胞体複体と基本性質 | 位相幾何入門

定義 1.1. $D^n$ を単位閉球体、 $\mathring D^n$ をその内部、 $S^{n-1}=\partial D^n$ とする。 $D^0$ は一点であり、 $S^{-1}=\varnothing$ とする。位相空間 $X$ に部分空間の列

\varnothing=X^{-1}\subseteq X^0\subseteq X^1\subseteq\cdots, \qquad X=\bigcup_{n\geq0}X^n

と、各 $n\geq0$ に対する連続写像 $\chi_\alpha:D^n_\alpha\to X^n$ （ $\alpha\in I_n$ ）が与えられ、 $\chi_\alpha(S^{n-1}_\alpha)\subseteq X^{n-1}$ とする。包含と $\chi_\alpha$ が定める写像

Q_n:X^{n-1}\sqcup\coprod_{\alpha\in I_n}D^n_\alpha\longrightarrow X^n

は商写像であり、 $X^{n-1}\sqcup\coprod_\alpha\mathring D^n_\alpha$ 上で単射であると仮定する。 $\chi_\alpha$ を特性写像 (characteristic map)、 $e^n_\alpha=\chi_\alpha(\mathring D^n_\alpha)$ を開胞体 (open cell) と呼ぶ。

次の二条件を満たす $X$ を CW 複体 (CW complex) または胞体複体という。

各開胞体の閉包は有限個の開胞体としか交わらない。この条件を閉包有限性 (closure finiteness) という。
$F\subseteq X$ が閉集合であることは、すべての $\chi_\alpha^{-1}(F)$ が閉集合であるための必要十分条件である。この条件を弱位相 (weak topology) の条件という。

$X^n$ を $n$ 骨格 (skeleton) という。開胞体の合併 $A\subseteq X$ で、 $e_\alpha\subseteq A$ ならば $\chi_\alpha(D_\alpha)\subseteq A$ となるものを部分複体 (subcomplex) と呼ぶ。有限個の開胞体からなるものを有限部分複体といい、部分複体 $A$ との対 $(X,A)$ を CW 対 (CW pair) という。各点が有限個の開胞体としか交わらない開近傍をもつとき、CW 複体は局所有限 (locally finite) であるという。

補題 1.2. 前定義の $Q_n$ に関する仮定の下で、各 $\chi_\alpha$ は $\mathring D^n_\alpha$ を $e^n_\alpha$ へ全単射に写す。また $X^n$ は $X^{n-1}$ と $e^n_\alpha$ （ $\alpha\in I_n$ ）の互いに交わらない合併であり、 $X$ はすべての開胞体の互いに交わらない合併である。 $X^0$ は離散空間である。

証明. 分割と全単射性は $Q_n$ の全射性と、指定された部分集合上の単射性による。 $Q_0$ は一点空間の直和から $X^0$ への全単射な商写像なので同相写像であり、 $X^0$ は離散空間である。▨

補題 1.3. CW 複体 $X$ の部分集合 $S$ が各開胞体と有限個の点でしか交わらないならば、 $S$ は $X$ の閉集合であり、その部分空間位相は離散位相である。

証明. $T\subseteq S$ を任意に取る。 $T\cap X^0$ は閉集合である。 $T\cap X^{n-1}$ が閉であるとき、各 $n$ 胞体の円板で $\chi_\alpha^{-1}(T)$ は、境界にある閉集合と、内部にある有限個の点の合併である。よって閉集合であり、 $Q_n$ の商写像性から $T\cap X^n$ は閉である。帰納法と弱位相により $T$ は $X$ の閉集合となる。 $T=S$ とすれば $S$ は閉であり、任意の $T\subseteq S$ が閉であることから $S$ は離散である。▨

補題 1.4. CW 複体の各一点は閉集合であり、各部分複体も閉集合である。

証明. 一点の閉性は前補題による。部分複体 $A$ について $A\cap X^{n-1}$ が閉ならば、 $\chi_\alpha^{-1}(A)$ は $e^n_\alpha\subseteq A$ の場合には円板全体、そうでない場合には境界にある閉集合である。 $X^0$ の離散性から始めて帰納法を用いると、すべての特性写像による逆像は閉となる。弱位相により $A$ は閉である。▨

補題 1.5. $X$ を CW 複体、 $K$ をコンパクト Hausdorff 空間とする。

写像 $F:X\times K\to Y$ が連続であることは、すべての $F\circ(\chi_\alpha\times\id_K)$ が連続であるための必要十分条件である。
開集合 $U\subseteq X$ 上の写像 $F:U\times K\to Y$ が連続であることも、すべての $\chi_\alpha^{-1}(U)\times K$ への引き戻しが連続であるための必要十分条件である。

証明.主張 (1)を示す。弱位相により $q=\coprod_\alpha\chi_\alpha:\coprod_\alpha D_\alpha\to X$ は商写像である。コンパクト Hausdorff 空間 $K$ は正則であり、各点に閉包がコンパクトな近傍基をもつ。よって§E2.37 定理 5.2により $q\times\id_K$ も商写像である。商写像の普遍性と位相的直和の普遍性により主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。 $q$ を開かつ飽和な集合 $q^{-1}(U)$ に制限した写像が商写像であること（§E21.2 補題 1.1）を用いる。▨

補題 2.1. $F\subseteq D^n$ を閉集合とする。このとき、任意の連続写像 $g:F\to[0,1]$ は、連続写像 $G:D^n\to[0,1]$ に延長される。

証明. $D^n$ は距離空間なので正規である。 $g-\tfrac12$ に Tietze の拡張定理（§E2.18 定理 4.1）を値域 $[-\tfrac12,\tfrac12]$ で適用し、 $\tfrac12$ を加えればよい。▨

定理 2.2. CW 複体は Hausdorff な正規空間である。

証明. 互いに交わらない閉集合 $A,B\subseteq X$ を取る。離散空間 $X^0$ 上で、 $A\cap X^0$ では $0$ 、 $B\cap X^0$ では $1$ となる関数 $f_0:X^0\to[0,1]$ を選ぶ。連続関数 $f_{n-1}:X^{n-1}\to[0,1]$ が同じ条件を満たすと仮定する。各特性円板の閉集合

S^{n-1}_\alpha\cup\chi_\alpha^{-1}(A)\cup\chi_\alpha^{-1}(B)

上で、境界では $f_{n-1}\circ\chi_\alpha$ 、残る二集合ではそれぞれ $0,1$ と定める。重なりで値が一致するので連続であり、前補題によって円板全体へ延長される。これらの延長は $Q_n$ を通じて $f_n:X^n\to[0,1]$ を定め、 $f_{n-1}$ を延長する。

得られた $f:X\to[0,1]$ は弱位相により連続である。 $f^{-1}([0,\tfrac13))$ と $f^{-1}((\tfrac23,1])$ は $A,B$ を含む互いに交わらない開集合である。よって $X$ は正規である。一点が閉であることを用いて、同じ分離を二点に適用すると、Hausdorff 性も得られる。▨

補題 2.3. 各胞体について $\chi_\alpha(D_\alpha)=\tpcl{e_\alpha}$ である。また $F\subseteq X$ について、 $\chi_\alpha^{-1}(F)$ が閉であることは、 $F\cap\tpcl{e_\alpha}$ が閉であるための必要十分条件である。したがって弱位相は、各閉胞体との交わりによって閉集合を判定する条件とも等しい。

証明. $\chi_\alpha(D_\alpha)$ は Hausdorff 空間 $X$ のコンパクト部分集合なので閉である。一方、円板の内部は稠密であり、連続性から $\chi_\alpha(D_\alpha)\subseteq\tpcl{e_\alpha}$ となる。よって等号が成り立つ。 $\chi_\alpha^{-1}(F)$ が閉ならばその像 $F\cap\tpcl{e_\alpha}$ はコンパクトなので閉である。逆向きは連続性による。▨

定理 2.4. CW 複体 $X$ のコンパクト部分集合 $K$ は有限個の開胞体としか交わらない。さらに、 $K$ を含む有限部分複体が存在する。

証明. $K$ が無限個の開胞体と交わるならば、相異なる胞体から一点ずつ選んで無限集合 $S\subseteq K$ を得る。補題 1.3により $S$ は閉離散である。よってコンパクトな $K$ の閉部分集合としてコンパクトである一方、一点集合による開被覆は有限部分被覆をもたず、矛盾する。

$K$ と交わる有限個の開胞体を選ぶ。各胞体の閉包が交わる胞体をすべて加え、加えた胞体にも同じ操作を施す。閉包有限性により各段で加わる胞体は有限個であり、元の胞体以外の接着先は次元が低いので有限回で終わる。得られる合併は $K$ を含む有限部分複体である。▨

注意 2.5. コンパクト部分集合の有限性には局所有限性を仮定していない。一頂点に可算個の円周を接着した CW 複体は局所有限でないが、各コンパクト部分集合は有限個の胞体に含まれる。とくに、有限部分複体の全体も骨格の列も、任意のコンパクト部分集合をいずれかの一員に含む。

例 2.6. 平面の中で、中心 $(1/k,0)$ 、半径 $1/k$ の円周 $C_k$ （ $k\geq1$ ）の和を $E$ とする。このとき、 $E$ は§E21.9 定義 4.1の空間である。原点を零胞体、 $C_k\setminus\{0\}$ を一胞体とすれば閉包有限性を満たすが、この分割は通常の部分空間位相に対する CW 構造でない。

実際、集合 $P=\{(2/k,0):k\geq1\}$ の各特性写像による逆像は、一点または空集合なので閉である。一方、 $P$ は $E$ の中で原点へ収束する点列を含み、原点を含まないため閉でない。したがって弱位相の条件を満たさず、一骨格への写像 $Q_1$ も商写像でない。 $E$ 自身は有界閉集合なのでコンパクトであるが、すべての一胞体と交わる。胞体への分割と閉包有限性だけでは、前定理の結論は従わない。

補題 3.1. 位相空間 $X$ に、 $X=\bigcup_nX^n$ を満たす部分空間の増大列 $\varnothing=X^{-1}\subseteq X^0\subseteq\cdots$ と、連続写像 $\chi_\alpha:D^n_\alpha\to X^n$ （ $\alpha\in I_n$ ）が与えられたとする。各写像は内部で単射であり、境界を $X^{n-1}$ へ送り、 $X^n$ は $X^{n-1}$ と内部の像 $e^n_\alpha$ の互いに交わらない合併であると仮定する。さらに次の条件を満たすならば、これらは $X$ の CW 構造を与える。

各 $\chi_\alpha:D_\alpha\to X$ は閉写像である。
各 $\chi_\alpha(D_\alpha)$ は有限個の開胞体としか交わらない。
$F\subseteq X$ が閉であることは、すべての $\chi_\alpha^{-1}(F)$ が閉であるための必要十分条件である。

証明. 包含と特性写像の定める $Q_n$ は連続な全射であり、定義に必要な単射性をもつ。 $G\subseteq X^n$ に対して $Q_n^{-1}(G)$ が閉であるとする。次元が $n$ 以下のすべての特性写像について $\chi_\gamma^{-1}(G)$ は閉である。次元が $n$ より大きい特性写像 $\chi_\beta$ を固定する。 $\chi_\beta(D_\beta)$ と交わる次元 $n$ 以下の胞体を $e_{\gamma_1},\ldots,e_{\gamma_r}$ とすれば、

G'=\bigcup_{j=1}^r\chi_{\gamma_j}(\chi_{\gamma_j}^{-1}(G))

は第一条件により $X$ の閉集合であり、 $\chi_\beta^{-1}(G)=\chi_\beta^{-1}(G')$ である。よって第三条件から $G$ は $X$ の閉集合であり、とくに $X^n$ で閉である。これで $Q_n$ が商写像であることが分かる。第一条件により $\tpcl{e_\alpha}\subseteq\chi_\alpha(D_\alpha)$ なので、第二条件から閉包有限性が従う。弱位相は第三条件である。▨

系 3.2. 前補題の骨格の分割と特性写像に関する仮定の下で、 $X$ が Hausdorff 空間であり、開胞体が全部で有限個であるとする。このとき $X$ はコンパクトであり、与えられた骨格と特性写像によって有限 CW 複体である。

証明. $X$ は有限個のコンパクト集合 $\chi_\alpha(D_\alpha)$ の合併なのでコンパクトである。各特性写像はコンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので閉写像である。有限個の円板の直和から $X$ への全射も閉写像なので商写像であり、これが弱位相を与える。閉包有限性の条件も有限個の胞体から従い、前補題を適用することができる。▨

補題 3.3. $A$ を CW 複体 $X$ の部分複体とし、部分空間位相を入れる。

$F\subseteq A$ が閉であることは、 $A$ に含まれるすべての胞体の特性写像による $F$ の逆像が閉であるための必要十分条件である。 $A$ は骨格 $A\cap X^n$ とこれらの特性写像によって CW 複体である。
コンパクト Hausdorff 空間 $K$ に対し、 $A\times K$ 上の写像の連続性は、各特性円板と $K$ の積への引き戻しによって判定することができる。

証明.主張 (1)を示す。逆像の条件を仮定する。 $A$ に含まれない胞体の閉包が $A$ の胞体 $e_{\alpha_1},\ldots,e_{\alpha_r}$ と交わるとき、

F'=\bigcup_{j=1}^r\chi_{\alpha_j}(\chi_{\alpha_j}^{-1}(F))

はコンパクトであり、Hausdorff 空間 $X$ の閉集合である。この胞体の特性写像による $F$ と $F'$ の逆像は一致する。したがって、 $X$ のすべての特性写像による $F$ の逆像は閉であり、 $F$ は $X$ で閉である。もう一方の向きは連続性による。

$A$ の特性写像はコンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので閉写像である。閉包有限性も継承され、前段で弱位相を得たので、補題 3.1により $A$ は CW 複体となる。

主張 (2)は補題 1.5の適用である。▨

定義 3.4. CW 複体の間の連続写像 $f:X\to Y$ が、すべての $n\geq0$ について $f(X^n)\subseteq Y^n$ を満たすとき、 $f$ を胞体写像 (cellular map) という。

補題 3.5.

$X^n$ は次元が $n$ 以下の胞体からなる部分複体である。各骨格と有限部分複体は CW 複体であり、任意の部分複体の包含写像は胞体写像である。

証明. 次元が $n$ 以下の特性写像の像は $X^n$ に含まれるので、骨格は部分複体である。部分複体の骨格は $A\cap X^n$ であり、前補題と胞体写像の定義から残りも従う。▨

例 3.6.

CW 複体の恒等写像は胞体写像である。
値を零胞体に取る定値写像は胞体写像である。

定義 4.1. 集合 $V,E$ と、各 $\epsilon\in E$ に対する二点 $v^-_\epsilon,v^+_\epsilon\in V$ を与える。離散空間 $V$ と閉区間 $D^1_\epsilon$ の位相的直和で、 $-1\in D^1_\epsilon$ を $v^-_\epsilon$ と、 $1\in D^1_\epsilon$ を $v^+_\epsilon$ と同一視した商空間 $\Gamma$ をグラフ (graph) という。 $V$ の元を頂点と呼び、 $v^-_\epsilon=v^+_\epsilon$ となる辺をループという。区間からの標準写像を $\chi_\epsilon$ とする。

集合 $S$ に対して、基点付き円周 $(S^1,1)$ の写しを $S$ 個取り、位相的直和のすべての基点を同一視した商を $W_S=\bigvee_{s\in S}S^1_s$ と書く。共通の基点を $*$ 、標準写像を $\iota_s:S^1\to W_S$ とする。 $S=\varnothing$ の場合には $W_S$ は一点空間とする。有限で空でない $S$ に対しては§E21.7 定義 3.1と同じ円周の楔和である。

命題 4.2.

$n\geq1$ の球面 $S^n$ は零胞体 $p=(0,\ldots,0,1)$ と一つの $n$ 胞体からなる CW 複体である。 $n$ 胞体の特性写像は $\chi(z)=\bigl(2\sqrt{1-\|z\|^2}\,z,\ 2\|z\|^2-1\bigr)$ であり、境界全体を $p$ へ送る。
$m\geq0$ について、実射影空間 $\mathbb{RP}^m$ はコンパクト Hausdorff 空間であり、各次元 $0,1,\ldots,m$ に一つの胞体をもつ。その $k$ 骨格は $\mathbb{RP}^k$ であり、 $k$ 胞体の特性写像は $z\longmapsto[z_1:\cdots:z_k:\sqrt{1-\|z\|^2}]$ である。接着写像は対蹠点を同一視する商 $S^{k-1}\to\mathbb{RP}^{k-1}$ である。
$\mathbb{CP}^m$ を、単位球面 $S^{2m+1}\subseteq\C^{m+1}$ において $z\sim\lambda z$ （ $|\lambda|=1$ ）と同一視した複素射影空間とする。これはコンパクト Hausdorff 空間であり、各次元 $0,2,\ldots,2m$ に一つの胞体をもつ。 $2k$ 骨格は $\mathbb{CP}^k$ であり、特性写像は $z\longmapsto[z_1:\cdots:z_k:\sqrt{1-\|z\|^2}], \qquad z\in D^{2k}\subseteq\C^k$ である。境界は $\mathbb{CP}^{k-1}$ へ送られる。
グラフ $\Gamma$ は、各頂点を零胞体、各 $\chi_\epsilon$ を一胞体の特性写像とする CW 複体である。 $W_S$ は一頂点と $S$ 個のループをもつグラフと同相であり、一胞体の特性写像は $t\mapsto\iota_s(-e^{\pi it})$ である。
空でない有限集合 $S$ 上の長さが正の語 $w$ に対する $M_w=W_S\cup_{\varphi_w}D^2$ （§E21.7 定義 3.3）は、一つの零胞体、各 $s\in S$ に対応する一胞体、一つの二胞体からなる CW 複体である。特性写像は標準写像 $j:W_S\to M_w$ と $\chi:D^2\to M_w$ から得られる。とくに§E21.7 系 4.3の同相写像により、 $g,h\geq1$ に対して $\Sigma_g$ は接着語 $[a_1,b_1]\cdots[a_g,b_g]$ をもち、一胞体は $2g$ 個である。 $N_h$ は接着語 $a_1^2\cdots a_h^2$ をもち、一胞体は $h$ 個である。いずれも零胞体と二胞体は一つずつである。

証明.主張 (1)を示す。指定された写像は内部を $S^n\setminus\{p\}$ へ全単射に写す。実際、像の最後の座標から $\|z\|$ が決まり、最後の座標が $1$ でないとき最初の $n$ 座標から $z$ が決まる。境界の像は $p$ なので、有限胞体の判定系 3.2が適用される。

主張 (2)と主張 (3)を示す。主張 (2)の同値関係は $S^m\times S^m$ における $y=x$ または $y=-x$ という閉条件で与えられる。主張 (3)の同値関係も、 $S^1\times S^{2m+1}$ のコンパクトな像 $\{(z,\lambda z)\}$ として閉である。したがって両商はコンパクト Hausdorff 空間である（§E2.19 補題 6.18）。最後の非零座標を正の実数に正規化した単位代表は一意なので、表示した写像は内部をそれぞれ $\mathbb{RP}^k\setminus\mathbb{RP}^{k-1}$ 、 $\mathbb{CP}^k\setminus\mathbb{CP}^{k-1}$ に全単射に写す。境界は一つ前の射影空間へ入る。これで骨格の分割が得られ、有限胞体の判定を適用することができる。

主張 (4)を示す。グラフの頂点集合は閉な離散部分空間であり、定義の商写像が $Q_1$ である。閉集合の判定は各辺と頂点への逆像で与えられるので弱位相を満たす。各辺の像はその辺と高々二頂点からなり、商写像による逆像が各区間で閉であるため閉集合である。よって閉包有限性も成り立つ。円周と端点を同一視した区間との同相写像を各辺で用いると、商の普遍性により $W_S$ との同相写像を得る。

主張 (5)を示す。 $j$ は閉埋め込みである（§E21.2 命題 4.3）。 $Q_1$ は楔和を定める商写像、 $Q_2$ は $M_w$ を定める商写像である。閉集合の判定をこの二つの商に順に適用すると弱位相を得る。胞体は有限個なので閉包有限性も成り立つ。標準閉曲面の構造は、指定された同相写像によってこの構造を移したものである。▨

例 4.3. $S^1$ は一頂点・一辺の CW 構造をもつ。他方、任意の整数 $r\geq1$ について、 $r$ 個の等間隔の点を頂点とし、その間の開いた弧を辺とする CW 構造ももつ。各閉じた弧のパラメータ表示に系 3.2を適用すればよい。したがって胞体の個数は、空間だけから決まる不変量ではない。

命題 4.4. $n\geq1$ とし、 $W=\bigvee_{i\in I}(S_i^n,p_i)$ を位相的直和の基点を同一視した商とする。 $I=\varnothing$ の場合には一点空間とする。このとき、 $W$ は一つの零胞体と、各 $i\in I$ に対する一つの $n$ 胞体をもつ CW 複体である。 $J\subseteq I$ に対する部分楔和は部分複体であり、その部分空間位相は同じ商の構成による楔和の位相に等しい。

証明. 球面の標準特性写像を商への写像と合成する。 $n$ 骨格への商写像性と弱位相は、球面の商表示と楔和の商表示を合成して得られる。各閉胞体は一つの開胞体と基点だけからなるので閉包有限性を満たす。部分楔和は部分複体であり、補題 3.3 (1)による閉集合の判定が、部分楔和自身の商位相の判定と一致する。▨

命題 4.5. $n\geq1$ について $(D^n,S^{n-1})$ は有限 CW 対である。 $n=1$ では両端を零胞体、内部を一胞体とする。 $n\geq2$ では境界の標準 CW 構造に、恒等写像 $S^{n-1}\to\partial D^n$ によって一つの $n$ 胞体を接着する。

証明. 境界の特性写像と恒等写像 $D^n\to D^n$ は、骨格の分割と境界の条件を満たす。通常の $D^n$ は Hausdorff であり、胞体は有限個なので系 3.2を適用することができる。境界はこれらの胞体の一部からなる部分複体である。▨

命題 5.1. $X$ を CW 複体、 $K$ を有限 CW 複体とする。

$D^p\times D^q$ は $D^{p+q}$ と同相であり、その境界は $(S^{p-1}\times D^q)\cup(D^p\times S^{q-1})$ に対応する。
積位相を入れた $X\times K$ は、 $e^p_\alpha\times e^q_\beta$ を $(p+q)$ 胞体、 $\chi_\alpha\times\chi_\beta$ を第一項の同相写像を介した特性写像とする CW 複体である。とくに有限 CW 複体の有限個の積は CW 複体である。
部分複体 $A\subseteq X$ 、 $L\subseteq K$ に対し、 $A\times K\cup X\times L$ は部分複体である。
$I=[0,1]$ を $\{0\},\{1\},(0,1)$ に分けると有限 CW 複体となる。 $X\times I$ は $X\times\{0\}$ 、 $X\times\{1\}$ 、 $X\times\partial I\cup A\times I$ を部分複体にもつ。

証明.主張 (1)を示す。 $p+q>0$ では $D^p\times D^q$ は内点をもつコンパクト凸体なので、§E21.2 補題 3.1により主張 (1)を得る。 $p=q=0$ では一点どうしの同相である。

主張 (2)を示す。 $K$ は有限個のコンパクトな閉胞体の合併なのでコンパクトであり、Hausdorff である。特性写像の直和 $\coprod_\alpha D_\alpha\to X$ と $K$ との積は商写像である（§E2.37 定理 5.2）。各 $D_\alpha\times K$ への写像

\coprod_\beta(D_\alpha\times D_\beta)\longrightarrow D_\alpha\times K

はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全射なので商写像である。これらを合成すると、積の特性写像についての弱位相が積位相と一致することが分かる。

積の特性写像はコンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので閉であり、その像は有限個の積胞体としか交わらない。主張 (1)の境界の式により境界は一つ低い骨格に入る。したがって補題 3.1により主張 (2)を得る。

主張 (3)は、指定された胞体の境界も同じ和集合に入ることによる。

主張 (4)を示す。区間の分割は有限胞体の判定を満たすので、主張 (4)は主張 (2)と主張 (3)の適用である。▨

命題 5.2. $(Z,Z_0)$ を CW 対、 $Y$ を CW 複体、 $g:Z_0\to Y$ を胞体写像とする。標準写像を $j:Y\to Y\cup_gZ$ 、 $q:Z\to Y\cup_gZ$ とする。

接着空間 $Y\cup_gZ$ は、 $Y$ の胞体と $Z\setminus Z_0$ の胞体の像を開胞体とする CW 複体である。 $n$ 骨格は $j(Y^n)\cup q(Z^n)$ であり、 $j$ は $Y$ を部分複体として埋め込む。
$Y$ が一点で $Z_0\neq\varnothing$ ならば、 $Y\cup_gZ$ は商 $Z/Z_0$ と同相である。

証明.主張 (1)を示す。 $j$ は単射であり、 $F\subseteq Y$ が閉ならば接着空間への商写像による $j(F)$ の逆像は $F\sqcup g^{-1}(F)$ なので閉である。よって $j$ は閉埋め込みである。胞体の内部の単射性と分割は同一視の定義から従い、境界の行き先は $g$ の胞体性から従う。

$Z\setminus Z_0$ の特性円板の閉集合 $C$ に対して $L=\chi_\alpha(C)$ とおく。 $L$ は $Z$ のコンパクトな閉集合である。 $q(L)$ の $Y$ 側の逆像は $g(L\cap Z_0)$ 、 $Z$ 側の逆像は $L\cup g^{-1}(g(L\cap Z_0))$ である。前者はコンパクトなので閉であり、後者も閉である。したがって合成特性写像は閉写像となる。 $Y$ の特性写像についても $j$ の閉性から同じ結論を得る。

さらに $L=\chi_\alpha(D_\alpha)$ とすれば、 $L$ は有限個の $Z$ の胞体としか交わらない。 $g(L\cap Z_0)$ はコンパクトなので、定理 2.4により有限個の $Y$ の胞体としか交わらない。したがって新しい特性写像の像も有限個の胞体としか交わらない。

最後に、新しいすべての特性写像による逆像が閉である集合 $F$ を取る。 $j^{-1}(F)$ は $Y$ の弱位相により閉である。 $Z\setminus Z_0$ の胞体では仮定から、 $Z_0$ の胞体では $g$ の連続性から、 $q^{-1}(F)$ の逆像は閉である。 $Z$ の弱位相と商位相により $F$ は閉となる。補題 3.1により主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。 $Z_0$ が空でないため $q$ は全射であり、その同一視は $Z_0$ の全体を一点にする同一視に等しい。両商の普遍性が同相写像を与える。▨

補題 6.1. $k_0\geq0$ とし、CW 複体の増大列 $Z_{k_0}\subseteq Z_{k_0+1}\subseteq\cdots$ を考える。各 $Z_k$ は $Z_{k+1}$ の部分複体であり、その位相・胞体・特性写像は部分複体としてのものに一致すると仮定する。 $Z=\bigcup_{k\geq k_0}Z_k$ に、 $F$ が閉であることをすべての $F\cap Z_k$ が閉であることによって定める位相を入れる。

$Z$ は各 $Z_k$ の胞体と特性写像を共有する CW 複体であり、 $Z^n=\bigcup_kZ_k^n$ である。
各 $Z_k$ は $Z$ の閉な部分複体であり、部分空間位相は元の位相に一致する。
$Z_k=Z_{k+1}^k$ がすべての $k\geq k_0$ で成り立つならば、 $k\geq k_0$ では $Z^k=Z_k$ 、 $0\leq k<k_0$ では $Z^k=Z_{k_0}^k$ である。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。 $m\geq k$ のとき $Z_k$ は $Z_m$ の閉な部分複体である。したがって $Z_k$ の閉集合 $F$ は $m\geq k$ では $Z_m$ でも閉であり、 $m<k$ でも $F\cap Z_m$ は閉である。 $Z$ の位相の定義から $F$ は $Z$ で閉となる。逆に、 $Z$ の閉集合と $Z_k$ の交わりは定義により閉である。これで位相の一致と $Z_k$ の閉性を得る。

各胞体はある $Z_k$ に属するので、その特性写像は閉写像であり、像は有限個の胞体としか交わらない。すべての特性写像による逆像が閉である集合 $F$ は、各 $Z_k$ の弱位相により $F\cap Z_k$ が閉となり、 $Z$ でも閉である。骨格の分割と境界の条件も各 $Z_k$ で確かめることができるので、補題 3.1により主張 (1)と主張 (2)の残りを得る。

主張 (3)を示す。 $Z_k=Z_{k+1}^k$ を繰り返して $m\geq k$ に対する $Z_m^k=Z_k$ を得て、骨格の合併の式に代入すれば従う。▨

補題 6.2. $(X,A)$ を CW 対、 $A\neq\varnothing$ とし、 $q:X\to X/A$ を $A$ を一点 $*$ に同一視する商写像とする。このとき、 $X/A$ は、零胞体 $*$ と、 $A$ に含まれない開胞体 $e^n_\alpha$ の像 $q(e^n_\alpha)$ を胞体とする CW 複体である。その $n$ 骨格は $q(X^n\cup A)$ であり、 $q(e^n_\alpha)$ の特性写像は $q\circ\chi_\alpha$ である。

証明. $q$ は $X\setminus A$ で単射なので、胞体の分割と内部の単射性を保ち、境界も指定された骨格に入る。特性円板の閉集合 $C$ の像 $\chi_\alpha(C)$ は $X$ の閉集合であり、その飽和集合は $\chi_\alpha(C)$ または $\chi_\alpha(C)\cup A$ なので閉である。よって $q\circ\chi_\alpha$ は閉写像である。 $\{*\}$ も逆像が閉集合 $A$ なので閉である。

閉胞体の有限性は $X$ の閉包有限性から従う。新しい特性写像による逆像が閉である $G\subseteq X/A$ について、 $A$ の胞体による $q^{-1}(G)$ の逆像は全体か空である。他の胞体では仮定により閉なので、 $X$ の弱位相から $q^{-1}(G)$ は閉となり、 $G$ も閉となる。補題 3.1により結論を得る。▨

補題 6.3. $\mathring\Delta^n$ を標準単体のすべての座標が正である部分、 $\partial\Delta^n=\Delta^n\setminus\mathring\Delta^n$ とする。

$n\geq0$ に対して、 $h_n(S^{n-1})=\partial\Delta^n$ を満たす同相写像 $h_n:D^n\to\Delta^n$ が存在する。
Δ 複体構造 $(\sigma_\alpha)$ をもつ $X$ は、次元 $n$ 以下の単体の像を $n$ 骨格とし、 $n$ 単体に $\chi_\alpha=\sigma_\alpha\circ h_n$ を対応させることによって CW 複体になる。開胞体は開単体 $\sigma_\alpha(\mathring\Delta^n)$ である。
$\Delta^n$ は、空でない $S\subseteq\{0,\ldots,n\}$ に対応する、頂点順序を保つ面のアフィン写像 $d_S:\Delta^{|S|-1}\to\Delta^n$ によって Δ 複体になる。この CW 構造の $(n-1)$ 骨格は $\partial\Delta^n$ であり、 $n$ 胞体は一つで、その特性写像は $h_n$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $n=0$ の主張 (1)は一点どうしの同相である。 $n>0$ では、単体のアフィン包を $\R^n$ と同一視し、重心を内点として§E21.2 補題 3.1を適用する。

主張 (2)を示す。§E21.12 定義 1.1の面の条件により、面について閉じた単体の族の合併は、各単体による逆像が有限個の面の合併となる。弱位相の条件から、この合併は閉である。とくに各単体の像と各骨格は閉であり、各単体の像は有限個の開単体の合併である。

$Q_n$ の商写像性を確かめるため、 $G\subseteq X^n$ の逆像が $X^{n-1}$ と各 $n$ 特性円板で閉であるとする。次元が $n$ 以下の単体での逆像は閉である。高次元の単体では $G$ の逆像は、次元 $n$ 以下の各面における閉な逆像を面の写像で移したものの有限合併である。面の写像は閉埋め込みなので、この逆像も閉である。Δ 複体の弱位相により $G$ は閉となる。よって $Q_n$ は商写像である。内部の単射性、分割、境界の条件は Δ 複体の定義から従い、閉包有限性は先に確かめた閉性と面の有限性から従う。弱位相を $h_n$ で移せば主張 (2)を得る。

主張 (3)を示す。面の族は分割と面の条件を満たし、恒等写像を含むので弱位相の条件も満たす。主張 (2)により指定された CW 構造を得る。▨

定義 7.1. 空間対 $(X,A)$ がホモトピー拡張性質 (homotopy extension property) をもつとは、任意の空間 $Y$ と連続写像 $f:X\to Y$ 、 $h:A\times I\to Y$ で $h(a,0)=f(a)$ を満たすものに対し、連続写像 $F:X\times I\to Y$ で

F(x,0)=f(x),\qquad F(a,t)=h(a,t)

を満たすものが存在することをいう。

定理 7.2. 任意の CW 対 $(X,A)$ はホモトピー拡張性質をもつ。とくに各骨格の対 $(X^n,X^{n-1})$ はホモトピー拡張性質をもつ。

証明. $n\geq1$ について、円柱 $D^n\times I$ から底面と側面の和へのレトラクションを

\rho_n(z,t)=\bigl(\lambda z,\ 2+\lambda(t-2)\bigr), \qquad \lambda=\min\left\{\frac1{\|z\|},\frac2{2-t}\right\}

で定める。 $z=0$ では第一の値を $+\infty$ と読む。この写像は連続であり、どちらかの座標が側面または底面へ達する。 $\|z\|=1$ または $t=0$ ならば $\lambda=1$ なので、底面と側面を固定する。 $n=0$ では区間を底面の一点へ送る定値写像を用いる。

$f,h$ を定義の写像とする。 $A$ の胞体上では $h$ を使い、 $A$ に含まれない胞体について次元順に $F$ を延長する。 $X^{n-1}\times I$ 上まで構成したとき、各 $n$ 特性円板の底面では $f\circ\chi_\alpha$ 、側面では既に構成した $F\circ(\chi_\alpha\times\id_I)$ を用いる。両者は重なりで一致するので連続に貼り合わさり、 $\rho_n$ との合成によって円柱全体へ延長される。境界上では元の写像に一致するので、同一視を通じて $X^n\times I$ 上の写像となる。その連続性は、骨格が CW 複体であることと補題 3.3 (2)による。全骨格で得られた写像の連続性は補題 1.5 (1)による。

骨格とその一つ前の骨格は CW 対なので、最後の主張も従う。▨

命題 7.3. $A$ を CW 複体 $X$ の部分複体とする。 $U^{-1}(A)=\varnothing$ とし、各 $n\geq0$ について

U^n(A)=U^{n-1}(A)\cup(A\cap X^n) \cup\bigcup_{\substack{\alpha\in I_n\\e^n_\alpha\not\subseteq A}} \chi_\alpha(V_\alpha(A))

と定める。ここで $a_\alpha=\chi_\alpha|_{S^{n-1}_\alpha}$ とし、

V_\alpha(A)=\left\{z\in D^n_\alpha: \|z\|>\frac12,\quad a_\alpha\left(\frac z{\|z\|}\right)\in U^{n-1}(A)\right\}

とする。 $n=0$ では $V_\alpha(A)=\varnothing$ とする。 $U(A)=\bigcup_nU^n(A)$ とおくと、次が成り立つ。

$A$ は $X$ の閉集合である。
$U(A)\cap X^n=U^n(A)$ であり、 $\alpha\in I_n$ に対して $\chi_\alpha^{-1}(U(A))= \begin{cases} D^n_\alpha&e^n_\alpha\subseteq A,\\ V_\alpha(A)&e^n_\alpha\not\subseteq A \end{cases}$ である。
$U(A)$ は $A$ を含む開集合であり、 $A$ は $U(A)$ の変位レトラクトである。
$(X,A)$ は良い対である。

証明.主張 (1)は補題 1.4である。

主張 (2)を示す。 $n$ 胞体で加える点が $X^{n-1}$ に入るのは境界の点だけであり、その像は $U^{n-1}(A)$ に属する。また、 $A$ に含まれる胞体の境界は $A$ に含まれる。この二つの事実を次元について帰納的に適用すると、主張 (2)の等式を得る。

主張 (3)を示す。 $U^0(A)$ は開であり、 $U^{n-1}(A)$ が $X^{n-1}$ で開ならば各 $V_\alpha(A)$ は円板で開である。 $Q_n$ の商写像性から $U^n(A)$ は $X^n$ で開となる。主張 (2)と弱位相から $U(A)$ は $X$ の開集合である。

変位 $H_n:U^n(A)\times I\to U^n(A)$ を、 $A\cap X^n$ を固定し、 $t\leq2^{-n}$ では恒等写像であるように構成する。 $H_0$ は恒等写像とする。 $H_{n-1}$ が構成済みのとき、 $U^{n-1}(A)$ 上ではその写像を用い、 $A$ に含まれる胞体上では恒等写像を用いる。それ以外の $n$ 胞体では $z=ru\in V_\alpha(A)$ （ $\|u\|=1$ ）に対して

H_n(\chi_\alpha(ru),t)= \begin{cases} \chi_\alpha(ru)&0\leq t\leq2^{-n},\\ \chi_\alpha(((1-\theta)r+\theta)u) &2^{-n}\leq t\leq2^{1-n},\quad\theta=2^nt-1,\\ H_{n-1}(a_\alpha(u),t)&2^{1-n}\leq t\leq1 \end{cases}

と定める。 $r=1$ では、最初の二つの時間区間で $H_{n-1}$ が静止しているので境界上の定義と一致する。時間の区切りでも値が一致する。径方向の移動は $V_\alpha(A)$ にとどまり、その後は $U^{n-1}(A)$ にとどまる。補題 1.5 (2)により各 $H_n$ は連続である。

これらは骨格上で一致するので $H:U(A)\times I\to U(A)$ を定める。各特性円柱への引き戻しはある $H_n$ の引き戻しであり、同じ連続性の判定により $H$ は連続である。 $H(-,0)=\id$ 、 $H(U(A),1)\subseteq A$ であり、全時刻で $A$ を固定する。したがって主張 (3)を得る。

主張 (4)を示す。閉集合 $A$ が開近傍の変位レトラクトであるので、§E21.17 定義 2.1により主張 (4)が従う。▨

補題 7.4. 部分複体 $C$ に対して $U(C)$ を前命題の開集合とする。

部分複体 $A,B$ の交わりは部分複体であり、 $U(A)\cap U(B)=U(A\cap B)$ である。
$k\geq1$ と部分複体 $A_1,\ldots,A_k$ に対し、 $\bigcap_{j=1}^kU(A_j)=U(\bigcap_{j=1}^kA_j)$ である。

証明.主張 (1)を示す。両方に含まれる胞体の特性写像の像は両方に含まれるので、交わりは部分複体である。近傍の等式を骨格について帰納的に示す。胞体が $A,B$ の両方に含まれれば、三つの近傍の逆像はいずれも円板全体である。どちらにも含まれない場合には、半径が $\tfrac12$ より大きいという共通の条件と、境界の像が $U^{n-1}(A)\cap U^{n-1}(B)$ に入るという条件になり、帰納法の仮定が適用される。一方だけ、たとえば $A$ に含まれる場合には境界の像はすべて $A$ に属するので、 $U^{n-1}(A)$ の条件は自動的に満たされる。したがってこの場合も同じ等式を得る。全骨格を合わせれば主張 (1)となり、主張 (2)はその反復により従う。▨

定義 8.1. 集合 $S$ に対する自由群を $F(S)$ とする。簡約語 $r=s_1^{\epsilon_1}\cdots s_m^{\epsilon_m}$ （ $\epsilon_j=\pm1$ ）に対し、円周を $m$ 個の弧に等分し、第 $j$ の弧で $\iota_{s_j}$ を指数 $\epsilon_j$ の向きにたどる基点付き写像 $\varphi_r:S^1\to W_S$ を定める。空語の場合は値 $*$ の定値写像とする。

$R\subseteq F(S)$ に対して、 $W_S\sqcup\coprod_{r\in R}D_r^2$ の各境界点 $z\in\partial D_r^2$ を $\varphi_r(z)$ と同一視した商空間を $Y_{S,R}$ とする。標準写像を $j:W_S\to Y_{S,R}$ 、 $\chi_r:D_r^2\to Y_{S,R}$ とし、基点を $x_0=j(*)$ とする。

命題 8.2. $Y_{S,R}$ は、零胞体 $x_0$ 、各 $s\in S$ に対応する一胞体、各 $r\in R$ に対応する二胞体をもつ次元が高々 $2$ の CW 複体である。一胞体の特性写像は $t\mapsto j(\iota_s(-e^{\pi it}))$ 、二胞体の特性写像は $\chi_r$ である。 $j$ は $W_S$ を部分空間 $j(W_S)$ へ同相に写す。

証明. 各 $\varphi_r$ は有限個の閉じた弧上での貼り合わせにより連続である。 $j$ は単射であり、 $F\subseteq W_S$ が閉ならば $j(F)$ の商写像による逆像は $F$ と各 $\varphi_r^{-1}(F)$ の直和なので閉である。よって $j$ は閉埋め込みである。 $Q_1$ は円周の楔和の CW 構造から得られ、 $Q_2$ は定義の商写像である。これらの商位相により、すべての特性写像による閉集合の判定が $Y_{S,R}$ の閉集合の判定と一致する。

各二胞体の境界の像は有限個の辺からなる有限部分複体に含まれる。この有限部分複体と当該閉円板の像の和は、商写像による逆像が各円板で閉なので $Y_{S,R}$ の閉集合である。したがって二胞体の閉包は有限個の開胞体としか交わらない。一胞体についても同じ有限性が成り立ち、閉包有限性を得る。▨

補題 8.3. $S_0\subseteq S$ 、 $R_0\subseteq R$ が、 $R_0$ の各簡約語に現れる文字がすべて $S_0$ に属するという条件を満たすとする。対応する円周と円板の標準写像が誘導する $\psi:Y_{S_0,R_0}\to Y_{S,R}$ は、像への同相写像である。また、 $Y_{S,R}$ の任意のコンパクト部分集合 $K$ は、この条件を満たす有限集合 $S_0,R_0$ に対する $\psi(Y_{S_0,R_0})$ に含まれる。

証明. 商写像の普遍性により $\psi$ が定まり、胞体の内部と基点では単射である。その像は指定された胞体からなる部分複体である。補題 3.3 (1)により、像の部分空間位相も $Y_{S_0,R_0}$ の位相も、同じ特性写像の族による閉集合の判定で与えられる。したがって $\psi$ は像への同相写像である。

コンパクト集合 $K$ は有限部分複体に含まれる。その一胞体の添字を $S_0$ 、二胞体の添字を $R_0$ とし、必要ならば各接着語に現れる有限個の文字を $S_0$ に加える。したがって所要の有限集合が得られる。▨

命題 8.4. $\lambda(t)=e^{2\pi it}$ 、 $\ell_s=j\circ\iota_s\circ\lambda$ とする。このとき、 $s\mapsto[\ell_s]$ によって定まる準同型

\Psi:F(S)\longrightarrow\pi_1(Y_{S,R},x_0)

は全射であり、核は $R$ の正規閉包 $\langle\!\langle R\rangle\!\rangle$ である。したがって

F(S)/\langle\!\langle R\rangle\!\rangle \cong\pi_1(Y_{S,R},x_0)

である。

証明. 道の分割と連結の関係（§E21.8 補題 1.1 (2)）により、 $\Psi(r)$ は $j\circ\varphi_r\circ\lambda$ の類である。このループは二胞体の円板へ延長されるので自明である。よって $\langle\!\langle R\rangle\!\rangle\subseteq\ker\Psi$ となる。

$S,R$ が有限の場合、円周の楔和の基本群の計算（§E21.8 命題 3.1）と、二胞体の接着による基本群の商（§E21.8 命題 4.1）により主張が従う。 $S=\varnothing$ の場合には楔和は一点であり、同じ接着の定理を適用する。

一般の場合、任意のループはコンパクトな像をもち、前補題によって有限の $S_0,R_0$ に対する表示の空間へ入る。有限の場合の全射性により、その類は $S_0$ の文字の語の像である。したがって $\Psi$ は全射である。 $w\in\ker\Psi$ とすると、対応するループのヌルホモトピーの像もコンパクトである。前補題の有限集合に $w$ に現れる文字を加えれば、同じヌルホモトピーを $Y_{S_0,R_0}$ で考えることができる。有限の場合の核の計算により $w$ は $R_0$ の正規閉包に属し、したがって $R$ の正規閉包に属する。したがって核の等式を得る。▨

定理 8.5. 任意の群 $G$ に対し、次元が高々 $2$ の弧状連結な CW 複体 $X$ と基点 $x_0\in X$ で $\pi_1(X,x_0)\cong G$ を満たすものが存在する。

証明. $S$ を $G$ の元全体の集合とし、各生成元を対応する元へ送る全射 $\pi:F(S)\to G$ を取る。 $R=\ker\pi$ とおけば $R$ は既に正規部分群なので、自身の正規閉包に等しい。前命題により $X=Y_{S,R}$ は $\pi_1(X,x_0)\cong F(S)/R\cong G$ を満たす。各特性写像の像は基点を含む弧状連結集合であり、それらが $X$ を覆うので $X$ は弧状連結である。▨

問題 9.1. $W=\bigvee_{k\geq1}S^1_k$ を位相的直和の基点を同一視した商とする。

一頂点・可算個の一胞体からなる CW 構造が局所有限でないことを示せ。
各一胞体から一点ずつ選んだ集合が閉離散であることを商位相から直接示せ。また、すべての一胞体と交わる部分集合はコンパクトでないことを示せ。

問題 9.2. $S^1$ に一頂点 $1$ と一辺の CW 構造を入れる。 $f=\id_{S^1}$ と、頂点上のホモトピー $h(1,t)=e^{2\pi it}$ を同時に延長する $F:S^1\times I\to S^1$ を構成せよ。終時刻の写像と、全時刻で固定される点の有無も求めよ。

§E21.22胞体複体と基本性質

1 胞体と弱位相

2 分離性とコンパクト部分集合

3 CW 構造の判定と部分複体

4 標準的な胞体分解

5 積と接着

6 増大合併・商・単体

7 ホモトピーの拡張と部分複体の近傍

8 群の表示と基本群

9 演習

参考文献

前提記事