∣y−x∣\lvert g(y)-g(x)\rvert\geq\lvert h(y)-h(x)\rvert-\lvert p(y)-p(x)\rvert\geq(M-L)\lvert y-x\rvert=(n+1)\lvert y-x\rvert>n\lvert y-x\rvert

である。xxは任意であるからg∉Fng\notin F_nである。ゆえにffの任意の近傍はFnF_nに属さない元を含み、f∉int⁡(Fn)f\notin\tpint{F_n}である。ffは任意であるからint⁡(Fn)=∅\tpint{F_n}=\emptysetである。

各n∈N≥1n\in\NNについてAn=(C[0,1]∖N)∩FnA_n=(C[0,1]\setminus\mathcal N)\cap F_nとおくと、§E2.11 命題 2.5 (1)によりAn‾⊆Fn\tpcl{A_n}\subseteq F_nでありint⁡(An‾)⊆int⁡(Fn)=∅\tpint{\tpcl{A_n}}\subseteq\tpint{F_n}=\emptysetであるから、§E2.28 定義 1.1 (1)によりAnA_nは疎である。C[0,1]∖N=⋃n∈N≥1AnC[0,1]\setminus\mathcal N=\bigcup_{n\in\NN}A_nであるから、§E2.28 定義 1.1 (2)によりC[0,1]∖NC[0,1]\setminus\mathcal Nは第一類集合である。Un=C[0,1]∖FnU_n=C[0,1]\setminus F_nとおくと、UnU_nは開集合であり、int⁡(C[0,1]∖Un)=int⁡(Fn)=∅\tpint{C[0,1]\setminus U_n}=\tpint{F_n}=\emptysetであるから、§E2.11 命題 2.9により稠密である。§E10.1 定理 3.6によりC[0,1]C[0,1]は完備距離空間であるから、定理 1.2によりC[0,1]C[0,1]は Baire 空間であり、⋂n∈N≥1Un\bigcap_{n\in\NN}U_nは稠密である。⋂n∈N≥1Un=C[0,1]∖⋃n∈N≥1Fn⊆N\bigcap_{n\in\NN}U_n=C[0,1]\setminus\bigcup_{n\in\NN}F_n\subseteq\mathcal Nであり、§E2.11 定義 2.7により⋂nUn‾=C[0,1]\tpcl{\bigcap_nU_n}=C[0,1]であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)によりC[0,1]⊆N‾C[0,1]\subseteq\tpcl{\mathcal N}であり、N\mathcal Nは稠密である。▨

7 演習

問題 7.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、c00c_{00}を例 4.1のとおりとする。n∈N≥1n\in\NNについてSn ⁣:c00→KS_n\colon c_{00}\to\mathbb KをSn(x)=∑k=1nkxkS_n(x)=\sum_{k=1}^nkx_kで定める。各SnS_nが(c00)∗(c_{00})^*に属して∥Sn∥=n(n+1)/2\lVert S_n\rVert=n(n+1)/2を満たすこと、各x∈c00x\in c_{00}について(Sn(x))n∈N≥1(S_n(x))_{n\in\NN}が収束すること、およびその極限をS(x)S(x)とおいて定まるS ⁣:c00→KS\colon c_{00}\to\mathbb Kが連続でない線形写像であることを示せ。さらに、このことと系 3.2から、c00c_{00}が樽型でないことを導け。

解答.

SnS_nは線形である。x∈c00x\in c_{00}について∣Sn(x)∣≤∑k=1nk∣xk∣≤n(n+1)2∥x∥∞\lvert S_n(x)\rvert\leq\sum_{k=1}^nk\lvert x_k\rvert\leq\frac{n(n+1)}2\lVert x\rVert_\inftyであるから、Sn∈B(c00,K)=(c00)∗S_n\in B(c_{00},\mathbb K)=(c_{00})^*かつ∥Sn∥≤n(n+1)/2\lVert S_n\rVert\leq n(n+1)/2である。第11項から第nn項までが11で他の項が00であるu∈c00u\in c_{00}は∥u∥∞=1\lVert u\rVert_\infty=1とSn(u)=n(n+1)/2S_n(u)=n(n+1)/2を満たすから、∥Sn∥=n(n+1)/2\lVert S_n\rVert=n(n+1)/2である。

x∈c00x\in c_{00}とし、k>Nk>Nならばxk=0x_k=0を満たすN∈N≥1N\in\NNをとると、n≥Nn\geq NについてSn(x)=∑k=1NkxkS_n(x)=\sum_{k=1}^Nkx_kであるから、(Sn(x))(S_n(x))は収束し、S(x)=∑k=1NkxkS(x)=\sum_{k=1}^Nkx_kである。この表示はNNを大きくとり直しても変わらないから、x,y∈c00x,y\in c_{00}とλ∈K\lambda\in\mathbb Kについて共通のNNをとるとS(x+λy)=S(x)+λS(y)S(x+\lambda y)=S(x)+\lambda S(y)であり、SSは線形である。第kk項が11で他の項が00であるek∈c00e_k\in c_{00}について∥ek∥∞=1\lVert e_k\rVert_\infty=1かつS(ek)=kS(e_k)=kであるから、SSは有界でなく、§E10.2 定理 1.5により連続でない。

c00c_{00}が樽型であると仮定する。§E12.16 命題 2.10によりK\mathbb Kは Hausdorff 局所凸空間であり、§E10.2 定理 1.5により各SnS_nは連続な線形写像である。各xxについて(Sn(x))(S_n(x))はS(x)S(x)に収束するから、系 3.2によりSSは連続である。これはSSが連続でないことと両立しない。ゆえにc00c_{00}は樽型でない。▨

問題 7.2.例 4.1の証明を完成させよ。

解答.

n∈N≥1n\in\NNとする。TnT_nは線形であり、x∈c00x\in c_{00}について∣Tn(x)∣=n∣xn∣≤n∥x∥∞\lvert T_n(x)\rvert=n\lvert x_n\rvert\leq n\lVert x\rVert_\inftyであるから、Tn∈B(c00,K)=(c00)∗T_n\in B(c_{00},\mathbb K)=(c_{00})^*かつ∥Tn∥≤n\lVert T_n\rVert\leq nである。第nn項が11で他の項が00であるen∈c00e_n\in c_{00}は∥en∥∞=1\lVert e_n\rVert_\infty=1とTn(en)=nT_n(e_n)=nを満たすから、∥Tn∥=n\lVert T_n\rVert=nである。

x∈c00x\in c_{00}とし、k>Nk>Nならばxk=0x_k=0を満たすN∈N≥1N\in\NNをとる。n>Nn>NならばTn(x)=0T_n(x)=0であり、n≤Nn\leq Nならば∣Tn(x)∣≤N∥x∥∞\lvert T_n(x)\rvert\leq N\lVert x\rVert_\inftyであるから、sup⁡n∈N≥1∣Tn(x)∣≤N∥x∥∞<∞\sup_{n\in\NN}\lvert T_n(x)\rvert\leq N\lVert x\rVert_\infty<\inftyである。

§E10.1 例 2.6によりc00c_{00}は完備でないノルム空間である。X=c00X=c_{00}、Y=KY=\mathbb K、族(Tn)n∈N≥1(T_n)_{n\in\NN}は、XXの完備性を除く系 3.1の仮定をすべて満たすが、∥Tn∥=n\lVert T_n\rVert=nであるから、すべてのnnについて∥Tn∥≤M\lVert T_n\rVert\leq Mを満たす実数MMは存在しない。▨

参考文献

  1. Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw Hill, 1991.位相線形空間での一様有界性原理と同程度連続性、および Banach–Steinhaus の定理の扱いを参考にした。
  2. Lawrence Narici and Edward Beckenstein, Topological Vector Spaces, 2nd ed., Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics, CRC Press, Boca Raton, 2010.樽と樽型空間、連続双対の各点有界な部分集合による特徴づけ、および帰納極限の樽型性の扱いを参考にした。
  3. Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York, 2011.Banach 空間での一様有界性原理とその系の扱いを参考にした。

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