§E21.16重心細分と小さい単体の定理

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切除定理のように空間のホモロジーを部分集合の情報から調べる議論では、鎖を、与えられた部分集合族のいずれかの元に像が含まれる特異単体だけで表すことが必要となる。しかし特異単体は標準単体から空間への任意の連続写像であり、その像は族のどの元にも含まれないことがある。重心細分作用素は、各特異単体を、標準単体を重心で分割した小さいアフィン単体の整数線形結合に置き換える鎖写像であり、恒等作用素との差は鎖ホモトピーで表される。たとえば一次元単体を一回重心細分すると、中点を頂点にもつ二つの一次元単体の差になり、その境界はもとの単体の境界に等しい。この作用素を用いると、内部が空間を覆う部分集合族について、その族の元に像が含まれる特異単体（族に従属する特異単体）で生成される部分鎖複体の包含が鎖ホモトピー同値であることがわかる。この包含の鎖ホモトピー同値性についての主張が小さい単体の定理であり、係数を付けた版と余鎖の版も成り立つ。この定理は、以後の記事で切除定理や Mayer–Vietoris 完全列を証明するときに引用される基本的な結果である。本記事では、重心細分作用素とその基本的な性質を述べ、小さい単体の定理を証明する。

1 重心細分と鎖ホモトピー

定義 1.1 (重心細分作用素).

  1. Euclid 空間の凸部分集合QQと点w0,…,wk∈Qw_0,\ldots,w_k\in Qに対し、標準単体の第ii頂点をwiw_iへ送るアフィン写像を[w0,…,wk] ⁣:Δk→Q[w_0,\ldots,w_k]\colon\Delta^k\to Qと書き、アフィン単体 (affine simplex) という。頂点の重複やアフィン従属を許す。b∈Qb\in Qからの錐をb∗[w0,…,wk]=[b,w0,…,wk]b*[w_0,\ldots,w_k]=[b,w_0,\ldots,w_k]と定め、アフィン単体の整数線形結合へ線形に延長する。
  2. アフィン単体上の作用素SSをS[v0]=[v0]S[v_0]=[v_0]とし、n≥1n\geq1では S[v0,…,vn]=b∗S∂[v0,…,vn],b=v0+⋯+vnn+1S[v_0,\ldots,v_n]=b*S\partial[v_0,\ldots,v_n], \qquad b=\frac{v_0+\cdots+v_n}{n+1} と帰納的に定める。
  3. 位相空間XXの特異nn単体σ\sigmaに対し、ιn ⁣:Δn→Δn\iota_n\colon\Delta^n\to\Delta^nを恒等写像としてSσ=σ#(Sιn)S\sigma=\sigma_\#(S\iota_n)と定める。その線形延長S ⁣:Cn(X)→Cn(X)S\colon C_n(X)\to C_n(X)を重心細分作用素 (barycentric subdivision operator) という。負の次数では零写像とする。

補題 1.2.QQを Euclid 空間の凸部分集合、b∈Qb\in Qとし、ccをQQのアフィンkk単体の整数線形結合とする。このとき、k≥1k\geq1ならば∂(b∗c)=c−b∗(∂c)\partial(b*c)=c-b*(\partial c)である。k=0k=0ならば

∂(b∗c)=c−ε(c)[b]\partial(b*c)=c-\varepsilon(c)[b]

である。ここでε(c)\varepsilon(c)はccの係数の和を表す。

証明.[b,w0,…,wk][b,w_0,\ldots,w_k]の第零面は[w0,…,wk][w_0,\ldots,w_k]であり、第j+1j+1面の符号は(−1)j+1(-1)^{j+1}である。k≥1k\geq1では残る面の和が−b∗∂[w0,…,wk]-b*\partial[w_0,\ldots,w_k]となる。k=0k=0では∂[b,w0]=[w0]−[b]\partial[b,w_0]=[w_0]-[b]である。線形に加えると二つの式を得る。▨

命題 1.3. 任意の位相空間XXについて、重心細分作用素は∂S=S∂\partial S=S\partialを満たす。連続写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Yに対してf#S=Sf#f_\#S=Sf_\#である。またアフィン単体に特異単体としてSSを適用した結果は、アフィン単体についての帰納的定義と一致する。

証明. アフィン写像は重心を重心へ送り、錐と面の構成を保つ。したがって次数についての帰納法により、アフィン写像aaに対してa#Sτ=S(a∘τ)a_\#S\tau=S(a\circ\tau)である。特にアフィン単体τ ⁣:Δn→Q\tau\colon\Delta^n\to Qに対し、τ#Sιn=Sτ\tau_\#S\iota_n=S\tauとなる。

零次ではS=id⁡S=\idである。アフィン一次単体の境界は二頂点の差なので、その細分の増大は零である。補題 1.2により、この次数では∂Sτ=S∂τ\partial S\tau=S\partial\tauである。n≥2n\geq2とし、次数n−1n-1以下で等式が成り立つと仮定する。∂S∂τ=S∂2τ=0\partial S\partial\tau=S\partial^2\tau=0であるから、同補題により

∂Sτ=∂(b∗S∂τ)=S∂τ−b∗∂S∂τ=S∂τ\partial S\tau=\partial(b*S\partial\tau) =S\partial\tau-b*\partial S\partial\tau=S\partial\tau

となる。特異単体σ\sigmaについては、標準単体上の等式を鎖写像σ#\sigma_\#で押し出す。面写像δi\delta_iがアフィンであることから

∂Sσ=σ#S∂ιn=∑i(−1)i(σδi)#Sιn−1=S∂σ\partial S\sigma=\sigma_\#S\partial\iota_n =\sum_i(-1)^i(\sigma\delta_i)_\#S\iota_{n-1}=S\partial\sigma

を得る。また(fσ)#Sιn=f#σ#Sιn(f\sigma)_\#S\iota_n=f_\#\sigma_\#S\iota_nであるから、連続写像についての自然性が成り立つ。▨

命題 1.4. Euclid 空間の凸部分集合QQの点v0,…,vnv_0,\ldots,v_nに対し、τ=[v0,…,vn]\tau=[v_0,\ldots,v_n]とする。このとき、SτS\tauに現れる各アフィン単体τ′\tau'の像の直径は

diam⁡(τ′)≤nn+1diam⁡(τ)\operatorname{diam}(\tau')\leq\frac{n}{n+1}\operatorname{diam}(\tau)

を満たす。したがってr≥1r\geq1について、SrτS^r\tauに現れる各アフィン単体の像の直径は高々(n/(n+1))rdiam⁡(τ)(n/(n+1))^r\operatorname{diam}(\tau)である。頂点のアフィン独立性は仮定しない。

証明. 頂点の凸包の二点x=∑iaivix=\sum_i a_iv_i、y=∑jbjvjy=\sum_j b_jv_jに対して

∥x−y∥=∥∑i,jaibj(vi−vj)∥≤max⁡i,j∥vi−vj∥\lVert x-y\rVert =\Bigl\lVert\sum_{i,j}a_ib_j(v_i-v_j)\Bigr\rVert \leq\max_{i,j}\lVert v_i-v_j\rVert

である。したがって凸包の直径は頂点間距離の最大値である。細分の帰納的定義により、各細分単体の頂点は添字集合{0,…,n}\{0,\ldots,n\}の空でない部分集合の真の包含列に沿う重心である。頂点が重なる場合にも、添字は区別して平均をとる。F⊊GF\subsetneq G、∣F∣=p|F|=p、∣G∣=q|G|=qとし、それぞれの重心をbF,bGb_F,b_Gと書くと、

bG=pqbF+q−pqbG∖F,∥bG−bF∥≤q−pqdiam⁡(τ)≤nn+1diam⁡(τ)b_G=\frac pqb_F+\frac{q-p}{q}b_{G\setminus F}, \qquad \lVert b_G-b_F\rVert \leq\frac{q-p}{q}\operatorname{diam}(\tau) \leq\frac{n}{n+1}\operatorname{diam}(\tau)

である。細分単体の頂点間距離へこの評価を適用すると、一回の細分の評価を得る。n=0n=0では像が一点なので直径は零である。細分後の各単体もアフィンnn単体であるから、同じ評価をrr回適用すると反復の評価を得る。▨

命題 1.5. 各位相空間XXに対する準同型Tn ⁣:Cn(X)→Cn+1(X)T_n\colon C_n(X)\to C_{n+1}(X)の族で、次を満たすものが存在する。負の次数ではTn=0T_n=0とする。

  1. 連続写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Yに対してf#Tn=Tnf#f_\#T_n=T_nf_\#である。
  2. ∂T+T∂=id⁡−S\partial T+T\partial=\id-Sである。
  3. 特異単体σ ⁣:Δn→X\sigma\colon\Delta^n\to Xに対し、TnσT_n\sigmaに現れる各単体の像はσ(Δn)\sigma(\Delta^n)に含まれる。
  4. n≥0n\geq0と恒等写像ιn ⁣:Δn→Δn\iota_n\colon\Delta^n\to\Delta^nに対し、TnιnT_n\iota_nはΔn\Delta^nのアフィン(n+1)(n+1)単体の整数線形結合である。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)、主張 (4)を示す。T0=0T_0=0とおく。零次ではS=id⁡S=\idなので鎖ホモトピーの等式が成り立ち、零鎖はアフィン単体の空の線形結合である。n≥1n\geq1とし、次数n−1n-1以下のTTが四つの性質を満たすと仮定する。標準単体上の鎖

Dn=ιn−Sιn−Tn−1(∂ιn)D_n=\iota_n-S\iota_n-T_{n-1}(\partial\iota_n)

をとる。命題 1.3と帰納法の等式により

∂Dn=(id⁡−S)∂ιn−(id⁡−S−Tn−2∂)∂ιn=0\partial D_n=(\id-S)\partial\iota_n -\bigl(\id-S-T_{n-2}\partial\bigr)\partial\iota_n=0

である。帰納法の自然性により、各面についてTn−1(δi)=(δi)#Tn−1ιn−1T_{n-1}(\delta_i)=(\delta_i)_\#T_{n-1}\iota_{n-1}であるから、DnD_nはΔn\Delta^nのアフィン単体の整数線形結合である。重心bbを用いてtn=b∗Dnt_n=b*D_nとおくと、補題 1.2により∂tn=Dn\partial t_n=D_nである。

各特異単体σ ⁣:Δn→X\sigma\colon\Delta^n\to Xに対してTnσ=σ#tnT_n\sigma=\sigma_\#t_nと定め、線形に延長する。この式から連続写像についての自然性と像の包含が従い、Tnιn=tnT_n\iota_n=t_nはアフィン単体の整数線形結合である。さらに、帰納法の自然性を各面へ適用すると

∂Tnσ=σ#Dn=σ−Sσ−Tn−1∂σ\partial T_n\sigma =\sigma_\#D_n =\sigma-S\sigma-T_{n-1}\partial\sigma

となる。したがって四つの性質は次数nnでも成り立つ。▨

2 小さい単体の定理

定義 2.1 (被覆に従属する鎖).XXを位相空間、U\mathcal UをXXの部分集合の族とする。特異単体σ\sigmaの像を含むU∈UU\in\mathcal Uが存在するとき、σ\sigmaはU\mathcal Uに従属する (small simplex) という。これらの特異nn単体が張るCn(X)C_n(X)の部分群をCnU(X)C_n^{\mathcal U}(X)と書く。

補題 2.2. 任意の位相空間XXと部分集合族U\mathcal Uに対し、∂CnU(X)⊆Cn−1U(X)\partial C_n^{\mathcal U}(X)\subseteq C_{n-1}^{\mathcal U}(X)である。したがってC∙U(X)C_\bullet^{\mathcal U}(X)は特異鎖複体の部分複体である。

証明. 特異単体の各面の像は元の単体の像に含まれるから、U\mathcal Uに従属する単体の面も同じ元に従属する。▨

定理 2.3 (小さい単体の定理).XXを位相空間、U\mathcal Uを⋃U∈Uint⁡X(U)=X\bigcup_{U\in\mathcal U}\tpint[X]{U}=Xを満たす部分集合族とし、包含をj ⁣:C∙U(X)↪C∙(X)j\colon C_\bullet^{\mathcal U}(X)\hookrightarrow C_\bullet(X)とする。

  1. jjは鎖ホモトピー同値である。
  2. 任意のアーベル群MMに対し、j⊗id⁡M ⁣:C∙U(X)⊗ZM→C∙(X;M)j\otimes\id_M\colon C_\bullet^{\mathcal U}(X)\otimes_{\Z}M\to C_\bullet(X;M)は鎖ホモトピー同値であり、全次数でホモロジーの同型を誘導する。
  3. 任意のアーベル群MMに対し、Hom⁡(j,M) ⁣:Hom⁡(C∙(X),M)→Hom⁡(C∙U(X),M)\Hom(j,M)\colon\Hom(C_\bullet(X),M)\to\Hom(C_\bullet^{\mathcal U}(X),M)は余鎖ホモトピー同値であり、全次数でコホモロジーの同型を誘導する。

証明. 特異nn単体σ\sigmaをとる。開集合族{σ−1(int⁡X(U))}U∈U\{\sigma^{-1}(\tpint[X]{U})\}_{U\in\mathcal U}はΔn\Delta^nを覆う。標準単体はコンパクト距離空間であり、§E2.9 定理 3.1により点列コンパクトである。§E2.9 補題 2.3により、この開被覆の Lebesgue 数δ>0\delta>0をとる。命題 1.4により、十分大きいrrに対してSrιnS^r\iota_nの各単体の像の直径はδ\delta未満になる。その像から一点を選ぶと像全体が半径δ\deltaの開球に含まれるので、Lebesgue 数の性質により被覆の一つの元に含まれる。よってSrσS^r\sigmaはU\mathcal Uに従属する鎖である。鎖には有限個の特異単体だけが現れ、さらに細分しても従属性は保たれるので、一つの鎖に対して共通のrrを選ぶことができる。

r≥0r\geq0に対しKr=∑k=0r−1SkTK_r=\sum_{k=0}^{r-1}S^kTとおく。空の和は零とする。細分の鎖写像性と鎖ホモトピーの等式から

∂Kr+Kr∂=∑k=0r−1Sk(id⁡−S)=id⁡−Sr\partial K_r+K_r\partial =\sum_{k=0}^{r-1}S^k(\id-S)=\id-S^r

である。輪体zzをとり、SrzS^rzが小鎖となるrrを選ぶと、z−Srz=∂Krzz-S^rz=\partial K_rzである。したがって小鎖の包含はホモロジー上で全射である。小輪体zzが全体でz=∂cz=\partial cと表されるとする。SrcS^rcが小鎖となるrrを選ぶ。SSとTTは各単体の像の中で鎖を作るから、KrzK_rzも小鎖である。よって

z=Srz+∂Krz=∂(Src+Krz)z=S^rz+\partial K_rz=\partial(S^rc+K_rz)

は小鎖複体内でも境界であり、ホモロジーの射は単射である。

主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)を示す。二つの複体は非負次数に集中し、各項は特異単体の集合を基底とする自由アーベル群である。包含が擬同型であることに§E6.35 補題 3.1 (2)を適用すると、鎖ホモトピー同値と、テンソル積および Hom による二つの結論を得る。▨

例 2.4.X=[0,1]X=[0,1]、U={{0},(0,1]}\mathcal U=\{\{0\},(0,1]\}とする。このとき、U\mathcal UはXXを覆うが、各元の内部の和は00を含まない。二つの元が交わらないので、C∙U(X)=C∙({0})⊕C∙((0,1])C_\bullet^{\mathcal U}(X)=C_\bullet(\{0\})\oplus C_\bullet((0,1])である。§E21.13 命題 2.2により、[0][0]と[1][1]のホモロジー類は別々の直和成分の生成元であり、[1]−[0][1]-[0]は小鎖複体内では境界でない。一方、道γ(t)=t\gamma(t)=tの境界は[1]−[0][1]-[0]であるから、全体のH0(X)H_0(X)では零となる。したがって小鎖の包含はホモロジー上で単射でなく、鎖ホモトピー同値でもない。

3 演習

問題 3.1. アフィン二次元単体[v0,v1,v2][v_0,v_1,v_2]の辺の重心をbijb_{ij}、全体の重心をbbとする。一回の細分を六つの符号付きアフィン単体の和として書き、∂S[v0,v1,v2]=S∂[v0,v1,v2]\partial S[v_0,v_1,v_2]=S\partial[v_0,v_1,v_2]を直接確かめよ。さらに、三頂点が正三角形をなす場合に、各細分単体の直径が元の直径の2/32/3倍以下であることを確かめよ。

解答.

S[vi,vj]=[bij,vj]−[bij,vi]S[v_i,v_j]=[b_{ij},v_j]-[b_{ij},v_i]であるから、

S[v0,v1,v2]=[b,b12,v2]−[b,b12,v1]−[b,b02,v2]+[b,b02,v0]+[b,b01,v1]−[b,b01,v0].\begin{aligned} S[v_0,v_1,v_2] ={}&[b,b_{12},v_2]-[b,b_{12},v_1] -[b,b_{02},v_2]+[b,b_{02},v_0]\\ &+[b,b_{01},v_1]-[b,b_{01},v_0]. \end{aligned}

各項の境界∂[b,bij,vk]=[bij,vk]−[b,vk]+[b,bij]\partial[b,b_{ij},v_k]=[b_{ij},v_k]-[b,v_k]+[b,b_{ij}]を加える。[b,bij][b,b_{ij}]は同じ辺の二項で相殺し、[b,vk][b,v_k]も各頂点について相殺する。残る和は

[b12,v2]−[b12,v1]−[b02,v2]+[b02,v0]+[b01,v1]−[b01,v0]=S∂[v0,v1,v2][b_{12},v_2]-[b_{12},v_1]-[b_{02},v_2]+[b_{02},v_0] +[b_{01},v_1]-[b_{01},v_0]=S\partial[v_0,v_1,v_2]

である。正三角形の辺の長さをa>0a>0とすると、各細分単体の三辺の長さはa/3a/\sqrt3、a/2a/2、a/(23)a/(2\sqrt3)である。凸包の直径は頂点間距離の最大値なので、その直径はa/3≤2a/3a/\sqrt3\leq2a/3である。▨

参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.重心細分と小さい単体の定理の構成および切除への応用を参考にした。

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