Künneth の定理 | 位相幾何入門

定義 1.1. $R$ を単位元を持つ可換環とし、 $A\subseteq X$ 、 $Y$ を空間とする。二つの射影を $p_1:X\times Y\to X$ 、 $p_2:X\times Y\to Y$ と書く。 $a\in H^i(X,A;R)$ 、 $b\in H^j(Y;R)$ に対し、§E21.32 命題 4.3 (2)の積によって

a\times b=p_1^*a\smile p_2^*b\in H^{i+j}(X\times Y,A\times Y;R)

を定め、クロス積 (cross product) と呼ぶ。各次数について、 $p_1^*\otimes p_2^*$ と相対カップ積が誘導する線形写像との合成を取り、それらの和を

\mu:\bigoplus_{i+j=n}H^i(X,A;R)\otimes_R H^j(Y;R) \longrightarrow H^n(X\times Y,A\times Y;R)

と書く。これは $a\otimes b$ を $a\times b$ へ送る写像である。

命題 1.2.

対の連続写像 $f:(X,A)\to(X',A')$ と連続写像 $g:Y\to Y'$ に対して、 $(f\times g)^*(a\times b)=f^*a\times g^*b$ である。
$a\in H^i(A;R)$ 、 $b\in H^j(Y;R)$ に対して、対のコホモロジーの連結準同型は $\beta(a\times b)=(\beta a)\times b$ を満たす。左辺の $\beta$ は対 $(X\times Y,A\times Y)$ 、右辺の $\beta$ は対 $(X,A)$ のものである。
$a\in H^i(X;R)$ 、 $b\in H^j(Y;R)$ 、 $c\in H^k(X;R)$ 、 $d\in H^l(Y;R)$ に対して、 $(a\times b)\smile(c\times d)=(-1)^{jk}(a\smile c)\times(b\smile d)$ である。また、 $a\times1=p_1^*a$ 、 $1\times b=p_2^*b$ である。

証明.主張 (1)は、一方だけ相対であるカップ積の自然性と射影の合成の等式による。ここでは $A,A'$ が任意の部分集合である場合の§E21.32 命題 4.3 (4)を適用する。

主張 (2)を示す。 $a$ を $A$ のコサイクル $\alpha$ で表し、特異単体の基底上で値を延長して $\widetilde\alpha\in C^i(X;R)$ を取る。 $b$ を $Y$ のコサイクル $\gamma$ で表すと、 $p_1^\#\widetilde\alpha\smile p_2^\#\gamma$ は $a\times b$ の代表余鎖の延長である。Leibniz 則と $\delta\gamma=0$ により、その余境界は

p_1^\#\delta\widetilde\alpha\smile p_2^\#\gamma

である。連結準同型の規約は延長の余境界の類を取るものなので、追加の符号なしに主張 (2)を得る。

主張 (3)を示す。積を射影の引き戻しで書き、結合律を用いて中央の $p_2^*b$ と $p_1^*c$ を入れ替える。次数付き交換律の符号は $(-1)^{jk}$ であり、同じ因子の二類をまとめれば表示式となる。引き戻しは単位元を保ち、カップ積の単位則が成り立つので、残る二式も得られる。▨

補題 2.1. $X$ を CW 複体、 $Y$ を任意の空間とする。

$n\geq1$ とし、 $n$ 胞体の特性写像を $\chi_\alpha:(D^n_\alpha,S^{n-1}_\alpha)\to(X^n,X^{n-1})$ とする。 $\chi_\alpha\times1_Y$ による引き戻しは、各次数で同型 $H^k(X^n\times Y,X^{n-1}\times Y;R) \longrightarrow\prod_{\alpha\in I_n}H^k(D^n_\alpha\times Y,S^{n-1}_\alpha\times Y;R)$ を与える。
零骨格について、制限 $H^k(X^0\times Y;R)\to\prod_{x\in X^0}H^k(\{x\}\times Y;R)$ は同型である。

証明.

主張 2.1.1. $Z=\coprod_\alpha Z_\alpha$ が互いに交わらない開集合の合併であり、 $B\subseteq Z$ 、 $B_\alpha=B\cap Z_\alpha$ とすると、制限は同型 $H^k(Z,B;R)\cong\prod_\alpha H^k(Z_\alpha,B_\alpha;R)$ を与える。

証明. 特異単体の像は連結なので、ただ一つの $Z_\alpha$ に含まれる。したがって相対鎖複体は成分ごとの相対鎖複体の直和であり、双対余鎖複体は直積である。余境界は成分ごとに作用するため、核は各核の直積である。各成分で原始を選ぶことにより、像も各像の直積である。よってコホモロジーも直積となり、誘導写像は制限である。▨

主張 (1)を示す。§E21.22 命題 7.3を $X^n$ の部分複体 $X^{n-1}$ に適用し、その開近傍を $U$ とする。特性円板の中の逆像は $V_\alpha=\{z:\|z\|>1/2\}$ である。 $U$ は $X^{n-1}$ へ変位し、その変位と $1_Y$ の積により $U\times Y$ は $X^{n-1}\times Y$ へ変位する。対の長完全列と五項補題により、相対コホモロジーでは $(X^n\times Y,X^{n-1}\times Y)$ を $(X^n\times Y,U\times Y)$ に取り替えることができる。

$X^{n-1}\times Y$ は閉集合であり、 $U\times Y$ の内部に含まれる。§E21.29 系 4.3 (2)でこの閉集合を除くと、

((X^n\setminus X^{n-1})\times Y,(U\setminus X^{n-1})\times Y)

のコホモロジーとなる。商写像による骨格の位相から、 $X^n\setminus X^{n-1}$ は開 $n$ 胞体の位相的直和であり、各胞体上で特性写像は開円板からの同相である。補助主張によって胞体ごとの直積へ分ける。

円板側でも、 $S^{n-1}\times Y\hookrightarrow V_\alpha\times Y$ は変位レトラクトの包含であり、境界 $S^{n-1}\times Y$ を除く切除を適用することができる。したがって、得られた各成分の対のコホモロジーは $(D^n_\alpha\times Y,S^{n-1}_\alpha\times Y)$ のコホモロジーに同一視される。これらの取り替えと切除の正方形は $\chi_\alpha\times1_Y$ について可換なので、合成した同型は主張の引き戻しである。

主張 (2)を示す。零骨格は離散であるから、 $X^0\times Y$ は開集合 $\{x\}\times Y$ の位相的直和である。補助主張の絶対版を用いれば主張 (2)を得る。▨

補題 2.2. $X$ を CW 複体、 $Y$ を空間とする。

$X\times Y$ の各特異単体の像に対して、その像を含む $X^m\times Y$ が存在する。
$q\geq0$ を固定する。ある $M$ 以後、制限 $H^r(X^{m+1}\times Y;R)\to H^r(X^m\times Y;R)$ が $r=q-1,q$ で同型ならば、 $H^q(X\times Y;R)\to H^q(X^M\times Y;R)$ は同型である。 $q=0$ では次数 $-1$ の仮定を課さない。

証明.主張 (1)を示す。特異単体を第一因子へ射影した写像に§E21.30 補題 3.1 (2)を適用すると、その像を含む骨格 $X^m$ が存在する。これが主張 (1)である。

主張 (2)を示す。したがって増大列 $Z_m=X^m\times Y$ に§E21.30 補題 3.1 (1)を適用することができ、主張 (2)を得る。▨

定理 2.3 (Künneth の定理). $R$ を単位元を持つ可換環、 $X$ を CW 複体、 $A$ をその部分複体、 $Y$ を空間とする。すべての $j$ に対して、 $H^j(Y;R)$ が有限生成自由 $R$ 加群であると仮定する。

クロス積は、すべての整数 $n$ で同型 $\mu:\bigoplus_{i+j=n}H^i(X,A;R)\otimes_R H^j(Y;R) \xrightarrow{\cong}H^n(X\times Y,A\times Y;R)$ を与える。 $X$ の次元や胞体の個数の有限性は仮定しない。
$A=\varnothing$ のとき、 $H^*(X;R)\otimes_R H^*(Y;R)$ の積を、斉次元に対して $(a\otimes b)(c\otimes d)=(-1)^{|b||c|}(a\smile c)\otimes(b\smile d)$ と定めると、 $\mu$ は単位元を保つ次数付き環の同型である。

証明.主張 (1)を示す。 $Y,R$ を固定し、 $h^n(X,A)=\bigoplus_{i+j=n}H^i(X,A;R)\otimes_R H^j(Y;R)$ 、 $k^n(X,A)=H^n(X\times Y,A\times Y;R)$ と置く。§E6.12 補題 18.2 (2)により、各 $H^j(Y;R)$ とのテンソル積は完全である。したがって対のコホモロジーの長完全列をそれぞれの次数でテンソルして加えると、 $h$ にも対の長完全列を得る。クロス積の自然性と連結準同型との両立により、 $\mu$ は $h$ と $k$ の長完全列の間の写像である。

主張 2.3.1. 対 $(X',A')$ について、 $A'$ 、 $X'$ 、 $(X',A')$ の三つの $\mu$ のうち二つが全次数で同型ならば、残る一つも全次数で同型である。

証明. 各長完全列の該当する五項を取り、同じ位置にある二つの既知の同型とその隣の次数の同型を用いて、§E6.8 補題 2.2を適用する。未知の項を中央にする五項を選べば、どの場合も結論を得る。▨

主張 2.3.2. $X$ が有限次元の CW 複体で $A$ が部分複体ならば、 $\mu_{X,A}$ は全次数で同型である。

証明. 次元の上限 $N$ について帰納する。 $N=0$ では $X$ は離散であり、 $H^0(X;R)=\prod_{x\in X}R$ 、正次数は零である。切除の補題の補題 2.1 (2)と§E6.12 補題 18.2 (1)により、

H^0(X;R)\otimes_R H^n(Y;R) \cong\prod_{x\in X}H^n(Y;R) \cong H^n(X\times Y;R)

を得る。零次余鎖は成分上の値を掛けるので、この合成は $\mu$ である。任意の部分集合 $A$ も離散であり、前の補助主張により対についても同型となる。

$N-1$ まで成り立つとする。円板 $D^N$ は可縮で、 $D^N\times Y\to Y$ もホモトピー同値なので、 $D^N$ の $\mu$ は一点の場合の同型に一致する。球面 $S^{N-1}$ は次元 $N-1$ の CW 複体であり、帰納法の仮定を満たす。 $N=1$ の $S^0$ は二点の零次元複体である。よって前の補助主張により、 $(D^N,S^{N-1})$ の $\mu$ は同型である。

次に任意の $N$ 次元以下の $X$ を取る。切除の補題を $Y$ と一点に適用すると、 $k^n(X^N,X^{N-1})$ は円板対の $k^n$ の直積に、 $H^i(X^N,X^{N-1};R)$ は円板対の $H^i$ の直積に同一視される。有限生成自由な $H^j(Y;R)$ とのテンソル積は直積と交換する。固定した非負次数 $n$ では $i+j=n$ 、 $i,j\geq0$ の組は有限個なので、その直和と直積も交換する。したがって $h^n(X^N,X^{N-1})$ も円板対の $h^n$ の直積に同一視される。特性写像についてのクロス積の自然性により、この対応のもとで $\mu$ は円板対の同型の直積であり、同型である。

$X^{N-1}$ については帰納法の仮定を使うことができるので、前の補助主張により $X=X^N$ の同型を得る。ここまでで、すべての次元 $N$ 以下の空間について絶対版が示された。部分複体 $A$ も同じ次元以下の CW 複体であるから、その絶対版を適用し、前の補助主張によって対 $(X,A)$ の結論を得る。▨

一般の $X$ では、まず $A=\varnothing$ の場合を示す。次数 $q\geq0$ を固定する。 $m\geq0$ と $r\leq m$ に対して、有限次元の場合を骨格対 $(X^{m+1},X^m)$ へ適用すると、

H^r(X^{m+1}\times Y,X^m\times Y;R) \cong\bigoplus_{i+j=r}H^i(X^{m+1},X^m;R)\otimes_R H^j(Y;R)=0

となる。最後の零性は、骨格対のコホモロジーが次数 $m+1$ に集中し、 $i,j\geq0$ の項では $i\leq r\leq m$ であることによる。

対の長完全列から、制限 $H^r(X^{m+1}\times Y;R)\to H^r(X^m\times Y;R)$ は $r<m$ で同型である。とくに $m\geq q+1$ ならば $r=q-1,q$ で同型なので、増大列の補題により

k^q(X)\longrightarrow k^q(X^{q+1})

は同型である。一方、§E21.30 系 3.3により、 $i\leq q$ では $H^i(X;R)\to H^i(X^{q+1};R)$ が同型である。 $h^q$ に現れるのはこれらの次数だけなので、 $h^q(X)\to h^q(X^{q+1})$ も同型となる。自然性による正方形で下側の $\mu_{X^{q+1}}$ は有限次元の場合により同型であり、両側の制限も同型であるから、 $\mu_X$ は次数 $q$ で同型である。負の次数では両辺が零である。

部分複体 $A$ も CW 複体であるから、その絶対版と $X$ の絶対版に最初の補助主張を適用すれば、一般の対 $(X,A)$ の同型を得る。

主張 (2)を示す。積との両立により、クロス積は主張 (2)の符号付きの積を保ち、 $1\times1=1$ により単位元も保つ。▨

注意 2.4. 証明は有限次元の骨格についての帰納と、無限次元の空間へ移る安定化の二段からなる。固定した次数 $q$ では、 $q+1$ 骨格以後の制限が同型となるため、逆極限の補正項 $\varprojlim^1$ を扱う必要はない。有限性の仮定は $Y$ のコホモロジーの各次数の有限生成自由性にあり、CW 複体 $X$ の胞体の個数や次元には有限性を課さない。零次元の段でも、無限直積とテンソル積の交換に有限生成性を用いている。

系 3.1. $n\geq1$ とし、 $T^n=(S^1)^n$ とする。このとき、第 $i$ 因子の一次生成元を射影で引き戻した類を $x_i$ とすると、 $x_ix_j=-x_jx_i$ 、 $x_i^2=0$ である。 $H^k(T^n;\Z)$ は、 $i_1<\cdots<i_k$ に対する積 $x_{i_1}\cdots x_{i_k}$ を基底とする階数 $\binom nk$ の自由アーベル群である。零次の基底元は $1$ 、 $k<0$ または $k>n$ の群は零とする。この環を $\Lambda_{\Z}(x_1,\ldots,x_n)$ と書く。

証明. 円周のホモロジーと普遍係数定理により、 $H^*(S^1;\Z)$ は零次と一次に各一つの整数基底の元を持ち、ほかは零である。一次生成元の平方は二次の群が零なので零である。

$n-1$ で主張を仮定し、 $X=S^1$ 、 $Y=T^{n-1}$ に Künneth の定理を適用する。第一因子は一次元 CW 複体であり、第二因子のコホモロジーは帰納法の仮定により各次数で有限生成自由である。テンソル積の基底は、 $1$ または $x_1$ と、残りの異なる添字の積との組からなり、主張の単項式を一度ずつ与える。次数付き交換律は反交換の関係を与え、各 $x_i^2=0$ は円周への射影と自然性から従う。 $n=2$ では§E21.33 系 3.3の四つの基底元と積に一致する。▨

系 3.2. $m,n\geq1$ とし、球面の整数係数の生成元を $u_m,u_n$ とする。

$a=u_m\times1$ 、 $b=1\times u_n$ と置くと、 $H^*(S^m\times S^n;\Z)$ は $1,a,b,ab$ を基底とする自由アーベル群であり、 $|a|=m$ 、 $|b|=n$ 、 $a^2=b^2=0$ 、 $ba=(-1)^{mn}ab$ である。 $ab=u_m\times u_n$ は最高次 $m+n$ の生成元である。
楔和 $S^m\vee S^n\vee S^{m+n}$ は積空間と各次数で同型な整数係数コホモロジー群を持つが、正次数の二類の積はすべて零である。したがってこの楔和と $S^m\times S^n$ はホモトピー同値でない。

証明.主張 (1)を示す。球面のホモロジーと普遍係数定理により、そのコホモロジーは零次と球面の次元に各一つの整数基底の元を持つ。球面は有限 CW 複体なので、Künneth の定理を適用することができる。四つのテンソル積の基底元が $1,a,b,ab$ へ写る。射影と自然性から $a^2=b^2=0$ であり、クロス積の積の公式から $ba=(-1)^{mn}ab$ である。 $m=n$ では $a,b$ が同じ次数の二つの基底元となる。

主張 (2)を示す。楔和のホモロジー§E21.18 命題 2.4と普遍係数定理により、正次数のコホモロジーは各球面への制限で、それぞれのコホモロジーの直和へ同型に写る。したがって加法群は積空間のものと一致する。二つの正次数の類の積を各球面へ制限すると、球面の正次数の二類の積は零なので、すべて零となる。制限が同型であることから、楔和での積も零である。一方、積空間では $ab\neq0$ である。ホモトピー同値はカップ積を保つコホモロジー環の同型を誘導するため、両空間はホモトピー同値でない。▨

例 3.3.§E21.33 命題 4.1により、 $H^*(\mathbb{RP}^2;\mathbb F_2)\cong\mathbb F_2[w]/(w^3)$ 、 $|w|=1$ 、である。各次数は有限次元なので、 $X=Y=\mathbb{RP}^2$ に Künneth の定理を適用することができる。二元体では符号が消えるため、

H^*(\mathbb{RP}^2\times\mathbb{RP}^2;\mathbb F_2) \cong\mathbb F_2[w_1,w_2]/(w_1^3,w_2^3)

となる。基底は $w_1^iw_2^j$ 、 $0\leq i,j\leq2$ 、であり、次数 $0,1,2,3,4$ の次元はそれぞれ $1,2,3,2,1$ である。整数係数では、実射影平面の二次コホモロジーが $\Z/2\Z$ なので自由性の仮定を満たさず、この定理をそのまま適用することはできない。

例 3.4. $F$ を体、 $X=Y=\N$ を離散空間とする。このとき、 $\N$ は零次元の CW 複体であり、 $H^0(\N;F)=F^{\N}$ はすべての関数のなす空間である。クロス積

\mu:F^{\N}\otimes_F F^{\N}\longrightarrow F^{\N\times\N}

は、 $f\otimes g$ を $(r,s)\mapsto f(r)g(s)$ へ送る。その像の元は、有限個のこの形の関数の和である。 $N$ 個の単純テンソルの和から得られる行列のすべての行は、対応する $N$ 個の関数 $g$ の張る空間に含まれる。一方、対角線の指示関数 $\delta_{rs}$ の任意の有限個の異なる行は一次独立である。したがってこの指示関数は像に含まれず、 $\mu$ は全射でない。体係数であっても、 $Y$ のコホモロジーの有限生成性を除くことはできない。

§E21.35Künneth の定理

1 クロス積

2 Künneth の定理

3 積空間の環

参考文献

前提記事