§E12.46変分的発展方程式

証明.$C:V^\times\to V^*$を$(C\ell)(v)=\overline{\ell(v)}$と定める。ただし実数体では複素共役を恒等写像とする。$C$は全単射等長写像であり、複素数体では共役線形である。§E10.5 系 1.2の Riesz 対応と$C^{-1}$の合成は

という線形等長同型である。この写像で内積を移すと$V^\times$は Hilbert 空間となる。§E10.25 定理 5.1を$V$と$V^\times$に適用すると、二つの$L^2$空間は Hilbert 空間である。同定理の通常双対への積分表示を、入力の$F$には$C$、出力の汎関数には複素共役を施して移すと、主張の線形等長同型を得る。二つの共役線形写像の合成なので、複素数体の場合にも線形である。

$u_n\to u$を$L^2(0,T;V)$で、$u_n'\to g$を$L^2(0,T;V^\times)$で満たす列をとる。包含$V\to V^\times$のノルムは$c_j^2$以下であるから、任意の$\varphi\in C_c^\infty(0,T)$に対して

したがって$u'=g$であり、弱微分のグラフは二つの$L^2$空間の積の閉線形部分空間である。写像$u\mapsto(u,u')$によってその積内積を引き戻すと、$\|\cdot\|_W$を誘導する完備な内積を得る。▨

証明.$u\in W(0,T)\subset H^1(0,T;V^\times)$に§E10.48 定理 4.2を適用し、$V^\times$値連続代表とその端点値$u(0),u(T)$をとる。$-T<t<2T$において

とおく。$V^\times$における積分表示を各区間で変数変換すると、すべての$-T<s<t<2T$について

となる。区間が$0$または$T$をまたぐ場合も、その点で両側の$V^\times$値が一致するので、積分を足せば同じ等式を得る。また、$\widehat u\in L^2(-T,2T;V)$、$\widehat g\in L^2(-T,2T;V^\times)$である。したがって§E10.48 定理 4.2により$\widehat u'=\widehat g$である。

$\chi\in C_c^\infty(-T,2T)$を$[0,T]$の近傍で$1$となるようにとり、$\chi\widehat u$を$\R$に零延長して$U$とする。§E10.48 定理 5.1の積の公式と、$\chi$が両端の近傍で零であることから、

ただし$G$は$\chi'\widehat u+\chi\widehat g$の零延長である。非負の実数値核$\rho\in C_c^\infty(-1,1)$、$\int\rho=1$に対し、$\rho_\varepsilon(t)=\varepsilon^{-1}\rho(t/\varepsilon)$、$u_\varepsilon=\rho_\varepsilon*U$とおく。§E10.48 命題 1.1により$u_\varepsilon\in C^\infty(\R;V)$であり、$u_\varepsilon\to U$が$L^2(\R;V)$で成り立つ。

§E10.18 命題 5.2を包含$V\to V^\times$に適用すると、$u_\varepsilon$は$V^\times$で計算した畳み込みにも一致する。$U'=G$の弱微分の等式に、各$t$について試験関数$s\mapsto\rho_\varepsilon(t-s)$を代入すると

が$V^\times$で成り立つ。§E10.48 命題 1.1を$G$にも適用すると$u_\varepsilon'\to G$が$L^2(\R;V^\times)$で成り立つ。$[0,T]$上では$U=u$、$G=u'$であるから、$\varepsilon\downarrow0$の列をとればよい。▨

証明.$[0,T]$の近傍で滑らかな$V$値関数$w$をとり、内積を微分すると

を得る。$s\in[0,T]$を$\|w(s)\|_H^2\leq T^{-1}\|w\|_{L^2H}^2$となるように選ぶ。上の等式を$s$から各$t$へ積分し、積分の向きに応じて絶対値をとると、

$u\in W(0,T)$を補題 2.1の列$u_n$で近似する。直前の評価を$u_n-u_m$に適用し、$\|u_n-u_m\|_{L^2H}\leq c_j\|u_n-u_m\|_{L^2V}$を用いると、$(u_n)$は$C([0,T];H)$の Cauchy 列である。その一様極限を$\widetilde u$とすると、$L^2(0,T;H)$の極限の一意性により$\widetilde u=u$がほとんど至る所で成り立つ。二つの連続代表の差が一点で零でなければ、ある相対近傍で差のノルムが正となり、ほとんど至る所での一致に反する。したがって連続代表は一意である。滑らかな関数の評価を極限へ通すと、主張の評価と連続埋め込みを得る。

双対の評価と Cauchy–Schwarz の不等式により

滑らかな関数の積分等式を極限へ通すと、すべての$s,t$について主張の等式を得る。被積分関数は$L^1$に属するから、得られた積分等式により、ノルムの二乗は絶対連続であり、ほとんど至る所で主張の微分公式が成り立つ。▨

証明.$u,v$を補題 2.1により滑らかな$V$値関数$u_n,v_n$で$W$において近似する。内積の積の微分公式を積分すると、

定理 2.2により左辺は主張の左辺へ収束する。右辺の第一項については

第二項にも$u$と$v$を入れ替えた同じ評価を適用すると、積分の極限を得る。▨

証明.§E10.3 定理 3.6により$V$の高々可算な完全正規直交系$(e_k)$をとる。有限次元の場合には以下の和をその次元で止め、零空間の場合には空和とする。固定した$v\in V$について、Riesz 同型$R_\times v=\langle v,\cdot\rangle_V$を用いると、$t\notin N$において

各係数は可測であるから有限和は強可測であり、その極限も強可測である。$N$上の零への変更はこの結論を保つ。

強可測な$u:(0,T)\to V$に対し、可測単関数$s_n$を$s_n(t)\to u(t)$がほとんど至る所で成り立つようにとる。各$\mathcal A(\cdot)s_n(\cdot)$は前段の有限個の強可測関数を可測集合上で貼り合わせた関数である。また、$t\notin N$について

したがって$\mathcal Au$は強可測であり、$\|\mathcal A(t)u(t)\|_{V^\times}\leq M\|u(t)\|_V$を二乗積分すると主張の評価を得る。代表元を変更しても出力はほとんど至る所で変わらず、線形性は各$\mathcal A(t)$の線形性から従う。▨

証明.定理 2.2の積分等式へ$u'=f-\mathcal Au$を代入すると、主張のエネルギー等式を得る。$y(t)=\|u(t)\|_H^2$とおく。Gårding の不等式と

により、ほとんど至る所で

非負の$V$ノルムの項を除いて積分し、§E13.7 定理 1.1を適用する。$K=\|u_0\|_H^2+\alpha^{-1}\|f\|_{L^2V^\times}^2$とおくと

二つ目の評価は微分不等式を$0$から$T$へ積分して得られる。補題 3.2により

であるから、三つのノルムの評価が従う。二つの解$u,v$の差は$u-v\in W(0,T)$と$(u-v)'+\mathcal A(u-v)=f_u-f_v$を満たすので、同じ評価を適用する。▨

証明.$V$の可算稠密列をとり、$H$の内積による Gram–Schmidt の操作を順に施す。零になる剰余を除くと、$H$で正規直交する列$(w_k)$を得る。各操作は既に選んだ有限個のベクトルの線形結合を引くものであるから、各段階で元の列と得られたベクトルの有限線形包は一致する。したがって$E_n=\operatorname{span}\{w_1,\ldots,w_n\}$の合併は$V$で稠密であり、$H$でも稠密である。列が有限で止まる場合には、その後の$E_n$をすべて$V=H$とする。$V=\{0\}$の場合には$H=\{0\}$であり、$u_n=0$とすればよい。

$u_n(t)=\sum_{k=1}^{d_n}c_k(t)w_k$、$d_n=\dim E_n$とおく。係数方程式は

である。係数行列は有界可測であり、右辺は$L^2(0,T;\mathbb K^{d_n})$に属する。§E13.7 系 4.2により$[0,T]$全体に絶対連続な解が存在する。係数ベクトルは閉区間上で連続なので有界であり、方程式から$c_i'\in L^2(0,T)$となる。したがって$u_n\in H^1(0,T;E_n)$である。

$E_n$に$V$の内積を入れた空間と、同じ$E_n$に$H$の内積を入れた空間から有限次元の Hilbert 三つ組を作る。形式の制限は同じ$M,\alpha,\lambda$を満たし、包含のノルムは$c_j$以下である。外力の制限$f_n(t)=f(t)|_{E_n}$は$\|f_n\|_{L^2E_n^\times}\leq\|f\|_{L^2V^\times}$を満たす。係数方程式に命題 3.3をこの三つ組で適用し、$\|P_nu_0\|_H\leq\|u_0\|_H$を用いると、主張の二つのノルムの一様評価を得る。▨

証明.補題 4.1の$(E_n,u_n)$をとる。$L^2(0,T;V)$は§E10.25 定理 5.1により Hilbert 空間であり、§E12.32 例 2.5により回帰的である。$u_n$はこの空間で有界であるから、§E12.35 定理 5.2により、$u_{n_k}\rightharpoonup u$を満たす部分列$(u_{n_k})$と$u\in L^2(0,T;V)$が存在する。

$w\in E_m$と$\varphi\in C_c^\infty(0,T)$を固定する。$n_k\geq m$のとき、Galerkin 方程式を部分積分すると

左辺の二項は$u_{n_k}\in L^2V$の連続線形汎関数である。実際、その絶対値はそれぞれ

以下である。したがって弱極限をとると同じ等式が$u$に対して成り立つ。$\bigcup_mE_m$は$V$で稠密であり、各項は$w$について連続なので、等式はすべての$w\in V$に拡張される。

補題 3.2により$g=f-\mathcal Au\in L^2(0,T;V^\times)$とおくことができる。直前の等式は、すべての$w\in V$について

を意味するので、括弧内の$V^\times$の元は零である。したがって$u'=g$、$u\in W(0,T)$であり、定理 2.2により$u$は$H$値連続代表をもつ。

$w\in E_m$を固定し、今度は$\varphi\in C^\infty([0,T];\R)$、$\varphi(T)=0$とする。$n_k\geq m$では$\langle P_{n_k}u_0,w\rangle_H=\langle u_0,w\rangle_H$であるから、端点項を残した Galerkin 方程式の部分積分と同じ弱極限により

となる。一方、$v(t)=\varphi(t)w$に命題 2.3を適用すると、左辺は

に等しい。$u'=g$かつ$\varphi(0)=1$とすることができるから、$\langle u(0)-u_0,w\rangle_H=0$である。$\bigcup_mE_m$の$H$における稠密性から$u(0)=u_0$を得る。

同じデータに対する二つの解の差に命題 3.3を適用すると、差の$C([0,T];H)$ノルムは零である。したがって解は一意である。▨

証明.$q$の形式ノルムに§E12.13 補題 1.2 (1)を適用すると、$V\to H$は連続であり、$q$は$V$上で有界である。また

したがって$q$は定義 3.1の条件を満たす。§E12.13 定理 2.1により、$A$は自己共役で下に有界であり、$D(A)$は$V$で稠密である。§E12.25 定理 2.1により、$S(t)=e^{-tA}$は生成作用素$-A$をもつ強連続半群であり、$\|S(t)\|\leq e^{-mt}$である。

$x\in D(A)$、$h\in C^1([0,T];H)$をとる。§E12.26 定理 3.1 (2)を生成作用素$-A$に適用すると、

は$z'+Az=h$を満たす古典解であり、$z,z',Az=h-z'$は$H$値連続関数である。$v\in D(A)$に対して

である。この評価を$z(t)-z(s)$に適用すると、$z$は$V$値連続でもある。したがって$z\in L^2V$、$z'\in L^2H\subset L^2V^\times$であり、$q(z(t),v)=\langle Az(t),v\rangle_H$により$z'+\mathcal Az=Ih$である。よって$z$は変分解である。

$x_n\in D(A)$を$x_n\to u_0$が$H$で成り立つようにとる。$f$を$\R$へ零延長し、§E10.48 命題 1.1による畳み込みを$[0,T]$に制限すると、$h_n\in C^\infty([0,T];H)$で$h_n\to f$が$L^2H$で成り立つ列を得る。前段の古典解を$z_n$とすると、命題 3.3の差の評価と$\|Ih\|_{V^\times}\leq c_j\|h\|_H$により$(z_n)$は$W$の Cauchy 列である。命題 1.2により$z_n\to z\in W$であり、定理 2.2と補題 3.2により

一方、$L^2(0,T;H)\subset L^1(0,T;H)$であるから、§E12.26 定理 2.1の一様評価により、$z_n$は主張の半群表示へ$C([0,T];H)$で収束する。また、$z_n$は$W$で$z$に収束するので、$C([0,T];H)$でも$z$に収束する。したがって、二つの極限は一致する。定理 4.2の一意性により、表示された関数は変分解である。

$H,q$が実である場合、$H_{\C}=H+iH$、$V_{\C}=V+iV$とし、

で複素化する。$q_{\C}(x+iy,x+iy)=q(x,x)+q(y,y)$であり、形式ノルムの二乗も$\|x\|_V^2+\|y\|_V^2$となる。したがって$q_{\C}$は同じ下界をもつ稠密に定義された閉対称形式であり、その形式域は可分である。第一表現定理の定義を実部と虚部に適用すると、対応作用素は

である。複素共役$J(x+iy)=x-iy$はこの定義域を保ち、$JA_{\C}J=A_{\C}$を満たす。

$S_{\C}(t)=e^{-tA_{\C}}$とおくと、$JS_{\C}(t)J$も複素線形な強連続半群である。その生成作用素は、$t\downarrow0$の差商に$J$を作用させることにより$-JA_{\C}J=-A_{\C}$となる。§E12.23 系 5.5により$JS_{\C}(t)J=S_{\C}(t)$であるから、$S_{\C}(t)$は$J$の固定部分空間$H$を保つ。実データの半群表示も$H$値である。複素の場合の結論により、その関数は$L^2V_{\C}$に属し、実部をとる有界写像を弱微分の等式へ作用させると、実の$W(0,T)$に属して実形式の変分方程式を満たす。実の場合の一意性により、実変分解との一致を得る。▨

証明.$x\mapsto(nx_n)_n$は$V$から$\ell^2$への線形等長全単射であるから、$V$は可分 Hilbert 空間である。$\|x\|_H\leq\|x\|_V$であり、有限支持列は$V$と$H$で稠密である。形式$q$は$M=\alpha=1$、$\lambda=0$について有界性と強圧性の条件を満たすので、定理 4.2により変分解が存在する。標準単位ベクトル$e_n\in V$で方程式を試験し、命題 2.3をスカラー時間関数と$e_n$の積に適用すると、各成分は

を弱微分の意味で満たす。§E10.48 定理 4.2と§E13.7 系 4.2の一意性から$u_n(t)=e^{-n^2t}(u_0)_n$である。非負の級数を積分すると表示された評価を得る。$\sum n^{-2}<\infty$かつ$\sum n^2|1/n|^2=\infty$であるから、最後の初期値は$H\setminus V$に属する。▨