Mayer–Vietoris 完全列 | 位相幾何入門

1 二つの部分空間からの完全列

部分集合 $U,V\subseteq X$ に対して $\mathcal U=\{U,V\}$ と書く。§E21.16 定義 2.1の小鎖複体は、特異単体を基底として

C_*^{\mathcal U}(X)=C_*(U)+C_*(V)\subseteq C_*(X)

と表される。和の鎖の分解は一意ではないが、その違いを共通部分の鎖で記述することができる。

補題 1.1. $X$ の任意の部分集合 $U,V$ に対して、

0\longrightarrow C_*(U\cap V) \xrightarrow{\alpha}C_*(U)\oplus C_*(V) \xrightarrow{\beta}C_*^{\mathcal U}(X)\longrightarrow0, \qquad \alpha(c)=(c,-c),\quad\beta(a,b)=a+b

は鎖複体の短完全列である。この列は各次数でアーベル群の列として分裂する。

証明. 各写像は境界と可換であり、 $\alpha$ は単射、 $\beta$ は全射である。特異単体の自由基底について $C_n(U)\cap C_n(V)=C_n(U\cap V)$ であるから、 $a+b=0$ ならば $a=-b\in C_n(U\cap V)$ となる。したがって $\ker\beta=\operatorname{im}\alpha$ である。右端の群は、像が $U$ または $V$ に含まれる特異単体を基底とする自由アーベル群である。各基底元を含む側へ持ち上げれば、次数ごとの切断を得る。▨

定理 1.2 (Mayer–Vietoris 完全列). $U,V\subseteq X$ が $\tpint[X]{U}\cup\tpint[X]{V}=X$ を満たすとする。包含を $i:U\cap V\to U$ 、 $j:U\cap V\to V$ 、 $k:U\to X$ 、 $\ell:V\to X$ と書く。

次の列は完全である。 $\cdots\to H_n(U\cap V)\xrightarrow{(i_*,-j_*)} H_n(U)\oplus H_n(V)\xrightarrow{k_*+\ell_*}H_n(X) \xrightarrow{\delta}H_{n-1}(U\cap V)\to\cdots.$
小輪体 $z=a+b$ 、 $a\in C_n(U)$ 、 $b\in C_n(V)$ に対して、 $\delta[z]=[\partial a]$ である。任意のホモロジー類をこの形の小輪体で表すことができる。
同じ仮定を満たす $X',U',V'$ と、 $f(U)\subseteq U'$ 、 $f(V)\subseteq V'$ を満たす連続写像 $f:X\to X'$ に対して、 $f$ の誘導する写像は列のすべての写像と可換である。

証明.主張 (1)を示す。補題 1.1に一般の長完全列§E6.34 定理 2.2を適用する。小鎖の包含がホモロジー同型を誘導することは§E21.16 定理 2.3による。この同型を通して右端のホモロジーを $H_n(X)$ と同一視すれば、表示の列を得る。

主張 (2)を示す。 $z=a+b$ の持ち上げは $(a,b)$ であり、その境界は

(\partial a,\partial b)=(\partial a,-\partial a)=\alpha(\partial a)

である。一般の連結準同型の公式から主張 (2)を得る。主張 (3)は、小鎖の包含の自然性と§E6.34 命題 2.3による。▨

被約ホモロジーでは、次数 $-1$ に置いた群と増大写像も短完全列に含める。まず、小鎖と通常の鎖の比較が増大後も成り立つことを確かめる。

補題 1.3. $C_*,C'_*$ を負の次数で零の鎖複体とし、 $\varepsilon:C_0\to\Z$ 、 $\varepsilon':C'_0\to\Z$ が $\varepsilon\partial_1=0$ 、 $\varepsilon'\partial'_1=0$ を満たすとする。次数 $-1$ に $\Z$ 、次数 $0$ の境界に増大写像を置いた複体を $\widetilde C_*,\widetilde C'_*$ とする。このとき、すべての次数でホモロジー同型を誘導し、 $\varepsilon'f_0=\varepsilon$ を満たす鎖写像 $f:C_*\to C'_*$ を、次数 $-1$ で恒等写像として延長した $\widetilde f$ も、すべての次数でホモロジー同型を誘導する。

証明. 次数 $-1$ にだけ $\Z$ をもつ複体を $\Z[-1]$ と書く。次の図式の行は短完全列である。

\begin{array}{ccccccccc} 0&\to&\Z[-1]&\to&\widetilde C_*&\to&C_*&\to&0\\ &&\Vert&&\downarrow\widetilde f&&\downarrow f\\ 0&\to&\Z[-1]&\to&\widetilde C'_*&\to&C'_*&\to&0. \end{array} \label{e19-augmentation-quasi-isomorphism-diagram}

長完全列の自然性§E6.34 命題 2.3によりホモロジーの可換図式を得る。各 $H_n(\widetilde C_*)$ を中央に置いた五項に§E6.8 補題 2.2を適用すると、 $H_n(\widetilde f)$ が同型である。▨

補題 1.4. $U,V\subseteq X$ が $\tpint[X]{U}\cup\tpint[X]{V}=X$ と $U\cap V\neq\varnothing$ を満たすとする。包含を通常の Mayer–Vietoris 完全列と同じ記号で表す。

次の自然な列は完全である。 $\cdots\to\widetilde H_m(U\cap V)\xrightarrow{(i_*,-j_*)} \widetilde H_m(U)\oplus\widetilde H_m(V) \xrightarrow{k_*+\ell_*}\widetilde H_m(X) \xrightarrow{\delta}\widetilde H_{m-1}(U\cap V)\to\cdots \to\widetilde H_0(X)\to0.$
$m\geq1$ 、 $a\in C_m(U)$ 、 $b\in C_m(V)$ で $a+b$ が輪体ならば、 $\delta[a+b]=[\partial a]$ である。

証明.主張 (1)を示す。補題 1.1を増大複体の列へ延長する。次数 $-1$ の列は

0\to\Z\xrightarrow{t\mapsto(t,-t)}\Z\oplus\Z \xrightarrow{(r,s)\mapsto r+s}\Z\to0

であり、増大写像との可換性も成り立つ。補題 1.3を小鎖の包含に適用すると、増大した小鎖複体と $\widetilde C_*(X)$ は同じホモロジーをもつ。一般の長完全列をこの同型で移せばよい。交わりが空でないので、§E21.15 補題 3.3 (2)により $\widetilde H_{-1}(U\cap V)=0$ である。

主張 (2)を示す。連結準同型の式と自然性も、同じ短完全列の持ち上げと自然性から従う。▨

命題 1.5. $X=U\cup V$ を開被覆、 $M$ をアーベル群とする。このとき、整数係数と同じ包含の組合せによる自然な長完全列

\cdots\to H_n(U\cap V;M)\xrightarrow{(i_*,-j_*)} H_n(U;M)\oplus H_n(V;M)\xrightarrow{k_*+\ell_*}H_n(X;M) \xrightarrow{\delta}H_{n-1}(U\cap V;M)\to\cdots

がある。 $M$ 係数の小輪体 $a+b$ に対して、 $\delta[a+b]=[\partial a]$ である。

証明.補題 1.1は各次数で分裂するので、 $-\otimes M$ を施した後も短完全である。一般の長完全列と§E21.16 定理 2.3の係数付きの同値を適用する。連結準同型と自然性はこの短完全列のものなので、整数係数と同じ式になる。▨

命題 1.6. $X$ を空間、 $U,V\subseteq X$ を開集合、 $M$ をアーベル群とする。

商写像 $q:C_*(X)/(C_*(U)+C_*(V))\longrightarrow C_*(X,U\cup V)$ は鎖ホモトピー同値である。
包含から定まる自然な長完全列 $\cdots\to H_n(X,U\cap V;M)\xrightarrow{(i_*,-j_*)} H_n(X,U;M)\oplus H_n(X,V;M) \xrightarrow{j_*+k_*}H_n(X,U\cup V;M) \xrightarrow{\delta}H_{n-1}(X,U\cap V;M)\to\cdots$ がある。 $q\otimes1_M$ を介して相対輪体を鎖 $z$ で表し、 $\partial z=u+v$ 、 $u\in C_{n-1}(U;M)$ 、 $v\in C_{n-1}(V;M)$ とすると、 $\delta[z]=[v]$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $L_*=C_*(U)+C_*(V)$ と置く。小さい単体の定理により $L_*\to C_*(U\cup V)$ はホモロジー同型を誘導する。この包含と $C_*(X)$ の恒等写像から、短完全列

0\to L_*\to C_*(X)\to C_*(X)/L_*\to0, \qquad 0\to C_*(U\cup V)\to C_*(X)\to C_*(X,U\cup V)\to0

の射を得る。長完全列と五項補題により $q$ はホモロジー同型を誘導する。両商複体は特異単体の部分集合を基底とする非負次数の自由複体なので、§E6.35 補題 3.1 (2)により $q$ は鎖ホモトピー同値である。

主張 (2)を示す。次の列は特異単体の基底ごとに分裂する短完全列である。

0\to C_*(X,U\cap V)\xrightarrow{c\mapsto(c,-c)} C_*(X,U)\oplus C_*(X,V) \xrightarrow{(a,b)\mapsto a+b}C_*(X)/L_*\to0.

実際、一つの特異単体の像が $U,V$ の両方、片方、どちらにも含まれない場合に分ければ、各基底に対応する列の完全性と分裂が従う。 $-\otimes M$ の後の長完全列を、 $q\otimes1_M$ によるホモロジー同型で移すと主張 (2)の列を得る。

$z$ の持ち上げを $(z,0)$ とすると、その境界は第1成分で $u$ が零になるため $(v,0)$ である。第2成分では $v$ が零なので、これは $(v,-v)$ と等しい。一般の連結準同型の公式により $\delta[z]=[v]$ を得る。列の構成が包含と可換であることから自然性も従う。▨

2 球面、楔和、懸垂

補題 2.1. $n\geq1$ 、 $x_0\in S^n$ とする。このとき、 $S^n\setminus\{-x_0\}$ は $x_0$ の開近傍であり、 $\{x_0\}$ はその変位レトラクトである。

証明. $x\neq-x_0$ に対して

F(x,t)=\frac{(1-t)x+tx_0}{\|(1-t)x+tx_0\|}\qquad(0\leq t\leq1)

と置く。分母が零になるには $x=-x_0$ が必要なので、 $F$ は連続である。その値が $-x_0$ になることもない。 $F(x,0)=x$ 、 $F(x,1)=x_0$ 、 $F(x_0,t)=x_0$ であり、所要の変位レトラクションとなる。▨

定理 2.2. $n\geq0$ とする。

すべての整数 $k$ について $\widetilde H_k(S^n)\cong \begin{cases}\Z&k=n,\\0&k\neq n.\end{cases}$
$n\geq1$ のとき $H_k(S^n)$ は $k=0,n$ で $\Z$ 、それ以外で零である。 $n=0$ のとき $H_0(S^0)\cong\Z^2$ 、 $k\neq0$ では $H_k(S^0)=0$ である。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。 $S^0=\{-1,1\}$ を二つの一点集合で覆う。通常の Mayer–Vietoris 完全列と§E21.13 命題 2.4により $H_0(S^0)=\Z^2$ 、ほかの次数の群は零である。増大写像は $(a,b)\mapsto a+b$ なので、§E21.15 補題 3.3から $\widetilde H_0(S^0)=\Z(1,-1)$ 、ほかの被約群は零となる。

$n\geq1$ とし、 $e=(0,\ldots,0,1)$ に対して $U=S^n\setminus\{-e\}$ 、 $V=S^n\setminus\{e\}$ と置く。両者は一点を除いた球面の収縮の補題により可縮である。交わりの点を $(y,t)$ 、 $y\in\R^n\setminus\{0\}$ 、 $\|y\|^2+t^2=1$ と書くと、

(y,t)\longmapsto\left(\sqrt{1-(1-s)^2t^2}\,\frac{y}{\|y\|},(1-s)t\right) \quad(0\leq s\leq1)

は赤道 $S^{n-1}\times\{0\}$ への変位レトラクションである。補題 1.4と被約ホモトピー不変性により、 $k\geq1$ で

\widetilde H_k(S^n)\cong\widetilde H_{k-1}(U\cap V) \cong\widetilde H_{k-1}(S^{n-1})

となる。同じ列から $\widetilde H_0(S^n)=0$ であり、負の次数も零である。帰納法で主張 (1)を得て、§E21.15 補題 3.3で通常の群へ移せば主張 (2)を得る。▨

例 2.3. 完全列の被覆条件と、被約版の交わりの条件は必要である。

$X=[0,1]$ 、 $A=[0,\tfrac12]$ 、 $B=(\tfrac12,1]$ は被覆をなすが、内部の和は $X\setminus\{\tfrac12\}$ である。 $A\cap B=\varnothing$ なので $H_0(A\cap B)=0$ である一方、 $H_0(A)\oplus H_0(B)\to H_0(X)$ は $(a,b)\mapsto a+b$ であり単射でない。したがって表示した列は中央で完全でない。
$X=S^0$ 、 $U=\{1\}$ 、 $V=\{-1\}$ は交わりが空の開被覆である。通常の列は完全であるが、被約版で列を $\widetilde H_0(X)\to0$ と終えると、 $0=\widetilde H_0(U)\oplus\widetilde H_0(V)\to\widetilde H_0(S^0)=\Z\to0$ が完全でなくなる。

命題 2.4. $r\geq1$ とする。各 $1\leq i\leq r$ について基点付き空間 $(X_i,x_i)$ と、 $\{x_i\}$ を変位レトラクトにもつ開近傍 $N_i\subseteq X_i$ が与えられているとする。位相的直和で基点を一点に同一視した楔和を $W=\bigvee_{i=1}^rX_i$ とし、標準写像を $\iota_i:X_i\to W$ とする。このとき、すべての整数 $n$ について

\sum_i(\iota_i)_*:\bigoplus_{i=1}^r\widetilde H_n(X_i) \longrightarrow\widetilde H_n(W)

は同型である。

証明. 商写像を $q:\bigsqcup_iX_i\to W$ とする。まず、楔点の近傍を含む部分空間を確かめる。

主張 2.4.1. $J\subseteq\{1,\ldots,r\}$ とし、 $i\in J$ では $Y_i=X_i$ 、 $i\notin J$ では $Y_i=N_i$ と置く。 $W_J=q(\bigsqcup_iY_i)$ は楔点を含む開集合である。 $J\neq\varnothing$ なら標準写像 $\bigvee_{i\in J}X_i\to W_J$ はホモトピー同値であり、 $J=\varnothing$ なら $W_J$ は可縮である。

証明. 開集合 $\bigsqcup_iY_i$ は飽和しているため、§E21.2 補題 1.1により $W_J$ は開で、制限した $q$ も商写像である。 $N_i$ の変位レトラクションを $i\notin J$ の成分で行い、 $i\in J$ の成分では恒等写像を用いる。各変位は基点を固定するので、これらは楔和の同値関係を保つ。区間は正則な局所コンパクト空間であるから、§E2.37 定理 5.2により商写像と区間の積も商写像であり、成分ごとのホモトピーは連続なホモトピーとして $W_J$ に降りる。終点の写像は $J$ 外の成分を楔点へ送る。 $J\neq\varnothing$ では標準写像のホモトピー逆を与え、 $J=\varnothing$ では一点への収縮を与える。▨

$r=1$ では命題は恒等写像についての主張である。 $r\geq2$ で、 $U=W_{\{1,\ldots,r-1\}}$ 、 $V=W_{\{r\}}$ と置く。これらは $W$ の開被覆をなし、 $U\cap V=W_\varnothing$ は可縮である。被約完全列から

\widetilde H_n(U)\oplus\widetilde H_n(V)\xrightarrow{+}\widetilde H_n(W)

が同型となる。補助主張の標準写像による同型と、 $r-1$ 個の空間についての帰納法を組み合わせると、命題の写像そのものが同型である。▨

系 2.5. $r\geq1$ 、 $S=\{a_1,\ldots,a_r\}$ とし、§E21.7 定義 3.1の円周の楔和を $G_r=W_S$ 、標準写像を $\iota_i=\kappa_{a_i}:S^1\to G_r$ と書く。このとき $H_0(G_r)\cong\Z$ 、 $H_n(G_r)=0$ （ $n\geq2$ ）である。また、 $H_1(S^1)$ の任意の生成元 $\omega$ に対して、 $(\iota_1)_*\omega,\ldots,(\iota_r)_*\omega$ は $H_1(G_r)$ の自由基底である。

証明. 各円周の基点 $1$ は $S^1\setminus\{-1\}$ の変位レトラクトである。楔和のホモロジーの命題と球面のホモロジーの計算を適用すれば、正の次数と自由基底の主張を得る。 $G_r$ は弧状連結なので、零次の群は§E21.13 命題 2.2による。▨

球面の計算で用いた二つの可縮な開集合による被覆は、一般の空間の懸垂にも適用することができる。

命題 2.6. 空でない空間 $X$ について、すべての $n\geq0$ で同型

s_X:\widetilde H_{n+1}(\Sigma X)\longrightarrow\widetilde H_n(X)

がある。これを、連続写像 $f:X\to Y$ に対して $s_Y(\Sigma f)_*=f_*s_X$ を満たすようにとることができる。

証明は問題 4.3で与える。

3 接着写像と閉曲面

補題 3.1. 円周を一つの向きに沿って $N\geq2$ 個の弧に分け、分点を $p_0,p_1,\ldots,p_N=p_0$ とする。

第 $j$ 弧に像が含まれ、 $p_{j-1}$ から $p_j$ へ向かう特異一次単体 $\tau_j$ をとると、 $\xi=\sum_{j=1}^N\tau_j$ は輪体であり、 $[\xi]$ は $H_1(S^1)$ の生成元である。
上半円に含まれ $1$ から $-1$ へ向かう $\alpha$ と、下半円に含まれ $-1$ から $1$ へ向かう $\beta$ に対して、 $\omega=[\alpha+\beta]$ は $H_1(S^1)$ の生成元であり、 $\alpha,\beta$ の取り方によらない。
上半円に含まれ $-1$ から $1$ へ向かう $\alpha'$ と、下半円に含まれ $1$ から $-1$ へ向かう $\beta'$ に対して、 $[\alpha'+\beta']=-\omega$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $\partial\xi=\sum_j([p_j]-[p_{j-1}])=0$ である。第1弧の内点 $v$ と、残りの弧の和の内点 $u$ を一つずつ選び、 $U=S^1\setminus\{u\}$ 、 $V=S^1\setminus\{v\}$ とする。 $\tau_1$ は $U$ の鎖であり、 $\sum_{j\geq2}\tau_j$ は $V$ の鎖である。 $U,V$ は可縮で、交わりは $p_0,p_1$ を別々に含む二つの弧状連結成分をもつ。被約完全列の連結写像は同型であり、

\delta[\xi]=[p_1]-[p_0]

は $\widetilde H_0(U\cap V)$ の生成元である。したがって主張 (1)が成り立つ。

主張 (2)を示す。下半円と上半円の内点をそれぞれ $u,v$ に選ぶ。同じ被覆に対して常に $\delta[\alpha+\beta]=[-1]-[1]$ であるため、 $\delta$ の単射性から取り方によらない。

主張 (3)を示す。逆向きの場合は $\delta[\alpha'+\beta']=[1]-[-1]$ であり、主張 (3)を得る。▨

語 $w$ の接着写像 $\varphi_w$ と二胞体の模型 $M_w$ は§E21.7 定義 3.3のものを用いる。以下の計算は、接着円周の生成元の像を、文字の指数の和として表すものである。

補題 3.2. $r\geq1$ 、 $S=\{a_1,\ldots,a_r\}$ とし、 $m\geq1$ の語 $w=a_{i_1}^{\epsilon_1}\cdots a_{i_m}^{\epsilon_m}$ （ $\epsilon_j\in\{1,-1\}$ ）に対して

\nu(w)=\sum_{j=1}^m\epsilon_je_{i_j}\in\Z^r, \qquad M_w=G_r\cup_{\varphi_w}D^2

と置く。

$H_0(M_w)\cong\Z$ である。
$H_1(M_w)\cong\Z^r/\Z\nu(w)$ である。
$\nu(w)=0$ ならば $H_2(M_w)\cong\Z$ 、 $\nu(w)\neq0$ ならば $H_2(M_w)=0$ である。
$n\geq3$ で $H_n(M_w)=0$ である。
接着円周を語の各文字に対応する弧に分け、さらに各弧を二分する。この $2m$ 個の弧を正向きにたどる特異一次単体の和を $\xi_w$ とすると、 $[\xi_w]$ は $H_1(S^1)$ の生成元であり、円周の弧からなる輪体の補題の生成元 $\omega$ に対して $(\varphi_w)_*[\xi_w]=\sum_{j=1}^m\epsilon_j(\iota_{i_j})_*\omega$ である。したがって $H_1(G_r)$ の基底 $(\iota_i)_*\omega$ では、 $(\varphi_w)_*$ は生成元 $[\xi_w]$ を $\nu(w)$ に送る。

証明. まず主張 (5)を示す。 $\varphi_w$ は第 $j$ 文字の弧を $i_j$ 番目の円周へ、 $\epsilon_j$ に従う向きで一周させる。二分した弧の像は上半円と下半円をそれぞれたどり、その和の類は補題 3.1により $\epsilon_j(\iota_{i_j})_*\omega$ である。各文字について加えれば表示の式を得る。 $[\xi_w]$ が生成元であることも同じ補題による。

主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)、主張 (4)を示す。胞体の中心の像を $p$ とし、 $U=M_w\setminus\{p\}$ 、 $V$ を開円板の像とする。商写像の逆像をとると、 $\{p\}$ は閉、 $V$ は開であることが分かる。したがって $U,V$ は開被覆をなす。 $U$ は§E21.2 命題 4.3により $G_r$ へ変位レトラクトし、 $V$ は開円板と同相で可縮である。 $U\cap V$ は穴あき開円板であり、半径一定の円周へ変位レトラクトする。この円周から $U$ を経て $G_r$ へ至る写像は、半径方向の変位によって接着写像 $\varphi_w$ になる。

$G_r$ のホモロジーと被約 Mayer–Vietoris 完全列から、非自明な部分は

0\to H_2(M_w)\to\Z\xrightarrow{\nu(w)}\Z^r \to H_1(M_w)\to0

となる。主張 (5)により中央の写像は $1\mapsto\nu(w)$ である。その核と余核をとれば主張 (2)と主張 (3)が従う。高次の群は同じ列で両側が零となるため消え、 $M_w$ は弧状連結なので主張 (1)も従う。▨

標準閉曲面 $\Sigma_g,N_h$ は§E21.7 定義 4.1に従う。 $N_h$ の連結和としての表示は§E21.7 系 5.4にあるが、ここでは語による二胞体の表示を用いる。

補題 3.3. 正方形の商としての円環面 $T^2$ と Klein の壺 $K$ （§E21.2 定義 5.3）は、それぞれ $r=2$ の語

a_1a_2a_1^{-1}a_2^{-1},\qquad a_1a_2a_1a_2^{-1}

による二胞体の模型 $M_w$ に同相である。

証明. 円環面については、§E21.7 命題 4.4 (1)の $T^2\cong\Sigma_1$ と§E21.7 系 4.3を用い、§E21.7 命題 3.5 (4)で文字 $a_1,b_1$ を $a_1,a_2$ に替える。Klein の壺については、§E21.7 命題 4.4 (2)により $K\cong P_{abab^{-1}}$ である。この語は§E21.7 補題 4.2により一頂点の語であるから、§E21.7 命題 3.5 (3)で $M_{abab^{-1}}$ と同相である。再び文字を $a_1,a_2$ に替えればよい。▨

定理 3.4. $g\geq1$ 、 $h\geq1$ とする。

$H_n(\Sigma_g)$ は $n=0,2$ で $\Z$ 、 $n=1$ で $\Z^{2g}$ 、それ以外で零である。
$H_n(N_h)$ は $n=0$ で $\Z$ 、 $n=1$ で $\Z^{h-1}\oplus\Z/2\Z$ 、それ以外で零である。

証明.§E21.7 系 4.3の同相を通して補題 3.2を適用する。

主張 (1)を示す。 $\Sigma_g$ の語は、§E21.7 命題 3.5 (4)による文字の付け替え後に

a_1a_2a_1^{-1}a_2^{-1}\cdots a_{2g-1}a_{2g}a_{2g-1}^{-1}a_{2g}^{-1}

となり、指数和ベクトルは零である。したがって一次と二次の群はそれぞれ $\Z^{2g}$ 、 $\Z$ となる。

主張 (2)を示す。 $N_h$ の語は $a_1a_1\cdots a_ha_h$ であり、指数和ベクトルは $2v$ 、 $v=e_1+\cdots+e_h$ である。 $v,e_2,\ldots,e_h$ は $\Z^h$ の基底なので、 $\Z^h/\Z(2v)\cong\Z/2\Z\oplus\Z^{h-1}$ である。 $1\mapsto2v$ は単射だから二次の群は零となる。零次と高次の群も同じ補題から従う。▨

系 3.5. 円環面 $T^2$ について、 $H_0(T^2)\cong\Z$ 、 $H_1(T^2)\cong\Z^2$ 、 $H_2(T^2)\cong\Z$ であり、それ以外の次数では零である。

証明.§E21.7 命題 4.4 (1)の同相 $T^2\cong\Sigma_1$ と、標準閉曲面のホモロジーの定理の $g=1$ の場合による。▨

4 演習

問題 4.1. $S^1\vee S^2$ の被約ホモロジー群をすべて求めよ。

解答.

各球面の基点 $x_i$ は補題 2.1により開近傍 $S^i\setminus\{-x_i\}$ の変位レトラクトである。したがって命題 2.4と定理 2.2により

\widetilde H_n(S^1\vee S^2)\cong \widetilde H_n(S^1)\oplus\widetilde H_n(S^2) \cong\begin{cases}\Z&n=1,2,\\0&\text{それ以外}.\end{cases}

▨

問題 4.2. Klein の壺 $K$ の一次および二次ホモロジー群を求めよ。

解答.

補題 3.3により、 $K$ は語 $a_1a_2a_1a_2^{-1}$ の二胞体の模型である。指数和ベクトルは $(2,0)$ なので、補題 3.2から

H_1(K)\cong\Z^2/\Z(2,0)\cong\Z\oplus\Z/2\Z, \qquad H_2(K)=0

を得る。この結果は、標準閉曲面の定理における $N_2$ の群と一致する。▨

問題 4.3. 空でない空間 $X$ の懸垂 $\Sigma X$ （§E21.2 定義 2.1）について、適切な開被覆を選び、命題 2.6の同型と自然性を証明せよ。

解答.

$\Sigma X$ を $X\times[0,1]$ の両端をそれぞれ一点に潰した商とし、端点の像を $s_-,s_+$ と書く。 $U=\Sigma X\setminus\{s_-\}$ 、 $V=\Sigma X\setminus\{s_+\}$ と置く。各端点の逆像は $X\times\{0\}$ または $X\times\{1\}$ という閉集合なので、 $U,V$ は開集合である。

$U$ では

F([x,t],u)=[x,(1-u)t+u]

が $s_+$ への収縮を与える。飽和な開集合 $X\times(0,1]$ への商写像の制限も商写像であり、その写像と $[0,1]$ の積も§E2.37 定理 5.2により商写像である。表示の連続写像は同値類上で一定なので、§E2.12 定理 8.10により $F$ は連続である。同様に $[x,t]\mapsto[x,(1-u)t]$ が $V$ を $s_-$ へ収縮する。

$U\cap V$ は $X\times(0,1)$ の像である。この飽和な開集合への商写像の制限は全単射でもあるから、§E2.12 命題 8.5により $U\cap V\cong X\times(0,1)$ である。射影 $r:U\cap V\to X$ は、中央断面への変位レトラクションによりホモトピー同値である。 $X\neq\varnothing$ なので交わりは空でない。被約完全列の両側の群が消えるため、

s_X=r_*\delta:\widetilde H_{n+1}(\Sigma X) \xrightarrow{\delta}\widetilde H_n(U\cap V) \xrightarrow{r_*}\widetilde H_n(X)

は $n\geq0$ で同型となる。

連続写像 $f:X\to Y$ の懸垂 $\Sigma f([x,t])=[f(x),t]$ はこの被覆を保ち、交わり上で $r_Y\Sigma f=fr_X$ を満たす。被約完全列の自然性から $s_Y(\Sigma f)_*=f_*s_X$ が従う。▨

§E21.18Mayer–Vietoris 完全列

1 二つの部分空間からの完全列

2 球面、楔和、懸垂

3 接着写像と閉曲面

4 演習

参考文献

前提記事