§E21.4基本群の関手性とホモトピー不変性

最終更新

連続写像は、空間の中のループを別の空間のループへ移し、基本群の準同型を定める。しかし、写像をホモトピーで変形するとき、基点の像も動くため、誘導される準同型の比較には基点の移動を考慮する必要がある。たとえば、閉円板は一点へ縮めることができ、任意の基点における基本群は自明である。基本群の関手性とホモトピー不変性は、空間の間の写像と変形を群の言葉で扱うために重要である。本記事では、写像が誘導する準同型とホモトピーによる比較を扱う。

1 誘導準同型

命題 1.1. 位相空間X,YX,Yと点x0∈Xx_0\in X、y0∈Yy_0\in Yに対し、連続写像f:X→Yf:X\to Yがf(x0)=y0f(x_0)=y_0を満たすとする。このときf#:π1(X,x0)⟶π1(Y,y0),[α]⟼[f∘α]f_\#:\pi_1(X,x_0)\longrightarrow\pi_1(Y,y_0),\qquad [\alpha]\longmapsto[f\circ\alpha]は代表元によらない群準同型である。

証明.α\alphaがx0x_0におけるループならf∘αf\circ\alphaはy0y_0におけるループである。端点固定ホモトピーHHとffの合成は端点固定ホモトピーであるから、[f∘α][f\circ\alpha]は代表元によらない。さらにf∘(α∗β)=(f∘α)∗(f∘β)f\circ(\alpha*\beta)=(f\circ\alpha)*(f\circ\beta)が写像として成り立つので、f#f_\#は準同型である。▨

命題 1.2. 基点を保つ連続写像f:(X,x0)→(Y,y0)f:(X,x_0)\to(Y,y_0)、g:(Y,y0)→(Z,z0)g:(Y,y_0)\to(Z,z_0)に対して

(g∘f)#=g#∘f#,(id⁡X)#=id⁡π1(X,x0)(g\circ f)_\#=g_\#\circ f_\#, \qquad (\id_X)_\#=\id_{\pi_1(X,x_0)}

が成り立つ。

証明. 各ループα\alphaに対して[(g∘f)∘α]=[g∘(f∘α)][(g\circ f)\circ\alpha]=[g\circ(f\circ\alpha)]、[id⁡X∘α]=[α][\id_X\circ\alpha]=[\alpha]である。▨

注意 1.3. 空間と基点に群を、基点を保つ連続写像に準同型を対応させ、合成と恒等写像を保つという命題 1.2の性質を、基本群の関手性という。

命題 1.4.f:X→Yf:X\to Yを連続写像、γ\gammaをXX内のx0x_0からx1x_1への道とする。各基点で誘導される準同型をfxj#:π1(X,xj)→π1(Y,f(xj))f_{x_j\#}:\pi_1(X,x_j)\to\pi_1(Y,f(x_j))と書くと、fx1#∘βγ=βf∘γ∘fx0#f_{x_1\#}\circ\beta_\gamma=\beta_{f\circ\gamma}\circ f_{x_0\#}が成り立つ。

証明.x0x_0における任意のループα\alphaに対し、両辺は[f∘γˉ∗f∘α∗f∘γ][f\circ\bar\gamma*f\circ\alpha*f\circ\gamma]を与える。▨

2 ホモトピーによる基点の移動

定理 2.1.f,f′:X→Yf,f':X\to Yを連続写像、H:X×[0,1]→YH:X\times[0,1]\to Yをffからf′f'へのホモトピー、x0∈Xx_0\in Xとする。このとき、h(t)=H(x0,t)h(t)=H(x_0,t)とおくと、hhはf(x0)f(x_0)からf′(x0)f'(x_0)への道であり、

fx0#′=βh∘fx0#:π1(X,x0)⟶π1(Y,f′(x0))f'_{x_0\#}=\beta_h\circ f_{x_0\#}:\pi_1(X,x_0)\longrightarrow\pi_1(Y,f'(x_0))

が成り立つ。とくに、HHがx0x_0を固定するならfx0#′=fx0#f'_{x_0\#}=f_{x_0\#}である。

証明.x0x_0におけるループα\alphaをとり、F(s,t)=H(α(s),t)F(s,t)=H(\alpha(s),t)とおく。正方形の境界を(0,0)(0,0)、(1,0)(1,0)、(1,1)(1,1)、(0,1)(0,1)、(0,0)(0,0)の順にたどるループをbbとする。B(s,u)=(1−u)b(s)B(s,u)=(1-u)b(s)は正方形内の端点固定ホモトピーであり、bbを(0,0)(0,0)における定値道へ移す。F∘BF\circ Bにより、道の再パラメータ化を除いて

(f∘α)∗h∗f′∘α‾∗hˉ(f\circ\alpha)*h*\overline{f'\circ\alpha}*\bar h

は定値ループと端点を固定してホモトピックである。このホモトピーの前にhˉ\bar h、後にhhを連結し、§E21.3 補題 2.3、§E21.3 補題 2.4および§E21.3 補題 2.2を適用すると、[hˉ∗(f∘α)∗h] [f′∘α]−1=1[\bar h*(f\circ\alpha)*h]\,[f'\circ\alpha]^{-1}=1をπ1(Y,f′(x0))\pi_1(Y,f'(x_0))の中で得る。よって[f′∘α]=βh([f∘α])[f'\circ\alpha]=\beta_h([f\circ\alpha])である。H(x0,t)H(x_0,t)が一定ならhhは定値道であり、βh\beta_hは恒等写像である。▨

定理 2.2.f:X→Yf:X\to Yをホモトピー同値写像（§E21.1 定義 2.1）とする。

  1. 任意のx0∈Xx_0\in Xに対し、fx0#:π1(X,x0)→π1(Y,f(x0))f_{x_0\#}:\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,f(x_0))は群の同型である。

証明.g:Y→Xg:Y\to Xをffのホモトピー逆写像とし、H:g∘f≃id⁡XH:g\circ f\simeq\id_X、K:f∘g≃id⁡YK:f\circ g\simeq\id_Yをとる。y0=f(x0)y_0=f(x_0)、h(t)=H(x0,t)h(t)=H(x_0,t)、k(t)=K(y0,t)k(t)=K(y_0,t)とおく。定理 2.1と命題 1.2により

βh∘gy0#∘fx0#=id⁡π1(X,x0),βk∘fg(y0)#∘gy0#=id⁡π1(Y,y0)\beta_h\circ g_{y_0\#}\circ f_{x_0\#}=\id_{\pi_1(X,x_0)},\qquad \beta_k\circ f_{g(y_0)\#}\circ g_{y_0\#}=\id_{\pi_1(Y,y_0)}

である。第一式からfx0#f_{x_0\#}は単射である。第二式とβk\beta_kの全単射性から、fg(y0)#f_{g(y_0)\#}は全射である。

道h:g(y0)→x0h:g(y_0)\to x_0に命題 1.4を適用するとfx0#∘βh=βf∘h∘fg(y0)#f_{x_0\#}\circ\beta_h=\beta_{f\circ h}\circ f_{g(y_0)\#}を得る。右辺は全射なので、fx0#f_{x_0\#}も全射である。▨

3 単連結空間

定義 3.1 (単連結空間). 空でない位相空間XXが弧状連結であり、あるx0∈Xx_0\in Xが存在してπ1(X,x0)\pi_1(X,x_0)が自明群であるとき、XXは 単連結 (simply connected) であるという。

注意 3.2.§E21.3 系 3.3により、単連結空間の基本群はすべての基点で自明群である。

系 3.3. 可縮空間XXは単連結であり、任意の基点における基本群は自明群である。

証明.H:X×[0,1]→XH:X\times[0,1]\to Xをa∈Xa\in Xへの収縮とすると、t↦H(x,t)t\mapsto H(x,t)は任意のx∈Xx\in Xからaaへの道である。よってXXは弧状連結である。§E21.1 命題 2.2と定理 2.2により、任意の基点における基本群は一点空間の基本群、すなわち自明群と同型である。▨

定理 3.4. 空でない凸集合C⊆RnC\subseteq\R^nに対して、次が成り立つ。

  1. CCは可縮である。
  2. CCは単連結であり、任意の基点で基本群が自明である。

証明.主張 (1)を示す。x0∈Cx_0\in Cをとる。凸性によりH(x,t)=(1−t)x+tx0H(x,t)=(1-t)x+tx_0の値はCCに属する。HHは連続であり、id⁡C\id_Cからx0x_0への定値写像へのホモトピーなのでCCは可縮である。

主張 (2)の単連結性と基本群の主張は系 3.3による。▨

例 3.5. 閉円板D2D^2では、H(x,t)=(1−t)xH(x,t)=(1-t)xが原点への収縮である。∥H(x,t)∥=(1−t)∥x∥≤1\lVert H(x,t)\rVert=(1-t)\lVert x\rVert\le1なので、変形の全時刻で像は閉円板の中にある。

4 円板への延長

命題 4.1.XXを位相空間、x0∈Xx_0\in X、α\alphaをx0x_0におけるループとする。α^(e2πis)=α(s)\hat\alpha(e^{2\pi is})=\alpha(s)により連続写像α^:S1→X\hat\alpha:S^1\to Xを定める。このとき[α]=1[\alpha]=1であることは、α^\hat\alphaが連続写像D2→XD^2\to Xへ延長されるための必要十分条件である。

証明. 演習とする（問題 5.1 (1)）。▨

5 演習

問題 5.1.

  1. 命題 4.1の証明を完成させよ。
  2. f,f′:X→Yf,f':X\to Y、H:f≃f′H:f\simeq f'、f(x0)=f′(x0)=y0f(x_0)=f'(x_0)=y_0とする。h(t)=H(x0,t)h(t)=H(x_0,t)とおくと、任意の[α]∈π1(X,x0)[\alpha]\in\pi_1(X,x_0)に対してfx0#′([α])=[h]−1fx0#([α])[h]f'_{x_0\#}([\alpha])=[h]^{-1}f_{x_0\#}([\alpha])[h]が成り立つことを示せ。さらに、π1(Y,y0)\pi_1(Y,y_0)が可換ならfx0#=fx0#′f_{x_0\#}=f'_{x_0\#}であることを示せ。
  3. f:X→Yf:X\to Yが定値写像とホモトピックなら、任意のx0∈Xx_0\in Xにおいてfx0#f_{x_0\#}が自明な準同型であることを示せ。また、XXまたはYYが可縮なら任意の連続写像f:X→Yf:X\to Yが自明な準同型を誘導することを示せ。
解答.

  1. e:[0,1]→S1e:[0,1]\to S^1、e(s)=e2πise(s)=e^{2\pi is}はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全射なので商写像である（§E2.19 問題 11.6）。α(0)=α(1)\alpha(0)=\alpha(1)であるから、§E2.12 定理 8.10によりα^∘e=α\hat\alpha\circ e=\alphaを満たす連続写像α^\hat\alphaが一意に存在する。

    延長G:D2→XG:D^2\to Xが存在するとき、H(s,t)=G((1−t)e2πis+t)H(s,t)=G((1-t)e^{2\pi is}+t)はα\alphaからex0e_{x_0}への端点固定ホモトピーである。実際、円板の凸性により式の引数は円板内にあり、s=0,1s=0,1では常に11である。

    逆に、端点固定ホモトピーH:α≃ex0H:\alpha\simeq e_{x_0}が存在するとする。[0,1][0,1]は正則かつ局所コンパクトなので、§E2.37 定理 5.2によりe×id⁡[0,1]e\times\id_{[0,1]}は商写像である。H(0,t)=H(1,t)=x0H(0,t)=H(1,t)=x_0であるから、HHは連続写像F:S1×[0,1]→XF:S^1\times[0,1]\to Xに降りる。F(z,0)=α^(z)F(z,0)=\hat\alpha(z)、F(z,1)=x0F(z,1)=x_0であるから、F(z,1−t)F(z,1-t)に§E21.2 系 2.2 (1)を適用するとCS1→XCS^1\to Xを得る。§E21.2 命題 2.7 (1)の同相CS1→D2CS^1\to D^2は[z,1][z,1]をzzへ写すので、この写像はα^\hat\alphaの円板への延長を与える。

  2. hhはy0y_0におけるループである。定理 2.1と基点変更の式により、fx0#′([α])=βh(fx0#([α]))=[h]−1fx0#([α])[h]f'_{x_0\#}([\alpha])=\beta_h(f_{x_0\#}([\alpha]))=[h]^{-1}f_{x_0\#}([\alpha])[h]である。π1(Y,y0)\pi_1(Y,y_0)が可換なら右辺はfx0#([α])f_{x_0\#}([\alpha])に等しい。

  3. 定値写像ccはすべてのループを定値ループへ写すので、c#c_\#は自明である。f≃cf\simeq cなら定理 2.1によりc#=βh∘f#c_\#=\beta_h\circ f_\#であり、βh\beta_hは同型なのでf#f_\#も自明である。XXの収縮とffを合成すればffは定値写像とホモトピックになり、YYの収縮とf×id⁡[0,1]f\times\id_{[0,1]}を合成しても同じ結論を得る。

▨

参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.基本群の関手性とホモトピー不変性の標準的な証明を参考にした。

前提記事