Poincaré 双対 | 位相幾何入門

1 双対写像と Poincaré 双対

以下では $n\geq1$ とし、係数環 $R$ は単位元をもつ可換環とする。 $R$ 向き $\mu$ をもつ多様体 $M$ のコンパクト集合 $K$ に対する相対基本類を $\mu_K\in H_n(M\,|\,K;R)$ と書く（§E21.36 系 4.2）。

補題 1.1. $K\subseteq L\subseteq M$ をコンパクト集合とし、 $\varphi\in H^k(M\,|\,K;R)$ の $H^k(M\,|\,L;R)$ への像を $\varphi_L$ とする。このとき

\mu_L\frown\varphi_L=\mu_K\frown\varphi \quad\text{in }H_{n-k}(M;R)

である。

この補題の証明は問題 6.1で与える。

定義 1.2. $M$ を $R$ 向き $\mu$ をもつ $n$ 次元多様体とする。各コンパクト集合 $K\subseteq M$ に対する $R$ 線形写像

H^k(M\,|\,K;R)\longrightarrow H_{n-k}(M;R),\qquad \varphi\longmapsto\mu_K\frown\varphi

の族から、帰納極限の普遍性で定まる写像

D_M:H^k_c(M;R)\longrightarrow H_{n-k}(M;R)

を双対写像 (duality map) という。キャップ積の相対版は§E21.37 命題 1.4 (3)、族の整合性は前の補題による。

命題 1.3. $M$ を $R$ 向きづけられた $n$ 次元多様体とし、開部分集合には制限した向きを入れる。

開集合の包含 $i:W\hookrightarrow M$ に対して $D_M\iota_{W,M}=i_*D_W$ である。
開被覆 $M=U\cup V$ のコンパクト台コホモロジーの Mayer–Vietoris 列と、係数付きホモロジーの Mayer–Vietoris 列を比較する。交わり、二つの集合の直和、全体の項における縦射をそれぞれ $D_{U\cap V}$ 、 $D_U\oplus(-D_V)$ 、 $D_M$ とすると、包含の誘導射による二つの正方形は可換であり、連結準同型については $\partial_{MV}D_M=(-1)^{k+1}D_{U\cap V}\delta$ が $H^k_c(M;R)$ 上で成り立つ。

証明.主張 (1)は自然性の演習で証明する。

主張 (2)を示す。主張 (1)を各包含に適用すると、コンパクト台の列の写像 $(\iota,\iota)$ と差が、ホモロジーの列の写像 $(i_*,-j_*)$ と和に対応する。したがって主張 (2)の最初の二つの正方形は可換である。

連結準同型を比べるため、 $\omega\in H^k_c(M;R)$ をあるコンパクト集合 $C$ 上の相対類で表す。§E21.38 補題 2.4により $C=K\cup L$ 、 $K\subseteq U$ 、 $L\subseteq V$ となるコンパクト集合をとる。§E21.38 定理 2.5 (2)の連結写像の記述と§E21.37 命題 3.1を $\mu_{K\cup L}$ に適用する。基本類の制限と切除の整合性により、交わりへ移した類は $U\cap V$ の $K\cap L$ に対する相対基本類である。よって所要の符号付き等式を得る。▨

定理 1.4 (Poincaré 双対). $M$ を $R$ 向き $\mu$ をもつ $n$ 次元多様体とする。このとき、すべての整数 $k$ について

D_M:H^k_c(M;R)\xrightarrow{\cong}H_{n-k}(M;R)

は $R$ 加群の同型である。とくに任意の $n$ 次元多様体は、 $\Z/2\Z$ 向きによるこの同型をもつ。

証明. $M$ の開集合 $W$ について「制限した向きによる $D_W$ が全次数で同型である」という性質を考え、§E21.38 補題 3.1を適用する。

まず $U,V,U\cap V$ で性質が成り立つとする。二つの Mayer–Vietoris 列の五項

H^k_c(U\cap V)\to H^k_c(U)\oplus H^k_c(V)\to H^k_c(U\cup V) \to H^{k+1}_c(U\cap V)\to H^{k+1}_c(U)\oplus H^{k+1}_c(V)

を、対応するホモロジーの五項と比べる。係数 $R$ は表示で省略した。前の命題に従い、最後の二つの縦射にはさらに $(-1)^{k+1}$ を掛ければ可換図式になる。中央以外の縦射は仮定により同型であるから、五項補題§E6.8 補題 2.2により $D_{U\cup V}$ も同型となる。

次に、開集合の空でない有向な集合 $\mathcal W$ の各元で性質が成り立つとする。和集合のコンパクト部分集合は有限個の元で覆われ、有向性によって一つの元に含まれる。したがって§E21.14 系 1.7と§E21.38 命題 2.3により、ホモロジーとコンパクト台コホモロジーの双方で、 $\mathcal W$ に沿う余極限が和集合の群になる。開集合についての自然性により $D_{\bigcup\mathcal W}$ は同型の余極限であり、同型となる。

最後に、空集合では両辺が零である。座標写像 $\varphi$ と空でない凸開集合 $C\subseteq\R^n$ に対して $W=\varphi(C)$ と置く。 $W$ は可縮なので、係数付きホモトピー不変性により $H_j(W;R)$ は $j=0$ だけで $R$ 、ほかで零である。§E21.38 命題 2.2により $H^k_c(W;R)$ は $k=n$ 以外で零なので、その次数の比較だけが残る。

$x\in W$ をとると $q_x:H^n(W\,|\,x;R)\to H^n_c(W;R)$ は同型である。局所向き $\mu_x$ は $H_n(W\,|\,x;R)$ の $R$ 基底であり、局所ホモロジーの計算と普遍係数定理から、評価 $a\mapsto\langle a,\mu_x\rangle$ は $H^n(W\,|\,x;R)$ から $R$ への同型である。キャップ積の増大公式により

\varepsilon D_W(q_xa)=\varepsilon(\mu_x\frown a)=\langle a,\mu_x\rangle.

増大 $\varepsilon:H_0(W;R)\to R$ も同型なので、 $D_W$ は同型である。帰納の三条件が満たされ、定理を得る。最後の主張は、すべての多様体が $\Z/2\Z$ 向きをもつという§E21.36 命題 3.3 (3)による。▨

系 1.5. $M$ を $R$ 向きづけられた閉 $n$ 次元多様体とすると、 $[M]\frown-:H^k(M;R)\to H_{n-k}(M;R)$ はすべての $k$ で同型である。

証明. コンパクト空間では $q_M:H^k(M;R)\to H^k_c(M;R)$ が同型であり、相対基本類 $\mu_M$ は $[M]$ である。したがって $D_Mq_M=[M]\frown-$ に定理を適用すればよい。▨

系 1.6. $M$ を空でなく連結な $R$ 向き付き $n$ 次元多様体とする。コンパクト集合 $K$ 上の相対類 $a$ に $\langle a,\mu_K\rangle$ を対応させる写像は、代表によらない同型

\tau_\mu:H^n_c(M;R)\xrightarrow{\cong}R,\qquad \tau_\mu=\varepsilon D_M

を定める。 $u_M=\tau_\mu^{-1}(1)$ を向きの類 (orientation class) という。 $M$ が閉ならば $\tau_\mu(a)=\langle a,[M]\rangle$ である。

証明. 多様体は局所弧状連結なので、連結な $M$ は弧状連結である。したがって§E21.13 命題 2.2により増大 $H_0(M;R)\to R$ は同型である。定理と§E21.37 命題 2.1 (3)から、 $\tau_\mu(q_Ka)=\langle a,\mu_K\rangle$ を得る。右辺は $\varepsilon D_M$ の値なので代表によらず、閉の場合には $K=M$ としてよい。▨

命題 1.7. $M$ を向きづけられた空でなく連結な閉曲面とする。このとき、双対胞体分解による§E21.34 定理 2.1の写像について、すべての $p$ で

\operatorname{PD}_M(a)=[M]\frown a\qquad(a\in H^p(M;\Z))

である。

証明.§E21.36 命題 5.2により、二つの構成の基本類は一致する。任意の $b\in H^{2-p}(M;\Z)$ に対して、§E21.34 命題 2.2とキャップ積の評価公式から

\langle b,\operatorname{PD}_M(a)\rangle =\langle a\smile b,[M]\rangle =\langle b,[M]\frown a\rangle

となる。 $p=0,1,2$ では $H_{2-p}(M;\Z)$ は有限生成自由である。零次・二次には連結性と基本類の定理を、一次には§E21.34 補題 3.1を用いる。普遍係数定理により整数値のすべての準同型はコホモロジーとの評価として得られるので、二つの元は等しい。ほかの次数では群が零である。▨

2 固有写像の写像度

補題 2.1. $M,N$ を向きづけられた $n$ 次元多様体、 $f:M\to N$ を連続写像、 $x\in f^{-1}(y)$ とする。このとき、 $U\cap f^{-1}(y)=\{x\}$ を満たす $x$ の開近傍 $U$ に対して、切除で $U$ へ移した局所向き $\mu_x$ を対の写像 $f:(U,U\setminus\{x\})\to(N,N\setminus\{y\})$ で送った元 $f^U_*\mu_x$ は、 $U$ の取り方によらない。

証明. 二つの近傍 $U_1,U_2$ を共通の近傍 $U'=U_1\cap U_2$ と比較する。 $U'\subseteq U_j$ に対し、 $U'$ から $M$ への切除同型は $U'\to U_j\to M$ の誘導写像の合成である。したがって $U'$ の局所向きは $U_j$ の局所向きへ写る。さらに $f|_{U'}=(f|_{U_j})\circ(U'\hookrightarrow U_j)$ なので、対の写像の関手性から二つの像は一致する。▨

定義 2.2. $M,N$ を空でなく連結な向きづけられた $n$ 次元多様体、 $f:M\to N$ を固有写像とする。

$\deg f=\tau_M(f^*u_N)\in\Z$ を $f$ の写像度 (degree) という。引き戻しは§E21.38 命題 1.7のものを用いる。
$x\in f^{-1}(y)$ が前の補題の条件を満たすとする。基底 $\mu_y$ による同型 $\beta_y:\Z\to H_n(N\,|\,y;\Z)$ 、 $d\mapsto d\mu_y$ を用いて、 $\deg_x(f;y)=\beta_y^{-1}(f^U_*\mu_x)$ を $x$ における局所次数 (local degree) という。

命題 2.3. $f:M\to N$ を前の定義の固有写像とする。

$M,N$ が閉ならば、 $\deg f$ は基本類の像で定めた§E21.36 定義 6.1の写像度に一致する。
同じ次元の空でなく連結な向き付き多様体への固有写像 $g:N\to P$ に対し、 $\deg(gf)=(\deg g)(\deg f)$ 、 $\deg\id=1$ である。同相写像の写像度は $\pm1$ であり、各点の局所向きを保つ同相写像の写像度は $1$ である。
$f^{-1}(y)=\{x_1,\ldots,x_r\}$ が有限ならば $\deg f=\sum_{j=1}^r\deg_{x_j}(f;y)$ である。原像が空の場合の和は零であり、とくに全射でない固有写像の写像度は零である。
$f$ が局所向きを保つ $d$ 重被覆（ $d\geq1$ ）ならば、 $\deg f=d$ である。ここで局所向きを保つとは、各点で同相写像となる近傍に制限し、切除で局所ホモロジーを同一視すると $f_*\mu_x=\mu_{f(x)}$ となることをいう。

証明. 定義から $f^*u_N=(\deg f)u_M$ である。主張 (1)を示す。閉の場合には、評価の自然性§E21.31 補題 1.3により

\deg f=\langle f^*u_N,[M]\rangle=\langle u_N,f_*[M]\rangle

となり、基本類の像の係数に一致する。

主張 (2)を示す。合成則と恒等則は引き戻しの関手性から従う。同相写像 $h$ については $(\deg h)(\deg h^{-1})=1$ なので $\deg h=\pm1$ である。

主張 (3)を示す。有限原像 $F=f^{-1}(y)$ を考える。局所群の普遍係数定理により $\langle v,\mu_y\rangle=1$ を満たす $v\in H^n(N\,|\,y;\Z)$ をとることができる。 $\tau_N(q_yv)=1$ なので $q_yv=u_N$ である。固有引き戻しの定義と評価の自然性から

\deg f=\tau_M(q_F(f^*v))=\langle f^*v,\mu_F\rangle =\langle v,f_*\mu_F\rangle.

$F=\varnothing$ ならば $H_n(M\,|\,F)=0$ なので結果は零となる。

$F\neq\varnothing$ の場合、Hausdorff 性により各 $x_j$ の互いに交わらない開近傍 $U_j$ をとる。 $U_j$ 上の局所向きを $H_n(M\,|\,F)$ へ送った像の和は、各 $x_j$ で $\mu_{x_j}$ へ写る。相対基本類の一意性から、この和は $\mu_F$ に等しい。したがって

f_*\mu_F=\sum_j\deg_{x_j}(f;y)\mu_y

であり、上の評価式が主張 (3)を与える。局所向きを保つ同相写像では原像が一点で局所次数が $1$ なので、主張 (2)の残りも従う。被覆についての主張 (4)の証明は問題 6.3で与える。▨

例 2.4. 各空間には標準の向きを入れる。

$f(x)=x^2$ と $g(x)=x^3$ は $\R$ の固有写像である。 $f^{-1}(-1)=\varnothing$ なので $\deg f=0$ である。 $g$ は $\R\setminus\{0\}$ の二つの弧状連結成分をそれぞれ自身へ送るため、相対完全列の連結同型 $H_1(\R\,|\,0)\cong\widetilde H_0(\R\setminus\{0\})$ の自然性から局所次数は $1$ となる。よって $\deg g=1$ である。
$d\geq1$ に対して $h(z)=z^d$ は $\C$ の固有写像である。実際、コンパクト集合の逆像は閉かつ有界なのでコンパクトである。 $h^{-1}(0)=\{0\}$ であり、連結同型 $H_2(\C\,|\,0)\cong H_1(\C\setminus\{0\})\cong H_1(S^1)$ の自然性で局所次数を求める。§E21.10 命題 5.3と一次 Hurewicz 同型により $z\mapsto z^d$ は円周の $H_1$ に $d$ 倍を誘導するから、 $\deg h=d$ である。
$p_d(z)=z^d$ は $S^1$ の $d$ 重被覆であり、同じ $H_1$ の計算と閉多様体の写像度の一致から $\deg p_d=d$ である。任意の点の $d$ 個の原像では局所次数がそれぞれ $\pm1$ で、その和が $d$ なので、すべて $1$ となる。したがって $p_d$ は局所向きを保つ。一方、共役 $c(z)=\bar z$ は座標鏡映なので§E21.19 命題 1.3により写像度 $-1$ をもつ。よって $q(z)=\bar z^d=p_d(c(z))$ も $d$ 重被覆であるが、 $\deg q=-d$ である。被覆の枚数の公式では、局所向きを保つという仮定を外すことはできない。

3 カップ積の対と Betti 数

系 3.1. $M$ を閉 $n$ 次元多様体とする。

体 $F$ に対して $M$ が $F$ 向きづけられているなら、双線形形式 $H^k(M;F)\times H^{n-k}(M;F)\to F,\qquad (a,b)\longmapsto\langle a\smile b,[M]\rangle$ の左右の核は零である。この形式が与える写像 $H^{n-k}(M;F)\to\Hom_F(H^k(M;F),F)$ は同型である。
$M$ が整数係数で向きづけられ、 $H_*(M;\Z)$ が有限生成であるとする。 $T^j\subseteq H^j(M;\Z)$ を捩れ部分群とすると、同じ式は完全な対 $H^k(M;\Z)/T^k\times H^{n-k}(M;\Z)/T^{n-k}\longrightarrow\Z$ を誘導する。すなわち各変数についての随伴写像は同型である。

証明.主張 (1)を示す。体係数では、普遍係数定理の評価同型 $\rho:H^{n-k}(M;F)\to\Hom_F(H_{n-k}(M;F),F)$ と、双対同型 $D:H^k(M;F)\to H_{n-k}(M;F)$ の双対写像の合成 $D^*\rho$ を考える。キャップ積の評価公式から

(D^*\rho(b))(a)=\langle b,[M]\frown a\rangle =\langle a\smile b,[M]\rangle

であり、これは二つの同型の合成である。非零なベクトルを検出する線形汎関数が存在するため左核は零であり、 $D^*\rho$ の単射性から右核も零である。有限次元性は仮定していない。

主張 (2)を示す。整数係数では、有限生成の普遍係数定理により評価は

H^{n-k}(M;\Z)/T^{n-k}\xrightarrow{\cong}\Hom(H_{n-k}(M;\Z),\Z)

を与える。双対写像は捩れ部分を捩れ部分へ送るので、自由部分の同型を得る。上と同じ合成が一方の随伴同型を与え、次数を入れ替えた式と次数付き交換律がもう一方の同型を与える。捩れ類との積の評価は整数の捩れ元となるため零であり、対は商上に定まる。▨

系 3.2. $M$ を閉 $n$ 次元多様体とし、 $H_*(M;\Z)$ は有限生成とする。 $H_k(M;\Z)\cong\Z^{b_k}\oplus T_k$ と書く。範囲外の次数の群は零とする。

$M$ が向きづけられているなら、 $b_k=b_{n-k}$ 、 $T_k\cong T_{n-k-1}$ である。
向きづけを仮定しなくても、 $\dim_{\mathbb F_2}H_k(M;\mathbb F_2)=\dim_{\mathbb F_2}H_{n-k}(M;\mathbb F_2)$ である。

証明.主張 (1)を示す。整数係数の双対と§E21.31 系 2.5 (1)を組み合わせると

H_k(M;\Z)\cong H^{n-k}(M;\Z) \cong\Z^{b_{n-k}}\oplus T_{n-k-1}

となる。有限生成アーベル群の自由部分と捩れ部分を比較すれば主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。 $\mathbb F_2$ 係数の双対と体係数の普遍係数定理により相補次数の有限次元ベクトル空間が互いに双対となる。▨

系 3.3. $n$ を奇数、 $M$ を閉 $n$ 次元多様体とし、 $H_*(M;\Z)$ は有限生成とする。このとき、向きづけ可能性にかかわらず、 $\chi(M)=\sum_i(-1)^ib_i(M)=0$ である。 $M$ が有限胞体複体の構造をもつ場合には、胞体数による Euler 標数も零である。

証明. $T_i$ の $2$ 成分に現れる巡回因子の個数を $t_i$ とし、 $d_i=\dim_{\mathbb F_2}H_i(M;\mathbb F_2)$ と書く。§E21.31 系 2.5 (3)により $d_i=b_i+t_i+t_{i-1}$ である。§E21.36 系 5.4により群は高次で零なので交代和は有限であり、捩れの二つの項は打ち消し合う。よって $\sum_i(-1)^id_i=\sum_i(-1)^ib_i$ である。前の系の対称性 $d_i=d_{n-i}$ と $n$ が奇数であることから、左辺は相補次数の項が相殺して零となる。胞体数との一致は§E21.25 定理 2.2による。▨

4 射影空間の環と交叉形式

系 4.1. $m\geq1$ とする。

$H^*(\mathbb{CP}^m;\Z)\cong\Z[x]/(x^{m+1})$ 、 $|x|=2$ である。
$H^*(\mathbb{RP}^m;\mathbb F_2)\cong\mathbb F_2[w]/(w^{m+1})$ 、 $|w|=1$ である。

証明.主張 (1)を示す。複素射影空間について $m$ の帰納法を用いる。 $m=1$ は $\mathbb{CP}^1\cong S^2$ と球面の群から従う。標準の胞体分解で $\mathbb{CP}^{m-1}$ は部分複体であり、各偶数次元に一つの胞体をもつ。胞体余境界は零なので、胞体コホモロジーの自然な比較同型により、制限は次数 $k\leq2m-2$ の同型である。帰納法の生成元を持ち上げた $x\in H^2(\mathbb{CP}^m;\Z)$ に対して、 $x^j$ は $0\leq j<m$ の各次数の生成元となる。

§E21.36 命題 5.5により $\mathbb{CP}^m$ は向きづけ可能な閉多様体であり、そのホモロジーは有限生成自由である。整数係数の完全な対を $H^2\times H^{2m-2}$ に適用すると、二つの生成元 $x,x^{m-1}$ の積の評価は $\pm1$ である。したがって $x^m$ は最高次の生成元となる。高次の群は零なので、表示の環を得る。

主張 (2)を示す。実射影空間では $\mathbb F_2$ 係数の標準胞体余鎖の余境界がすべて零であり、包含 $\mathbb{RP}^{m-1}\hookrightarrow\mathbb{RP}^m$ は次数 $k\leq m-1$ の同型を誘導する。 $m=1$ は $S^1$ の群による。帰納法により $w^{m-1}$ が次数 $m-1$ の生成元であり、 $\mathbb F_2$ 係数の完全な対から $w\smile w^{m-1}\neq0$ となる。各次数の群は一次元なので、同じく表示の環を得る。▨

系 4.2. $M$ を向きづけられた閉 $2m$ 次元多様体とし、 $H_*(M;\Z)$ が有限生成であるとする。 $L=H^m(M;\Z)/T^m$ の上の形式

Q_M(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle

を交叉形式 (intersection form) という。

$Q_M$ はユニモジュラーである。すなわち随伴写像 $L\to\Hom(L,\Z)$ は同型である。
$m$ が偶数ならば $Q_M$ は対称である。
$m$ が奇数ならば、すべての $a\in L$ に対して $Q_M(a,a)=0$ であり、 $Q_M$ は交代的である。

$m=1$ で $M$ が空でなく連結ならば、この形式は§E21.34 定義 3.2 (1)の曲面の交叉形式が $L$ に誘導する形式に一致する。

証明.主張 (1)を示す。整数係数の完全な対を $k=m$ に適用すると主張 (1)を得る。

主張 (2)と主張 (3)を示す。次数付き交換律により $Q_M(a,b)=(-1)^{m^2}Q_M(b,a)$ なので、 $m$ が偶数なら対称である。 $m$ が奇数の場合には $2Q_M(a,a)=0$ であり、値は整数なので $Q_M(a,a)=0$ となる。曲面の場合の一致は、§E21.36 命題 5.2の基本類の一致による。▨

例 4.3.

$\mathbb{CP}^2$ では $H^2=\Z x$ であり、 $\langle x^2,[\mathbb{CP}^2]\rangle=1$ となる向きを選ぶと交叉形式の行列は $(1)$ である。逆の向きでは $(-1)$ となる。
$S^2\times S^2$ では§E21.35 系 3.2 (1)の $a=u\times1$ 、 $b=1\times u$ に対して $a^2=b^2=0$ であり、 $ab$ が最高次の生成元である。この多様体は§E21.3 命題 4.1により単連結なので向きづけ可能である。最高次の評価同型により $\langle ab,[S^2\times S^2]\rangle=1$ となる向きをとると、交叉形式の行列は $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ である。

後者では $Q(ra+sb,ra+sb)=2rs$ は常に偶数であるが、前者では奇数値をとる。したがって二つの形式は同型でない。

5 仮定と計算例

例 5.1. 双対の定理とその系の仮定を外すと、次の相違が生じる。

$n\geq1$ で $H^0(\R^n;\Z)=\Z$ であるが、 $H_n(\R^n;\Z)=0$ である。コンパクト台コホモロジーでは $H^0_c(\R^n;\Z)=0$ となり、双対が成り立つ。
$H^0(\mathbb{RP}^2;\Z)=\Z$ であるが、 $H_2(\mathbb{RP}^2;\Z)=0$ である。整数係数では向きの仮定が必要であり、 $\mathbb F_2$ 係数では双方が $\mathbb F_2$ となる。
向きづけ可能な閉多様体 $\mathbb{RP}^3$ について、§E21.31 例 3.1により $H^1(-;\Z)=0$ 、 $H^2(-;\Z)=\Z/2\Z$ である。したがってカップ積の対による $H^2\to\Hom(H^1,\Z)$ は単射でない。整数係数の完全な対では、捩れ部分を法とすることが必要である。
$\R^3$ と閉球体 $D^3$ は可縮なので Euler 標数は $1$ である。前者は非コンパクトであり、後者は境界をもつので、いずれも閉多様体の奇数次元の消滅定理の仮定を満たさない。

例 5.2. $\R^n\setminus\{0\}$ には標準の向きが制限されるので、双対定理は

H^k_c(\R^n\setminus\{0\};\Z)\cong H_{n-k}(\R^n\setminus\{0\};\Z) \cong H_{n-k}(S^{n-1};\Z)

を与える。最後の同型は半径方向の変位レトラクションによる。 $n\geq2$ では右辺は $k=1,n$ で $\Z$ 、ほかで零である。 $n=1$ では§E21.18 定理 2.2の $S^0$ の場合により $k=1$ で $\Z^2$ 、ほかで零となる。これは§E21.38 例 4.3の独立の計算と一致する。

6 演習

問題 6.1. 台の拡大の補題補題 1.1と、開集合についての自然性命題 1.3 (1)を証明せよ。

解答.

$K\subseteq L$ に対して、恒等写像を対の写像 $(M,M\setminus L)\to(M,M\setminus K)$ とみなす。相対基本類の整合性により $\mu_L$ の像は $\mu_K$ である。射影公式を適用すると

\mu_L\frown\varphi_L=\mu_K\frown\varphi

を得る。値をとる絶対ホモロジー上の写像は恒等写像なので、これが補題の等式である。

次に $K\subseteq W\subseteq M$ 、 $W$ は開集合、 $K$ はコンパクト集合とする。 $a\in H^k(W\,|\,K;R)$ を切除同型の逆によって $\bar a\in H^k(M\,|\,K;R)$ へ移す。 $W$ の相対基本類を $\mu_K^W$ とすると $i_*\mu_K^W=\mu_K^M$ であり、 $i^*\bar a=a$ である。射影公式により

i_*(\mu_K^W\frown a)=\mu_K^M\frown\bar a.

構造写像を通して余極限へ移せば $i_*D_W=D_M\iota_{W,M}$ を得る。▨

問題 6.2. $M$ を向きづけられた連結閉 $5$ 次元多様体とし、ホモロジーは有限生成で、 $H_1(M;\Z)=\Z/2\Z$ 、 $H_2(M;\Z)=0$ とする。残りの整数係数ホモロジー群を双対と普遍係数定理から求め、 $\mathbb{RP}^5$ と比較せよ。

解答.

連結性から $H_0=\Z$ 、基本類から $H_5=\Z$ である。普遍係数定理により $H^1=0$ であり、 $H^2\cong\operatorname{Ext}(H_1,\Z)\cong\Z/2\Z$ である。双対 $H_4\cong H^1$ 、 $H_3\cong H^2$ から

H_0=H_5=\Z,\qquad H_1=H_3=\Z/2\Z,\qquad H_2=H_4=0

を得る。高次は消滅する。§E21.24 命題 4.1 (1)による $\mathbb{RP}^5$ の群も、正の奇数次数 $1,3$ に $\Z/2\Z$ 、最高次 $5$ に $\Z$ をもち、上の計算に一致する。▨

問題 6.3. 局所向きを保つ固有な $d$ 重被覆について、局所次数の和の公式を用いて命題 2.3 (4)を証明せよ。

解答.

$y\in N$ の均等被覆近傍をとる。その逆像は $d$ 枚の互いに交わらないシートからなり、各シートは $y$ の原像 $x_j$ を一つ含む。各制限写像は局所向きを保つ同相写像なので $f_*\mu_{x_j}=\mu_y$ であり、 $\deg_{x_j}(f;y)=1$ である。したがって

\deg f=\sum_{j=1}^d\deg_{x_j}(f;y)=d.

とくに閉多様体の間の被覆では、コンパクト集合の逆像はコンパクトな定義域の閉部分集合なので固有であり、この結論を適用することができる。▨

§E21.39Poincaré 双対

1 双対写像と Poincaré 双対

2 固有写像の写像度

3 カップ積の対と Betti 数

4 射影空間の環と交叉形式

5 仮定と計算例

6 演習

参考文献

前提記事