§E21.41Čech コホモロジーと特異コホモロジー

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位相空間のコホモロジーには、標準単体からの連続写像を使って定める特異コホモロジーのほかに、開被覆と層を使って定める Čech コホモロジーがある。両者は一般には一致しない。たとえば、R\Rの部分空間{0}∪{1/n∣n∈N≥1}\{0\}\cup\{1/n\mid n\in\NN\}の上では、整数を値とする定数層の零次の Čech コホモロジーは可算であるが、整数係数の零次の特異コホモロジーは非可算である。二つを比べるために、開集合に特異余鎖の群を対応させる前層を層化する。こうして得られる層の列は、パラコンパクトな Hausdorff 空間の上では細層からなり、空間が局所可縮であれば定数層の細分解になる。その結果、局所可縮なパラコンパクト Hausdorff 空間の上では、定数層に係数をもつ Čech コホモロジーと特異コホモロジーは自然に同型である。位相多様体はこの仮定を満たすので、位相多様体の Čech コホモロジーは特異コホモロジーの計算によって求めることができる。本記事では、この比較定理を証明し、その系と、局所可縮性を外すと結論が成り立たない例を解説する。

1 単体の族と細分

注意 1.1. 位相空間XXの特異単体の族Σ=(Σp)p≥0\Sigma=(\Sigma_p)_{p\ge0}を考える。

  1. Σ\Sigmaは次の二条件を満たす。
    1. Σ0\Sigma_0はXXのすべての点からなる。
    2. Σp\Sigma_pの任意の元σ\sigmaと、標準単体の間の任意のアフィン写像α ⁣:Δq→Δp\alpha\colon\Delta^q\to\Delta^pについて、σ∘α∈Σq\sigma\circ\alpha\in\Sigma_qである。
  1. 開集合U⊆XU\subseteq Xについて、像がUUに含まれるΣ\Sigmaの単体を基底とする自由アーベル群をCpΣ(U)C_p^\Sigma(U)と書く。境界は通常の面の交代和とし、アーベル群MMに対してSΣp(U;M)=Hom⁡(CpΣ(U),M)S_\Sigma^p(U;M)=\operatorname{Hom}(C_p^\Sigma(U),M)、(δc)(z)=c(∂z)(\delta c)(z)=c(\partial z)とおく。すべての特異単体の族をΣall\Sigma_{\mathrm{all}}と書く。
  2. XXの開被覆U\mathcal Uに対し、像がUUに含まれ、U\mathcal Uに従属するΣ\Sigmaの単体を基底とする自由アーベル群をCpΣ,U(U)C_p^{\Sigma,\mathcal U}(U)と書き、SΣ,Up(U;M)=Hom⁡(CpΣ,U(U),M)S_{\Sigma,\mathcal U}^p(U;M)=\operatorname{Hom}(C_p^{\Sigma,\mathcal U}(U),M)とおく。

補題 1.2.Σ\Sigmaを注意 1.1 条件 (a)の条件を満たすXXの単体の族、UUを開集合、U\mathcal Uを開被覆とする。このとき、C∙Σ(U)C_\bullet^\Sigma(U)とC∙Σ,U(U)C_\bullet^{\Sigma,\mathcal U}(U)は通常の特異鎖複体の自由部分複体である。開集合V⊆UV\subseteq Uについて、C∙Σ(V)⊆C∙Σ(U)C_\bullet^\Sigma(V)\subseteq C_\bullet^\Sigma(U)かつC∙Σ,U(V)⊆C∙Σ,U(U)C_\bullet^{\Sigma,\mathcal U}(V)\subseteq C_\bullet^{\Sigma,\mathcal U}(U)である。SΣall∙(U;M)S_{\Sigma_{\mathrm{all}}}^\bullet(U;M)は係数付き特異余鎖複体C∙(U;M)C^\bullet(U;M)と標準的に同一視される。

証明. 面写像はアフィン写像であり、面の像は元の単体の像に含まれるので、両群は境界で保たれる。境界の二乗が零であることは特異鎖複体から従う。開集合の包含は基底の包含を与える。最後の同一視は、§E21.29 注意 1.2のΦU\Phi_Uであり、余境界と可換である。▨

補題 1.3.

  1. 重心細分SιnS\iota_nはΔn\Delta^n内のアフィン単体の整数線形結合であり、任意の特異nn単体σ\sigmaについてSσ=σ#(Sιn)S\sigma=\sigma_\#(S\iota_n)である。
  2. 自然性、∂T+T∂=id−S\partial T+T\partial=\mathrm{id}-S、像の保存を満たす鎖ホモトピーTTで、TnιnT_n\iota_nがΔn\Delta^n内のアフィン単体の整数線形結合となり、任意の特異nn単体σ\sigmaについてTσ=σ#(Tnιn)T\sigma=\sigma_\#(T_n\iota_n)となるものが存在する。
  3. 注意 1.1 条件 (a)の条件を満たす族Σ\Sigmaに対し、SSとこのTTはC∙Σ(U)C_\bullet^\Sigma(U)とC∙Σ,U(U)C_\bullet^{\Sigma,\mathcal U}(U)を保つ。

証明.主張 (1)は§E21.16 定義 1.1 (2)と§E21.16 定義 1.1 (3)による。

主張 (2)は§E21.16 命題 1.5のアフィン性と自然性による。

主張 (3)の証明は問題 5.1で演習とする。▨

定理 1.4.Σ\Sigmaを注意 1.1 条件 (a)の条件を満たす単体の族、U\mathcal Uを開被覆とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 包含C∙Σ,U(X)↪C∙Σ(X)C_\bullet^{\Sigma,\mathcal U}(X)\hookrightarrow C_\bullet^\Sigma(X)はホモロジーの同型を誘導する。
  2. 任意のアーベル群MMに対し、制限SΣ∙(X;M)→SΣ,U∙(X;M)S_\Sigma^\bullet(X;M)\to S_{\Sigma,\mathcal U}^\bullet(X;M)は各次数で全射であり、その核は非輪状である。

証明.主張 (1)を示す。アフィン単体τ\tauについて、特異鎖としてのSτ=τ#SιnS\tau=\tau_\#S\iota_nは、アフィン単体としての細分に一致する。実際、アフィン写像は重心と錐を保つので、§E21.16 定義 1.1 (2)の漸化式について次数の帰納法を適用することができる。したがって反復した細分にも§E21.16 命題 1.4の直径評価を適用することができる。

各特異単体σ\sigmaの逆像被覆σ−1U\sigma^{-1}\mathcal Uに§E2.9 補題 2.3を適用する。十分大きいrrではSrιnS^r\iota_nの各単体がこの逆像被覆の元に入り、SrσS^r\sigmaはU\mathcal Uに従属する鎖である。零次の単体の像は一点なので、零次の単体は初めからU\mathcal Uに従属する。有限個の単体からなる鎖には共通のrrを選ぶことができる。

Tr=∑j=0r−1SjTT_r=\sum_{j=0}^{r-1}S^jTとおくと、∂Tr+Tr∂=id−Sr\partial T_r+T_r\partial=\mathrm{id}-S^rであり、補題 1.3 (3)によりTrT_rは族の鎖と小鎖を保つ。輪体zzを十分細分すればSrzS^rzは小輪体になり、z−Srz=∂Trzz-S^rz=\partial T_rzなので全射性が従う。小輪体zzがb∈C∙Σ(X)b\in C_\bullet^\Sigma(X)によってz=∂bz=\partial bと書かれるとき、SrbS^rbが小さくなるようにrrを選ぶと

z=∂(Srb+Trz)z=\partial(S^rb+T_rz)

となり、右辺の鎖は小鎖である。したがって単射性も成り立つ。

主張 (2)を示す。小鎖は基底の部分集合で生成されるので、その上の余鎖は残りの基底で零と定めて延長することができる。また商複体Q∙=C∙Σ(X)/C∙Σ,U(X)Q_\bullet=C_\bullet^\Sigma(X)/C_\bullet^{\Sigma,\mathcal U}(X)は非負の自由複体である。主張 (1)と§E6.34 定理 2.2によりQ∙Q_\bulletは非輪状なので、§E6.35 補題 3.1 (1)により可縮である。制限の核はHom⁡(Q∙,M)\operatorname{Hom}(Q_\bullet,M)であり、縮約を双対化するとこの核も可縮になる。以上より主張 (2)が成り立つ。▨

2 余鎖の層

命題 2.1.Σ\Sigmaを注意 1.1 条件 (a)の条件を満たすXX上の単体の族、MMをアーベル群とする。DDは§E20.6 命題 2.8のすべての整数値関数の層とする。このとき、次が成り立つ。

  1. U↦SΣp(U;M)U\mapsto S_\Sigma^p(U;M)は単体上の値の制限によって前層をなし、余境界は前層の射である。この前層は空集合上で零であり、貼り合わせの条件を満たす。M≠0M\ne0で、像がUUに含まれ、UUの開被覆(Ui)(U_i)のどの元にも像が含まれないΣ\Sigmaのpp単体が存在すれば、UU上で零でなくすべてのUiU_i上で零となる余鎖が存在する。
  2. ϕ∈D(U)\phi\in D(U)とc∈SΣp(U;M)c\in S_\Sigma^p(U;M)に対し (ϕc)(σ)=ϕ(σ(e0))c(σ)(\phi c)(\sigma)=\phi(\sigma(e_0))c(\sigma) と定めると、SΣp(−;M)S_\Sigma^p(-;M)はDD上の加群の前層である。
  3. 層化SΣp=(SΣp(−;M))+\mathcal S_\Sigma^p=(S_\Sigma^p(-;M))^+と層化した余境界ddは層の複体をなす。各SΣp\mathcal S_\Sigma^pはDD上の加群の層である。局所定数関数を零次余鎖とみなす射ε ⁣:MX→SΣ0\varepsilon\colon M_X\to\mathcal S_\Sigma^0はdε=0d\varepsilon=0を満たす。
  4. XXがパラコンパクトな Hausdorff 空間ならば、各SΣp\mathcal S_\Sigma^pは細層である。

証明.主張 (1)を示す。制限の合成則と余境界との可換は、同じ単体上の値を取ることから従う。空集合に特異単体は存在しないので余鎖群は零である。交わりで一致する局所余鎖cic_iが与えられたとする。像があるUiU_iに入る単体にはcic_iの値を与え、どのUiU_iにも入らない単体には零を与える。複数のUiU_iに入る場合には交わり上の一致により値が等しいので、これは貼り合わせになる。像がUUに含まれ、どのUiU_iにも像が含まれないpp単体σ∈Σp\sigma\in\Sigma_pが存在するときは、σ\sigmaに0≠m∈M0\ne m\in Mを与え、他の基底単体には零を与えればよい。

主張 (2)を示す。加群の公理はMMの整数倍の公理に帰着する。ϕ\phiによる掛け算は制限と可換である。

主張 (3)を示す。§E20.6 命題 1.5により層化はDD加群の層となる。余境界の層化は§E20.1 定理 3.2 (4)により定まり、δ2=0\delta^2=0からd2=0d^2=0である。局所定数関数は連続な単体の像上で定数なので、その零次余境界は零である。したがってdε=0d\varepsilon=0となる。

主張 (4)を示す。§E20.6 定理 2.9を適用する。▨

補題 2.2.f ⁣:Y→Xf\colon Y\to Xを連続写像、ΣX,ΣY\Sigma_X,\Sigma_YをそれぞれX,YX,Y上の注意 1.1 条件 (a)の条件を満たす単体の族とし、σ∈ΣY\sigma\in\Sigma_Yならばf∘σ∈ΣXf\circ\sigma\in\Sigma_Xとする。このとき、前合成f#c=c∘f#f^\#c=c\circ f_\#は、余境界と可換な前層の射

SΣXp(−;M)⟶f∗SΣYp(−;M)S_{\Sigma_X}^p(-;M)\longrightarrow f_*S_{\Sigma_Y}^p(-;M)

を定める。層化への射をη\etaと書くと、ψpη=f∗η f#\psi^p\eta=f_*\eta\,f^\#を満たす層の射ψp ⁣:SΣXp→f∗SΣYp\psi^p\colon\mathcal S_{\Sigma_X}^p\to f_*\mathcal S_{\Sigma_Y}^pが一意に存在する。これらはf∗d ψp=ψp+1df_*d\,\psi^p=\psi^{p+1}dを満たす。局所定数関数の前合成θ ⁣:MX→f∗MY\theta\colon M_X\to f_*M_Yについてψ0ε=f∗ε θ\psi^0\varepsilon=f_*\varepsilon\,\thetaでもある。

証明.σ\sigmaの像がf−1Uf^{-1}Uに入れば、f∘σf\circ\sigmaの像はUUに入る。面との合成も保たれるので、f#f_\#は各開集合の鎖写像を与え、その双対は余境界と制限に可換である。§E20.1 補題 5.2 (1)によりf∗SΣYpf_*\mathcal S_{\Sigma_Y}^pは層なので、§E20.1 定理 3.2 (2)の普遍性によりψp\psi^pが一意に定まる。ddとの二つの合成はη\etaと合成すると前層段階の可換性によって等しいので、同じ一意性により等しい。ψ0ε=f∗ε θ\psi^0\varepsilon=f_*\varepsilon\,\thetaは、定数値の零次余鎖の前合成が同じ定数値の余鎖となることと、局所定数関数が局所的に定数値の余鎖で表されることから従う。▨

定義 2.3.

  1. 注意 1.1 条件 (a)の条件を満たす族Σ\Sigmaとアーベル群MMについて、次の条件を考える。
    1. 任意の点xxとその開近傍UUに対して、x∈V⊆Ux\in V\subseteq Uとなる開近傍VVが存在し、制限SΣ∙(U;M)→SΣ∙(V;M)S_\Sigma^\bullet(U;M)\to S_\Sigma^\bullet(V;M)が正次数のコサイクルを余境界へ、零次コサイクルを定数関数へ送る。
  2. XXが 局所可縮 (locally contractible) であるとは、任意の点xxとその開近傍UUに対して、x∈V⊆Ux\in V\subseteq Uとなる開近傍VVが存在し、包含V↪UV\hookrightarrow Uが定値写像とホモトピックになることをいう。

命題 2.4. 局所可縮な空間は局所弧状連結かつ半局所単連結である。

証明.問題 5.2で証明する。▨

定理 2.5.

  1. 各点が、すべてのp≥1p\ge1についてHp(SΣ∙(V;M))=0H^p(S_\Sigma^\bullet(V;M))=0であり、H0(SΣ∙(V;M))H^0(S_\Sigma^\bullet(V;M))が定数関数からなるような開近傍VVの基本系をもつとする。このとき、Σ\SigmaとMMは定義 2.3 (1)の条件を満たす。
  2. XXが局所可縮ならば、すべての特異単体の族Σall\Sigma_{\mathrm{all}}と任意のMMは定義 2.3 (1)の条件を満たす。
  3. Σ\SigmaとMMが定義 2.3 (1)の条件を満たすならば、0→MX→εSΣ0→dSΣ1→⋯0\to M_X\xrightarrow{\varepsilon}\mathcal S_\Sigma^0\xrightarrow{d}\mathcal S_\Sigma^1\to\cdotsは層の完全列である。開集合WWへの制限は、Σ\Sigmaのうち像がWWに含まれる単体の族から同じ構成で得られるWW上の列と標準的に一致する。

証明.主張 (1)を示す。与えられたUUの中に基本系の元VVを取れば、制限されたコサイクルが仮定の形となる。

主張 (2)を示す。包含ι ⁣:V↪U\iota\colon V\hookrightarrow Uと定値写像c ⁣:V→Uc\colon V\to Uのホモトピーを取る。§E21.13 命題 3.2 (1)の角柱作用素を双対化すると、ι#\iota^\#とc#c^\#は余鎖ホモトピックである。ccは一点を経由する。§E21.29 補題 6.1 (2)により一点の正次数コホモロジーは零である。したがって、制限は正次数のコサイクルを余境界へ送る。零次では余鎖ホモトピーの恒等式にコサイクルを代入するとι#z=c#z\iota^\#z=c^\#zとなり、右辺は定数関数である。

主張 (3)を示す。完全性を茎で確かめる。§E20.1 補題 4.2 (5)により、層化前の余鎖の芽を使うことができる。ddで零へ写る芽を余鎖zzで表し、近傍を縮めてδz=0\delta z=0とする。正次数では、仮定した近傍上の消滅により、さらに小さい近傍でz=δwz=\delta wと書かれる。したがってその芽はddの像に属する。零次では、同じ仮定によりzzはある近傍で定数となるので、ε\varepsilonの像に属する。定数関数の芽が零次余鎖の芽として零ならば、Σ0\Sigma_0がすべての点を含むことからその定数値は零である。したがって左端も単射である。§E20.2 定理 2.5 (1)により層の完全性が従う。開集合への制限との両立は§E20.1 命題 5.3を各次数に適用したものであり、その自然性によって微分と増大写像も保たれる。▨

3 大域切断と比較同型

命題 3.1.XXをパラコンパクトな Hausdorff 空間、Σ\Sigmaを注意 1.1 条件 (a)の条件を満たす単体の族とする。このとき、層化の射

η ⁣:SΣ∙(X;M)⟶Γ(X,SΣ∙)\eta\colon S_\Sigma^\bullet(X;M)\longrightarrow\Gamma(X,\mathcal S_\Sigma^\bullet)

は各次数で全射な余鎖写像である。その核は、各点の開近傍への制限が零である余鎖からなる複体SΣ,0∙(X;M)S_{\Sigma,0}^\bullet(X;M)であり、非輪状である。したがってη\etaはコホモロジーの同型を誘導する。

証明.命題 2.1 (1)の貼り合わせと空集合上で零であることに、§E20.4 補題 1.5を適用して各次数の全射性を得る。層化は余境界と可換なので余鎖写像である。切断が零であるための必要十分条件はすべての芽が零であることなので、§E20.1 補題 4.2 (5)により核は局所的に零な余鎖からなる。

層化への射の核のコサイクルzzを取る。各点の近傍でzzは余鎖として零になるから、これらの近傍を開被覆U\mathcal Uとすれば、zzはU\mathcal Uに従属するすべての単体で零である。定理 1.4 (2)により、この固定被覆に対する核は非輪状なので、正次数では同じ核の中にz=δwz=\delta wとなるwwが存在する。wwも局所的に零である。零次の核のコサイクルは同じ非輪状性によって零である。したがってSΣ,0∙S_{\Sigma,0}^\bulletは非輪状である。短完全列0→SΣ,0∙(X;M)→SΣ∙(X;M)→ηΓ(X,SΣ∙)→00\to S_{\Sigma,0}^\bullet(X;M)\to S_\Sigma^\bullet(X;M)\xrightarrow{\eta}\Gamma(X,\mathcal S_\Sigma^\bullet)\to0に§E6.34 定理 4.3を適用すると、η\etaはコホモロジーの同型を誘導する。▨

定理 3.2.XXをパラコンパクトな Hausdorff 空間、MMをアーベル群とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 注意 1.1 条件 (a)の条件を満たす単体の族Σ\SigmaとMMが定義 2.3 (1)の条件を満たすとする。このとき、標準的な同型 ΦΣ ⁣:Hˇp(X;MX)→≅Hp(SΣ∙(X;M))\Phi_\Sigma\colon\check H^p(X;M_X)\xrightarrow{\cong}H^p(S_\Sigma^\bullet(X;M)) がすべてのp≥0p\ge0で成り立つ。この同型はΦΣ=η∗−1RΣ\Phi_\Sigma=\eta_*^{-1}R_\Sigmaで与えられる。ここでRΣR_\Sigmaは細分解SΣ∙\mathcal S_\Sigma^\bulletに対する§E20.6 定理 4.4 (1)の同型、η∗\eta_*は命題 3.1の同型である。
  2. XXが局所可縮ならば、同型Φ ⁣:Hˇp(X;MX)→≅Hp(X;M)\Phi\colon\check H^p(X;M_X)\xrightarrow{\cong}H^p(X;M)が得られる。
  3. 主張 (2)の同型は、局所可縮なパラコンパクト Hausdorff 空間の間の連続写像と、係数の準同型について自然である。より一般に、YYもパラコンパクトな Hausdorff 空間とし、ΣX,ΣY\Sigma_X,\Sigma_YをそれぞれX,YX,Y上の注意 1.1 条件 (a)の条件を満たす単体の族とし、それぞれの族とMMが定義 2.3 (1)の条件を満たすとする。連続写像f ⁣:Y→Xf\colon Y\to Xがf∘ΣY⊆ΣXf\circ\Sigma_Y\subseteq\Sigma_Xを満たすならば、ΦΣX,ΦΣY\Phi_{\Sigma_X},\Phi_{\Sigma_Y}は、MX→f∗MYM_X\to f_*M_Yによる Čech 側の写像と余鎖の前合成による写像と可換である。

証明.主張 (1)を示す。定理 2.5 (3)と命題 2.1 (4)により、SΣ∙\mathcal S_\Sigma^\bulletはMXM_Xの細分解である。§E20.6 定理 4.4 (1)のRΣR_\Sigmaと、命題 3.1のη∗−1\eta_*^{-1}を合成して主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。定理 2.5 (2)によりΣall\Sigma_{\mathrm{all}}とMMは定義 2.3 (1)の条件を満たす。主張 (1)をΣall\Sigma_{\mathrm{all}}に適用し、補題 1.2の同一視を合成する。

主張 (3)を示す。補題 2.2の射に§E20.6 定理 4.4 (3)を適用すると、RΣR_\Sigmaが空間の引き戻しと可換になる。補題 2.2の式ψpη=f∗η f#\psi^p\eta=f_*\eta\,f^\#により、η\etaも前合成と可換である。したがってΦΣ\Phi_\Sigmaは前合成による写像と可換である。係数の準同型については、余鎖の値への準同型の合成が層化・微分・増大と可換なので、§E20.6 定理 4.4 (2)を適用する。▨

命題 3.3.XXを連結で局所可縮なパラコンパクト Hausdorff 空間、x0∈Xx_0\in X、GGをアーベル群とする。このとき、比較同型Φ ⁣:Hˇ1(X;GX)→H1(X;G)\Phi\colon\check H^1(X;G_X)\to H^1(X;G)と、torsor を主GG束へ移してモノドロミーを取る対応

Θ ⁣:Hˇ1(X;GX)⟶Hom⁡(π1(X,x0),G)≅H1(X;G)\Theta\colon\check H^1(X;G_X)\longrightarrow\operatorname{Hom}(\pi_1(X,x_0),G)\cong H^1(X;G)

について、Θ=−Φ\Theta=-\Phiである。したがってΘ\Thetaも群の同型である。

証明. 局所可縮性から命題 2.4により局所弧状連結性と半局所単連結性を得るので、§E21.40 定理 3.2の対応を適用することができる。

特異一次コサイクルφ\varphiを取る。定理 2.5 (2)によって、開被覆(Vi)(V_i)と零次余鎖hi ⁣:Vi→Gh_i\colon V_i\to Gでφ∣Vi=δhi\varphi|_{V_i}=\delta h_iとなるものを選ぶ。交わりの上でaij=hj−hia_{ij}=h_j-h_iは零次コサイクルである。したがって道の両端で値が一致し、開集合の弧状連結成分は開であるからaija_{ij}は局所定数である。

コサイクルの層をZ1=ker⁡(d ⁣:S1→S2)Z^1=\ker(d\colon\mathcal S^1\to\mathcal S^2)とする。短完全列0→GX→S0→Z1→00\to G_X\to\mathcal S^0\to Z^1\to0の連結準同型を、η(φ)∈Γ(X,Z1)\eta(\varphi)\in\Gamma(X,Z^1)とその局所的な持ち上げη(hi)\eta(h_i)に適用する。§E20.4 定理 2.1 (2)と§E20.6 定理 4.4 (1)の同型を特定する式により、Φ−1[φ]\Phi^{-1}[\varphi]はaij=hj−hia_{ij}=h_j-h_iの類である。

§E20.5 補題 2.6により、対応する torsor は切断sis_iでsj=si+aijs_j=s_i+a_{ij}を満たすものをもつ。基点のループγ\gammaに対し、0=t0<⋯<tm=10=t_0<\cdots<t_m=1と添字iki_kをγ([tk−1,tk])⊆Vik\gamma([t_{k-1},t_k])\subseteq V_{i_k}となるように取る。yk=γ(tk)y_k=\gamma(t_k)とおき、e0=si1(x0)e_0=s_{i_1}(x_0)からの持ち上げを各区間でsik+bks_{i_k}+b_kと書く。b1=0b_1=0とすると、接続点での一致条件は

bk+1=bk+hik(yk)−hik+1(yk)b_{k+1}=b_k+h_{i_k}(y_k)-h_{i_{k+1}}(y_k)

である。最後にsim(x0)=si1(x0)+him(x0)−hi1(x0)s_{i_m}(x_0)=s_{i_1}(x_0)+h_{i_m}(x_0)-h_{i_1}(x_0)を用いると、終点は

e0+∑k=1m(hik(yk)−hik(yk−1))=e0+∑k=1mφ(γk)e_0+\sum_{k=1}^m\bigl(h_{i_k}(y_k)-h_{i_k}(y_{k-1})\bigr) =e_0+\sum_{k=1}^m\varphi(\gamma_k)

となる。ここでγk\gamma_kは小区間の道を標準区間へ引き戻したものである。§E21.8 補題 1.1 (2)によりこれらの連結はγ\gammaと端点を固定してホモトピックであり、§E21.26 補題 1.1によりγ\gammaと∑kγk\sum_k\gamma_kは一次ホモロジーで同じ類を与える。したがって余鎖φ\varphiの値の和はφ(γ)\varphi(\gamma)である。

§E21.40 命題 3.1 (1)で主束の左作用はg⋅e=e−gg\cdot e=e-gと定めた。したがって持ち上げの終点がρe0(γ)⋅e0\rho_{e_0}(\gamma)\cdot e_0であるという§E21.11 定理 3.1 (1)の規約から、ρe0(γ)=−φ(γ)\rho_{e_0}(\gamma)=-\varphi(\gamma)となる。§E21.31 系 2.4は一次コサイクルをループ上で評価する同型なので、ΘΦ−1[φ]=[−φ]\Theta\Phi^{-1}[\varphi]=[-\varphi]である。▨

系 3.4.nn次元位相多様体NNとその開部分空間は局所可縮なパラコンパクト Hausdorff 空間である。したがって任意のアーベル群MMについてHˇp(N;MN)≅Hp(N;M)\check H^p(N;M_N)\cong H^p(N;M)であり、p>np>nでは零である。

証明. パラコンパクト性と Hausdorff 性は§E20.4 命題 2.4による。座標球からなる開近傍の基本系の各元は直線ホモトピーで可縮なので、局所可縮性が成り立つ。比較同型を適用し、n≥1n\ge1の高次数の消滅には§E21.36 系 5.4を用いる。n=0n=0ならば空間は離散的なので、§E20.3 命題 3.1によって正次数が消える。▨

系 3.5.n≥1n\ge1について、Hˇp(Sn;ZSn)\check H^p(S^n;\Z_{S^n})はp=0,np=0,nでZ\Z、その他で零である。Rn\R^nの凸開集合CCとアーベル群MMについて、p≥1p\ge1でHˇp(C;MC)=0\check H^p(C;M_C)=0である。

証明. 球面と Euclid 空間の開集合は位相多様体なので、系 3.4によって特異コホモロジーへ移す。§E21.18 定理 2.2のホモロジー群は自由なので、§E21.31 定理 2.2と射影加群についての Ext の消滅により球面の値を得る。空でない凸集合は可縮なので、ホモトピー不変性と§E21.29 補題 6.1 (2)によって正次数が消える。空集合の場合も余鎖複体が零なので同じ結論となる。▨

4 例

例 4.1.S1S^1をU=S1∖{1}U=S^1\setminus\{1\}、V=S1∖{−1}V=S^1\setminus\{-1\}で覆う。U,VU,Vは開区間と同相であり、U∩VU\cap Vは二つの開区間の直和である。これらは多様体の開部分空間としてパラコンパクトな Hausdorff 空間である。系 3.5により各区間の正次数の Čech コホモロジーは消える。二つの区間の直和についても、比較同型と、空の交わりに対する§E21.29 定理 5.1により同じ消滅を得る。

したがって§E20.6 定理 5.1により、固定した二元被覆の標準写像はすべての次数で同型である。§E20.3 命題 3.3のZ2/ΔZ≅Z\Z^2/\Delta\Z\cong\Zという計算からHˇ1(S1;ZS1)≅Z\check H^1(S^1;\Z_{S^1})\cong\Zが得られる。この結果は§E20.6 命題 3.2 (2)の指数列による群の計算と一致する。p≥2p\ge2では球面の計算と標準写像の同型性により、この順序付きの Čech 複体のコホモロジーは零である。

例 4.2.X=RX=\R、M≠0M\ne0とし、Σ\Sigmaを定値単体だけからなる族とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 定値単体の族はすべての点を含み、アフィン写像との前合成で閉じる。各CpΣ(U)C_p^\Sigma(U)はUUの点を基底とし、境界は正の偶数次数では恒等写像、奇数次数では零写像である。境界の係数は面の係数の和∑j=0p(−1)j\sum_{j=0}^p(-1)^jである。
  2. δ ⁣:SΣ0→SΣ1\delta\colon S_\Sigma^0\to S_\Sigma^1は零なので、零次の茎のコホモロジーは任意のMM値関数の芽からなる。0≠m∈M0\ne m\in Mを取り、x>0x>0でmm、x≤0x\le0で零となる関数を考えると、0での芽は定数関数の芽でない。したがってMX→SΣ0M_X\to\mathcal S_\Sigma^0は零次コサイクルの茎へ全射でなく、増大列はSΣ0\mathcal S_\Sigma^0で完全でない。

例 4.3.X={0}∪{1/n∣n≥1}⊂RX=\{0\}\cup\{1/n\mid n\ge1\}\subset\Rはコンパクトな距離空間なのでパラコンパクトな Hausdorff 空間である。連結部分集合は一点集合だけなので、道はすべて定値である。XXの点 0 の開近傍VVは 0 以外の点を含む。XXの道はすべて定値なので、包含V↪XV\hookrightarrow Xは定値写像とホモトピックでない。したがってXXは局所可縮でない。

§E20.3 命題 2.7 (2)によりHˇ0(X;ZX)\check H^0(X;\Z_X)は局所定数関数の群であり、十分大きいnnでf(1/n)=f(0)f(1/n)=f(0)となる関数からなる。局所定数関数ffは、番号NNと値f(1),…,f(1/N),f(0)f(1),\dots,f(1/N),f(0)で定まるので、局所定数関数の群は可算である。一方、§E21.13 命題 2.2と§E21.31 定理 2.2の零次により、H0(X;Z)H^0(X;\Z)はすべての関数X→ZX\to\Zの群であり、非可算である。したがって比較定理の局所可縮性を外すと、結論は零次で成り立たない。

5 演習

問題 5.1.補題 1.3 (3)を証明せよ。

解答.

SιnS\iota_nとTnιnT_n\iota_nの各アフィン単体をα\alphaとすると、SσS\sigmaとTσT\sigmaの各項はσ∘α\sigma\circ\alphaである。注意 1.1 条件 (a-b)によりσ∘α\sigma\circ\alphaはΣ\Sigmaに属し、その像はσ\sigmaの像に含まれる。したがってσ\sigmaの像がUUに入れば各項もUUに入り、さらに被覆の一つの元に入れば各項も同じ元に入る。線形に延長すると両部分複体の保存が従う。▨

問題 5.2.命題 2.4を証明せよ。

解答.

点xxと開近傍UUを取り、定義 2.3 (2)の開近傍VVと、包含V↪UV\hookrightarrow Uから定値写像へのホモトピーを取る。このホモトピーの軌跡は、各y∈Vy\in Vと定値写像の値をUU内で結ぶ道である。xxの軌跡の逆向きの道を続けると、VVの各点はUU内でxxと結ばれる。

UU内でxxと道で結ばれる点の集合をUxU_xとする。各y∈Uxy\in U_xにホモトピーの軌跡による議論を適用すると、UU内でyyと道で結ばれる点だけからなる開近傍を得る。この近傍はUxU_xに含まれるので、UxU_xは開である。UxU_xは弧状連結でx∈Ux⊆Ux\in U_x\subseteq Uだから、XXは局所弧状連結である。

包含V↪UV\hookrightarrow Uのホモトピーによって、VV内の基点付きループのUUへの像は定値ループと自由ホモトピックになる。ホモトピーの基点の軌跡による基点変更を入れても、定値ループの類は単位元のままである。したがって§E21.4 定理 2.1によりπ1(V,x)→π1(X,x)\pi_1(V,x)\to\pi_1(X,x)は自明であり、半局所単連結性が従う。▨

参考文献

  1. Glen E. Bredon, Sheaf Theory, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 170, Springer, New York, 1997.特異余鎖の前層の層化による定数層の細分解と、パラコンパクトな空間での Čech コホモロジーと特異コホモロジーの比較を参考にした。

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