§E21.47ファイブレーション

証明.主張 (1)を示す。均等被覆近傍$U$で$p^{-1}(U)=\coprod_{\lambda\in\Lambda}V_\lambda$と書く。$\Lambda$を離散空間とすると、$x\in V_\lambda$を$(p(x),\lambda)$へ送る写像は、各開集合$V_\lambda$を$U\times\{\lambda\}$へ同相に写す。これが局所自明化である。

主張 (2)は§E21.5 定理 2.2による。▨

証明.$H:I^n\times I\to B$と初期持ち上げを与える。

自明化近傍の$H$による逆像の全体は、コンパクト距離空間$I^{n+1}$の開被覆をなす。Lebesgue 数により、$I^n$を有限個の小立方体に、時間区間を有限個の区間に分割して、各小立方体と各小区間の積の$H$による像が、ある自明化近傍に含まれるようにする。

時間区間を順に扱い、各段では空間の格子の面を次元の低い順に扱う。$C\times[a,b]$の底面と側面には既に持ち上げが定まっているので、主張によって延長する。各延長は既に定まった持ち上げを底面と側面で保つので、二つの直方体の共通の面で二つの延長は一致する。有限個の閉集合上の貼り合わせにより全体の持ち上げが連続となる。▨

証明. 立方体の対称性によって、除いた面を上面としてよい。§E21.45 補題 2.1 (1)の自己同相$\Psi$は底面を$J$へ写す。$H\Psi$に対する底面上の持ち上げ$G\Psi$を Serre の性質で延長し、$\Psi^{-1}$と合成すればよい。$n=0$では区間の向きを選ぶだけである。▨

証明.$\pi_n(B,b_0)$の立方体による代表$f$に対し、上面と側面の和$J^{n-1}$上で持ち上げを$x_0$と指定する。補題 3.1により立方体へ延長すると、残りの底面は$F$に写る。したがって$p_*$は全射である。

相対写像$f_0,f_1$について$p_*[f_0]=p_*[f_1]$とする。$pf_0$と$pf_1$の間の基点付きホモトピーを$H$とする。$I^n\times\{0,1\}$上で持ち上げを$f_0,f_1$とし、$J^{n-1}\times I$上では$x_0$とする。これは$I^{n+1}$の境界から底面の内部と時間の積である一つの開面を除いた集合上の持ち上げである。補題 3.1で延長すれば、除いていた面の像は$F$に含まれるので相対ホモトピーを得る。したがって$p_*$は単射である。群の演算との両立は相対群の関手性による。▨

証明.主張 (1)、主張 (3)、主張 (4)を示す。§E21.45 定理 5.2を$(E,F,x_0)$に適用し、前定理の全単射で相対項を$\pi_n(B,b_0)$に置き換える。対$(E,F)$の境界写像を$\delta$とすると、ファイブレーションの境界写像は$\partial=\delta p_*^{-1}$であり、その存在、独立性、準同型性、主張 (3)と自然性はこの式から従う。

$\pi_0(E)$での完全性は道の持ち上げによる。$p(e)$が$b_0$と同じ成分にあれば、$p(e)$から$b_0$への道を$e$から持ち上げると終点が$F$に属する。逆に、$F$の各点は$p$により$b_0$へ写る。

主張 (2)を示す。$B$が弧状連結ならば、すべての$e\in E$について$p(e)$から$b_0$への道が存在する。その道を$e$から持ち上げると終点は$F$に属するので、$\pi_0(F)\to\pi_0(E)$は全射である。▨

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。$|2z\overline w|^2+(|z|^2-|w|^2)^2=(|z|^2+|w|^2)^2=1$なので像は$S^2$に入る。$(x,t)\in U_+$に対して$a=\sqrt{(1+t)/2}>0$と置くと、$\phi_+^{-1}((x,t),\lambda)=\left(\lambda a,\frac{\lambda\overline x}{2a}\right).$この式は連続で、単位球面に値をとり、両側の合成は恒等写像である。詳細は解答で確かめる。座標交換$(z,w)\mapsto(w,z)$と$(x,t)\mapsto(\overline x,-t)$により$\phi_-$も同様に得られる。二つの開集合が球面を覆うので全射性が従い、各局所自明化の式からファイバーの記述も得られる。▨

証明.主張 (3)を示す。$\pi_1(S^2\times S^1)\cong\Z$、$\pi_1(S^3)=0$であるから、二つの空間はホモトピー同値ではない。

主張 (4)を示す。局所自明化は$z_i\ne0$の座標近傍上で$z\mapsto([z],z_i/|z_i|)$である。$z_i\ne0$である射影点$[z]$には、長さが$1$で第$i$座標が正の実数である代表$s_i([z])$が一意に存在する。斉次座標の比を正規化する式により$s_i$は連続であり、逆写像は$([z],\lambda)\mapsto\lambda s_i([z])$である。したがって$q$はファイバー$S^1$の束である。§E21.46 系 5.5により$\pi_1(S^{2m+1})=\pi_2(S^{2m+1})=0$であるから、完全列の$0\to\pi_2(\mathbb{CP}^m)\to\pi_1(S^1)\to0\to\pi_1(\mathbb{CP}^m)\to\pi_0(S^1)$から単連結性と$\pi_2(\mathbb{CP}^m)\cong\Z$を得る。$n\geq3$の同型は、$j\geq2$で$\pi_j(S^1)=0$であることによる。

$m=1$では、$h$は$S^1$の軌道上で一定なので$\overline h:\mathbb{CP}^1\to S^2$を誘導する。ファイバーの記述から全単射であり、定義域のコンパクト性と終域の Hausdorff 性により同相である。$h=\overline hq$なので、Hopf 束はこの射影空間の束の最初の場合である。

主張 (1)と主張 (2)を示す。主張 (4)を$m=1$に用い、同相$\overline h$によって$\mathbb{CP}^1$を$S^2$と同一視すると、$\pi_2(S^2)\cong\Z$と$n\geq3$での$h_*$の同型性を得る。▨

証明.$H:A\times I\to Y$と初期持ち上げ$\widetilde h:A\to PY$を与える。持ち上げを$\widetilde H(a,t)(s)=\begin{cases}\widetilde h(a)((1+t)s)&(1+t)s\leq1,\\H(a,(1+t)s-1)&(1+t)s\geq1\end{cases}$と定める。$(1+t)s=1$では両式が$\widetilde h(a)(1)=H(a,0)$に一致する。随伴写像$A\times I\times I\to Y$は二つの閉集合上の貼り合わせにより連続である。§E21.44 補題 2.4 (1)により$\widetilde H$も連続である。初期値は$\widetilde h$、終点は$H(a,t)$であり、始点は常に$y_0$である。▨

証明.$r(A)$は Euclid ノルムを保ち、§E3.36 定理 3.1により実内積を保つので直交行列である。合成の行列が行列の積となることから準同型性が従う。行列成分は$A$の成分の実部・虚部なので連続である。$\SO(2)$の元の第一列を$(a,b)$とすると、第二列は直交性と行列式$1$の条件から$(-b,a)$である。したがって$n=1$の写像は全単射であり、逆写像$A\mapsto A_{11}+iA_{21}$も連続である。▨

証明. 切断の存在から$p$は全射である。局所自明化とその逆写像は$g\longmapsto(p(g),s(p(g))^{-1}g),\qquad (u,h)\longmapsto s(u)h$で与えられる。第二成分は$x_0$を固定するので$H$に属する。積と逆元の連続性により両写像は連続である。▨

証明.$e_n$の固定部分群は$\operatorname{diag}(B,1)$、$B\in G(n-1)$からなる。局所切断を明示する。$V_i=\{v\in S:v_i\ne0\}$上で、一次独立な列$v,e_1,\ldots,\widehat e_i,\ldots,e_n$に§E3.33 定理 2.2を適用して、正規直交列$v,u_2,\ldots,u_n$を得る。$M=[u_2,\ldots,u_n,v]$と置く。$\Uni(n)$の場合は$s_i=M$とし、ほかの二群では$d=\det M$として$s_i(v)=[\overline d\,u_2,u_3,\ldots,u_n,v]$とする。$|d|=1$なので列の正規直交性を保ち、行列式は$1$となる。式の連続性と固定部分群の確認は演習とする（問題 8.3）。これらの切断に補題 6.3を適用する。▨

証明.$G$を$\SO,\Uni,\SU$のいずれかとする。$n=1$では$G(n)$は一点または円周である。$n\geq2$で前命題の底空間の球面は弧状連結であるから、系 3.3 (2)により$\pi_0(G(n-1))\to\pi_0(G(n))$は全射である。帰納法によって結論を得る。▨

証明.主張 (1)を示す。§E7.32 例 4.2の行列表示では$q=\begin{pmatrix}z&w\\-\overline w&\overline z\end{pmatrix},\qquad |q|^2=|z|^2+|w|^2.$長さ$1$の元はちょうど$\SU(2)$の元である。実際、ユニタリ行列の第二行は第一行に直交する単位行であり、行列式$1$の条件が上の形を強制する。座標表示と逆の座標読取りは連続なので、$\SU(2)\cong S^3$は同相でもある。

四元数の積から共役作用は実線形で、純虚部分とノルムを保つ。したがって$\rho(q)\in\Orth(3)$である。行列成分は$q$に連続に依存し、$S^3$が連結で$\rho(1)=I$なので行列式は常に$1$である。準同型性は共役の合成から従う。核の元は$i,j,k$と可換なので実数であり、単位条件から$\pm1$である。

全射性のために$A\in\SO(3)$を取る。$\det(A-I)=\det(I-A^{-1})=\det(I-A)=-\det(A-I)$なので、単位固有ベクトル$u$を固有値$1$に対して取ることができる。$u^\perp$上の制限は行列式$1$の二次元直交変換であり、ある角$\theta$の回転である。$u$に直交する単位純虚四元数$v$を取り、$w=uv$とすると、$(u,v,w)$は正規直交基底である。$q=\cos(\theta/2)+u\sin(\theta/2)$について、$\rho(q)$は$u$を固定し、$(v,w)$平面を角$\theta$だけ回転させる。計算は解答に記す。したがって$\rho(q)=A$である。

主張 (2)を示す。核の計算から$S^3/\{\pm1\}\to\SO(3)$は連続な全単射であり、定義域のコンパクト性と終域の Hausdorff 性から同相である。§E21.45 命題 3.1により$S^3\to\mathbb{RP}^3$は普遍被覆であり、その基本群は$\Z/2\Z$である。▨

証明.主張 (1)は実化による$S^1\cong\SO(2)$から従う。

主張 (2)を示す。$n=3$は前命題で得た。$n\geq4$の束$\SO(n-1)\to\SO(n)\to S^{n-1}$では底空間の$\pi_1$と$\pi_2$が消えるので、完全列によりファイバーの包含は基本群の同型を誘導する。したがって帰納法により結論を得る。

主張 (3)を示す。$\SO(2)\to\SO(3)\to S^2$の完全列では$\pi_1(S^2)=0$なので、最初の包含が基本群に誘導する写像は全射である。主張 (2)の安定同型と合成して主張 (3)を得る。▨

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。$n\geq2$の束$G(n-1)\to G(n)\to S^{2n-1}$では底空間の$\pi_1$と$\pi_2$が消える。したがって包含は基本群の同型を誘導する。$\Uni(1)=S^1$、$\SU(1)=\{1\}$からの帰納法により主張 (1)と主張 (2)を得る。$\Uni(1)$の標準包含と行列式の合成は恒等写像なので、同型を与えるのは$\det_*$である。

主張 (3)を示す。実化の像は、$\Uni(n)$の弧状連結性と単位元での行列式から$\SO(2n)$に含まれる。主張 (1)の生成元の実化は最初の座標平面の一回転である。前定理の定理 7.2 (3)から還元の主張を得る。▨