ホモトピー群の切除 | 位相幾何入門

1 胞体が二つの場合

定義 1.1. 空間 $X$ と部分空間 $A,B$ が $X=A\cup B$ を満たすとき、 $(X;A,B)$ を三つ組 (triad) といい、 $C=A\cap B$ と書く。包含 $C\subseteq A\subseteq X$ による三つの空間の組とは区別する。

補題 1.2. $d\geq0$ とし、 $\pr:I^d\times I\to I^d$ を射影とする。 $K\subseteq I^d\times[0,1)$ をコンパクト集合、 $Z\subseteq I^d$ を閉集合とし、 $Z\cap\pr(K)=\varnothing$ とする。このとき連続関数 $\lambda:I^d\to[0,1)$ で、 $\lambda|_Z=0$ 、 $(s,y)\in K$ ならば $\lambda(s)>y$ を満たすものが存在する。

この関数について $R_t(s,y)=(s,t\lambda(s)+(1-t\lambda(s))y)$ は $Z\times I$ と上面を固定するホモトピーであり、 $R_1(I^{d+1})\cap K=\varnothing$ である。

証明. $K=\varnothing$ ならば $\lambda=0$ とする。それ以外では $a=\max\{y:(s,y)\in K\}<1$ なので、 $a<b<1$ を取る。 $Z=\varnothing$ ならば $\lambda=b$ とすればよい。両集合が空でない場合には $u(s)=\frac{\operatorname{dist}(s,Z)}{\operatorname{dist}(s,Z)+\operatorname{dist}(s,\pr(K))},\qquad\lambda=bu$ と置く。分母は消えず、 $Z$ 上で $u=0$ 、 $\pr(K)$ 上で $u=1$ である。 $R_1(s,y)$ の最後の座標は $\lambda(s)$ 以上であり、 $(s,y')\in K$ ならば $y'<\lambda(s)$ であるから、 $R_1(I^{d+1})\cap K=\varnothing$ である。▨

補題 1.3. $C$ を空でなく弧状連結な CW 部分複体とし、 $X=C\cup e^a\cup e^b$ 、 $a,b\geq2$ とする。 $A=C\cup e^a$ と $B=C\cup e^b$ も部分複体であるとし、 $x_0\in C$ とする。このとき、包含による写像 $\pi_i(A,C,x_0)\longrightarrow\pi_i(X,B,x_0)$ について次が成り立つ。

$2\leq i\leq a+b-2$ ならば全射である。
$2\leq i\leq a+b-3$ ならば単射である。

証明. 点 $p\in e^a$ 、 $q\in e^b$ を取る。§E21.46 補題 2.6により、 $B$ は $X\setminus\{p\}$ の、 $C$ は $A\setminus\{p\}$ の変位レトラクトである。対の完全列の梯子に§E7.3 命題 2.4を用いると

\pi_i(X,B)\cong\pi_i(X,X\setminus\{p\}),\qquad \pi_i(A,C)\cong\pi_i(A,A\setminus\{p\})\quad(i\geq2)

を得る。実際、絶対群の四つの縦射は恒等写像または変位レトラクトによる同型であり、末尾が $\pi_0$ となる場合もその縦射は全単射である。

さらに $e^b$ から $q$ を除いて境界へ変形すると、対 $(X\setminus\{q\},X\setminus\{p,q\})$ は $(A,A\setminus\{p\})$ へ変位レトラクトする。この変形は $e^b\cup C$ 内だけで点を動かすため $p$ を通らない。

主張 (1)を示す。 $f:(I^i,\partial I^i,J^{i-1})\to(X,B,x_0)$ を取る。§E21.46 補題 1.2によって $X=B\cup D^a=A\cup D^b$ と表し、§E21.46 補題 2.4をまず $e^a$ 、次に $e^b$ に用いる。最初の変形は境界を固定する。次の変形は $e^b\subseteq B$ 内でだけ値を動かし、 $e^a$ 内の値を変えない。したがって相対類を保ったまま両胞体について区分的アフィン近似 $v_a,v_b$ を得る。変形後も $f$ と書く。

§E21.46 系 4.2 (1)により $p'\in B_{1/4}\setminus N_{v_a}$ を取り、 $p=\chi_a(p')$ とする。 $L=f^{-1}(p)$ は、次元 $i-a$ 以下の凸多面体の有限和 $\widehat L=v_a^{-1}(p')$ に含まれる。最後の座標を除く射影を $\pi$ とすると、 $P=\pi^{-1}(\pi(\widehat L))$ は次元 $i-a+1\leq b-1$ 以下の凸多面体の有限和である。 $\widehat L=\varnothing$ ならば $P=\varnothing$ とする。§E21.46 系 4.2 (2)により、 $\chi_b^{-1}(f(P)\cap e^b)\cap B_{1/4}$ は内点をもたない有限個の凸多面体の和に含まれる。これと $N_{v_b}$ を避ける $q'\in B_{1/4}$ を取り、 $q=\chi_b(q')$ 、 $K=f^{-1}(q)$ とする。このとき $\pi(K)\cap\pi(L)=\varnothing.$

$K$ は上面と側面に交わらず、 $L$ は境界全体に交わらない。前補題を $Z=\pi(L)\cup\partial I^{i-1}$ に用いて $\lambda$ を得る。 $fR_t$ は $J^{i-1}$ 上で $x_0$ のままである。また底面の点 $(s,t\lambda(s))$ が $L$ に属すことはない。実際、 $s\in\pi(L)$ ならば $\lambda(s)=0$ であり、 $L$ は底面と交わらない。したがって $fR_t$ は $(X,X\setminus\{p\},x_0)$ の相対ホモトピーである。終端 $fR_1$ は $q$ を避けるので、 $\pi_i(X\setminus\{q\},X\setminus\{p,q\})$ の類を定める。この類を比較の同型で $\pi_i(A,C)$ へ移した類は、包含による写像で最初の $[f]$ へ写る。

主張 (2)を示す。同じ構成を一つ高い次元のホモトピーに適用する。ホモトピーの径数を射影で保ち、両端を $Z$ に含めることによって終端の変形を両端で固定する。次元条件は $i+1\leq a+b-2$ となる。必要な境界の確認を含め、証明は演習とする（問題 6.1）。▨

2 相対ホモトピー群の切除

定理 2.1 (ホモトピー群の切除). $X=A\cup B$ を CW 複体の部分複体による三つ組とし、 $C=A\cap B$ は空でなく弧状連結とする。 $m,n\geq1$ とし、 $A\setminus C$ の胞体の次元はすべて $m$ より大きく、 $B\setminus C$ の胞体の次元はすべて $n$ より大きいとする。 $x_0\in C$ とする。このとき、包含による写像 $\pi_i(A,C,x_0)\longrightarrow\pi_i(X,B,x_0)$ は次を満たす。

$1\leq i<m+n$ で全単射である。
$i=m+n$ で全射である。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。§E21.46 定理 5.3により $(A,C)$ と $(X,B)$ は $m$ 連結であるから、 $i=1$ では両辺は一点からなる。以下 $i\geq2$ とする。

主張 2.1.1. 定理の仮定のもとで $A\setminus C$ と $B\setminus C$ がともに有限個の胞体からなるならば、定理の結論が成り立つ。

証明. それぞれの胞体数を $r,s$ とし、総数について帰納法を用いる。 $s=0$ の場合、切除写像は恒等写像である。 $r=0$ の場合、切除写像は一点の間の写像である。 $r=s=1$ の場合は前補題による。実際、二つの胞体の次元を $a,b$ とすれば $a+b-2\geq m+n$ である。

$s\geq2$ の場合、 $B\setminus C$ の最高次元の胞体を一つ除いた部分複体を $B'$ とする。 $B'$ は $C$ から二次元以上の胞体を接着して得られるので弧状連結である。切除写像は $\pi_i(A,C)\longrightarrow\pi_i(A\cup B',B')\longrightarrow\pi_i(X,B)$ と分解する。三つ組 $(A\cup B';A,B')$ の胞体数は $(r,s-1)$ である。三つ組 $(X;A\cup B',B)$ の交わりは $B'$ であり、その胞体数は $(r,1)$ である。どちらも総数が減るので帰納法を用いることができる。

$s=1$ 、 $r\geq2$ とする。 $A\setminus C$ の最高次元の胞体を一つ除いて $A'$ とし、 $X'=A'\cup B$ と置く。三つ組 $(X';A',B)$ と $(X;A,X')$ に帰納法を用いる。三つ組の完全列の自然性によって、次の梯子を得る。

\begin{array}{ccccc} \pi_{i+1}(A,A')&\longrightarrow\pi_i(A',C)&\longrightarrow\pi_i(A,C)&\longrightarrow\pi_i(A,A')&\longrightarrow\pi_{i-1}(A',C)\\ \downarrow&\downarrow&\downarrow&\downarrow&\downarrow\\ \pi_{i+1}(X,X')&\longrightarrow\pi_i(X',B)&\longrightarrow\pi_i(X,B)&\longrightarrow\pi_i(X,X')&\longrightarrow\pi_{i-1}(X',B) \end{array}

\text{(2.1.1)}

$i\leq m+n$ ならば、帰納法の仮定により、第二・第四の縦射は全射であり、第五の縦射は単射である。§E7.3 命題 2.4 (2)により中央は全射となる。 $i<m+n$ ならば、帰納法の仮定により、第一の縦射は全射であり、第二・第四の縦射は単射である。§E7.3 命題 2.4 (1)により中央は単射となる。 $i=2$ で末尾が基点付き集合となる場合も、同じ五項補題の仮定に含まれる。▨

一般の場合、代表元とホモトピーの像はコンパクトなので有限部分複体 $L$ に含まれる。 $A_0=C\cup(A\cap L)$ 、 $B_0=C\cup(B\cap L)$ とすると、両者の交わりは $C$ で、 $C$ から加えた胞体は有限個である。全射性については $\pi_i(X,B,x_0)$ の代表元の像を含む $L$ を取る。単射性については $\pi_i(A,C,x_0)$ の二つの代表元と、 $(X,B)$ における両者の間のホモトピーの像を含む $L$ を取る。いずれの場合も主張 2.1.1を $A_0,B_0$ に適用すればよい。▨

3 懸垂と切除の比較

定義 3.1. 基点付き空間 $X$ に対し、随伴の単位を $\eta_X:X\to\Omega\Sigma_*X$ 、 $\eta_X(x)(t)=[x,t]$ とする。第一座標をループ座標とする同型を $\Phi_{\mathrm{adj}}:\pi_{i+1}(\Sigma_*X)\to\pi_i(\Omega\Sigma_*X)$ と書く。 $i\geq0$ に対して合成 $E=\Phi_{\mathrm{adj}}^{-1}(\eta_X)_*:\pi_i(X)\longrightarrow\pi_{i+1}(\Sigma_*X)$ を懸垂準同型 (suspension homomorphism) という。 $i=0$ では基点付き集合の写像とする。

補題 3.2. $i\geq0$ とし、 $(X,x_0)$ を基点付き空間、 $f:(I^i,\partial I^i)\to(X,x_0)$ を連続写像とする。このとき、次が成り立つ。

$e_f:I\times I^i\to\Sigma_*X$ 、 $e_f(t,s)=[f(s),t]$ は境界を基点へ写し、 $E[f]=[e_f]$ である。
$i\geq1$ とし、 $\overline f q_i=f$ とすると、球面による表示では $E[f]=[\Sigma_*\overline f\circ\sigma_{i+1}]$ である。ここで $\sigma_{i+1}q_{i+1}(t,s)=[q_i(s),t]$ は§E21.44 命題 4.3の規約である。

証明.主張 (1)を示す。 $\Phi_{\mathrm{adj}}(e_f)(s)(t)=[f(s),t]=\eta_X(f(s))(t)$ なので主張 (1)を得る。

主張 (2)は $e_f=(\Sigma_*\overline f)\sigma_{i+1}q_{i+1}$ という点ごとの等式による。▨

命題 3.3. $i\geq1$ では $E$ は群準同型である。基点付き写像 $g:X\to Y$ に対し $Eg_*=(\Sigma_*g)_*E$ が成り立つ。

証明. 定義の二つの写像はともに群準同型である。また $\eta_Yg=\Omega\Sigma_*g\circ\eta_X$ であり、随伴同型は値域の写像との合成と可換であるから、 $Eg_*=(\Sigma_*g)_*E$ を得る。▨

補題 3.4. $X$ を CW 複体、 $x_0$ を零胞体とする。このとき、次が成り立つ。

$I$ を零胞体 $0,1$ と一胞体 $(0,1)$ に分けると、 $\Sigma_*X$ は、基点一つと、 $x_0$ 以外の各胞体 $e$ に対応する $e\times(0,1)$ の像を胞体とする CW 複体である。 $X=S^n=e^0\cup e^n$ では、この CW 構造は同相 $\sigma_{n+1}$ により $S^{n+1}=e^0\cup e^{n+1}$ の CW 構造に対応する。
$I$ を $0,1/2,1$ で分けると、 $x_0$ 以外の各胞体 $e$ に対する $e\times\{1/2\}$ 、 $e\times(0,1/2)$ 、 $e\times(1/2,1)$ の像と基点を胞体とする CW 構造を得る。下半分と上半分の像を $C_-X,C_+X$ と書くと、両者は部分複体であり、交わり $X_{1/2}$ は $\iota(x)=[x,1/2]$ によって $X$ と同相である。 $C_\pm X\setminus X_{1/2}$ の各胞体の次元は、対応する $e$ の次元に $1$ を加えたものである。
$C_-X,C_+X$ は可縮である。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。いずれの分割でも $X\times\partial I\cup\{x_0\}\times I$ は積の部分複体である。§E21.22 命題 5.1と§E21.22 補題 6.2により、それを潰した商に指定された胞体構造が入る。主張 (2)の部分複体と $X_{1/2}$ の同相の証明は演習とする（問題 6.3）。

主張 (3)を示す。上半分の収縮は $[x,t]\mapsto[x,t+s(1-t)]$ で与えられ、下半分では $[x,t]\mapsto[x,(1-s)t]$ を用いる。いずれも潰す部分を保つので、商上の連続写像を誘導する。▨

補題 3.5. $X$ を零胞体 $x_0$ を基点とする CW 複体、 $i\geq1$ とする。このとき、次が成り立つ。

境界写像 $\partial:\pi_{i+1}(C_+X,X_{1/2})\to\pi_i(X_{1/2})$ と包含による写像 $j:\pi_{i+1}(\Sigma_*X)\to\pi_{i+1}(\Sigma_*X,C_-X)$ は同型である。
$\tau(s_1,\ldots,s_i,y)=(y,s_1,\ldots,s_i)$ による前合成 $\tau^*$ は $\pi_{i+1}(\Sigma_*X)$ の自己同型である。包含による写像 $\mathrm{exc}:\pi_{i+1}(C_+X,X_{1/2})\to\pi_{i+1}(\Sigma_*X,C_-X)$ について $\mathrm{exc}\,\partial^{-1}\iota_*=j\tau^*E$ が成り立つ。

証明.主張 (1)は二つの錐の可縮性と対の完全列による。

主張 (2)を示す。座標置換の自己同型性は§E21.45 命題 4.2 (3)の二つのループ随伴の比較による。主張 (2)の等式は、 $\partial^{-1}\iota_*[f]$ の代表 $(s,y)\mapsto[f(s),(1+y)/2]$ と $(s,y)\mapsto[f(s),y]$ の相対ホモトピーから得る。式と境界条件は解答で確かめる。▨

4 Freudenthal の懸垂定理

定理 4.1 (Freudenthal の懸垂定理). $n\geq1$ とし、 $X$ を零胞体 $x_0$ を一つだけもち、次元 $1,\ldots,n-1$ の胞体をもたない CW 複体とする。このとき、懸垂準同型 $E:\pi_i(X,x_0)\to\pi_{i+1}(\Sigma_*X)$ は次を満たす。

$0\leq i<2n-1$ で全単射である。
$i=2n-1$ で全射である。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。三つ組 $(\Sigma_*X;C_+X,C_-X)$ の交わりは $X_{1/2}\cong X$ であり、弧状連結である。補題 3.4 (2)の胞体構造では、 $C_\pm X\setminus X_{1/2}$ の胞体の次元はすべて $n+1$ 以上である。切除定理の $m,n$ をともにこの $n$ とし、次数 $i+1$ で用いると、切除写像は $i+1<2n$ で全単射、 $i+1=2n$ で全射となる。 $i\geq1$ では補題 3.5により、 $E$ も同じ範囲で全単射または全射となる。 $i=0$ では $X$ は弧状連結であり、補題 3.4 (1)の $\Sigma_*X$ は一胞体をもたないので単連結である。したがって両辺は一点からなる。▨

系 4.2. $n\geq1$ 、 $k\geq0$ に対して、 $E:\pi_{n+k}(S^n)\longrightarrow\pi_{n+k+1}(S^{n+1})$ は $k\leq n-2$ で同型、 $k=n-1$ で全射である。とくに $\pi_n(S^n)\to\pi_{n+1}(S^{n+1})$ は $n\geq2$ で同型、 $n=1$ で全射であり、すべての $n\geq1$ で $\pi_n(S^n)$ は巡回群である。

証明.定理 4.1を $X=S^n=e^0\cup e^n$ 、 $i=n+k$ に用いると、 $E$ は $k\leq n-2$ で同型、 $k=n-1$ で全射である。 $E$ は準同型なので、§E21.6 定理 1.5 (1)の $\pi_1(S^1)\cong\Z$ から、全射による像としてすべての群の巡回性が従う。▨

例 4.3. $X=S^1\vee S^1$ では $\Sigma_*X\cong S^2\vee S^2$ である。補題 3.4 (1)の胞体構造では、一つの零胞体へ二つの二胞体が定値写像で接着されるためである。 $E:\pi_1(X)\to\pi_2(S^2\vee S^2)$ は全射だが単射ではない。実際、§E21.8 命題 3.1により $\pi_1(X)=F(a,b)$ であり、非自明な交換子 $aba^{-1}b^{-1}$ は可換群である値域で零となる。端の次数 $i=2n-1$ の結論を一般に同型へ強めることはできない。

5 写像度による分類

補題 5.1. $n\geq1$ とし、 $\mathrm{in}_1,\mathrm{in}_2:S^n\to S^n\vee S^n$ を包含とする。第一座標が $1/2$ の面を基点へ潰す写像 $c:S^n\to S^n\vee S^n$ を、 $cq_n(s_1,s')=\begin{cases}\mathrm{in}_1q_n(2s_1,s')&s_1\leq1/2,\\\mathrm{in}_2q_n(2s_1-1,s')&s_1\geq1/2\end{cases}$ によって定め、pinch map (pinch map) という。 $\omega$ を $H_n(S^n)$ の任意の生成元とすると、次が成り立つ。

$c_*\omega=(\mathrm{in}_1)_*\omega+(\mathrm{in}_2)_*\omega$ である。
$Y$ を基点付き空間とする。 $a,b\in\pi_n(Y)$ の球面による代表を $f,g$ とし、 $a+b$ の任意の代表を $k$ とすると、 $k_*\omega=f_*\omega+g_*\omega$ である。

証明.主張 (1)を示す。楔和から第 $l$ 成分へのレトラクションを $r_l$ とする。 $r_1c$ と $r_2c$ はそれぞれ $[\id]+0$ 、 $0+[\id]$ を表すので恒等写像とホモトピックである。§E21.18 補題 2.1の基点近傍の変位レトラクトにより§E21.18 命題 2.4を適用することができ、 $((r_1)_*,(r_2)_*):H_n(S^n\vee S^n)\longrightarrow H_n(S^n)\oplus H_n(S^n)$ は同型である。この同型で $c_*\omega$ は $(\omega,\omega)$ に対応するので主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。 $k\simeq(f\vee g)c$ であるから、関手性と主張 (1)によって主張 (2)が従う。▨

定理 5.2. $n\geq1$ とし、 $S^n$ の基点を $e_1=(1,0,\ldots,0)$ とする。このとき、次が成り立つ。

写像度は群同型 $\deg:\pi_n(S^n,e_1)\to\Z$ を与え、 $[\id_{S^n}]$ がこの群を生成する。
任意の連続写像 $f,g:S^n\to S^n$ について、 $f\simeq g$ であるための必要十分条件は、 $\deg f=\deg g$ である。したがって $[S^n,S^n]\to\Z$ 、 $[f]\mapsto\deg f$ は全単射である。
基点付き写像 $f,g$ について、二つの写像が基点付きホモトピックであるための必要十分条件は、写像度が等しいことである。

証明.主張 (1)と主張 (3)を示す。前補題により写像度は準同型である。恒等写像の写像度は $1$ なので全射であり、系 4.2により定義域は巡回群である。巡回群から $\Z$ への全射準同型は同型であるから主張 (1)、したがって主張 (3)も従う。

主張 (2)を示す。§E21.45 定理 2.5により、自由ホモトピー類は基点付きの類に対する基本群の作用の軌道である。 $n\geq2$ では球面が単連結なので作用は自明である。 $n=1$ では作用は共役であり、 $\pi_1(S^1)\cong\Z$ は可換なので再び自明である。したがって基点を忘れる写像は全単射である。写像度のホモトピー不変性と主張 (1)から主張 (2)を得る。▨

注意 5.3. $\pi_2(S^2)\cong\Z$ は Hopf 束による計算§E21.47 系 4.2 (1)と一致する。自由ホモトピー類の写像度による分類は Hopf の次数定理である。

系 5.4.

$\pi_3(S^2)\cong\Z$ であり、Hopf 写像 $h$ の類が生成する。 $n\geq3$ について $\pi_{n+1}(S^n)$ は巡回群であり、その同型類は $n$ によらない。
単位四元数の群から $\SU(2)$ への同相 $\theta:S^3\to\SU(2)$ 、 $\theta(1)=I$ により、 $\pi_3(\SU(2))\cong\Z$ は $[\theta]$ で生成される。基点を忘れる写像 $\pi_3(\SU(2),I)\to[S^3,\SU(2)]$ は全単射であり、 $[g]\mapsto\deg(\theta^{-1}g)$ は $[S^3,\SU(2)]\to\Z$ の全単射を与える。

証明.主張 (1)を示す。§E21.47 系 4.2 (2)の同型 $h_*:\pi_3(S^3)\to\pi_3(S^2)$ は $[\id]$ を $[h]$ へ送るので、主張 (1)の前半を得る。系 4.2により、 $E:\pi_3(S^2)\to\pi_4(S^3)$ は全射であり、 $n\geq3$ で $E:\pi_{n+1}(S^n)\to\pi_{n+2}(S^{n+1})$ は同型である。したがって、 $n\geq3$ について $\pi_{n+1}(S^n)$ は巡回群であり、その同型類は $n$ によらない。

主張 (2)は§E21.47 命題 7.1の同相と前定理による。基点を忘れる写像が全単射であることは、 $\SU(2)\cong S^3$ の単連結性からも、§E21.45 系 2.7の位相群に対する主張からも従う。▨

例 5.5. $S^2=D_+\cup D_-$ を二つの閉半球に分け、共通部分の赤道 $S^1$ に零胞体一つと一胞体一つを取る。このとき、相対胞体は両側とも二胞体一つなので $m=n=1$ である。しかし

\pi_3(D_+,S^1)\cong\pi_2(S^1)=0,\qquad \pi_3(S^2,D_-)\cong\pi_3(S^2)\cong\Z

であり、次数 $3$ では切除写像は全射ではない。次数 $2=m+n$ では $\Z\to\Z$ の全射となり、定理と一致する。一方、 $(D_+,S^1)$ と $(S^2,D_-)$ は良い対であり、商はともに $S^2$ と同相なので、ホモロジーではすべての次数で $H_k(D_+,S^1)\cong\widetilde H_k(S^2)\cong H_k(S^2,D_-)$ となる。包含は商の同相 $D_+/S^1\to S^2/D_-$ を誘導するので、これらの同型は包含 $(D_+,S^1)\to(S^2,D_-)$ によって誘導される。

6 演習

問題 6.1.補題 1.3 (2)の単射性を、ホモトピーの径数を保つ射影を用いて証明せよ。

解答.

$(A,C)$ の二つの代表 $f_0,f_1$ が $(X,B)$ で同じ類を表すとし、その相対ホモトピーを $H(s,y,r)$ と書く。ここで $s\in I^{i-1}$ 、 $y\in I$ が元の立方体の最後の座標、 $r\in I$ がホモトピーの径数である。 $H$ の定義域は $i+1$ 次元の立方体であり、底面 $y=0$ は $B$ に、上面と $s$ の側面は $x_0$ に写る。 $r=0,1$ の両端は $A$ に写る。

全射性の証明と同じ順に、まず $e^a$ 、次に $e^b$ について区分的アフィン化する。最初の操作は底面と上面・側面を固定し、両端を $A$ 内で動かすので、両端の $(A,C)$ における類を変えない。第二の操作は $A$ 内の値を固定するので、両端を動かさない。

射影 $\pi(s,y,r)=(s,r)$ を用いる。 $p\in e^a$ を選ぶと $L=H^{-1}(p)$ は次元 $i+1-a$ 以下の凸多面体の有限和に含まれる。 $L$ を含む凸多面体の有限和を $\widehat L$ とすると、 $\pi^{-1}(\pi(\widehat L))$ の次元は高々 $i+2-a\leq b-1$ である。全射性の証明と同様に $q\in e^b$ を選ぶと、 $K=H^{-1}(q)$ と $L$ の射影は交わらない。

$Z$ を $\pi(L)$ と、 $s\in\partial I^{i-1}$ の部分と、 $r=0,1$ の両面との和とする。 $K$ は上面・側面・両端と交わらないので、 $Z\cap\pi(K)=\varnothing$ である。補題 1.2により高さ関数 $\lambda(s,r)$ を取る。この変形は $r$ を保ち、両端で $\lambda=0$ なので両端の写像を固定する。底面の値が $p$ を避ける理由は全射性の証明と同じである。終端では $H$ 全体が $q$ を避ける。

したがって、両端は対 $(X\setminus\{q\},X\setminus\{p,q\})$ の中でホモトピックである。この対を $(A,A\setminus\{p\})$ へ変位させると両端は固定される。包含 $(A,C)\to(A,A\setminus\{p\})$ は相対群の同型を誘導するので、二つの元は元の $\pi_i(A,C)$ でも等しい。▨

問題 6.2.補題 3.5 (2)の代表元の等式を確かめよ。

解答.

$f:(I^i,\partial I^i)\to(X,x_0)$ とする。 $F(s,y)=[f(s),(1+y)/2]$ は上面と側面を基点へ写し、底面で $\iota f$ に一致するので、 $\partial^{-1}\iota_*[f]$ を表す。

切除後の相対ホモトピーを $F_t(s,y)=\left[f(s),(1-t)\frac{1+y}{2}+ty\right]$ と定める。上面と側面では常に基点であり、底面の懸垂座標は $(1-t)/2\in[0,1/2]$ なので $C_-X$ に入る。したがってこれは相対ホモトピーである。終端は $[f(s),y]=e_f\tau(s,y)$ なので、 $\mathrm{exc}\,\partial^{-1}\iota_*[f]=j\tau^*E[f]$ を得る。▨

問題 6.3.補題 3.4 (2)の証明を完成させよ。

解答.

積の各胞体は $e\times\{0\}$ 、 $e\times(0,1/2)$ 、 $e\times\{1/2\}$ 、 $e\times(1/2,1)$ 、 $e\times\{1\}$ のいずれかである。両端のものと $e=\{x_0\}$ のものは商で一点になる。残るものが主張の三種類である。各半区間との積は、潰す部分と合わせて積の部分複体になるので、その商の像 $C_\pm X$ も部分複体となる。

両者の共通部分は中間の層 $X\times\{1/2\}$ の像と基点からなり、基点もその層の像に含まれる。 $\iota:X\to X_{1/2}$ は連続な全単射である。 $X_{1/2}$ の各特性写像は $X$ の特性写像に $\iota$ を合成したものなので、部分複体の弱位相による閉集合の判定は $X$ の判定と一致する。したがって $\iota$ は同相で、各胞体を対応する胞体へ写す。▨

§E21.49ホモトピー群の切除

1 胞体が二つの場合

2 相対ホモトピー群の切除

3 懸垂と切除の比較

4 Freudenthal の懸垂定理

5 写像度による分類

6 演習

参考文献

前提記事