層コホモロジーと特異コホモロジー | 位相幾何入門

系 1.1.

$X$ を局所可縮なパラコンパクト Hausdorff 空間、 $M$ をアーベル群とすると、 $M$ に自然な同型 $H^n(X;M_X)\cong H^n_{\mathrm{sing}}(X;M)$ がある。特に $d$ 次元位相多様体 $N$ とその開集合 $W$ でこの比較が成り立ち、 $n>d$ ならば $H^n(N;M_N)=0$ である。
$X$ がさらに空でなく連結であり、 $\mathcal L$ が局所系ならば、 $H^n(X;\mathcal L)$ は、モノドロミーを係数とするねじれた特異コホモロジーと同型である。

証明.主張 (1)を示す。 $\Psi^{-1}$ を、§E21.41 定理 3.2の Čech コホモロジーと特異コホモロジーの同型に合成する。係数についての自然性は両同型の自然性による。多様体とその開集合が仮定を満たすこと、および次数の消滅は§E21.41 系 3.4による。

主張 (2)を示す。局所系の場合には、代わりに§E21.42 定理 5.2を合成する。▨

注意 1.2. 局所可縮性は特異コホモロジーとの比較に必要である。収束列の空間 $\{0\}\cup\{1/n\mid n\geq1\}\subseteq\R$ はコンパクトな距離空間なので Godement の定理は適用される。しかし整数係数の零次では、層コホモロジーは局所定数関数の群で可算であるのに対し、特異コホモロジーは各点に任意の整数を指定する群で非可算である（§E21.41 例 4.3）。

定義 2.1.§E21.41 注意 1.1 条件 (a)の条件を満たす単体の族 $\Sigma$ とアーベル群 $M$ に対し、 $S^p_{\Sigma,c}(X;M)$ を、コンパクト集合 $K\subseteq X$ が存在して、像が $X\setminus K$ に含まれるすべての $\Sigma$ の単体の上で零になる余鎖の全体とする。

補題 2.2. $S^\bullet_{\Sigma,c}(X;M)$ は $S^\bullet_\Sigma(X;M)$ の部分複体である。

証明. 二つのコンパクト集合の和集合はコンパクトなので、各次数で部分群である。単体の像が $X\setminus K$ に含まれれば各面の像もそこに含まれるので、微分もこの部分群を保つ。▨

定理 2.3. $X$ をパラコンパクトで局所コンパクトな Hausdorff 空間、 $M$ をアーベル群、 $\Sigma$ を§E21.41 注意 1.1 条件 (a)の条件を満たす単体の族とする。 $\Sigma$ と $M$ は§E21.41 定義 2.3 (1)の条件を満たすと仮定する。このとき、次が成り立つ。

余鎖の層 $\mathcal S^\bullet_\Sigma$ は $M_X$ の c-軟弱層による分解である。
層化の射 $\eta\colon S^\bullet_{\Sigma,c}(X;M)\to\Gamma_c(X,\mathcal S^\bullet_\Sigma)$ は全射であり、その核は非輪状である。
標準的な同型 $\Theta_X=\eta_*^{-1}\Phi_{\mathcal S_\Sigma}\colon H^p_c(X;M_X)\longrightarrow H^p(S^\bullet_{\Sigma,c}(X;M))$ がある。 $X$ が局所可縮で $\Sigma$ がすべての特異単体の族なら、右辺は特異のコンパクト台コホモロジー $H^p_c(X;M)=\varinjlim_K H^p(X,X\setminus K;M)$ である。とくに位相多様体 $N$ について $H^p_c(N;M_N)\cong H^p_c(N;M)$ である。
$X$ をさらに局所可縮とし、 $\Sigma=\Sigma_{\mathrm{all}}$ とする。開集合 $W\subseteq X$ がパラコンパクトなら、 $\Theta$ は $W$ からの拡張と可換である。 $Y$ も局所可縮でパラコンパクトな局所コンパクトな Hausdorff 空間であり、 $f\colon Y\to X$ が固有なら、定数層の同型 $\psi_f\colon f^{-1}M_X\to M_Y$ に対して $\Theta_Y H^p_c(\psi_f)f^*=f^*\Theta_X$ が成り立つ。右辺の $f^*$ は特異のコンパクト台コホモロジーの写像である。

証明.主張 (1)は§E21.41 定理 2.5の完全性と§E21.41 命題 2.1の細層性に§E20.7 命題 3.2 (1)を適用すれば従う。

主張 (2)を示す。 $c$ が $X\setminus K$ 上で零なら、 $\eta(c)$ の台は $K$ に含まれる。逆に $s\in\Gamma_c(X,\mathcal S^p_\Sigma)$ の台を $K$ とする。§E21.41 命題 3.1により $s=\eta(c)$ となる大域余鎖 $c$ がある。 $K\subseteq V$ かつ $L=\tpcl{V}$ がコンパクトとなる開集合 $V$ を取り、単体 $\sigma$ の像が $V$ に含まれるときは $c'(\sigma)=c(\sigma)$ 、それ以外では $c'(\sigma)=0$ とおく。 $c'$ は $X\setminus L$ 上で零である。 $V$ 内では $c,c'$ の芽は同じである。 $x\notin V$ なら $s_x=0$ なので、 $c$ が零となる $x$ の近傍がある。その近傍内の単体では $c'$ も零である。よって $\eta(c')=s$ であり、全射性を得る。

核のコサイクル $z$ を取る。コンパクト集合 $K$ が存在して、 $z$ は $X\setminus K$ 上で零である。また、各点に $z$ が零となる開近傍が存在する。これらの近傍と $X\setminus K$ を合わせた開被覆を $\mathcal U$ とする。 $z$ は $\mathcal U$ に従属する単体上の余鎖への制限の核に属する。§E21.41 定理 1.4 (2)により、この核は非輪状であるから、同じ核に属する $w$ で $z=\delta w$ と書くことができる。 $w$ も局所的に零であり、 $X\setminus K$ 上で零なので、 $w\in\ker\eta$ である。次数 $0$ では同じ非輪状性により核のコサイクルは零である。

主張 (3)を示す。最初の同型は主張 (1)と主張 (2)と§E20.7 定理 5.3による。局所可縮で $\Sigma=\Sigma_{\mathrm{all}}$ の場合は、§E21.41 定理 2.5 (2)により $\Sigma$ と $M$ は§E21.41 定義 2.3 (1)の条件を満たす。このとき

S^\bullet_{\Sigma,c}(X;M)=\bigcup_K C^\bullet(X,X\setminus K;M)

であり、§E21.38 命題 1.5 (2)によって、そのコホモロジーは特異のコンパクト台コホモロジーである。位相多様体は§E21.41 系 3.4により局所可縮なパラコンパクト Hausdorff 空間であり、座標近傍により局所コンパクトでもある。

主張 (4)を示す。固有写像について、余鎖の前合成とその層化は§E21.41 補題 2.2により可換である。前合成は $K$ に台をもつ余鎖を $f^{-1}K$ に台をもつ余鎖へ移す。係数上の射は§E20.1 命題 6.13 (1)の $\psi_f$ である。したがって§E20.7 命題 6.1 (4)を余鎖の層の分解に適用すれば所要の等式を得る。

開集合からの拡張では、コンパクト集合 $K\subseteq W$ を固定する。§E21.38 命題 1.6 (1)により、制限

H^p(X,X\setminus K;M)\longrightarrow H^p(W,W\setminus K;M)

は同型であり、その逆が拡張を与える。左側のコサイクルの層化は $K$ に台をもち、 $W$ 上への制限の零による延長に等しい。したがって、制限の同型を通じて $\eta_*$ はこの拡張を切断の零による延長へ移す。 $K$ について余極限を取り、§E20.7 命題 6.1 (3)を用いれば、 $\Theta$ と拡張の可換性を得る。▨

例 2.4. Euclid 空間について次が成り立つ。

$n\ge1$ に対して、 $H^p_c(\R^n;\Z_{\R^n})$ は $p=n$ で $\Z$ 、それ以外で $0$ である。

証明.主張 (1)は定理 2.3 (3)と§E21.38 命題 2.2 (3)による。▨

例 3.1. 円周の基本群の生成元が $\Z$ に $-1$ で作用する局所系を $\mathcal L$ とする。円周を二つの開弧 $U,V$ で覆い、 $U\cap V=W_1\sqcup W_2$ が二つの開弧となるようにとる。このとき、各開弧上の制限は定数層であり、交わり全体の上でも二成分ごとに自明化すれば定数層となる。これらの空間は局所可縮なパラコンパクト Hausdorff 空間であり、特異コホモロジーとの比較から正の次数の層コホモロジーが消える。よって§E20.23 系 3.1を適用することができる。

二つの自明化の比較を $W_1$ で $+1$ 、 $W_2$ で $-1$ とすると、零次の Čech 微分は

\Z^2\longrightarrow\Z^2,\qquad(a,b)\longmapsto(b-a,b+a)

となる。核は零であり、像は二成分の和が偶数となる組全体なので余核は $\Z/2$ である。二集合の被覆の一次コサイクルは重なりの切断で決まるため、

H^0(S^1;\mathcal L)=0,\qquad H^1(S^1;\mathcal L)\cong\Z/2

を得る。この値は§E21.42 例 4.2のねじれた特異コホモロジーの計算とも一致する。

§E21.43層コホモロジーと特異コホモロジー

1 特異コホモロジーとの比較

2 コンパクト台の比較

3 例

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