特異コホモロジーと完全列 | 位相幾何入門

1 特異余鎖と引き戻し

定義 1.1. $R$ を単位元を持つ可換環、 $M$ を $R$ 加群、 $X$ を位相空間とする。§E21.14 補題 1.3 (1)により、 $C_n(X;R)$ は特異単体の $\sigma\otimes1$ を基底とする自由 $R$ 加群である。

Hom 余鎖複体§E6.36 定義 1.1を用い、 $C^n(X;M)=\Hom_R(C_n(X;R),M),\qquad (\delta^n\varphi)(c)=\varphi(\partial_{n+1}c)$ と定める。これを特異 $n$ 余鎖加群 (singular n-cochain module)、その元を特異 $n$ 余鎖 (singular n-cochain)、 $\delta$ を余境界作用素 (coboundary operator) という。 $n<0$ では $C^n=0$ とする。Hom 余鎖複体の性質により $\delta^{n+1}\delta^n=0$ であり、 $H^n(X;M)=\ker\delta^n/\operatorname{im}\delta^{n-1}$ を係数 $M$ の第 $n$ 特異コホモロジー加群 (singular cohomology module) という。 $R$ の可換性により、各余鎖加群とコホモロジー加群は $M$ の作用から $R$ 加群となる。 $R=\Z$ がアーベル群係数、 $M=R$ が環係数の場合である。

注意 1.2.§E6.12 定理 15.1を基礎環 $\Z$ 、双加群 $R$ 、鎖群 $C_n(X;\Z)$ と $M$ に適用し、§E6.3 補題 4.5の一元基底での評価 $\Hom_R(R,M)\cong M$ を合成すると、自然な同一視

\Phi_X:C^n(X;M)\xrightarrow{\cong}\Hom_{\Z}(C_n(X;\Z),M), \qquad\Phi_X(\varphi)(c)=\varphi(c\otimes1)

を得る。§E6.12 定理 15.1 (1)と§E6.12 定理 15.1 (3)により、この同一視は境界、鎖写像および係数の準同型と可換である。相対鎖と小鎖を第一変数に取る場合も、同じ Hom–tensor 対応と評価を適用する。

命題 1.3. 単位元を持つ可換環 $R$ と $R$ 加群 $M$ を固定する。

連続写像 $f:X\to Y$ とその鎖写像 $f_\#$ に対して、 $f^\#\varphi=\varphi\circ f_\#$ は余鎖写像 $C^\bullet(Y;M)\to C^\bullet(X;M)$ であり、 $R$ 線形写像 $f^*:H^n(Y;M)\to H^n(X;M)$ を誘導する。
連続写像 $g:Y\to Z$ に対して $(gf)^*=f^*g^*$ であり、 $(\operatorname{id}_X)^*=\operatorname{id}$ である。
$R$ 線形写像 $u:M\to M'$ に対して、 $u_\#\varphi=u\circ\varphi$ は余鎖写像である。その誘導写像を $u_*:H^n(X;M)\to H^n(X;M')$ と書くと、 $u_*f^*=f^*u_*$ である。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)を示す。§E21.14 命題 1.4の鎖写像と係数の写像に§E6.36 補題 1.2を適用する。前合成と後合成は可換な余鎖写像であり、前合成は合成順序を反転して恒等写像と合成を保つ。§E6.33 命題 4.2によりコホモロジーへ移すと、各等式を得る。▨

2 相対余鎖と次数ごとの分裂

定義 2.1. $A\subseteq X$ とする。係数付き相対鎖複体§E21.15 定義 2.3の Hom 余鎖複体を

C^\bullet(X,A;M)=\Hom_R(C_\bullet(X,A;R),M)

と書き、その各項を相対 $n$ 余鎖加群 (relative n-cochain module) という。そのコホモロジーを $H^n(X,A;M)$ と書き、相対コホモロジー加群 (relative cohomology module) という。

補題 2.2.

商鎖写像 $q:C_\bullet(X;R)\to C_\bullet(X,A;R)$ との前合成 $j^\#$ は単射な余鎖写像である。その像は、像が $A$ に含まれるすべての特異単体 $\sigma$ で $\varphi(\sigma\otimes1)=0$ となる余鎖の部分複体である。この同一視のもとで相対余境界は $\delta$ の制限であり、 $A=\varnothing$ ならば $C^\bullet(X,\varnothing;M)=C^\bullet(X;M)$ である。

証明. $q$ は全射な鎖写像なので、前合成は単射であり、§E6.36 補題 1.2により余鎖写像である。商加群の普遍性により、その像は $\ker q=C_n(A;R)$ 上で零となる準同型の全体である。§E21.15 補題 1.3 (1)と§E21.14 補題 1.3 (1)により、この核は像が $A$ に含まれる特異単体の基底元で生成される。よって表示した条件と一致する。余鎖写像の像なので $\delta$ で保たれ、微分は制限である。空集合の鎖群は零なので最後の等式も従う。▨

命題 2.3.

対の写像 $f:(X,A)\to(Y,B)$ は、 $f^\#\varphi=\varphi\circ f_\#$ により相対余鎖写像を定め、 $R$ 線形写像 $f^*:H^n(Y,B;M)\to H^n(X,A;M)$ を誘導する。相対余鎖を絶対余鎖の部分複体とみると、 $f^\#$ は絶対の引き戻しの制限である。恒等写像と合成を保ち、合成の向きは反転する。

証明.§E21.15 命題 2.4 (1)の相対鎖写像へ§E6.36 補題 1.2を適用し、コホモロジーを取る。商写像と $f_\#$ は可換なので、前合成も可換であり、相対余鎖の同一視のもとで絶対の引き戻しの制限になる。合成と恒等写像の主張も、Hom 余鎖複体の前合成の性質による。▨

命題 2.4.

像が $A$ に含まれない特異 $n$ 単体の基底元が張る部分加群を $F_n(X,A;R)$ とすると、 $C_n(X;R)=C_n(A;R)\oplus F_n(X,A;R)$ である。 $A$ の余鎖を $F_n$ 上で零として延長する写像を $s_n$ とすると、各次数で $0\longrightarrow C^n(X,A;M)\xrightarrow{j^\#}C^n(X;M) \xrightarrow{i^\#}C^n(A;M)\longrightarrow0$ は $s_n$ を切断とする分裂短完全列である。
$X=[0,1]$ 、 $A=\{0,1\}$ 、 $R=M=\Z$ では、 $i^\#s^n=\operatorname{id}$ と $\delta s^n=s^{n+1}\delta$ を全次数で満たす準同型の族 $s^n:C^n(A;\Z)\to C^n(X;\Z)$ は存在しない。

証明.主張 (1)を示す。特異単体の基底を、像が $A$ に含まれるものとそれ以外に分けると、主張 (1)の直和分解を得る。零による延長 $s_n$ は $R$ 線形であり、 $i^\#s_n=\operatorname{id}$ を満たす。制限の核は $A$ 上で零となる余鎖であり、前の補題の $j^\#$ の像である。したがって短完全性と分裂を得る。主張 (2)の証明は問題 7.1 (1)の演習とする。解答は解答 (1)にある。▨

例 2.5. $0\to2\Z\to\Z\to\Z/2\Z\to0$ は分裂しない。 $\Z/2\Z$ から $\Z$ への準同型は位数二の元を零へ送るので、商写像の切断にはならない。また、 $2\Z\to\Z$ の準同型 $2\mapsto1$ は $\Z\to\Z$ に延長することができない。延長があれば $1=2f(1)$ となるためである。部分群が自由であることだけでは余鎖の延長を保証しない。相対特異鎖では、部分空間の鎖群が基底の部分集合で張られることを用いた。

3 対の長完全列

定理 3.1 (対のコホモロジー長完全列). 単位元を持つ可換環 $R$ 、 $R$ 加群 $M$ 、対 $(X,A)$ に対して、次が成り立つ。

包含 $i:A\hookrightarrow X$ から自然な完全列 $\cdots\to H^n(X,A;M)\xrightarrow{j^*}H^n(X;M) \xrightarrow{i^*}H^n(A;M)\xrightarrow{\beta}H^{n+1}(X,A;M)\to\cdots$ を得る。 $A$ のコサイクル $\alpha$ を $X$ の余鎖 $\widetilde\alpha$ へ延長すると、連結準同型は $\beta[\alpha]=[\delta\widetilde\alpha]$ で与えられる。
この列は対の写像による引き戻しと、係数の $R$ 線形写像に関して自然である。

証明.主張 (1)を示す。相対余鎖の短完全列の三つの写像は余境界と可換なので、余鎖複体の短完全列を得る。§E6.33 命題 4.2によって次数を反転した鎖複体とみなし、§E6.34 定理 2.2を適用すると完全列を得る。その連結準同型の代表元公式で持ち上げを $\widetilde\alpha$ と選ぶと、 $i^\#\delta\widetilde\alpha=\delta\alpha=0$ なので、相対余鎖 $\delta\widetilde\alpha$ が連結像を表す。

主張 (2)の自然性は短完全列の可換図式に§E6.34 命題 2.3を適用したものである。▨

4 ホモトピー不変性と切除

命題 4.1. 対の写像 $f:(X,A)\to(Y,B)$ がすべての次数で整数係数ホモロジーの同型を誘導するとする。このとき、任意の単位元を持つ可換環 $R$ と $R$ 加群 $M$ に対し、 $f^*:H^n(Y,B;M)\to H^n(X,A;M)$ はすべての次数で同型である。

証明. 整数係数相対鎖は、像が部分空間に含まれない特異単体を基底とする自由アーベル群であり、負次数では零である。したがって $f_\#:C_\bullet(X,A)\to C_\bullet(Y,B)$ は非負自由複体の擬同型である。§E6.35 補題 3.1 (2)により、その双対 $\Hom_{\Z}(f_\#,M)$ は余鎖ホモトピー同値であり、コホモロジーの同型を誘導する。

§E6.12 定理 15.1と一元基底での評価を相対鎖へ適用すると、両側の係数 $M$ の相対余鎖は、この整数係数鎖の Hom 複体に同一視される。第一変数の自然性により、この同一視のもとで $f^\#$ は $\Hom_{\Z}(f_\#,M)$ に対応するので、求める同型を得る。▨

注意 4.2. 同じ整数係数の仮定から、係数 $M$ の相対ホモロジーの同型も得られる。その主張は§E21.15 命題 4.1 (2)である。

系 4.3. $R$ を単位元を持つ可換環、 $M$ を $R$ 加群とする。

対の写像 $f,g:(X,A)\to(Y,B)$ が対のホモトピーで結ばれるならば、係数 $M$ のホモロジーとコホモロジーで $f_*=g_*$ 、 $f^*=g^*$ である。対のホモトピー同値は両方の同型を誘導する。
$Z\subseteq A\subseteq X$ と $\overline Z\subseteq\tpint[X]{A}$ に対して、包含は同型 $H^n(X,A;M)\to H^n(X\setminus Z,A\setminus Z;M)$ を誘導する。

証明.主張 (1)を示す。対のホモトピーは各時刻で $A$ を $B$ に送るので、§E21.13 定義 3.1の角柱作用素は $C_\bullet(A)$ を $C_{\bullet+1}(B)$ に送り、相対鎖に降りる。恒等式§E21.13 命題 3.2 (1)の $\partial P+P\partial=g_\#-f_\#$ は相対鎖でも成り立つ。係数 $M$ をテンソルすると鎖ホモトピーを得るので、ホモロジーの誘導写像は等しい。係数 $R$ をテンソルした鎖写像への前合成に§E6.36 補題 1.2を適用すると、コホモロジーの誘導写像も等しい。ホモトピー逆があれば、恒等写像と合成の関手性から同型になる。

主張 (2)を示す。切除定理§E21.17 定理 1.1により包含が整数係数ホモロジーの同型を誘導する。前の命題をこの対の写像に適用すればよい。▨

5 開被覆の Mayer–Vietoris 完全列

定理 5.1 (コホモロジーの Mayer–Vietoris 完全列). $X=U\cup V$ を二つの開集合による被覆、 $R$ を単位元を持つ可換環、 $M$ を $R$ 加群とする。このとき自然な完全列

\cdots\to H^n(X;M)\xrightarrow{(r_U,r_V)}H^n(U;M)\oplus H^n(V;M) \xrightarrow{d}H^n(U\cap V;M)\xrightarrow{\partial_{MV}}H^{n+1}(X;M)\to\cdots

がある。 $i:U\cap V\hookrightarrow U$ 、 $j:U\cap V\hookrightarrow V$ とすると、 $d(\alpha,\beta)=i^*\alpha-j^*\beta$ である。

証明. 整数係数の小鎖複体を $S=C_\bullet(U)+C_\bullet(V)$ とする。§E21.18 補題 1.1の短完全列は

0\to C_\bullet(U\cap V)\xrightarrow{\kappa}C_\bullet(U)\oplus C_\bullet(V) \xrightarrow{\lambda}S\to0, \qquad\kappa(c)=(c,-c),\quad\lambda(a,b)=a+b

である。各次数で、小単体の像が $U$ に入るなら $U$ 側へ、それ以外なら $V$ 側へ送る写像は $\lambda$ の切断である。分裂補題§E6.8 命題 3.2により $\kappa$ はレトラクションを持つので、 $\kappa^*$ は全射である。§E6.12 命題 4.1 (2)と合わせて、余鎖複体の短完全列

0\to\Hom_{\Z}(S,M)\xrightarrow{\lambda^*} \Hom_{\Z}(C_\bullet(U),M)\oplus\Hom_{\Z}(C_\bullet(V),M) \xrightarrow{\kappa^*}\Hom_{\Z}(C_\bullet(U\cap V),M)\to0

を得る。ここで Hom の各項は、係数の Hom–tensor 対応と評価により係数 $M$ の余鎖に同一視される。その自然性により $\lambda^*$ は二つの制限、 $\kappa^*$ は制限の差に対応する。

小鎖の包含の双対は§E21.16 定理 2.3 (3)により余鎖ホモトピー同値なので、 $H^n(\Hom_{\Z}(S,M))$ は $H^n(X;M)$ と自然に同型である。上の短完全列に一般の長完全列を適用し、この同型を通じて連結準同型を移すと、主張の列を得る。被覆を保つ写像と係数写像は短完全列と可換なので、列の自然性も従う。▨

命題 5.2. $X$ を位相空間、 $U,V\subseteq X$ を開集合、 $G$ をアーベル群とする。 $S=C_\bullet(U)+C_\bullet(V)$ 、 $K^\bullet=\Hom_{\Z}(C_\bullet(X)/S,G)$ と置く。

$U\cup V=X$ を仮定せず、自然な完全列 $\cdots\to H^k(X,U\cup V;G)\to H^k(X,U;G)\oplus H^k(X,V;G) \to H^k(X,U\cap V;G)\xrightarrow{\partial}H^{k+1}(X,U\cup V;G)\to\cdots$ がある。最初の写像は二つの制限を並べた対角写像、次の写像は制限の差である。連結写像は、コサイクル $\omega$ を $\omega=\varphi-\psi$ 、 $\varphi\in C^k(X,U;G)$ 、 $\psi\in C^k(X,V;G)$ と書き、 $[\delta\varphi]=[\delta\psi]\in H^{k+1}(K^\bullet)$ を、商鎖写像による比較同型 $H^{k+1}(X,U\cup V;G)\cong H^{k+1}(K^\bullet)$ の逆で戻した類で与えられる。

証明. 相対余鎖を絶対余鎖の部分複体とみると、対角写像と差写像により

0\to K^\bullet\xrightarrow{\eta}C^\bullet(X,U;G)\oplus C^\bullet(X,V;G) \xrightarrow{d}C^\bullet(X,U\cap V;G)\to0, \qquad\eta(\xi)=(\xi,\xi),\quad d(\varphi,\psi)=\varphi-\psi

を得る。差写像の核は $U$ と $V$ の両方の鎖上で零となる余鎖の全体と同一視され、 $S$ 上で零となる $K^\bullet$ に等しい。全射性を示すため、 $\omega\in C^k(X,U\cap V;G)$ の特異単体での値を、像が $V$ に含まれる単体ではそのまま、それ以外では零とする余鎖 $\varphi$ を取る。像が $U$ に含まれる単体では、像が $V$ にも含まれる場合は $\omega$ の値が零であり、それ以外は定義から零である。よって $\varphi|_{C_*(U)}=0$ である。 $\psi=\varphi-\omega$ と置くと $\psi|_{C_*(V)}=0$ であり、 $\omega=\varphi-\psi$ を得る。この選択は加法的なので、短完全列は次数ごとに分裂する。

§E21.18 命題 1.6 (1)により、商鎖写像 $q:C_\bullet(X)/S\to C_\bullet(X,U\cup V)$ は鎖ホモトピー同値である。§E6.36 補題 1.2をホモトピー逆とそのホモトピーに適用すると、 $q^*:C^\bullet(X,U\cup V;G)\to K^\bullet$ は余鎖ホモトピー同値となる。この比較同型を上の短完全列の長完全列に適用すると、主張の列を得る。

$\delta\omega=0$ ならば $\delta\varphi=\delta\psi$ であり、この共通の余鎖は $S$ 上で零となる。一般の連結準同型の公式は、その $K^\bullet$ での類を与える。これを $q^*$ の誘導同型の逆で戻すと表示した式になる。 $\delta\varphi$ は一般には $C_\bullet(U\cup V)$ 上で零とは限らないので、比較を経ずに $C^\bullet(X,U\cup V;G)$ の元とみなしてはいない。すべての短完全列と商写像は開部分集合を保つ写像と可換なので、長完全列は自然である。▨

6 一点と零次のコホモロジー

補題 6.1. $R$ を単位元を持つ可換環、 $M$ を $R$ 加群とする。

一点 $*$ の唯一の特異 $n$ 単体を $\sigma_n$ とすると、 $n>0$ で $\partial\sigma_n=\sigma_{n-1}$ （ $n$ が偶数）、 $\partial\sigma_n=0$ （ $n$ が奇数）である。 $i:R[0]\to C_\bullet(*;R)$ 、 $i(1)=\sigma_0$ と、零次で $\sigma_0\mapsto1$ 、正の次数で零とする $p:C_\bullet(*;R)\to R[0]$ に対し、 $h_n(\sigma_n)=\sigma_{n+1}$ （ $n$ が奇数）、 $h_n(\sigma_n)=0$ （ $n$ が偶数）は $\partial h+h\partial=1-ip$ を満たす。よってこの鎖複体は $R[0]$ へ鎖変形収縮する。
$H^0(*;M)\cong M$ 、 $H^n(*;M)=0$ （ $n>0$ ）である。

証明.主張 (1)を示す。各面は唯一の $(n-1)$ 単体なので、境界の係数は $\sum_{j=0}^n(-1)^j$ である。これは $n$ が偶数なら一、奇数なら零である。 $n>0$ が奇数なら $\partial h_n(\sigma_n)=\sigma_n$ 、 $h_{n-1}\partial\sigma_n=0$ である。 $n>0$ が偶数なら前者は零、後者は $\sigma_n$ である。零次では両者は零であり、 $1-ip=0$ でもある。したがって主張 (1)の恒等式が成り立ち、 $pi=1$ と合わせて鎖変形収縮を得る。

主張 (2)を示す。§E6.36 補題 1.2により、 $\Hom_R(i,M)$ と $\Hom_R(p,M)$ はコホモロジーで互いに逆な写像を誘導する。 $\Hom_R(R[0],M)$ は零次の $\Hom_R(R,M)\cong M$ だけからなるので、主張 (2)を得る。▨

命題 6.2.

$R$ を単位元を持つ可換環、 $M$ を $R$ 加群、 $X$ を空でない弧状連結空間とする。 $x_0\in X$ での零コサイクルの値による写像 $H^0(X;M)\to M$ は同型である。

証明. 零余鎖は点ごとに $M$ の元を与える関数である。道 $\sigma:x\to y$ に対して $(\delta\varphi)(\sigma)=\varphi(y)-\varphi(x)$ なので、零コサイクルは道で結ばれる点で同じ値を取る。弧状連結性により定数であり、逆に定数の零余鎖はコサイクルである。負一次の余鎖は零なので零余境界も零であり、 $x_0$ での評価と定数関数を対応させる写像が互いに逆になる。▨

7 演習

問題 7.1.

$X=[0,1]$ 、 $A=\{0,1\}$ 、 $R=M=\Z$ とする。すべての次数で $i^\#s^n=\operatorname{id}$ と $\delta s^n=s^{n+1}\delta$ を満たす準同型の族 $s^n:C^n(A;\Z)\to C^n(X;\Z)$ が存在しないことを示し、命題 2.4 (2)の証明を完成させよ。
対のコホモロジー長完全列の $\beta[\alpha]=[\delta\widetilde\alpha]$ が延長 $\widetilde\alpha$ の選び方によらないことを、長完全列の一般論を使わずに示せ。

解答.

$\alpha(0)=0$ 、 $\alpha(1)=1$ である $A$ の零余鎖を取る。離散空間 $A$ 内の道は定値なので $\delta\alpha=0$ である。条件を満たす切断があれば $\delta s^0\alpha=s^1\delta\alpha=0$ となる。一方、恒等道 $\sigma:[0,1]\to X$ に対し、制限が $\alpha$ に一致することから $(\delta s^0\alpha)(\sigma)=s^0\alpha(1)-s^0\alpha(0)=1$ となり矛盾する。
二つの延長 $\widetilde\alpha,\widetilde\alpha'$ の差 $\theta$ は $A$ 上で零なので相対余鎖である。両者の余境界の差は $\delta\theta$ であり、これは相対複体の余境界である。したがって両者は同じ相対コホモロジー類を与える。

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問題 7.2. 開被覆 $X=U\cup V$ の整数係数鎖について、 $\kappa'(c)=(c,c)$ 、 $\lambda(a,b)=a+b$ 、 $\lambda'(a,b)=a-b$ とする。

$U\cap V\neq\varnothing$ ならば $\lambda\kappa'\neq0$ であることを示せ。
$0\to C_\bullet(U\cap V)\xrightarrow{\kappa'}C_\bullet(U)\oplus C_\bullet(V)\xrightarrow{\lambda'}C_\bullet^{U,V}(X)\to0$ も短完全列であることを示せ。
コホモロジーの Mayer–Vietoris 列の写像 $(r_U,r_V)$ と $d$ を、 $(r_U,-r_V)$ と $(\alpha,\beta)\mapsto i^*\alpha+j^*\beta$ に替えた列も完全であることを示せ。