Brouwer の不動点定理と次元不変性 | 位相幾何入門

球体 $D^n=\{x\in\R^n\mid\lVert x\rVert\leq1\}$ の連続自己写像が必ず不動点をもつという Brouwer の不動点定理は、方程式の解の存在を連続写像の不動点の存在に帰着させるときの基本的な道具の一つである。 $n=2$ の場合には、 $D^2$ から円周 $S^1$ へのレトラクションが存在しないことが円周の基本群によって証明されており、不動点定理はこの事実から導かれる。しかし、 $n\geq3$ では境界球面 $S^{n-1}$ の基本群は自明群であり、基本群による同じ議論は矛盾を導かない。一方、球面の被約ホモロジー群 $\widetilde H_{n-1}(S^{n-1})$ はすべての $n\in\NN$ について $\Z$ と同型であり、基本群に代えてこの群を用いると、 $D^n$ から $S^{n-1}$ へのレトラクションが存在しないことは次元によらない同じ形で示される。また、一点 $x\in\R^m$ における局所ホモロジー群 $H_k(\R^m,\R^m\setminus\{x\})$ は、 $x$ を含む任意の開集合 $U$ について $H_k(U,U\setminus\{x\})$ と同型である。球面のホモロジーから計算すると、この群は $k=m$ のときだけ零でないので、次元の異なる Euclid 空間の空でない開集合は同相でないという次元不変性が従う。たとえば、 $\R^3$ の空でない開集合と $\R^5$ の空でない開集合は同相でない。不動点定理の直方体の場合と次元不変性は、ホモロジーを用いない議論によっても既に証明されている。本記事では、球面のホモロジーを用いて、球体 $D^n$ についての Brouwer の不動点定理と次元不変性を証明する。

1 Brouwer の不動点定理

補題 1.1. $m\ge1$ とする。

すべての整数 $k$ について、 $\widetilde H_k(D^m)=0$ 、 $\widetilde H_k(\R^m)=0$ である。

証明. $D^m$ と $\R^m$ は空でない凸集合なので、§E21.4 定理 3.4 (1)により可縮である。§E21.15 系 3.4 (2)を適用すると、両空間の被約ホモロジーは消える。▨

定理 1.2 (球体の無レトラクション定理). $n\ge1$ とする。閉単位球体 $D^n\subset\R^n$ から境界球面 $S^{n-1}$ へのレトラクションは存在しない。

証明. レトラクション $r:D^n\to S^{n-1}$ が存在すると仮定し、包含を $i:S^{n-1}\hookrightarrow D^n$ とする。 $r\circ i=\id$ なので、被約ホモロジーの関手性により $r_*\circ i_*=\id$ である。しかし補題 1.1 (1)により $\widetilde H_{n-1}(D^n)=0$ なので、この合成は零である。これは§E21.18 定理 2.2 (1)により $\widetilde H_{n-1}(S^{n-1})\cong\Z$ であることに反する。▨

注意 1.3. 二次元の場合は、§E21.6 定理 2.1の証明では円周の基本群を用いて無レトラクション定理を証明し、§E21.6 定理 2.5の証明では円板の不動点定理を導いている。 $n\ge3$ では§E21.8 命題 3.4により $S^{n-1}$ の基本群は自明であるから、基本群上の等式 $r_\#\circ i_\#=\id$ からは矛盾を得ない。被約ホモロジーを用いると、各次元で境界球面と球体を区別することができる。

定理 1.4 (Brouwer の不動点定理). $n\ge1$ とする。任意の連続写像 $f:D^n\to D^n$ に対し、 $f(x)=x$ を満たす点 $x\in D^n$ が存在する。

証明. 不動点が存在しないと仮定すると、§E21.6 補題 2.4により $D^n$ から $S^{n-1}$ へのレトラクションが存在する。これは定理 1.2に反する。▨

例 1.5. $n\ge1$ とする。

開球 $B=\{x\in\R^n:\lVert x\rVert<1\}$ では、 $f(x)=(x+e_1)/2$ は不動点をもたない連続自己写像である。実際、 $\lVert f(x)\rVert\le(\lVert x\rVert+1)/2<1$ であり、 $f(x)=x$ なら $x=e_1\notin B$ となる。
$S^{n-1}$ の対蹠写像 $a(x)=-x$ は不動点をもたない。 $a(x)=x$ なら $x=0$ となるが、 $0\notin S^{n-1}$ である。

注意 1.6. 正の整数 $n$ と $a_i<b_i$ に対し、直方体 $Q=\prod_{i=1}^n[a_i,b_i]$ の境界は $Q$ のレトラクトではなく、 $Q$ の連続自己写像は不動点をもつ。これらの主張は§E2.48 系 3.2と§E2.48 系 3.3において、ホモロジーを用いることなく証明されている。

2 次元不変性

命題 2.1. $m\ge1$ 、 $x\in\R^m$ とする。このとき、整数係数の局所ホモロジーは

H_k(\R^m,\R^m\setminus\{x\})\cong \begin{cases}\Z&k=m,\\0&k\ne m\end{cases}

である。

証明.§E21.15 命題 3.5 (1)と補題 1.1 (1)により、すべての整数 $k$ で $H_k(\R^m,\R^m\setminus\{x\})\cong\widetilde H_{k-1}(\R^m\setminus\{x\})$ を得る。 $y\ne x$ に対して $L(y,t)=x+\left(1-t+\frac{t}{\lVert y-x\rVert}\right)(y-x)$ とおくと、係数は正であり、 $L$ は穴あき空間を $x$ を中心とする単位球面へ変位レトラクトさせる。したがって§E21.15 系 3.4 (1)により右辺は $\widetilde H_{k-1}(S^{m-1})$ と同型である。§E21.18 定理 2.2 (1)を適用して結論を得る。▨

定理 2.2 (次元不変性). $m,n$ を正の整数とする。空でない開集合 $U\subseteq\R^m$ と $V\subseteq\R^n$ が同相なら、 $m=n$ である。

証明. 同相写像 $h:U\to V$ と点 $x\in U$ をとる。局所切除と近傍の同相による不変性§E21.17 命題 1.6 (3)により、各整数 $k$ で $H_k(\R^m,\R^m\setminus\{x\})\cong H_k(\R^n,\R^n\setminus\{h(x)\})$ である。命題 2.1により、左辺が非零となる唯一の次数は $m$ 、右辺が非零となる唯一の次数は $n$ であるから、 $m=n$ である。▨

注意 2.3. 次元不変性は§E2.48 定理 2.7において、被覆次元を用いても証明されている。同じ次元の Euclid 空間の開集合からの連続単射は像も開集合であるという領域不変性は、§E21.21 定理 5.1で証明する。領域不変性からも次元不変性が従う。実際、 $m<n$ のとき、 $V\subseteq\R^n$ から $U\subseteq\R^m$ への同相写像に $\R^m\to\R^n$ 、 $y\mapsto(y,0)$ を合成すると、像が $\R^m\times\{0\}$ に含まれる連続単射を得る。この像は空でない開集合にならず、領域不変性に反する。

Euclid 空間に埋め込んだ $S^{n-1}$ が補集合を二つの成分に分け、両成分の共通の境界になることは、§E21.21 系 4.3で証明する。

3 偶数次元球面上のベクトル場

定理 3.1. $n\ge2$ を偶数とする。すべての $x\in S^n$ で $\langle v(x),x\rangle=0$ かつ $v(x)\ne0$ を満たす連続写像 $v:S^n\to\R^{n+1}$ は存在しない。

証明. そのような $v$ が存在するとし、 $w(x)=v(x)/\lVert v(x)\rVert$ とおく。 $x,w(x)$ は互いに直交する単位ベクトルであるから、 $H(x,t)=\cos(\pi t)x+\sin(\pi t)w(x)$ は $S^n$ に値をとる連続写像である。 $H_0=\id$ 、 $H_1=a$ は対蹠写像なので、写像度のホモトピー不変性により $\deg a=1$ である。一方、§E21.19 系 1.4と $n$ の偶数性により $\deg a=(-1)^{n+1}=-1$ であり、矛盾する。▨

例 3.2. $S^1\subset\R^2$ では、 $v(x_1,x_2)=(-x_2,x_1)$ は連続で、 $\langle v(x),x\rangle=0$ 、 $\lVert v(x)\rVert=1$ を満たす。したがって奇数次元では、至る所で非零な接ベクトル場が存在する場合がある。

命題 3.3. $m\ge1$ とし、 $S^{2m-1}\subset\R^{2m}$ 上で $v(x_1,\ldots,x_{2m})=(-x_2,x_1,\ldots,-x_{2m},x_{2m-1})$ と定める。このとき、 $v$ は連続で、 $\lVert v(x)\rVert=1$ 、 $\langle v(x),x\rangle=0$ を満たす。また $H(x,t)=\cos(\pi t)x+\sin(\pi t)v(x)$ は恒等写像から対蹠写像へのホモトピーである。

証明. 演習とする（問題 4.3）。▨

4 演習

問題 4.1.

$n\ge1$ とし、連続写像 $f:D^n\to\R^n$ がすべての $x\in S^{n-1}$ に対して $\langle f(x),x\rangle>0$ を満たすとする。このとき $f(x)=0$ を満たす $x\in D^n$ が存在することを示せ。
$Q=[-1,1]^n$ に対し、 $\varphi(0)=0$ 、 $x\ne0$ のとき $\varphi(x)=\lVert x\rVert_\infty x/\lVert x\rVert$ と定めると、 $\varphi:Q\to D^n$ は同相写像であることを示せ。さらに、任意の連続写像 $g:Q\to Q$ が不動点をもつことを導け。

解答.

$\rho:\R^n\to D^n$ を $\rho(y)=y/\max\{1,\lVert y\rVert\}$ とする。定理 1.4により、 $h(x)=\rho(x-f(x))$ は不動点 $x$ をもつ。 $\lVert x-f(x)\rVert\le1$ なら $x=x-f(x)$ なので $f(x)=0$ である。 $L=\lVert x-f(x)\rVert>1$ なら、 $x=(x-f(x))/L$ より $\lVert x\rVert=1$ 、 $f(x)=(1-L)x$ である。よって $\langle f(x),x\rangle=1-L<0$ となり、仮定に反する。
逆写像は $\psi(0)=0$ 、 $y\ne0$ のとき $\psi(y)=\lVert y\rVert y/\lVert y\rVert_\infty$ である。 $\lVert\varphi(x)\rVert=\lVert x\rVert_\infty\le1$ 、 $\lVert\psi(y)\rVert_\infty=\lVert y\rVert\le1$ であり、代入すると両合成が恒等写像である。両写像は原点以外で連続であり、 $\lVert\varphi(x)\rVert\le\lVert x\rVert$ 、 $\lVert\psi(y)\rVert\le\sqrt n\lVert y\rVert$ により原点でも連続である。 $\varphi\circ g\circ\psi:D^n\to D^n$ に定理 1.4を適用し、その不動点を $\psi$ で写すと $g$ の不動点を得る。

▨

問題 4.2. $m\ge1$ 、 $H=\{x\in\R^m:x_m\ge0\}$ とし、 $p_m=0$ 、 $q_m>0$ を満たす $p,q\in H$ をとる。すべての整数 $k$ に対して $H_k(H,H\setminus\{p\})=0$ であり、 $H_k(H,H\setminus\{q\})$ は $k=m$ で $\Z$ 、それ以外で零であることを示せ。さらに、 $H$ の自己同相写像が $p$ を $q$ へ写さないことを導け。

解答.

$H$ は凸であるから可縮である。また、 $z\in H\setminus\{p\}$ に対し $L(z,t)=(1-t)z+t(p+e_m)$ とおくと、 $t>0$ では最後の座標が正なので $L(z,t)\ne p$ である。よって $H\setminus\{p\}$ も可縮である。§E21.15 系 3.4 (2)と§E21.15 命題 3.5 (1)により、対 $(H,H\setminus\{p\})$ のホモロジーはすべて零である。

$U=\{x_m>0\}$ は $q$ の $H$ における開近傍であり、 $\R^m$ でも開である。§E21.17 命題 1.6 (3)により $q$ における $H$ の局所ホモロジーは $\R^m$ の局所ホモロジーと同型なので、命題 2.1により所要の計算を得る。自己同相写像が $p$ を $q$ へ写せば、対の同相により両点の局所ホモロジーは同型になるが、次数 $m$ では零群と $\Z$ であり同型でない。▨

問題 4.3.命題 3.3の証明を完成させ、構成されたホモトピーが§E21.19 系 1.4の写像度の値と両立することを確かめよ。

解答.

$v$ は線形写像の制限なので連続である。各二座標の組で $(-x_{2j})x_{2j-1}+x_{2j-1}x_{2j}=0$ であり、二座標の平方和は変わらないので、 $\langle v(x),x\rangle=0$ 、 $\lVert v(x)\rVert=\lVert x\rVert=1$ である。したがって $H(x,t)=\cos(\pi t)x+\sin(\pi t)v(x)$ のノルムは常に $1$ であり、 $H_0=\id$ 、 $H_1=a$ である。ホモトピー不変性により $\deg a=1$ を得るが、次元 $2m-1$ における対蹠写像の写像度も $(-1)^{2m}=1$ である。▨

§E21.20Brouwer の不動点定理と次元不変性

1 Brouwer の不動点定理

2 次元不変性

3 偶数次元球面上のベクトル場

4 演習

参考文献

前提記事