§E21.2空間の構成と位相多様体

証明.$q^{-1}(q(W))=W$が開であるから、商写像の定義により$q(W)$は開である。$V\subseteq q(W)$に対し、$q^{-1}(V)=(q|_W)^{-1}(V)\subseteq W$である。$W$と$q(W)$が開であることから、

が成り立つ。▨

証明.主張 (1)を示す。$j_A,j_B$は連続写像の合成であり、$c\in C$に対して$q(\iota_A(c))=q(\iota_B(f(c)))$である。

主張 (2)を示す。$u|_C=v\circ f$とする。§E2.12 命題 7.2 (3)により、$u,v$は連続写像$h:A\sqcup B\to Y$を定める。$h$は同一視を生成する点の組で等しい値をとるので、§E1.3 補題 5.1により各同値類で一定である。§E2.12 定理 8.10により、$h=w\circ q$を満たす連続写像$w$が一意に存在する。逆に、$w$が存在すれば$u|_C=w\circ j_A|_C=w\circ j_B\circ f=v\circ f$である。▨

証明.命題 1.3 (2)を$C=\{a_0\}$、$f(a_0)=b_0$に適用する。▨

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。写像の対応は§E2.12 定理 8.10をそれぞれの商写像に適用して得る。

主張 (3)を示す。$X\ne\varnothing$なら、$X\times\{0\}$と$X\times\{1\}$は懸垂の同値関係の異なる類である。▨

証明.$(x,t)\mapsto[x,t]$は$X\times\{0\}$上で一定なので、系 2.2 (1)により連続写像$a:CX\to M_f$を誘導する。逆に、$X\times[0,1]\to CX$を商写像とし、$*\mapsto v$（$v$は錐の頂点）とすると、命題 1.3 (2)により連続写像$b:M_f\to CX$を得る。$b\circ a$と$a\circ b$は商写像との合成が恒等写像との合成に等しいので、両者は恒等写像である。▨

証明.主張 (1)を示す。$X\times[0,1]\to Y$、$(x,t)\mapsto f(x)$と$\id_Y$は接着点で一致するので、命題 1.3 (2)により$r$は連続である。$r\circ j=\id_Y$、$r\circ i=f$は式から従う。$j$は連続な左逆写像$r$をもつので埋め込みである。

$[0,1]$はコンパクトな距離空間であり、正則かつ局所コンパクトである。したがって§E2.37 定理 5.2により、写像柱の商写像と$\id_{[0,1]}$の積は商写像である。商の前の空間で

と定めた連続写像は、$t=0$で接着と両立する。§E2.12 定理 8.10により、連続写像$H:M_f\times[0,1]\to M_f$が定まり、

を満たす。§E21.1 命題 3.2により$j$はホモトピー同値写像であり、$H_s\circ i$が$i$と$j\circ f$を結ぶ。

主張 (2)を示す。$i$は連続な単射である。閉集合$F\subseteq X$に対し、$i(F)$の商写像による逆像は$F\times\{1\}$であり、$X\times[0,1]\sqcup Y$で閉である。よって$i(F)$は$M_f$で閉であるから、$i$は閉埋め込みである。▨

証明.補題 2.4により、$CX$は$X\to\{*\}$の写像柱と同相である。命題 2.5 (1)による変位は、その写像柱を$j(*)$へ収縮する。▨

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。両式は$S^1\times[0,1]$上で連続であり、潰す各端で一定である。系 2.2により、商からの連続写像を得る。錐の写像では、零以外の点$w\in D^2$は$t=\lVert w\rVert$、$z=w/\lVert w\rVert$によって一意に表される。懸垂の写像では、高さ$h\in(-1,1)$によって$t\in(0,1)$が一意に定まる。最初の二座標を$\sin(\pi t)$で割ると$z$を得る。両端の像もそれぞれ一つの同値類に対応するので、両写像は全単射である。定義域はコンパクト空間$S^1\times[0,1]$の連続像、値域は Hausdorff 空間であるから、§E2.19 定理 6.8により同相写像である。▨

証明. 式は$S^n\times[0,1]$上で連続であり、各端で一定なので、系 2.2 (2)により連続写像を誘導する。高さ$h\in(-1,1)$に対して$t=(h+1)/2$、$x=(\text{最初の }n+1\text{ 座標})/\sqrt{1-h^2}$が一意に定まり、両極の逆像はそれぞれ一方の端である。したがって全単射である。定義域はコンパクト、値域は Hausdorff であるから、§E2.19 定理 6.8を適用する。▨

証明.$B(c,\varepsilon)\subseteq C$となる$\varepsilon>0$をとる。

主張 (1)を示す。半直線と凸体の交わりについての主張により$\rho$は全単射である。$\partial C$はコンパクトであり、$\rho$は Hausdorff 空間$S^{d-1}$への連続写像なので、§E2.19 定理 6.8により同相写像である。

主張 (2)を示す。$g$は$D^d\setminus\{0\}$上で連続であり、$M=\max_{x\in C}\lVert x-c\rVert$とおくと$\lVert g(z)-c\rVert\le M\lVert z\rVert$であるから$0$でも連続である。半直線上の区間の表示により、$g$は全単射であり、球面を境界へ、開円板を内部へ写す。再び§E2.19 定理 6.8により同相写像である。▨

証明.命題 1.3 (2)を$A=D^n$、$C=S^{n-1}$、$B=X$に適用する。▨

証明.$z\in D^n\setminus\{p'\}$に対し

とおき、$\rho(z)=z+\lambda(z)(z-p')$と定める。$a>0$、$c\le0$なので$\lambda(z)\ge0$であり、$\lVert\rho(z)\rVert=1$である。$\lambda$と$\rho$は連続である。$z\in S^{n-1}$なら$b=1-\langle z,p'\rangle>0$なので$\lambda(z)=0$、$\rho(z)=z$である。

$L(z,t)=(1-t)z+t\rho(z)$とおく。凸性により$L(z,t)\in D^n$であり、$L(z,t)=p'+(1+t\lambda(z))(z-p')\ne p'$である。したがって$L$は$D^n\setminus\{p'\}$の中で定義され、境界を固定する。

$W=X\sqcup(D^n\setminus\{p'\})$は、$Y$を定める商写像の定義域の開かつ飽和な部分集合である。補題 1.1により、制限$q_W:W\to Y\setminus\{p\}$は商写像である。$[0,1]$は正則かつ局所コンパクトなので、§E2.37 定理 5.2により$q_W\times\id_{[0,1]}$も商写像である。$X$上で$j_X$、$D^n\setminus\{p'\}$上で$\chi\circ L_t$と定めた写像は境界で一致するため、商の普遍性により連続なホモトピー$H:(Y\setminus\{p\})\times[0,1]\to Y\setminus\{p\}$を誘導する。

商の普遍性により、$X$上で$\id_X$、$D^n\setminus\{p'\}$上で$\varphi\circ\rho$と定めた写像は連続写像$R:Y\setminus\{p\}\to X$を誘導する。$R\circ j_X=\id_X$なので$j_X$は埋め込みである。さらに$H_0=\id$、$H_1=j_X\circ R$、$H_t\circ j_X=j_X$である。$L$の値域の確認から、胞体の像を保つ性質も従う。▨

証明. 商の前の正方形または円板を$P$、商空間を$Q$、商写像を$q:P\to Q$とする。正方形の同値関係は、対角集合、有限個の辺の同一視のグラフとその逆、および頂点間の有限個の組の和である。円板の同値関係は、対角集合と境界上の対蹠写像のグラフの和である。いずれも$P\times P$の閉集合なので、§E2.19 補題 6.18により$Q$はコンパクト Hausdorff であり、$q$は閉写像である。各ファイバーはコンパクトであるから$q$は完全写像であり、§E2.20 系 3.2により$Q$は第二可算である。

$P$の内部の点には、境界と交わらない開円板をとる。その円板は飽和であり、同一視される点を含まないので、補題 1.1により像は開円板と同相な開集合である。

辺の内点には、同一視される二点の周りの小さい半円板をとる。辺に沿う座標を$u$、内向きの座標を$v\ge0$とする。二枚目の$u$座標を辺の同一視に従って選ぶと、同一視は$(u,0)\sim(u,0)$となる。二枚にそれぞれ$(u,v)\mapsto(u,v)$と$(u,v)\mapsto(u,-v)$を当てると、直径上で一致し、商から開円板への連続な全単射を得る。逆写像は開円板の閉上半分と閉下半分上の二写像の貼り合わせで連続である。半円板の対は$P$で開かつ飽和であるから、その商は$Q$の開集合である。実射影平面の境界点にも、対蹠な二点の近傍で円板の境界を直線にする座標を用いると、同じ構成を適用することができる。

円環面と Klein の壺では四頂点が同一視される。各頂点の周りに、同じ十分小さい半径の四分円板をとる。円環面では、左下、右下、右上、左上の順に四分円板を並べると、辺の同一視は隣接する半径を順に接着し、最後の半径と最初の半径を接着する。Klein の壺では、左下、右下、左上、右上の順に並べると同じ接着になる。辺の同一視は頂点からの距離を保つので、各四分円板に極座標$(r,\theta)$をとり、四枚の角度を順に$[0,\pi/2]$、$[\pi/2,\pi]$、$[\pi,3\pi/2]$、$[3\pi/2,2\pi]$に対応させる写像は、商から開円板への全単射を誘導する。この写像は商の普遍性で連続であり、逆写像は四つの閉扇形での写像を§E2.12 系 4.11により貼り合わせた連続写像である。四分円板の和は開かつ飽和なので、この商も$Q$の開集合である。以上の座標近傍により、$Q$は二次元の局所 Euclid 的な空間である。▨

証明.$s,s'\in[0,1]$に対し、$e^{2\pi is}=e^{2\pi is'}$であることは、$s=s'$または$\{s,s'\}=\{0,1\}$であるための必要十分条件である。したがって表示された写像のファイバーは、円環面を定める同値類に等しい。商の普遍性により連続な全単射$T^2\to S^1\times S^1$が定まる。命題 5.4により$T^2$はコンパクトであり、$S^1\times S^1$は Hausdorff なので、§E2.19 定理 6.8により同相写像である。▨

証明.$\Psi(0)=0$、$x\ne0$に対して$\Psi(x)=\lVert x\rVert_\infty x/\lVert x\rVert$とおく。$\Psi:[-1,1]^2\to D^2$は原点からの各半直線上で長さを線形に変える全単射である。$\lVert\Psi(x)\rVert=\lVert x\rVert_\infty$により原点でも連続であり、§E2.19 定理 6.8により同相写像である。$\Psi$は境界を境界へ写し、$\Psi(-x)=-\Psi(x)$を満たす。したがって$\Psi$とその逆写像は、それぞれ商の普遍性により商の間の互いに逆の連続写像を誘導する。▨