カップ積の構成と性質 | 位相幾何入門

1 微分次数付き代数と双対余鎖

定義 1.1. $R$ を単位元を持つ可換環とする。 $R$ 上のコホモロジー的微分次数付き代数 (cohomological differential graded algebra) とは、次数付き $R$ 加群 $A^*$ に次の構造を与えたものである。

$R$ 双線形な積 $A^p\times A^q\to A^{p+q}$ と単位元 $1\in A^0$ があり、積は結合的である。
次数 $1$ の $R$ 線形写像 $d:A^p\to A^{p+1}$ があり、 $d^2=0$ を満たす。
$a\in A^p$ 、 $b\in A^q$ に対して、 $d(ab)=(da)b+(-1)^pa(db)$ が成り立つ。

定義 1.2. $R$ 加群の鎖複体 $C_*$ に対して、§E6.36 定義 1.1の係数加群を $R$ とした

C^n=\Hom_R(C_n,R),\qquad (\delta\varphi)(c)=\varphi(\partial c)

を双対余鎖複体 (dual cochain complex) と呼ぶ。 $R$ は可換なので、各項は $R$ 加群であり、 $\delta$ は $R$ 線形である。鎖写像 $g$ に対して、その前合成を $g^\#\varphi=\varphi\circ g$ と書く。

以下では、§E6.51 定義 2.1を特異鎖複体に適用する。テンソル積の微分を $\partial_\otimes$ と書き、 $c\in C_i(X;R)$ 、 $d\in C_j(X;R)$ に対して

\partial_\otimes(c\otimes d)=\partial c\otimes d+(-1)^ic\otimes\partial d

とする。テンソル積の括弧は標準同型によって同一視する。

2 Alexander–Whitney 対角写像

特異零単体を $1\in R$ へ送り、正の次数では零とする増大写像を $\varepsilon_X:C_*(X;R)\to R[0]$ と書く。一次単体の二つの端点の係数和は零なので、この写像は鎖写像である。

定義 2.1. 特異鎖複体上の鎖対角近似 (chain diagonal approximation) とは、写像の族 $\Delta_X:C_*(X;R)\to C_*(X;R)\otimes_R C_*(X;R)$ で、次の条件を満たすものである。

$\Delta_X$ は鎖写像であり、連続写像 $f:X\to Y$ に対して $\Delta_Yf_\#=(f_\#\otimes f_\#)\Delta_X$ が成り立つ。
零単体 $x$ に対し、 $\Delta_X(x\otimes1)=(x\otimes1)\otimes(x\otimes1)$ である。
$(\varepsilon_X\otimes1)\Delta_X=1$ 、 $(1\otimes\varepsilon_X)\Delta_X=1$ が成り立つ。

定義 2.2. 特異 $n$ 単体 $\sigma:\Delta^n\to X$ と $i_0,\ldots,i_m\in\{0,\ldots,n\}$ に対し、§E21.16 定義 1.1 (1)のアフィン単体を用いて

\sigma[i_0,\ldots,i_m]=(\sigma\circ[v_{i_0},\ldots,v_{i_m}])\otimes1

と書く。添字には重複や順序の逆転を許す。 $\sigma\otimes1$ が係数 $R$ の特異鎖の基底であることにより、

\operatorname{AW}_X(\sigma\otimes1) =\sum_{i=0}^n\sigma[0,\ldots,i]\otimes\sigma[i,\ldots,n]

は $R$ 線形写像 $\operatorname{AW}_X:C_n(X;R)\to(C_*(X;R)\otimes_R C_*(X;R))_n$ を定める。この写像を Alexander–Whitney 対角写像 (Alexander–Whitney diagonal) という。負の次数では零写像とする。

補題 2.3. 上の記号について、次が成り立つ。

$\sigma[0,\ldots,n]=\sigma\otimes1$ であり、第 $k$ 面について $(\sigma\circ\delta_k)\otimes1=\sigma[0,\ldots,\widehat{k},\ldots,n]$ である。
$\tau=\sigma\circ[v_{i_0},\ldots,v_{i_m}]$ とすると、 $\tau[j_0,\ldots,j_l]=\sigma[i_{j_0},\ldots,i_{j_l}]$ である。
連続写像 $f:X\to Y$ に対して、 $(f\circ\sigma)[i_0,\ldots,i_m]=f_\#(\sigma[i_0,\ldots,i_m])$ である。

証明. アフィン写像は頂点の像で一意に定まる。主張 (1)を示す。恒等写像と面写像の頂点の像を読むと主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。二つの合成はともにアフィン写像との合成であり、各頂点を同じ $v_{i_{j_s}}$ へ送る。

主張 (3)は写像の合成の結合律である。▨

命題 2.4. Alexander–Whitney 対角写像は次の性質を持つ。

$\partial_\otimes\operatorname{AW}_X=\operatorname{AW}_X\partial$ である。
連続写像 $f:X\to Y$ に対して、 $\operatorname{AW}_Yf_\#=(f_\#\otimes f_\#)\operatorname{AW}_X$ である。
$(\operatorname{AW}_X\otimes1)\operatorname{AW}_X=(1\otimes\operatorname{AW}_X)\operatorname{AW}_X$ である。
$(\varepsilon_X\otimes1)\operatorname{AW}_X=1$ 、 $(1\otimes\varepsilon_X)\operatorname{AW}_X=1$ である。
零単体 $x$ に対して $\operatorname{AW}_X(x\otimes1)=(x\otimes1)\otimes(x\otimes1)$ であり、族 $(\operatorname{AW}_X)_X$ は鎖対角近似である。

証明.主張 (1)を示す。基底 $\sigma\otimes1$ 上で確かめる。 $n=0$ では両辺が零である。 $n\geq1$ では、前の補題とテンソル積の符号から

\begin{aligned} \partial_\otimes\operatorname{AW}(\sigma\otimes1) ={}&\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^i(-1)^k \sigma[0,\ldots,\widehat{k},\ldots,i]\otimes\sigma[i,\ldots,n]\\ &+\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{k=i}^n(-1)^k \sigma[0,\ldots,i]\otimes\sigma[i,\ldots,\widehat{k},\ldots,n]. \end{aligned}

第一の和の $k=i$ の項は、第二の和の分割点 $i-1$ 、削除する頂点 $k=i-1$ の項と打ち消し合う。残る項では、削除する頂点が分割点より前か後かによって二つの和に分かれる。その符号はともに削除した頂点の符号 $(-1)^k$ であり、分割点を残りの頂点列で数え直せば、 $\operatorname{AW}(\partial\sigma\otimes1)$ の全項を一度ずつ得る。

主張 (2)は前の補題の補題 2.3 (3)を AW の各項に適用すると従う。

主張 (3)の証明は問題 6.1 (1)の演習とする。解答は解答 (1)にある。

主張 (4)を示す。左の余単位則では、増大写像が正の次数で零なので分割点 $i=0$ の項だけが残り、その値は $1\otimes(\sigma\otimes1)$ である。右の余単位則では $i=n$ の項だけが残る。よって主張 (4)が成り立つ。

主張 (5)を示す。零次の和は一項だけであるから、主張 (5)の式を得る。主張 (1)と主張 (2)と主張 (4)と合わせると、鎖対角近似の条件がすべて満たされる。▨

注意 2.5. 幾何学的な対角写像 $d:X\to X\times X$ と射影 $p_1,p_2$ に対して、自然性から

\operatorname{AW}_X=(p_{1\#}\otimes p_{2\#})\operatorname{AW}_{X\times X}d_\#

が成り立つ。実際、 $\operatorname{AW}_{X\times X}d_\#=(d_\#\otimes d_\#)\operatorname{AW}_X$ に $p_{1\#}\otimes p_{2\#}$ を合成すれば、 $p_1d=p_2d=1_X$ により表示式を得る。対角写像が誘導する鎖写像の終域は積空間の鎖であり、この合成によって鎖複体のテンソル積へ移る。

3 余鎖の積とコホモロジー環

定義 3.1. $\varphi\in C^p(X;R)$ 、 $\psi\in C^q(X;R)$ に対して、 $\varphi\otimes\psi$ をテンソル積複体の双次数 $(p,q)$ で作用させ、ほかの双次数では零とする。 $R$ の乗法を $\mu_R:R\otimes_R R\to R$ と書き、

\varphi\smile\psi=\mu_R(\varphi\otimes\psi)\operatorname{AW}_X\in C^{p+q}(X;R)

をカップ積 (cup product) と定める。二つの余鎖は $R$ 線形なので、表示したテンソル積の写像が定まる。

補題 3.2. カップ積は $R$ 双線形である。 $p,q\geq0$ の場合、特異 $(p+q)$ 単体 $\sigma$ に対して

(\varphi\smile\psi)(\sigma\otimes1) =\varphi(\sigma[0,\ldots,p])\psi(\sigma[p,\ldots,p+q])

である。 $p<0$ または $q<0$ ならば積は零である。

証明. AW の和のうち、双次数 $(p,q)$ の項は分割点 $i=p$ の項だけである。これを評価すると表示式を得る。余鎖の加法と係数倍についてそれぞれ線形なので、双線形である。負の次数では対応する余鎖群が零である。▨

命題 3.3. $\varphi\in C^p(X;R)$ と $\psi\in C^q(X;R)$ に対して

\delta(\varphi\smile\psi)=\delta\varphi\smile\psi+(-1)^p\varphi\smile\delta\psi

が成り立つ。したがって、 $([\varphi],[\psi])\mapsto[\varphi\smile\psi]$ は代表によらず定まる $R$ 双線形写像 $H^p(X;R)\times H^q(X;R)\to H^{p+q}(X;R)$ を与える。

証明. 双次数 $(p+1,q)$ のテンソルに対しては第一因子の境界だけが、双次数 $(p,q+1)$ では第二因子の境界だけが評価に寄与する。後者の符号は $(-1)^p$ である。よって

\mu_R(\varphi\otimes\psi)\partial_\otimes =\mu_R(\delta\varphi\otimes\psi)+(-1)^p\mu_R(\varphi\otimes\delta\psi).

AW の鎖写像性と合成して Leibniz 則を得る。

二つの余鎖がコサイクルならば積もコサイクルである。一方の代表を取り替えた差は、他方がコサイクルであることにより

(\delta\alpha)\smile\psi=\delta(\alpha\smile\psi),\qquad \varphi\smile\delta\beta=(-1)^p\delta(\varphi\smile\beta)

と表される。したがって代表を一つずつ取り替えても類は変わらず、余鎖上の双線形性が類の上へ降りる。▨

命題 3.4. すべての特異零単体で値 $1$ を取る余鎖を $1_X\in C^0(X;R)$ とする。

$C^*(X;R)$ は、 $\delta$ 、 $\smile$ 、 $1_X$ によってコホモロジー的微分次数付き代数である。
$\delta1_X=0$ であり、カップ積を双線形に延ばした積により、 $H^*(X;R)=\bigoplus_{n\geq0}H^n(X;R)$ は $[1_X]$ を単位元とする結合的な次数付き $R$ 代数である。

証明.主張 (1)を示す。三つの余鎖に対して、二通りの積は三重乗法 $\mu_3$ と、それぞれ $(\operatorname{AW}\otimes1)\operatorname{AW}$ 、 $(1\otimes\operatorname{AW})\operatorname{AW}$ との合成である。AW の余結合性と $R$ の乗法の結合律により、両者は等しい。単体上の公式で、一方を零次の $1_X$ とすると、前端点または後端点での値が $1$ となるので、他方の余鎖自身を得る。したがって両側単位則が成り立つ。双対余鎖複体の $\delta^2=0$ と前命題の Leibniz 則を合わせれば主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。一次単体の二つの端点で $1_X$ の値は等しいので、 $\delta1_X=0$ である。積の代表独立性により、余鎖上の結合律と単位則はコホモロジー類へ降りる。直和の元は有限個の斉次成分からなるので、双線形な延長の各積も有限和であり、主張 (2)を得る。▨

定義 3.5. 前命題の次数付き $R$ 代数 $H^*(X;R)$ を、 $X$ の $R$ 係数のコホモロジー環 (cohomology ring) という。

注意 3.6. AW に二つの余鎖を合成すると一つの余鎖を得るが、同じ形でホモロジー類の積を作るには、逆向きの鎖写像 $C_*(X;R)\otimes C_*(X;R)\to C_*(X;R)$ が必要である。その写像は AW の構成からは得られない。たとえば位相群の乗法は空間に別に与えられた構造である。積の役を果たす写像 $m:X\times X\to X$ には、基点 $x_0$ に対して $m(x,x_0)$ と $m(x_0,x)$ で定まる二つの写像が、ともに $x$ をそのまま写す恒等写像とホモトピックである、という単位の条件を課すことがある。任意の空間にある射影は、一般にはこの条件を満たさない。

4 自然性と相対カップ積

命題 4.1. 連続写像 $f:X\to Y$ と余鎖 $\varphi\in C^p(Y;R)$ 、 $\psi\in C^q(Y;R)$ に対して、 $f^\#(\varphi\smile\psi)=f^\#\varphi\smile f^\#\psi$ である。したがってコホモロジー類についても $f^*(u\smile v)=f^*u\smile f^*v$ が成り立ち、 $f^*:H^*(Y;R)\to H^*(X;R)$ は単位元を保つ次数付き環準同型である。

証明. AW の自然性により、

\mu_R(\varphi\otimes\psi)\operatorname{AW}_Yf_\# =\mu_R(\varphi f_\#\otimes\psi f_\#)\operatorname{AW}_X

である。これが余鎖上の等式である。前合成は§E6.36 補題 1.2により余鎖写像なので、等式は類へ降りる。零単体の像も零単体であることから $f^\#1_Y=1_X$ であり、単位元も保たれる。▨

補題 4.2. $A,B\subseteq X$ は次のいずれかの条件を満たすとする。

$A,B$ は $X$ の開集合である。
$X$ は CW 複体であり、 $A,B$ は同じ CW 構造の部分複体である。

$S_*=C_*(A;R)+C_*(B;R)$ 、 $K^*(X;A,B)=\Hom_R(C_*(X;R)/S_*,R)$ と置き、標準商写像を $q_{A,B}:C_*(X;R)/S_*\to C_*(X,A\cup B;R)$ と書く。

$q_{A,B}^\#$ は同型 $H^*(X,A\cup B;R)\to H^*(K^*(X;A,B))$ を誘導する。
この同型は、 $f(A)\subseteq A'$ 、 $f(B)\subseteq B'$ を満たす連続写像 $f:X\to X'$ について自然である。ただし、両方の三つ組は上の条件のいずれかを満たすものとする。

証明. この証明では $Z=A\cup B$ 、 $T_*=C_*(Z;R)$ と置く。

主張 4.2.1. 任意の部分集合 $A,B$ について、 $S_*\hookrightarrow T_*$ が擬同型であることは、包含が全次数で同型 $H_*(A,A\cap B;R)\to H_*(Z,B;R)$ を誘導するための必要十分条件である。

証明. 特異単体の基底を比較すると、 $C_*(A;R)\cap C_*(B;R)=C_*(A\cap B;R)$ である。したがって

S_*/C_*(B;R)\cong C_*(A,A\cap B;R)

である。短完全列 $0\to C_*(B;R)\to S_*\to S_*/C_*(B;R)\to0$ と、 $S_*$ を $T_*$ に替えた短完全列を包含で比較する。左の写像は恒等写像であるから、長完全列と五項補題により、中央の写像が全次数で同型を誘導することは、右の写像が全次数で同型を誘導するための必要十分条件である。▨

主張 4.2.2. 補題の二条件のいずれかのもとで、 $S_*\hookrightarrow T_*$ は擬同型である。

証明. 開集合の場合、 $S_*$ は $Z$ の開被覆 $\{A,B\}$ の小鎖複体である。§E21.16 定理 2.3 (2)により、包含は鎖ホモトピー同値である。

CW 部分複体の場合、 $Z$ 自身を CW 複体とみなす。§E21.22 命題 7.3 (3)と§E21.22 補題 7.4 (1)によって、 $Z$ の開被覆 $U=U(A)$ 、 $V=U(B)$ を取り、 $A\hookrightarrow U$ 、 $B\hookrightarrow V$ 、 $A\cap B\hookrightarrow U\cap V=U(A\cap B)$ をそれぞれ変位レトラクトの包含とすることができる。これらの包含は整数係数のホモロジー同型であり、§E21.15 命題 4.1 (2)により係数 $R$ でも同型を誘導する。

対の係数付き長完全列を比較すると、 $H_*(A,A\cap B;R)\to H_*(U,U\cap V;R)$ と $H_*(Z,B;R)\to H_*(Z,V;R)$ は同型である。開集合の場合と前の補助主張により、 $H_*(U,U\cap V;R)\to H_*(Z,V;R)$ も同型である。これらの包含の正方形は可換なので、 $H_*(A,A\cap B;R)\to H_*(Z,B;R)$ は同型である。前の補助主張をもう一度用い、結論を得る。▨

主張 (1)を示す。第二の補助主張と短完全列 $0\to S_*\to T_*\to T_*/S_*\to0$ により、 $T_*/S_*$ は非輪状である。さらに

0\longrightarrow T_*/S_*\longrightarrow C_*(X;R)/S_* \xrightarrow{q_{A,B}}C_*(X;R)/T_*\longrightarrow0

の長完全列から、 $q_{A,B}$ は擬同型である。その始域と終域は、特異単体の基底の部分集合を除いて得られる自由 $R$ 加群からなる非負次数の複体である。したがって§E6.35 補題 3.1 (2)により、 $q_{A,B}^\#$ は余鎖ホモトピー同値であり、主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。対を保つ連続写像は $S_*$ と $T_*$ をそれぞれ対応する部分複体へ写す。標準商写像の正方形は鎖の水準で可換なので、双対とコホモロジーを取っても可換である。これが主張 (2)である。▨

命題 4.3. $A,B\subseteq X$ とし、 $K^*(X;A,B)$ を前の補題と同じ式で定める。

カップ積は $C^p(X,A;R)\times C^q(X,B;R)\to K^{p+q}(X;A,B)$ に値を取り、コホモロジー類の積へ降りる。
任意の部分集合 $A$ について、余鎖の積 $C^p(X,A;R)\times C^q(X;R)\to C^{p+q}(X,A;R)$ と、その類の積 $H^p(X,A;R)\times H^q(X;R)\to H^{p+q}(X,A;R)$ が定まる。左右の相対部分を入れ替えた積も同様に定まる。
$A,B$ がともに開集合または同じ CW 構造の部分複体ならば、 $u\smile v=H^{p+q}(q_{A,B}^\#)^{-1}[\varphi\smile\psi]$ によって積 $H^p(X,A;R)\times H^q(X,B;R)\to H^{p+q}(X,A\cup B;R)$ が定まる。ここで $\varphi,\psi$ は $u,v$ の代表コサイクルである。 $B=\varnothing$ の場合、この積は第二項の積に一致する。
$f:X\to X'$ が $f(A)\subseteq A'$ 、 $f(B)\subseteq B'$ を満たすとする。 $B=B'=\varnothing$ で $A,A'$ が任意の場合、または両方の三つ組が第三項の条件を満たす場合には、 $f^*(u\smile v)=f^*u\smile f^*v$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。相対余鎖を、それぞれ $A$ 、 $B$ の鎖上で零となる余鎖とみなす。積が $C_*(A;R)+C_*(B;R)$ 上で零となることの証明は問題 6.1 (2)の演習とする。解答は解答 (2)にある。Leibniz 則は相対余鎖にも同じ式で成り立ち、代表を取り替えた差を表す原始も同じ部分複体上で零となる。したがって主張 (1)の積は類へ降りる。

主張 (2)を示す。 $B=\varnothing$ ならば $K^*(X;A,\varnothing)=C^*(X,A;R)$ であり、 $A=\varnothing$ の場合も同様である。したがって主張 (2)を得る。

主張 (3)を示す。仮定の条件下では、前の補題の同型の逆を主張 (1)の積へ合成する。 $B=\varnothing$ では $q_{A,\varnothing}$ が恒等写像なので、主張 (2)に一致する。

主張 (4)を示す。余鎖上の自然性は絶対積の自然性を制限したものである。一方だけ相対の場合にはそのまま類へ降ろす。主張 (3)の場合には、前の補題の自然な同型の逆も可換な正方形を与えるため、合成した積の自然性を得る。▨

5 順序反転と次数付き交換律

補題 5.1. $R$ 加群の鎖複体 $C,D$ に対し、 $c\in C_i$ 、 $d\in D_j$ について $\tau(c\otimes d)=(-1)^{ij}d\otimes c$ と定めると、 $\tau:C\otimes_R D\to D\otimes_R C$ は鎖写像である。

証明. $\partial d\otimes c$ の係数は、 $\partial_\otimes\tau(c\otimes d)$ では $(-1)^{ij}$ 、 $\tau\partial_\otimes(c\otimes d)$ では $(-1)^{i+i(j-1)}$ であり、等しい。 $d\otimes\partial c$ の係数は、それぞれ $(-1)^{ij+j}$ と $(-1)^{(i-1)j}$ であり、指数の差が $2j$ なので等しい。線形に延ばして結論を得る。▨

命題 5.2. 標準単体の頂点を逆順に送るアフィン写像を $r_n(v_i)=v_{n-i}$ とし、 $\epsilon_n=(-1)^{n(n+1)/2}$ と置く。

$\rho_n(\sigma\otimes1)=\epsilon_n(\sigma\circ r_n)\otimes1$ は自然な鎖写像 $\rho:C_*(X;R)\to C_*(X;R)$ を定める。
自然な次数 $1$ の $R$ 線形作用素 $D$ で、 $\partial D+D\partial=\rho-1$ を満たすものが存在する。

証明.主張 (1)を示す。 $r_n\delta_k=\delta_{n-k}r_{n-1}$ である。したがって $j=n-k$ と置き換えると、 $\partial\rho_n$ の各面の係数は $\epsilon_n(-1)^{n-j}$ 、 $\rho_{n-1}\partial$ の対応する係数は $\epsilon_{n-1}(-1)^j$ である。 $\epsilon_n=(-1)^n\epsilon_{n-1}$ なので両係数は等しい。後合成は反転と可換なので、自然性も成り立つ。

主張 (2)を示す。まず整数係数で構成する。 $D_{-1}=0$ とし、零次では $\rho_0=1$ なので $D_0=0$ とする。次数 $n-1$ まで、自然な $D$ と鎖ホモトピーの式を構成済みと仮定する。 $\iota_n:\Delta^n\to\Delta^n$ を恒等単体とし、

z_n=\rho_n(\iota_n)-\iota_n-D_{n-1}(\partial\iota_n)

と置く。帰納法により $D$ はアフィン単体をアフィン単体の整数線形結合へ送るので、 $z_n$ もそのような鎖である。また、主張 (1)と帰納法の式から

\partial z_n=(\rho_{n-1}-1)\partial\iota_n -(\rho_{n-1}-1-D_{n-2}\partial)\partial\iota_n=0

である。 $n\geq1$ では、頂点 $v_0$ からの錐を用いて $u_n=v_0*z_n$ と置く。§E21.16 補題 1.2により $\partial u_n=z_n$ である。

任意の特異 $n$ 単体 $\sigma$ について、 $D_n\sigma=\sigma_\#u_n$ と定め、整数線形に延ばす。この定め方は後合成と可換なので自然である。境界と合成の可換性および帰納法の自然性により

\partial D_n\sigma=\rho_n\sigma-\sigma-D_{n-1}\partial\sigma

となる。またアフィン写像の合成はアフィンなので、次の帰納段で用いる性質も保たれる。こうして全次数の作用素を得る。最後に $-\otimes_{\Z}R$ を施せば、係数 $R$ の鎖ホモトピーと自然性を得る。▨

定理 5.3. $u\in H^p(X;R)$ 、 $v\in H^q(X;R)$ に対して、 $u\smile v=(-1)^{pq}v\smile u$ が成り立つ。

証明. 負の次数があれば主張は零である。以下、 $p,q\geq0$ とする。

主張 5.3.1. 鎖写像として $\operatorname{AW}_X\rho=(\rho\otimes\rho)\tau\operatorname{AW}_X$ が成り立つ。

証明. 左辺の分割点 $i$ の項は

\epsilon_n\sigma[n,n-1,\ldots,n-i]\otimes\sigma[n-i,n-i-1,\ldots,0]

である。右辺の分割点 $j=n-i$ の項は同じ二つの鎖のテンソル積であり、その係数は $(-1)^{j(n-j)}\epsilon_j\epsilon_{n-j}$ である。恒等式

\frac{n(n+1)}2=\frac{j(j+1)}2+\frac{(n-j)(n-j+1)}2+j(n-j)

により、この係数は $\epsilon_n$ に等しい。全分割点について加えればよい。▨

補助主張に二つの余鎖 $\varphi\in C^p(X;R)$ 、 $\psi\in C^q(X;R)$ を作用させると、 $R$ の可換性により

\rho^\#(\varphi\smile\psi) =(-1)^{pq}\rho^\#\psi\smile\rho^\#\varphi

を得る。ここで符号は双次数 $(q,p)$ を交換する $\tau$ から生じる。

前命題の鎖ホモトピーを双対化すると、 $K\varphi=\varphi\circ D$ は次数 $-1$ の作用素であり、 $\rho^\#-1=\delta K+K\delta$ である。したがって $\rho^*$ はコホモロジー上で恒等写像を誘導する。 $\varphi,\psi$ を $u,v$ の代表コサイクルとして上の等式の類を取ると、所望の交換律を得る。▨

系 5.4. 奇数次の類 $u\in H^{2k+1}(X;R)$ に対して、 $2(u\smile u)=0$ である。とくに、 $2$ が $R$ で可逆ならば $u\smile u=0$ である。

証明. 次数付き交換律で同じ奇数次の類を入れ替えると、 $u\smile u=-u\smile u$ となる。両辺を移項し、 $2$ が可逆な場合はその逆元を掛ければよい。▨

6 演習

問題 6.1.

AW の二通りの反復 $(\operatorname{AW}\otimes1)\operatorname{AW}$ と $(1\otimes\operatorname{AW})\operatorname{AW}$ を展開し、同じ三重和になることを示せ。
$\varphi\in C^p(X,A;R)$ と $\psi\in C^q(X,B;R)$ のカップ積が $C_*(A;R)+C_*(B;R)$ 上で零になることを示せ。
整数係数とし、 $\epsilon'_0=1$ 、 $\epsilon'_1,\epsilon'_2\in\{1,-1\}$ とする。 $\rho'_n\sigma=\epsilon'_n\sigma\circ r_n$ が $n=1,2$ で $\partial\rho'_n=\rho'_{n-1}\partial$ を満たすための必要十分条件を求めよ。恒等単体 $\iota_1,\iota_2$ の境界を用いよ。

解答.

左側の AW を先に反復すると、最初の分割点を $j$ 、前面の分割点を $i$ として $\sum_{j=0}^n\sum_{i=0}^j \sigma[0,\ldots,i]\otimes\sigma[i,\ldots,j]\otimes\sigma[j,\ldots,n]$ を得る。右側を反復すると、最初の分割点を $i$ 、後面の分割点を元の添字で $j$ として、同じ項を $\sum_{i=0}^n\sum_{j=i}^n$ の順で加える。どちらも $0\leq i\leq j\leq n$ を一度ずつ取る和である。面の合成には補題 2.3を用いた。
$p,q\geq0$ とする。単体 $\sigma$ の像が $A$ に含まれれば、前 $p$ 面の像も $A$ に含まれるので $\varphi(\sigma[0,\ldots,p])=0$ である。像が $B$ に含まれれば、後 $q$ 面での $\psi$ の値が零である。単体上の積の公式により、いずれの場合にも積の値は零となる。線形性により二つの鎖群の和でも零である。 $p<0$ または $q<0$ では積自身が零なので、同じ結論が成り立つ。
一次では、 $\partial\rho'_1[0,1]=\epsilon'_1([0]-[1])$ であり、 $\rho'_0\partial[0,1]=[1]-[0]$ である。異なる点は自由鎖群の異なる基底元なので、等式の必要十分条件は $\epsilon'_1=-1$ である。二次では $\partial\rho'_2[0,1,2] =\epsilon'_2([1,0]-[2,0]+[2,1]),\qquad \rho'_1\partial[0,1,2] =\epsilon'_1([2,1]-[2,0]+[1,0]).$ 三つのアフィン辺は異なる特異単体なので、この等式の必要十分条件は $\epsilon'_2=\epsilon'_1$ である。したがって二つの次数で同時に鎖写像の式を満たすための必要十分条件は $\epsilon'_1=\epsilon'_2=-1$ である。逆にこの符号で恒等単体の式が成り立てば、任意の単体の後合成を取ることで一般の単体でも成り立つ。

▨

§E21.32カップ積の構成と性質