§E21.28向きと閉曲面の基本類

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曲面の多角形表示では、辺の貼り合わせの向きから、曲面全体に整合的な向きを入れることができるかどうかを調べる。しかし、向きを曲面そのものの性質として扱うには、選んだ多角形表示に依存しない記述が必要となる。局所ホモロジーによる向きと基本類は、各点の近傍での向きを曲面全体の二次ホモロジーに結びつける基本的な概念である。たとえば、球面に外向きの向きを入れると、二次ホモロジーの生成元が一つ定まる。本記事では、閉曲面の向きと基本類、および写像との関係を解説する。

1 局所向きとその整合性

補題 1.1. 境界を持たない曲面MM、開集合O⊆MO\subseteq Mとx∈Ox\in Oに対し、xxの座標近傍内の閉円板B⊆OB\subseteq Oと、BBに含まれるxxの開近傍VVが存在し、すべてのy∈Vy\in Vについて包含による写像

H2(M,M∖B;Z)⟶H2(M,M∖{y};Z)H_2(M,M\setminus B;\Z)\longrightarrow H_2(M,M\setminus\{y\};\Z)

は無限巡回群の同型である。とくに、α,α′∈H2(M,M∖O;Z)\alpha,\alpha'\in H_2(M,M\setminus O;\Z)の像があるy∈Vy\in Vで一致して生成元であれば、すべてのy∈Vy\in Vで一致して生成元である。

証明.xxの座標近傍をOO内に取り、座標像でh(x)h(x)を中心とする半径ρ\rhoと2ρ2\rhoの閉円板D⊂E˚D\subset\mathring Eを選ぶ。B=h−1(D)B=h^{-1}(D)、V=h−1(D˚)V=h^{-1}(\mathring D)とする。§E21.17 定理 1.1で座標円板の外を切除し、座標の同相を用いると、問題の写像は

H2(E,E∖D)⟶H2(E,E∖{h(y)})H_2(E,E\setminus D)\longrightarrow H_2(E,E\setminus\{h(y)\})

に同一視される。切除の条件は、除く部分の閉包がBBから離れ、M∖BM\setminus Bの内部に含まれることによる。

h(y)∈D˚h(y)\in\mathring Dから外向きに放射状に動かす変位により、E∖DE\setminus DとE∖{h(y)}E\setminus\{h(y)\}はともに∂E\partial Eへ変位レトラクトする。DDが凸でh(y)h(y)を内部に含むため、DDの外にある点をこの半直線に沿って外向きに動かしてもDDに入らない。この二つの変位は∂E\partial E上で恒等であり、包含E∖D→E∖{h(y)}E\setminus D\to E\setminus\{h(y)\}はホモロジーの同型を誘導する。§E21.15 補題 2.6 (3)により、上の対の写像も同型を誘導する。終域が無限巡回群であることは§E21.27 命題 1.3による。

B⊆OB\subseteq Oなので、最後の主張の各写像はH2(M,M∖B)H_2(M,M\setminus B)を経由する。ある一点での像が同じ生成元ならば、同型の逆によってこの中間群での像も同じ生成元となる。ほかの点への写像も同型なので、結論が従う。▨

定義 1.2. 曲面MMとx∈Mx\in Mに対し、§E21.27 命題 1.3の無限巡回群H2(M,M∖{x};Z)H_2(M,M\setminus\{x\};\Z)の生成元を、xxにおける 局所向き (local orientation) という。

局所向きの選択(ox)x∈M(o_x)_{x\in M}が 整合的 (consistent) であるとは、任意のxxに対して連結な開近傍UUとoU∈H2(M,M∖U;Z)o_U\in H_2(M,M\setminus U;\Z)が存在し、すべてのy∈Uy\in Uについて包含による写像がoUo_Uをoyo_yへ送ることをいう。整合的な選択をMMの 向き (orientation) といい、向きを持つ曲面を 向きづけ可能 (orientable) という。

命題 1.3. 曲面の同相写像f:M→Nf:M\to Nは、各点で同型H2(M,M∖{x})≅H2(N,N∖{f(x)})H_2(M,M\setminus\{x\})\cong H_2(N,N\setminus\{f(x)\})を誘導する。これによって向きは向きへ移り、向きづけ可能性は同相写像で保たれる。とくに、向きづけ可能性は胞体分解の取り方によらない。

証明.ffは各対の同相なので、相対ホモロジーの関手性により同型を誘導し、生成元を生成元へ送る。UUとoUo_UがMMの向きの整合性を与えるならば、連結な開集合f(U)f(U)とf∗oUf_*o_Uを取る。各点への包含による写像はf∗f_*と可換なので、これらは移した局所向きの整合性を与える。逆向きはf−1f^{-1}に同じ議論を適用する。定義は局所ホモロジーと包含写像だけを用いているので、胞体分解を選ぶ必要はない。▨

2 三角形の向き

補題 2.1. 閉曲面MMの有限三角形分割(K,h)(K,h)を取り、M=∣K∣M=|K|と同一視する。頂点に全順序を固定し、向き付き単体を§E21.12 補題 3.5 (2)によって特異鎖とみなす。

  1. 向き付き二単体σ\sigmaとy∈σ˚y\in\mathring\sigmaに対して、σ\sigmaは対(M,M∖{y})(M,M\setminus\{y\})の相対サイクルであり、その類[σ]y[\sigma]_yはH2(M,M∖{y})H_2(M,M\setminus\{y\})の生成元である。

証明.∂σ\partial\sigmaはyyを含まない辺の鎖なので、σ\sigmaは相対サイクルである。§E21.27 補題 1.4 (1)によりσ˚\mathring\sigmaは開であり、閉単体σ\sigmaはyyの近傍である。局所ホモロジーの切除により、対(σ,σ∖{y})(\sigma,\sigma\setminus\{y\})へ移すことができる。特性写像は標準単体との同相なので、さらに(Δ2,Δ2∖{p})(\Delta^2,\Delta^2\setminus\{p\})、p∈Δ˚2p\in\mathring\Delta^2、へ移る。

ppからの放射状の変位はΔ2∖{p}\Delta^2\setminus\{p\}を∂Δ2\partial\Delta^2へ変位レトラクトする。したがって対の写像はH2(Δ2,∂Δ2)≅H2(Δ2,Δ2∖{p})H_2(\Delta^2,\partial\Delta^2)\cong H_2(\Delta^2,\Delta^2\setminus\{p\})を誘導する。§E21.24 補題 3.1 (1)により[id⁡Δ2][\operatorname{id}_{\Delta^2}]は前者の生成元であるから、その像である[σ]y[\sigma]_yも生成元である。向きを反転した場合はその負が対応する。▨

命題 2.2. 連結閉曲面MMについて、次の条件は同値である。

  1. MMは局所向きの意味で向きづけ可能である。
  2. ある有限三角形分割が存在し、そのすべての二単体に、共有辺上で互いに反対の向きを誘導するように向きを入れることができる。
  1. MMが向き(ox)(o_x)を持つならば、任意の有限三角形分割の各二単体σ\sigmaには、すべてのy∈σ˚y\in\mathring\sigmaで[σ]y=oy[\sigma]_y=o_yとなる向きがただ一つ入り、これらは共有辺で反対の向きを誘導する。整合的な三角形の向きが存在する場合、一枚の向きを指定すると全体の向きが一意に決まる。

証明.MMが空ならば条件はいずれも空の選択によって満たされる。以下M≠∅M\neq\varnothingとする。局所向き(ox)(o_x)を与え、有限三角形分割を一つ取る。二単体σ\sigmaに仮の向きを入れると、補題 2.1 (1)により、その内部で[σ]y[\sigma]_yとoyo_yは符号だけ異なる。σ\sigmaは対(M,M∖σ˚)(M,M\setminus\mathring\sigma)の相対サイクルであり、向きの整合性の類と同じ相対群へ送って比較することができる。補題 1.1によりこの符号は局所定数であり、σ˚\mathring\sigmaは連結なので一定である。必要なら向きを反転し、内部のすべての点で局所向きと一致させる。この向きは一意である。

共有辺eeに接する二枚の三角形σ,τ\sigma,\tauを、このように向きづける。x∈e˚x\in\mathring eの近傍WWを、ほかの辺と頂点を避けるように取る。∂(σ+ετ)\partial(\sigma+\varepsilon\tau)のeeの係数を零にする符号ε∈{1,−1}\varepsilon\in\{1,-1\}を選ぶと、σ+ετ\sigma+\varepsilon\tauは対(M,M∖W)(M,M\setminus W)の相対サイクルである。向きの整合性を与えるxxの開近傍UUとoUo_Uを取り、両類をU∩WU\cap Wの相対群へ送る。局所定数性の補題をxxに適用し、その近傍VV内のσ˚\mathring\sigmaの点で比較すると、両者の像は同じ生成元である。したがってV∩τ˚V\cap\mathring\tauの点でも一致し、ε[τ]y=oy=[τ]y\varepsilon[\tau]_y=o_y=[\tau]_yとなる。生成元の位数は無限なのでε=1\varepsilon=1である。よって共有辺の境界向きは反対である。

逆に三角形に整合的な向きを与え、c=∑σσc=\sum_\sigma\sigmaと置く。各辺にはちょうど二枚が接し、境界の係数が相殺するので∂c=0\partial c=0である。oxo_xを[c][c]のH2(M,M∖{x})H_2(M,M\setminus\{x\})への像とする。任意のxxのまわりで局所定数性の補題をO=MO=Mに適用する。その開近傍VVはある三角形の内部と交わる。実際、xxを含む二単体の内部の点はxxに近づくことができるからである。そのような点yyでは、ほかの三角形は相対鎖で消えるのでoy=[σ]yo_y=[\sigma]_yは生成元である。補題の同型により、VVのすべての点でもoxo_xは生成元となる。整合性の類には、大域的な[c][c]の各H2(M,M∖U)H_2(M,M\setminus U)への像を取ればよい。

最後に、共有辺で反対の境界向きを誘導するという条件により、片方の三角形の向きから他方の向きが一意に定まる。§E21.27 補題 1.4 (3)の連結性により、一枚の向きからすべての三角形の向きが一意に定まる。▨

命題 2.3. 曲面の語wwの多角形表示PwP_wが向きづけ可能であるための必要十分条件は、wwの各文字が反対符号で一度ずつ現れることである。すなわち、空間の向きづけ可能性と語の向きづけ可能性は一致する。とくにS2S^2とΣg\Sigma_g、g≥1g\geq1、は向きづけ可能であり、NhN_h、h≥1h\geq1、は向きづけ可能でない。

証明.§E21.12 命題 4.1 (1)の三角形分割を用いる。円板内の三角形に平面の向きを入れると、内部の共有辺では反対の境界向きを誘導する。貼り合わされる境界小辺では、元の語の指数が反対ならば媒介変数が反転するので、誘導する向きも反対になる。指数が同じならば媒介変数が保たれるので、誘導する向きは同じになる。したがって、向きづけ可能な語については三角形の向きが整合するので、前の命題により、得られる空間は向きづけ可能である。

逆にPwP_wに向きがあれば、前の命題によりこの分割の三角形に整合的な向きが入る。円板の分割の三角形は内部の辺だけを通じて互いにつながる。実際、中心の扇形の三角形は巡回してつながり、各外側の三角形は内側の三角形へつながる。よって整合的な向きは円板の平面の向き、またはその一斉反転に限られる。同符号の辺の対があれば、その境界小辺で向きが一致して整合性に反する。したがってすべての対は反対符号である。

標準語については§E21.7 補題 6.2 (3)を用いる。球面は反対符号の語aa−1aa^{-1}の多角形表示と同相なので、同相不変性により向きづけ可能である。▨

3 基本類

定理 3.1.MMを空でない連結閉曲面とする。

  1. MMに向き(ox)(o_x)が与えられているとする。有限三角形分割の各二単体に局所向きと一致する向きを入れると、cM=∑σ∈K2σc_M=\sum_{\sigma\in K_2}\sigmaはサイクルであり、その類はH2(M;Z)≅ZH_2(M;\Z)\cong\Zの生成元である。この類は、各点の局所ホモロジーへ指定したoxo_xとして写る唯一の類であり、MMの 基本類 (fundamental class)[M][M]という。基本類は三角形分割によらず、すべての局所向きを反転すると−[M]-[M]になる。
  2. MMが向きづけ可能でなければ、H2(M;Z)=0H_2(M;\Z)=0である。

証明.主張 (1)を示す。命題 2.2 (1)で二単体を向きづける。各辺の二枚の境界は相殺するのでcMc_Mはサイクルである。一般の二次サイクル∑nσσ\sum n_\sigma\sigmaについて、共有辺の係数が零である条件は隣り合う二枚の係数が等しいことである。双対隣接グラフは連結なので、すべての係数が一つの整数に等しい。三次の単体はないから、H2Δ(M)=Z[cM]H_2^\Delta(M)=\Z[c_M]であり、§E21.24 定理 3.2によりH2(M;Z)=Z[cM]H_2(M;\Z)=\Z[c_M]である。

三角形の内点yyでは[cM]y=[σ]y=oy[c_M]_y=[\sigma]_y=o_yである。任意の点xxについて、向きの整合性を与えるU,oUU,o_Uを取る。[cM][c_M]のH2(M,M∖U)H_2(M,M\setminus U)への像とoUo_Uに局所定数性の補題を適用し、その近傍内の三角形の内点で比べると、両者は同じ生成元である。したがってxxでも[cM]x=ox[c_M]_x=o_xである。各点への写像は生成元[cM][c_M]を生成元へ送るので単射であり、この局所像を持つ類は一意である。特徴づけが分割に依存しないことと、負の類が反転した局所向きを持つことから、分割の独立性と符号の主張を得る。

主張 (2)を示す。二単体に任意の向きを入れ、二次サイクルz=∑nσσz=\sum n_\sigma\sigmaを取る。隣り合う二枚の係数は符号を除いて等しいので、その絶対値は双対グラフ全体で一定である。その絶対値をmmとする。m>0m>0ならば、係数が負の三角形の向きを反転すると、zzはすべての係数がmmのサイクルとなる。境界が零であることから各共有辺で反対の向きを誘導するので、前の命題によりMMは向きづけ可能となる。これは仮定に反するのでm=0m=0、z=0z=0である。単体的ホモロジーと特異ホモロジーの比較によりH2(M;Z)=0H_2(M;\Z)=0を得る。▨

例 3.2. 球面の外向きの向きは基本類[S2][S^2]を定める。標準閉曲面Σg\Sigma_gは向きづけ可能であり、§E21.22 命題 4.2 (5)の胞体分解では、各辺が反対符号で現れるので二胞体の境界は零である。二胞体の内部の向きをΣg\Sigma_gの局所向きに合わせると、その胞体のサイクルは基本類を表す。実際、胞体比較と相対類への写像の自然性により、その内点での局所像は指定した生成元であり、基本類の一意性から一致する。二胞体の向きが逆ならば−[Σg]-[\Sigma_g]を表す。

NhN_hは向きづけ可能でなく、その標準二胞体の境界は2(e1+⋯+eh)2(e_1+\cdots+e_h)なので、二胞体自体はサイクルでない。これは§E21.27 命題 5.1のH2(Nh;Z)=0H_2(N_h;\Z)=0と一致する。

4 向きづけられた閉曲面の写像度

定義 4.1.M,NM,Nを向きづけられた空でない連結閉曲面、f:M→Nf:M\to Nを連続写像とする。基本類による同型βN:Z→H2(N;Z)\beta_N:\Z\to H_2(N;\Z)、d↦d[N]d\mapsto d[N]を用いて、

deg⁡f=βN−1(f∗[M])\deg f=\beta_N^{-1}(f_*[M])

をffの写像度という。

命題 4.2. 向きづけられた空でない連結閉曲面の間の連続写像について、次が成り立つ。

  1. f≃f′f\simeq f'ならばdeg⁡f=deg⁡f′\deg f=\deg f'である。
  2. 合成することができるf,gf,gに対して、deg⁡(gf)=(deg⁡g)(deg⁡f)\deg(gf)=(\deg g)(\deg f)である。
  3. 定義域と値域に同じ向きを入れた恒等写像の写像度は11、定値写像の写像度は00である。
  4. 同相写像の写像度は11または−1-1である。局所向きを保つ同相では11、反転する同相では−1-1である。

証明.主張 (1)を示す。ホモトピックな写像は§E21.13 命題 3.2により同じホモロジー準同型を誘導するので、主張 (1)が従う。

主張 (2)を示す。f:M→Nf:M\to N、g:N→Pg:N\to Pに対して

(gf)∗[M]=g∗((deg⁡f)[N])=(deg⁡f)(deg⁡g)[P](gf)_*[M]=g_*((\deg f)[N])=(\deg f)(\deg g)[P]

であり、[P][P]の係数を比較すると主張 (2)を得る。

主張 (3)を示す。恒等写像は同じ基本類を保つ。定値写像は一点空間を経由し、その二次ホモロジーが零なので、基本類を零へ送る。

主張 (4)を示す。同相写像ffの逆と合成すると(deg⁡f)(deg⁡f−1)=1(\deg f)(\deg f^{-1})=1であるから、deg⁡f=±1\deg f=\pm1である。局所ホモロジーへの写像とf∗f_*は可換であり、基本類の局所像は指定した局所向きである。したがって局所向きを保つならf∗[M]=[N]f_*[M]=[N]、反転するならf∗[M]=−[N]f_*[M]=-[N]となる。▨

注意 4.3.M=N=S2M=N=S^2の両側に同じ向きを入れると、この写像度は§E21.19 定義 1.1の写像度に一致する。基本類は、最高次ホモロジーの二つの生成元のうち向きによって選ばれた一方である。両側の向きを異なるものに替えると、同じ恒等写像でも写像度は−1-1となる。

5 演習

問題 5.1.

  1. 曲面MMとx∈Mx\in Mに対し、座標円板を用いてH2(M,M∖{x};Z)H_2(M,M\setminus\{x\};\Z)の二つの生成元と、小円周の二つの向きとの対応を求めよ。
  2. 有限個の連結閉曲面の非交和M=∐j=1rMjM=\coprod_{j=1}^rM_jについて、H2(M;Z)H_2(M;\Z)は向きづけ可能な成分の個数を階数とする自由アーベル群であることを示せ。S2⊔RP2S^2\sqcup\mathbb{RP}^2が向きづけ可能でなくても非零の単体的二次サイクルを持つことを、連結な非向きづけ可能閉曲面の場合と比較せよ。
  3. 向きづけられた空でない連結閉曲面M,NM,Nと連続写像f:M→Nf:M\to Nに対し、r:M→Mr:M\to Mが向きを反転する同相ならばdeg⁡(fr)=−deg⁡f\deg(fr)=-\deg fであることを示せ。外向きの向きを持つS2S^2の鏡映r(x1,x2,x3)=(−x1,x2,x3)r(x_1,x_2,x_3)=(-x_1,x_2,x_3)について、局所向きの反転を確かめよ。
解答.
  1. 座標の中でxxを中心とする小さい閉円板DDを取る。切除により局所ホモロジーはH2(D,D∖{x})H_2(D,D\setminus\{x\})に等しい。DDは可縮なので、対の長完全列の連結準同型はH2(D,D∖{x})≅H1(D∖{x})H_2(D,D\setminus\{x\})\cong H_1(D\setminus\{x\})を与える。§E21.17 命題 2.2の放射状の変位により、後者はH1(∂D)≅ZH_1(\partial D)\cong\Zに同型である。したがって二つの局所生成元は、連結準同型で小円周の正向きの一周とその逆向きの一周へ写る二つの類である。座標の向きを反転すると、この対応の正負も入れ替わる。
  2. 標準単体は連結なので、その連続像は一つの成分に含まれる。したがって特異鎖複体はC∙(M)=⨁jC∙(Mj)C_\bullet(M)=\bigoplus_jC_\bullet(M_j)と分かれ、境界も成分を保つ。核と像を成分ごとに取るとH2(M)≅⨁jH2(Mj)H_2(M)\cong\bigoplus_jH_2(M_j)であり、基本類の定理により結論を得る。S2⊔RP2S^2\sqcup\mathbb{RP}^2では球面の基本サイクルを球面側だけに置くと非零の二次サイクルになる。一方、非零係数の絶対値が一定となる範囲は同じ双対隣接グラフの成分内である。連結な非向きづけ可能閉曲面では、それが全三角形へ伝わり、係数の符号によって整合的な向きが生じて矛盾する。非交和では射影平面側の係数を零にしてよいので、この矛盾は生じない。
  3. deg⁡r=−1\deg r=-1と乗法性からdeg⁡(fr)=(deg⁡f)(−1)\deg(fr)=(\deg f)(-1)である。球面の北極の近くで(u,v)↦(u,v,1−u2−v2)(u,v)\mapsto(u,v,\sqrt{1-u^2-v^2})を座標とすると、鏡映は(u,v)↦(−u,v)(u,v)\mapsto(-u,v)となる。これは小円周の正向きの一周を逆向きの一周へ送るので、前項の局所ホモロジーの記述により北極の局所向きを反転する。基本類の局所像と鏡映の誘導写像の可換性からその写像度は−1-1であり、ほかの点でも局所向きを反転する。

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参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.多様体の局所ホモロジーによる向きと基本類の構成を参考にした。

前提記事

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