§E21.12Δ複体と単体的ホモロジー

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多角形を三角形に分けてから辺を貼り合わせると、曲面を頂点・辺・三角形の関係によって記述することができる。しかし、単体の個数だけでは、貼り合わせの向きによる違いを区別することができない。Δ複体に境界作用素を定めると、その核と像から単体的ホモロジーを構成することができる。単体的ホモロジーは、空間の貼り合わせ方を群の計算によって調べるための基本的な構成である。たとえば、円環面の単体的ホモロジーは二枚の三角形から具体的に計算することができる。本記事では、単体的ホモロジーの構成と曲面の具体的な計算を解説する。

1 Δ複体と単体的鎖複体

定義 1.1. 標準nn単体を

Δn={(t0,…,tn)∈Rn+1∣ti≥0, ∑iti=1}\Delta^n=\{(t_0,\ldots,t_n)\in\R^{n+1}\mid t_i\geq0,\ \textstyle\sum_i t_i=1\}

とし、その頂点をv0,…,vnv_0,\ldots,v_n、すべての座標が正である部分をΔ˚n\mathring\Delta^nとする。ii番目の面写像δi:Δn−1→Δn\delta_i:\Delta^{n-1}\to\Delta^nはii番目の座標へ00を挿入する写像である。

空間XXの Δ複体構造 (delta-complex structure) とは、各n≥0n\geq0に対する連続写像σα:Δn→X\sigma_\alpha:\Delta^n\to Xの族で、次の条件を満たすものである。

  1. 各σα\sigma_\alphaはΔ˚n\mathring\Delta^n上で単射であり、それらの像は互いに交わらず、その和集合はXXである。
  2. 各σαδi\sigma_\alpha\delta_iは、族に含まれる一つの(n−1)(n-1)単体の写像に等しい。より低次元の面への制限にも、頂点順序を保つ標準的な同一視を用いる。
  3. U⊆XU\subseteq Xが開であるための必要十分条件は、すべてのα\alphaについてσα−1(U)\sigma_\alpha^{-1}(U)がΔdim⁡α\Delta^{\dim\alpha}で開であることである。

σα\sigma_\alphaの内部の像を開単体、σα\sigma_\alphaをその特性写像という。空間とその Δ複体構造の組を Δ複体と呼ぶ。

定義 1.2. Δ複体XXに対し、CnΔ(X)C_n^\Delta(X)をnn次元の開単体を基底とする自由アーベル群とし、n<0n<0ではCnΔ(X)=0C_n^\Delta(X)=0とする。境界準同型∂n:CnΔ(X)→Cn−1Δ(X)\partial_n:C_n^\Delta(X)\to C_{n-1}^\Delta(X)は、n≥1n\geq1では

∂nσα=∑i=0n(−1)i(σαδi),\partial_n\sigma_\alpha=\sum_{i=0}^n(-1)^i(\sigma_\alpha\delta_i),

n≤0n\leq0では零写像として定める。右辺の各項は面への制限に一致する特性写像の基底元を表す。

一つの単体をその特性写像とともに指定したとき、この式を

∂[v0,…,vn]=∑i=0n(−1)i[v0,…,v^i,…,vn]\partial[v_0,\ldots,v_n] =\sum_{i=0}^n(-1)^i[v_0,\ldots,\widehat v_i,\ldots,v_n]

とも書く。頂点の像が同じでも異なる単体はあり得るので、頂点の像だけで基底元を識別しない。貼り合わせによって同じ特性写像になる面だけを同じ基底元としてまとめる。

命題 1.3. 任意の Δ複体XXとn≥2n\geq2に対して、∂n−1∂n=0\partial_{n-1}\partial_n=0である。

証明. 一つのnn単体と0≤i<j≤n0\leq i<j\leq nを固定する。ii番目とjj番目の頂点を除いた面は、境界を二回取る和の中に二回現れる。先にiiを除くと、元のjj番目の頂点は残りの列のj−1j-1番目なので、符号は(−1)i(−1)j−1(-1)^i(-1)^{j-1}である。先にjjを除くと、iiの位置は変わらないので、符号は(−1)j(−1)i(-1)^j(-1)^iである。

二つの面写像の合成は同じ座標位置へ零を挿入する写像なので、得られる特性写像は等しい。二つの符号は反対であるから、項は相殺する。すべての二頂点の組についてこの相殺を行うと、一つの基底元の像が零になる。線形性により鎖群全体で零である。▨

定義 1.4.∂0=0\partial_0=0と命題 1.3によりim⁡∂n+1⊆ker⁡∂n\operatorname{im}\partial_{n+1}\subseteq\ker\partial_nが成り立つ。n≥0n\geq0に対して

HnΔ(X)=ker⁡∂n/im⁡∂n+1H_n^\Delta(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}

をXXの第nn単体的ホモロジー群 (simplicial homology group) という。核の元をサイクル、像の元を境界という。

注意 1.5. 境界語aba−1b−1aba^{-1}b^{-1}による円環面の胞体分解は一頂点・二辺・一つの二胞体を持つ。一つの二単体の一次元の面は三つなので、この二胞体をそのまま一つの二単体とすることはできない。正方形に対角線を加えて二つの三角形に分けると、一頂点・三辺・二つの二単体を持つ Δ複体構造を得る。

2 三つの曲面の境界公式

命題 2.1. 正方形の頂点をA=(0,0)A=(0,0)、B=(1,0)B=(1,0)、C=(1,1)C=(1,1)、D=(0,1)D=(0,1)とし、対角線ACACで分割する。σIJK\sigma_{IJK}を、その順序の頂点を持つアフィン写像と商写像の合成とする。次の貼り合わせと特性写像は各曲面の Δ複体構造を与える。U,LU,Lの負号は鎖群の基底の符号を替えるものであり、特性写像に負号を掛けるものではない。

  1. 向かい合う辺を平行移動で同一視した円環面では、a=ABa=AB、b=ADb=AD、c=ACc=AC、U=−σABCU=-\sigma_{ABC}、L=σADCL=\sigma_{ADC}とする。一頂点・三辺・二つの二単体があり、∂U=c−a−b\partial U=c-a-b、∂L=a+b−c\partial L=a+b-c、∂1=0\partial_1=0である。
  2. 左右の辺を平行移動、上下の辺を反転で同一視した Klein の壺では、a=ACa=AC、b=ABb=AB、c=ADc=AD、U=−σACDU=-\sigma_{ACD}、L=σABCL=\sigma_{ABC}とする。一頂点・三辺・二つの二単体があり、∂U=c−a−b\partial U=c-a-b、∂L=c−a+b\partial L=c-a+b、∂1=0\partial_1=0である。
  3. 境界の中心対称な点を同一視した実射影平面では、v0=q(A)=q(C)v_0=q(A)=q(C)、v1=q(B)=q(D)v_1=q(B)=q(D)、a=ABa=AB、b=ADb=AD、c=ACc=AC、U=σACDU=\sigma_{ACD}、L=−σACBL=-\sigma_{ACB}とする。二頂点・三辺・二つの二単体があり、∂a=∂b=v1−v0\partial a=\partial b=v_1-v_0、∂c=0\partial c=0、∂U=a−b+c\partial U=a-b+c、∂L=a−b−c\partial L=a-b-cである。

証明. 貼り合わせは正方形の内部の点を同一視せず、対角線の内部にも新しい同一視を生じない。境界の開辺は指定された対だけが同一視される。したがって、二つの三角形の内部・三つの辺の内部・頂点の類は、互いに交わらず商を覆う。

主張 (1)を示す。円環面では、面の向き付き写像についてBC=AD=bBC=AD=b、DC=AB=aDC=AB=aである。ゆえに

∂σABC=b−c+a,∂σADC=a−c+b.\partial\sigma_{ABC}=b-c+a,\qquad \partial\sigma_{ADC}=a-c+b.

主張 (2)を示す。Klein の壺ではCD=AB=bCD=AB=b、BC=AD=cBC=AD=cなので、

∂σACD=b−c+a,∂σABC=c−a+b.\partial\sigma_{ACD}=b-c+a,\qquad \partial\sigma_{ABC}=c-a+b.

主張 (3)を示す。実射影平面ではCD=AB=aCD=AB=a、CB=AD=bCB=AD=bなので、

∂σACD=a−b+c,∂σACB=b−a+c.\partial\sigma_{ACD}=a-b+c,\qquad \partial\sigma_{ACB}=b-a+c.

これらの等式は媒介変数を保つ辺の特性写像の等式であるから、各面についても Δ複体の条件が成り立つ。頂点の同一視を追うと、最初の二つでは一頂点、最後では表示した二頂点を得る。よって一次境界も主張のとおりである。

正方形は二つの閉三角形の和であり、有限閉集合上の貼り合わせの性質と商位相により、商の部分集合が開であるための必要十分条件は二つの特性写像による逆像が開であることである。辺と頂点への制限も連続なので、Δ複体の弱位相の条件が従う。第三の商が実射影平面であることは§E21.2 命題 5.6による。▨

命題 2.2.命題 2.1 (1)の Δ複体構造を持つ円環面について、

H0Δ(T2)≅Z,H1Δ(T2)≅Z2,H2Δ(T2)≅ZH_0^\Delta(T^2)\cong\Z,\qquad H_1^\Delta(T^2)\cong\Z^2,\qquad H_2^\Delta(T^2)\cong\Z

であり、n>2n>2ではHnΔ(T2)=0H_n^\Delta(T^2)=0である。

証明.C2=Z⟨U,L⟩C_2=\Z\langle U,L\rangle、C1=Z⟨a,b,c⟩C_1=\Z\langle a,b,c\rangle、C0=Z⟨v⟩C_0=\Z\langle v\rangleであり、そのほかの次数の鎖群は零である。境界は

∂2(xU+yL)=(x−y)(c−a−b)\partial_2(xU+yL)=(x-y)(c-a-b)

なので、核はZ⟨U+L⟩\Z\langle U+L\rangle、像はZ⟨c−a−b⟩\Z\langle c-a-b\rangleである。よってH2≅ZH_2\cong\Zである。∂1=0\partial_1=0なので

H1=Z⟨a,b,c⟩/⟨c−a−b⟩≅Z⟨a,b⟩.H_1=\Z\langle a,b,c\rangle/\langle c-a-b\rangle \cong\Z\langle a,b\rangle.

この同型はa,b,ca,b,cをそれぞれ(1,0),(0,1),(1,1)(1,0),(0,1),(1,1)に送る準同型から得られ、逆は二つの標準基底を[a],[b][a],[b]に送る写像である。H0=C0≅ZH_0=C_0\cong\Zであり、高次の群は零鎖群から零となる。▨

命題 2.3.命題 2.1 (2)の Δ複体構造を持つ Klein の壺について、H0Δ(K)≅ZH_0^\Delta(K)\cong\Z、H1Δ(K)≅Z⊕Z/2ZH_1^\Delta(K)\cong\Z\oplus\Z/2\Zであり、n≥2n\geq2ではHnΔ(K)=0H_n^\Delta(K)=0である。

証明. 二次境界は

∂2(xU+yL)=−(x+y)a+(−x+y)b+(x+y)c\partial_2(xU+yL)=-(x+y)a+(-x+y)b+(x+y)c

である。これが零ならばx+y=0x+y=0、−x+y=0-x+y=0なのでx=y=0x=y=0である。したがってH2=0H_2=0である。∂1=0\partial_1=0より

H1=Z⟨a,b,c⟩/⟨c−a−b,c−a+b⟩.H_1=\Z\langle a,b,c\rangle/\langle c-a-b,c-a+b\rangle.

最初の関係でc=a+bc=a+bとすると、第二の関係は2b=02b=0となる。具体的にa,b,ca,b,cを(1,0),(0,1ˉ),(1,1ˉ)(1,0),(0,\bar1),(1,\bar1)へ送る写像と、(1,0),(0,1ˉ)(1,0),(0,\bar1)を[a],[b][a],[b]へ送る写像が互いに逆になるので、H1≅Z⊕Z/2ZH_1\cong\Z\oplus\Z/2\Zである。一頂点で∂1=0\partial_1=0だからH0≅ZH_0\cong\Z、二次より高い鎖群は零だから高次のホモロジーも零である。▨

命題 2.4.命題 2.1 (3)の Δ複体構造を持つ実射影平面について、H0Δ(RP2)≅ZH_0^\Delta(\mathbb{RP}^2)\cong\Z、H1Δ(RP2)≅Z/2ZH_1^\Delta(\mathbb{RP}^2)\cong\Z/2\Zであり、n≥2n\geq2ではHnΔ(RP2)=0H_n^\Delta(\mathbb{RP}^2)=0である。

証明. 一次境界の像はZ⟨v1−v0⟩\Z\langle v_1-v_0\rangleなので、H0≅ZH_0\cong\Zである。∂1(xa+yb+zc)=(x+y)(v1−v0)\partial_1(xa+yb+zc)=(x+y)(v_1-v_0)より、その核はp=a−bp=a-b、q=cq=cを基底とする自由アーベル群である。この基底に関して

∂2U=p+q,∂2L=p−q.\partial_2U=p+q,\qquad \partial_2L=p-q.

∂2(xU+yL)=0\partial_2(xU+yL)=0ならばx+y=0x+y=0、x−y=0x-y=0なのでx=y=0x=y=0、したがってH2=0H_2=0である。一次ホモロジーではp=−qp=-q、p=qp=qが成り立つので、qqで生成され2q=02q=0となる。逆にp,qp,qをともに1ˉ∈Z/2Z\bar1\in\Z/2\Zへ送る写像は二つの関係を消すので、qqの位数はちょうど二であり、H1≅Z/2ZH_1\cong\Z/2\Zである。高次では鎖群が零である。▨

注意 2.5. 三つの計算では、辺の貼り合わせの向きを境界行列の符号へ変換した。単体的集合では退化単体も構造に含めるが、ここで定義した Δ複体には退化作用素を導入していない。

3 有限三角形分割

定義 3.1.

  1. RN\R^Nのアフィン独立な点v0,…,vnv_0,\ldots,v_nの凸包をnn単体[v0,…,vn][v_0,\ldots,v_n]という。空でない頂点の部分集合の凸包を面といい、重心座標がすべて正である点の集合を相対内部という。
  2. RN\R^Nの単体の有限集合KKが、各単体のすべての面を含み、任意の二単体の交わりが空または両者の共通の面であるとき、KKを有限単体的複体という。部分空間位相を入れた∣K∣=⋃σ∈Kσ|K|=\bigcup_{\sigma\in K}\sigmaをその多面体、零単体を頂点という。K=∅K=\varnothingも許し、∣∅∣=∅|\varnothing|=\varnothingとする。

定義 3.2. 空間XXの有限三角形分割とは、有限単体的複体KKと同相写像h:∣K∣→Xh:|K|\to Xの組(K,h)(K,h)である。hhで両空間を同一視し、KKの単体をXXの単体とも呼ぶ。

補題 3.3.KKを有限単体的複体とする。

  1. ∣K∣|K|の各点は、ただ一つの単体の相対内部に属する。
  2. ∣K∣|K|はコンパクト Hausdorff である。U⊆∣K∣U\subseteq|K|が開であるための必要十分条件は、各σ∈K\sigma\in Kに対してU∩σU\cap\sigmaがσ\sigmaで開であることである。

証明.主張 (1)を示す。x∈∣K∣x\in|K|を含む単体を取り、その重心座標が正である頂点の集合が張る面を取ると、xxはその相対内部に属する。xxがσ\sigmaとτ\tauの相対内部に属すれば、共通の面σ∩τ\sigma\cap\tauは両者の相対内部の点を含む。相対内部の点は真の面には属さないので、σ∩τ=σ=τ\sigma\cap\tau=\sigma=\tauである。

主張 (2)を示す。各単体は標準単体のアフィン像であり、標準単体は有界閉集合として§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。よって有限和∣K∣|K|はコンパクトであり、Euclid 空間の部分空間なので Hausdorff である。UUが開ならば各交わりは相対的に開である。逆に各交わりが開ならば、σ∖U\sigma\setminus Uはコンパクト集合σ\sigmaの閉部分集合であり、∣K∣|K|で閉である。∣K∣∖U|K|\setminus Uはこれらの有限和なので閉であり、UUは開である。空の複体でも各主張は成り立つ。▨

補題 3.4.VVを有限集合、Φ\Phiをその空でない部分集合の族で、すべての一点集合を含み、元の空でない部分集合をまた含むものとする。RV\R^Vの標準基底を(ev)v∈V(e_v)_{v\in V}とし、A∈ΦA\in\Phiに対してΔA=conv⁡{ev∣v∈A}\Delta_A=\operatorname{conv}\{e_v\mid v\in A\}と置く。このときK(Φ)={ΔA∣A∈Φ}K(\Phi)=\{\Delta_A\mid A\in\Phi\}は有限単体的複体であり、A↦ΔAA\mapsto\Delta_Aは包含を保つ全単射である。

証明. 標準基底の任意の部分族は一次独立なので、アフィン独立でもある。ΔA\Delta_Aの点は、非負座標の和が一で、正の座標の位置がAAに含まれる点にほかならない。したがってA∩B≠∅A\cap B\neq\varnothingならばΔA∩ΔB=ΔA∩B\Delta_A\cap\Delta_B=\Delta_{A\cap B}、A∩B=∅A\cap B=\varnothingならば交わりは空である。面も頂点の部分集合から得られるので、K(Φ)K(\Phi)は定義の条件を満たす。ev∈ΔAe_v\in\Delta_Aとv∈Av\in Aは同値であり、ここから写像の単射性と包含の保存を得る。全射性は構成による。V=∅V=\varnothingでは空の複体になる。▨

補題 3.5. 有限単体的複体KKの頂点に全順序を固定する。頂点v0<⋯<vnv_0<\cdots<v_nを持つ単体σ\sigmaに対して、σ^(t0,…,tn)=∑itivi\widehat\sigma(t_0,\ldots,t_n)=\sum_i t_iv_iと置く。

  1. 族(σ^)σ∈K(\widehat\sigma)_{\sigma\in K}は∣K∣|K|の Δ複体構造である。有限三角形分割(K,h)(K,h)では(hσ^)(h\widehat\sigma)がXXの Δ複体構造になる。そのnn単体はKKのnn単体に対応し、各単体の頂点は相異なる。
  2. 同じ単体の頂点の任意の並べ方wi=vτ(i)w_i=v_{\tau(i)}に対して、[w0,…,wn]=sgn⁡(τ)[v0,…,vn][w_0,\ldots,w_n]=\operatorname{sgn}(\tau)[v_0,\ldots,v_n]と書くと、n≥1n\geq1で ∂[w0,…,wn]=∑i(−1)i[w0,…,w^i,…,wn]\partial[w_0,\ldots,w_n]=\sum_i(-1)^i[w_0,\ldots,\widehat w_i,\ldots,w_n] が成り立つ。したがって、頂点の並べ方を偶置換で同一視した単体の向きを一つ選ぶと、基底元の±1\pm1倍が定まる。頂点の全順序を替えた鎖複体は、各基底元に符号を掛ける鎖同型で移り合う。

証明.主張 (1)を示す。アフィン独立性によりσ^\widehat\sigmaは全単体上で単射である。補題 3.3 (1)により相対内部は互いに交わらず全体を覆う。面への制限は、残した頂点の誘導された順序で書いた同じアフィン写像である。σ^\widehat\sigmaはコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射なので、単体への同相である。補題 3.3 (2)により弱位相の条件も成り立つ。hhとの合成は同相によってこれらの条件を保つ。空の複体では空の族が空間を覆う。

主張 (2)を示す。境界公式については、隣り合うrr番目とr+1r+1番目の頂点を交換したとき、右辺全体の符号が反転することを示せばよい。i≠r,r+1i\neq r,r+1の頂点を除いた項では、その面にも同じ互換が残るので符号が反転する。rr番目を除く項とr+1r+1番目を除く項は交換され、係数(−1)r(-1)^rと(−1)r+1(-1)^{r+1}が反対なので、これらの和も反転する。隣接互換の積で任意の置換を表すことができるので、主張 (2)の公式を得る。

二つの全順序の間で、同じ幾何学的単体の順序の変更の符号を基底元に掛ける写像を取る。境界公式によりこの写像は境界と可換であり、同じ符号の写像を逆に持つ。ゆえに鎖同型である。零次では頂点の記号と写像は変わらない。▨

例 3.6.

  1. 命題 2.1 (1)の円環面の構造は、一頂点で各辺の両端がその頂点に一致する。有限単体的複体の辺は相異なる二頂点を持つので、この構造そのものは有限三角形分割と頂点順序から得られない。
  2. R2\R^2の三角形[(0,0),(2,0),(0,2)][(0,0),(2,0),(0,2)]と[(1,1),(−1,1),(1,−1)][(1,1),(-1,1),(1,-1)]およびその面の族では、(1/2,1/2)(1/2,1/2)が二つの三角形の相対内部に属する。したがって開単体の非交性が成り立たない。二単体の交わりが共通の面であるという条件を外すことはできない。

4 多角形表示の三角形分割

命題 4.1.wwを長さnnの曲面の語とし、§E21.7 定義 1.2の多角形表示PwP_wの頂点の個数をkkとする。

  1. 多角形の各辺を三等分し、半径1/21/2の円周上に3n3n個の点と中心を置く。中心のまわりの3n3n枚の三角形と、内外の多角形の間の6n6n枚の三角形による分割は、辺の同一視の後に有限単体的複体KwK_wを定め、Pw≅∣Kw∣P_w\cong|K_w|である。多角形の境界の像は部分複体の多面体である。
  2. KwK_wの頂点・辺・三角形の個数は、それぞれk+4n+1k+4n+1、27n/227n/2、9n9nである。各辺はちょうど二枚の三角形の辺であり、個数の交代和はk+1−n/2k+1-n/2である。
  3. 球面S2S^2は(11,27,18)(11,27,18)、Σg\Sigma_g、g≥1g\geq1、は(16g+2,54g,36g)(16g+2,54g,36g)、NhN_h、h≥1h\geq1、は(8h+2,27h,18h)(8h+2,27h,18h)の個数の有限三角形分割を持つ。交代和はそれぞれ22、2−2g2-2g、2−h2-hである。各頂点集合に全順序を選ぶと、これらは Δ複体構造を持つ。

証明.主張 (1)を示す。m=3nm=3nとし、単位円上の正mm角形の頂点を巡回順にQ0,…,Qm−1Q_0,\ldots,Q_{m-1}と置く。添字はmmを法として読む。Rj=Qj/2R_j=Q_j/2、O=0O=0とし、次の三角形で正mm角形を分割する。

Fj=[O,Rj,Rj+1],Sj=[Qj,Rj,Rj+1],Tj=[Qj,Qj+1,Rj+1].F_j=[O,R_j,R_{j+1}],\qquad S_j=[Q_j,R_j,R_{j+1}],\qquad T_j=[Q_j,Q_{j+1},R_{j+1}].

元の円板の境界の各辺を三等分し、各小弧をQjQj+1Q_jQ_{j+1}へ媒介変数に比例して写す。この境界の同相は、各半径を中心から対応する境界点への線分へ写すことで円板の同相に延長される。よってこの多角形上で元の辺の貼り合わせを行ってよい。

境界の頂点だけをwwの同値関係で同一視し、内側のRjR_jと中心OOはすべて異なる頂点として残す。その頂点集合をVVとする。三角形Fj,Sj,TjF_j,S_j,T_jの頂点の像の集合と、その空でない部分集合すべてからなる族をΦ\Phiとする。

一つの境界小辺の両端は、元の頂点と三等分点、または二つの異なる三等分点である。§E21.7 補題 1.3により、これらが同一視されることはない。また、二本の境界小辺が同じ端点の組を持つのは、もともと貼り合わされる対の場合だけである。実際、三等分点の同値類は一対の元の辺にだけ属し、元の頂点の類とは異なる。隣り合う二つの三等分点の類も異なるので、端点の組からその小辺の対が決まる。

各三角形は内側の点または中心を含む。FjF_jは中心と隣り合う内側の二点で、SjS_jは内側の二点と一つの境界点で、TjT_jは一つの内側の点と境界小辺で識別される。したがって各三角形の三頂点は相異なり、異なる三角形が同じ頂点の集合になることもない。族Φ\Phiは補題 3.4の条件を満たすので、有限単体的複体Kw=K(Φ)K_w=K(\Phi)を得る。

各頂点を対応する標準基底へ送り、各三角形上でアフィンに延長する。共通の辺で値は一致するので、有限個の閉三角形での貼り合わせにより、連続な全射f:D2→∣Kw∣f:D^2\to|K_w|を得る。そのファイバーを確かめる。像の重心座標の台がOOを含むときは、内側の扇形の分割により元の点が一意に決まる。台がRjR_jを含むとき、関係する三角形は

Fj−1, Fj, Sj−1, Tj−1, SjF_{j-1},\ F_j,\ S_{j-1},\ T_{j-1},\ S_j

の五枚である。その頂点はO,Rj−1,Rj,Rj+1O,R_{j-1},R_j,R_{j+1}とQj−1,QjQ_{j-1},Q_jの像であり、後二者は境界小辺の両端なので異なる。この五枚の共通の面は元の分割の共通の面に一致し、重心座標は元の点を一意に決める。台が境界の頂点だけからなるときは、点は境界上にあり、先ほどの小辺の確認により、同じ像を持つ点はちょうど辺の貼り合わせで同一視される点である。よってffのファイバーは≈w\approx_wの同値類に等しい。

したがってffは連続全単射Pw→∣Kw∣P_w\to|K_w|を誘導する。PwP_wはコンパクトであり、∣Kw∣|K_w|は Hausdorff なので、§E2.19 定理 6.8により同相である。境界の頂点と小辺に対応する単体の族は面を取る操作で閉じているので、境界の像は部分複体の多面体である。

主張 (2)を示す。境界の元の頂点はkk個になり、各元の辺の二つの三等分点は対に貼られてnn個になる。内側の3n3n点と中心を加えると、頂点はk+4n+1k+4n+1個である。辺は中心からの3n3n本、内側の3n3n本、QjRjQ_jR_jの3n3n本、QjRj+1Q_jR_{j+1}の3n3n本、境界の小辺の対3n/23n/2本からなる。合計は27n/227n/2本である。三角形はFj,Sj,TjF_j,S_j,T_jの9n9n枚であり、内部の辺は分割の中で二枚に接し、境界の辺は貼り合わされる二本に接する二枚に接する。この二枚は異なる内側の点を持つので異なる三角形である。交代和は

(k+4n+1)−27n/2+9n=k+1−n/2(k+4n+1)-27n/2+9n=k+1-n/2

である。

主張 (3)を示す。§E21.7 命題 2.4 (1)と§E21.7 命題 2.4 (2)により、球面の語aa−1aa^{-1}はn=2n=2、k=2k=2である。§E21.7 補題 4.2により、Σg\Sigma_gではn=4gn=4g、k=1k=1、NhN_hではn=2hn=2h、k=1k=1である。各値を代入すると主張 (3)の個数を得る。全順序からの Δ複体構造は補題 3.5 (1)による。▨

5 演習

問題 5.1.

  1. 円環面の二つの二単体のうちUUだけの向きを反転し、U′=−UU'=-Uとする。基底(U′,L)(U',L)と(a,b,c)(a,b,c)に関する境界行列を求め、ホモロジー群の変化を述べよ。
  2. 実射影平面の計算で、im⁡∂2\operatorname{im}\partial_2がker⁡∂1\ker\partial_1の指数二の部分群であることを、基底(p,q)=(a−b,c)(p,q)=(a-b,c)に関する行列の基本変形と行列式から確かめよ。
解答.
  1. ∂U′=a+b−c=∂L\partial U'=a+b-c=\partial Lなので、境界行列は (1111−1−1)\begin{pmatrix}1&1\\1&1\\-1&-1\end{pmatrix} である。核はU′−LU'-Lで生成され、像は以前と同じZ⟨a+b−c⟩\Z\langle a+b-c\rangleである。したがってH2≅ZH_2\cong\Z、H1≅Z2H_1\cong\Z^2、H0≅ZH_0\cong\Zは変わらない。基底を替えただけなので、鎖複体そのものも同型である。
  2. 行列はA=(111−1)A=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}であり、第二列から第一列を引き、次いで第二行から第一行を引くとdiag⁡(1,−2)\operatorname{diag}(1,-2)になる。列変形は像の生成元を替え、行変形はker⁡∂1≅Z2\ker\partial_1\cong\Z^2の基底を替える。どちらも整数係数で可逆なので指数を保つ。対角行列の像はZ⊕2Z\Z\oplus2\Zで指数二であり、これは∣det⁡A∣=2|\det A|=2に一致する。

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参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.Δ複体の定義、境界作用素および曲面の標準的な Δ複体構造を参考にした。

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