§E12.43Gelfand 三つ組

最終更新

実数体または複素数体上の Hilbert 空間で作用素を調べる際には、固有ベクトルの存在が重要な問題となる。しかし、二乗可和数列の空間上の Jacobi 作用素の例が示すように、自己共役性だけでは固有ベクトルの存在は保証されない。Gelfand 三つ組では、Hilbert 空間に連続かつ稠密に埋め込まれた試験空間を選び、その実双対または複素反双対の元として一般化された固有ベクトルを扱う。本記事では、Gelfand 三つ組の構成と基本的な例を通じて、一般化された固有ベクトルについて解説する。

1 双対への写像と稠密性

定義 1.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、Φ\PhiをK\mathbb K上の Hausdorff 局所凸空間、HHをK\mathbb K上の Hilbert 空間とする。j ⁣:Φ→Hj\colon\Phi\to Hが連続な単射線形写像であり、j(Φ)j(\Phi)がHHのノルム位相で稠密であるとき、組(Φ,H,j)(\Phi,H,j)を Gelfand 三つ組 (Gelfand triple) という。Φ\Phiを 試験空間 (test space) という。複素内積は第1変数について線形、第2変数について共役線形とする。

複素数体の場合、Φ\Phi上の連続な共役線形汎関数全体をΦ×\Phi^\timesと書き、Φ\Phiの 反双対 (antidual) という。実数体の場合はΦ×=Φ′\Phi^\times=\Phi'とおく。Φ×\Phi^\times上では、各点での収束の位相を＊弱位相σ(Φ×,Φ)\sigma(\Phi^\times,\Phi)と呼び、有界集合上の一様収束の位相を強双対位相β(Φ×,Φ)\beta(\Phi^\times,\Phi)と呼ぶ。後者を定める半ノルムは、Φ\Phiの有界集合BBに対する

qB(F)=sup⁡φ∈B∣F(φ)∣q_B(F)=\sup_{\varphi\in B}|F(\varphi)|

である。＊弱位相はBBを有限集合に限って得られる。

線形写像I ⁣:H→Φ×I\colon H\to\Phi^\timesを

(Ih)(φ)=⟨h,jφ⟩H(Ih)(\varphi)=\langle h,j\varphi\rangle_H

で定める。実数体の場合は(Ih)(φ)=⟨jφ,h⟩H(Ih)(\varphi)=\langle j\varphi,h\rangle_Hでもある。写像j,Ij,Iによる同一視を

Φ⊆H⊆Φ′(K=R),Φ⊆H⊆Φ×(K=C)\Phi\subseteq H\subseteq\Phi'\quad(\mathbb K=\R), \qquad \Phi\subseteq H\subseteq\Phi^\times\quad(\mathbb K=\C)

と書く。これらの包含は、各空間の位相が部分空間位相に一致することを意味しない。

命題 1.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Gelfand 三つ組(Φ,H,j)(\Phi,H,j)を取る。このとき、I ⁣:H→Φ×I\colon H\to\Phi^\timesは単射であり、HHのノルム位相から反双対の＊弱位相へも強双対位相へも連続である。像I(H)I(H)はσ(Φ×,Φ)\sigma(\Phi^\times,\Phi)に関して稠密である。

Φ\Phiが回帰的ならば、I(H)I(H)はβ(Φ×,Φ)\beta(\Phi^\times,\Phi)に関しても稠密である。とくに、Φ\Phiが核型 Fréchet 空間ならば、強双対位相に関する稠密性が成り立つ。

証明.R ⁣:H→H′R\colon H\to H'を(Rh)(v)=⟨v,h⟩H(Rh)(v)=\langle v,h\rangle_Hとし、C ⁣:Φ×→Φ′C\colon\Phi^\times\to\Phi'を(CF)(φ)=F(φ)‾(CF)(\varphi)=\overline{F(\varphi)}とする。実数体の場合、共役は恒等写像である。CCは全単射であり、qB(CF)=qB(F)q_B(CF)=q_B(F)であるから、＊弱位相と強双対位相のそれぞれについて同相写像である。j′ ⁣:H′→Φ′j'\colon H'\to\Phi'を転置とすると

CI=j′RCI=j'R

である。§E10.5 系 1.2によりRRは等長な全単射である。§E12.32 定義 1.4によりH′H'の強双対位相は双対ノルムの位相に等しく、§E12.32 命題 1.6によりj′j'は強双対位相に関して連続である。したがってIIは強双対位相に関して連続である。＊弱位相は強双対位相より粗いので、＊弱位相に関しても連続である。

Ih=0Ih=0ならば、すべてのφ∈Φ\varphi\in\Phiについて⟨h,jφ⟩H=0\langle h,j\varphi\rangle_H=0である。j(Φ)j(\Phi)はノルム位相で稠密であるから、内積の連続性により⟨h,h⟩H=0\langle h,h\rangle_H=0となり、h=0h=0である。

N=j′R(H)⊆Φ′N=j'R(H)\subseteq\Phi'とおく。R(H)=H′R(H)=H'であるから、NNは線形部分空間である。双対対(Φ,Φ′)(\Phi,\Phi')における零化域は

N⊥={φ∈Φ:⟨jφ,h⟩H=0 for every h∈H}={0}N_\perp =\{\varphi\in\Phi:\langle j\varphi,h\rangle_H=0\text{ for every }h\in H\} =\{0\}

である。実際、h=jφh=j\varphiを代入するとjφ=0j\varphi=0となり、jjの単射性からφ=0\varphi=0を得る。§E12.28 系 3.1 (1)によりNNのσ(Φ′,Φ)\sigma(\Phi',\Phi)に関する閉包は(N⊥)⊥=Φ′(N_\perp)^\perp=\Phi'である。CCによる同一視からI(H)I(H)は＊弱位相に関して稠密である。

Φ\Phiが回帰的ならば、強双対Φβ′\Phi'_\beta上の連続線形汎関数はすべてf↦f(φ)f\mapsto f(\varphi)（φ∈Φ\varphi\in\Phi）の形である。したがってΦβ′\Phi'_\betaの弱位相はσ(Φ′,Φ)\sigma(\Phi',\Phi)に等しい。線形部分空間NNは凸であるから、§E12.30 系 1.2 (1)によりNNの強双対位相に関する閉包はその＊弱閉包に等しい。CCによる同一視から強双対位相に関する稠密性を得る。核型 Fréchet 空間は§E12.41 定理 5.2により Montel 空間であり、§E12.32 系 4.2により回帰的である。▨

例 1.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、Φ=ℓ1(N≥1;K)\Phi=\ell^1(\NN;\mathbb K)にそのノルム位相を入れ、H=ℓ2(N≥1;K)H=\ell^2(\NN;\mathbb K)とする。このとき、包含j ⁣:Φ→Hj\colon\Phi\to Hは∥x∥2≤∥x∥1\|x\|_2\le\|x\|_1により連続であり、有限支持列がHHで稠密であるから(Φ,H,j)(\Phi,H,j)は Gelfand 三つ組である。しかし、I(H)I(H)は強双対位相で稠密でない。

実際、Φ\Phiの閉単位球をBBとし、F(x)=∑n≥1xn‾F(x)=\sum_{n\ge1}\overline{x_n}とおく。∣F(x)∣≤∥x∥1|F(x)|\le\|x\|_1であるからF∈Φ×F\in\Phi^\timesである。h∈ℓ2h\in\ell^2と標準単位ベクトルen∈Be_n\in Bに対して

qB(F−Ih)≥∣F(en)−(Ih)(en)∣=∣1−hn∣.q_B(F-Ih)\ge|F(e_n)-(Ih)(e_n)|=|1-h_n|.

hn→0h_n\to0であるからqB(F−Ih)≥1q_B(F-Ih)\ge1である。したがって、FFの強双対位相に関する近傍{G:qB(F−G)<1/2}\{G:q_B(F-G)<1/2\}はI(H)I(H)と交わらない。

2 急減少数列の三つ組

例 2.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の急減少数列の空間ssとH=ℓ2(N≥1;K)H=\ell^2(\NN;\mathbb K)を取る。ssの位相を定める半ノルムを

pk(x)=(∑n≥1(1+n)2k∣xn∣2)1/2(k∈N≥0)p_k(x)=\left(\sum_{n\ge1}(1+n)^{2k}|x_n|^2\right)^{1/2} \qquad(k\in\N)

とする。このとき、包含j ⁣:s→Hj\colon s\to Hは Gelfand 三つ組

s⊆ℓ2⊆s×s\subseteq\ell^2\subseteq s^\times

を定める。反双対s×s^\timesは緩増加数列の空間と線形同型であり、数列a=(an)a=(a_n)に対応する汎関数は

Fa(x)=∑n≥1anxn‾F_a(x)=\sum_{n\ge1}a_n\overline{x_n}

である。この同一視の下でIh=FhIh=F_hであり、ℓ2\ell^2はs×s^\timesの＊弱位相と強双対位相のいずれについても稠密である。

証明.§E12.41 例 5.1によりssは核型 Fréchet 空間である。∥jx∥2=p0(x)\|jx\|_2=p_0(x)であるから包含は連続である。ssはすべての有限支持列を含むので、その像はℓ2\ell^2で稠密である。

複素数体の場合、F↦F‾F\mapsto\overline Fはs×s^\timesからs′s'への共役線形な全単射である。§E12.42 命題 3.1の双対表示の両辺を共役すると、緩増加数列aaによる上の表示を得る。実数体の場合は同じ命題をそのまま適用する。いずれの場合も級数は絶対収束し、各係数はan=Fa(en)a_n=F_a(e_n)で一意に定まる。内積の定義からIh=FhIh=F_hであり、二つの位相に関する稠密性は命題 1.2による。▨

3 一般化された固有ベクトル

定義 3.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Gelfand 三つ組(Φ,H,j)(\Phi,H,j)と連続線形写像A ⁣:Φ→ΦA\colon\Phi\to\Phiを取る。すべてのφ,ψ∈Φ\varphi,\psi\in\Phiについて

⟨jAφ,jψ⟩H=⟨jφ,jAψ⟩H\langle jA\varphi,j\psi\rangle_H=\langle j\varphi,jA\psi\rangle_H

が成り立つとする。反双対上の線形写像をA×F=F∘AA^\times F=F\circ Aと定める。λ∈K\lambda\in\mathbb Kに対して、F∈Φ×F\in\Phi^\timesがAAの固有値λ\lambdaに対する 一般化された固有ベクトル (generalized eigenvector) であるとは、F≠0F\ne0であり、

F(Aφ)=λF(φ)(φ∈Φ)F(A\varphi)=\lambda F(\varphi)\qquad(\varphi\in\Phi)

が成り立つことをいう。

補題 3.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Gelfand 三つ組(Φ,H,j)(\Phi,H,j)と、⟨jAφ,jψ⟩H=⟨jφ,jAψ⟩H\langle jA\varphi,j\psi\rangle_H=\langle j\varphi,jA\psi\rangle_Hを満たす連続線形写像A ⁣:Φ→ΦA\colon\Phi\to\Phiを取る。HH上の稠密に定義された対称作用素TTを

D(T)=j(Φ),T(jφ)=jAφD(T)=j(\Phi),\qquad T(j\varphi)=jA\varphi

とする。このとき、0≠h∈H0\ne h\in Hとλ∈K\lambda\in\mathbb Kに対して、IhIhがAAの固有値λ\lambdaに対する一般化された固有ベクトルであることは、h∈D(T∗)h\in D(T^*)かつT∗h=λhT^*h=\lambda hであるための必要十分条件である。

証明. 等式(Ih)(Aφ)=λ(Ih)(φ)(Ih)(A\varphi)=\lambda(Ih)(\varphi)の両辺を共役すると

⟨Tjφ,h⟩H=λ‾⟨jφ,h⟩H=⟨jφ,λh⟩H(φ∈Φ)\langle Tj\varphi,h\rangle_H =\overline\lambda\langle j\varphi,h\rangle_H =\langle j\varphi,\lambda h\rangle_H \qquad(\varphi\in\Phi)

となる。この等式は共役作用素の定義によりh∈D(T∗)h\in D(T^*)かつT∗h=λhT^*h=\lambda hと同値である。命題 1.2の単射性によりIh≠0Ih\ne0である。▨

例 3.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、H=ℓ2(N≥1;K)H=\ell^2(\NN;\mathbb K)とする。x0=0x_0=0とおいて

(Jx)n=xn+1+xn−1(n≥1)(Jx)_n=x_{n+1}+x_{n-1}\qquad(n\ge1)

と定める。このとき、JJはHH上の有界自己共役作用素であり、ssを不変にする。制限A=J∣s ⁣:s→sA=J|_s\colon s\to sは連続である。0<θ<π0<\theta<\piに対して

un(θ)=sin⁡(nθ)sin⁡θ(n≥1)u_n(\theta)=\frac{\sin(n\theta)}{\sin\theta}\qquad(n\ge1)

とおくと、Fu(θ)∈s×F_{u(\theta)}\in s^\timesはAAの固有値2cos⁡θ2\cos\thetaに対する一般化された固有ベクトルである。一方、JJはHH内に固有ベクトルをもたない。

証明.(Lx)n=xn+1(Lx)_n=x_{n+1}、(Sx)1=0(Sx)_1=0、(Sx)n=xn−1(Sx)_n=x_{n-1}（n≥2n\ge2）とおく。∥Lx∥2≤∥x∥2\|Lx\|_2\le\|x\|_2、∥Sx∥2=∥x∥2\|Sx\|_2=\|x\|_2であるから、J=L+SJ=L+Sは∥J∥≤2\|J\|\le2を満たす。絶対収束する内積の和で添字を移すと⟨Lx,y⟩=⟨x,Sy⟩\langle Lx,y\rangle=\langle x,Sy\rangleである。したがってJJは自己共役である。ssの各半ノルムについて

pk(Lx)≤pk(x),pk(Sx)≤2kpk(x)p_k(Lx)\le p_k(x),\qquad p_k(Sx)\le2^k p_k(x)

であるから、AAはssからssへの連続線形写像である。

u0(θ)=0u_0(\theta)=0とおくと、三角関数の加法公式から

un+1(θ)+un−1(θ)=2cos⁡θ un(θ)(n≥1)u_{n+1}(\theta)+u_{n-1}(\theta)=2\cos\theta\,u_n(\theta) \qquad(n\ge1)

である。u(θ)u(\theta)は有界であるから、例 2.1によりFu(θ)∈s×F_{u(\theta)}\in s^\timesである。u1(θ)=1u_1(\theta)=1なので、この汎関数は零でない。x∈sx\in sに対して絶対収束級数の添字を移すと

Fu(θ)(Ax)=∑n≥1(un−1(θ)+un+1(θ))xn‾=2cos⁡θ Fu(θ)(x)F_{u(\theta)}(Ax) =\sum_{n\ge1}\bigl(u_{n-1}(\theta)+u_{n+1}(\theta)\bigr)\overline{x_n} =2\cos\theta\,F_{u(\theta)}(x)

を得る。

Jx=λxJx=\lambda xを満たす0≠x∈H0\ne x\in Hが存在すると仮定する。自己共役性によりλ∥x∥22=⟨Jx,x⟩\lambda\|x\|_2^2=\langle Jx,x\rangleは実数であり、ノルム評価から∣λ∣≤2|\lambda|\le2である。漸化式

x0=0,xn+1=λxn−xn−1x_0=0,\qquad x_{n+1}=\lambda x_n-x_{n-1}

により、xxはx1x_1から一意に定まり、x1≠0x_1\ne0である。

−2<λ<2-2<\lambda<2ならば、λ=2cos⁡θ\lambda=2\cos\thetaを満たす0<θ<π0<\theta<\piが存在する。漸化式の一意性からxn=x1sin⁡(nθ)/sin⁡θx_n=x_1\sin(n\theta)/\sin\thetaである。一方、有限幾何級数から

∣∑n=1Ne2inθ∣≤2∣1−e2iθ∣,∑n=1Nsin⁡2(nθ)=N2−12ℜ∑n=1Ne2inθ⟶∞.\left|\sum_{n=1}^N e^{2in\theta}\right| \le\frac{2}{|1-e^{2i\theta}|},\qquad \sum_{n=1}^N\sin^2(n\theta) =\frac N2-\frac12\Re\sum_{n=1}^N e^{2in\theta} \longrightarrow\infty.

したがって∑n∣xn∣2=∞\sum_n|x_n|^2=\inftyとなり、x∈Hx\in Hに反する。λ=2\lambda=2ならば漸化式からxn=nx1x_n=nx_1となり、λ=−2\lambda=-2ならばxn=(−1)n−1nx1x_n=(-1)^{n-1}nx_1となる。いずれも二乗可和でないので、x∈Hx\in Hに反する。▨

4 核型性と完全系

例 4.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、HHをK\mathbb K上の Hilbert 空間とする。Φ=H\Phi=Hに Hilbert ノルムの位相を入れ、j=id⁡Hj=\id_Hとする。このとき、§E10.5 定理 1.1によりI ⁣:H→Φ×I\colon H\to\Phi^\timesは全射である。実際、F∈Φ×F\in\Phi^\timesに対して線形汎関数F‾\overline Fを Riesz 表現し、両辺を共役すればよい。したがって、有界自己共役作用素A ⁣:H→HA\colon H\to Hの一般化された固有ベクトルは、補題 3.2により、AAの固有ベクトルに対応するものに限られる。

とくに、H=ℓ2(N≥1;K)H=\ell^2(\NN;\mathbb K)と例 3.3のJJに対して、この三つ組には一般化された固有ベクトルが一つも存在しない。HHは無限次元 Banach 空間であるから、§E12.41 定理 5.3により核型でない。

定理 4.2 (Gelfand–Maurin の定理).(Φ,H,j)(\Phi,H,j)を複素 Gelfand 三つ組とする。HHは可分であり、Φ\Phiは核型 Fréchet 空間であるとする。連続線形写像A ⁣:Φ→ΦA\colon\Phi\to\Phiは

⟨jAφ,jψ⟩H=⟨jφ,jAψ⟩H(φ,ψ∈Φ)\langle jA\varphi,j\psi\rangle_H=\langle j\varphi,jA\psi\rangle_H \qquad(\varphi,\psi\in\Phi)

を満たし、D(T)=j(Φ)D(T)=j(\Phi)、Tjφ=jAφTj\varphi=jA\varphiで定まるHH上の作用素TTは本質的自己共役であるとする。このとき、添字集合A\mathcal Aと、各α∈A\alpha\in\mathcal Aに対する実数λα\lambda_\alphaおよび非零のFα∈Φ×F_\alpha\in\Phi^\timesが存在して

Fα(Aφ)=λαFα(φ)(α∈A, φ∈Φ),⋂α∈Aker⁡Fα={0}F_\alpha(A\varphi)=\lambda_\alpha F_\alpha(\varphi) \qquad(\alpha\in\mathcal A,\ \varphi\in\Phi), \qquad \bigcap_{\alpha\in\mathcal A}\ker F_\alpha=\{0\}

が成り立つ。最後の等式を満たす族を一般化された固有ベクトルの完全系 (complete system of generalized eigenvectors) という。

参考文献

  1. Claus Gerhardt, Deriving a complete set of eigendistributions for a gravitational wave equation describing the quantized interaction of gravity with a Yang-Mills field in case the Cauchy hypersurface is non-compact, arXiv:1605.03519v2, 2016.Gelfand–Maurin の定理の仮定と一般化された固有ベクトルの完全性を参考にした。

前提記事

9 本の記事・単元を表示