§E21.45高次ホモトピー群

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基本群は、円周から空間への基点付き写像のホモトピー類のなす群であり、その単位元は定値ループとホモトピックなループの類である。円周を高い次元の球面に替えて同じ構成で不変量を得るためには、球面からの写像の類どうしを合成する演算が必要である。そこで、基点付き空間(X,x0)(X,x_0)について、nn次元球面を立方体InI^nの境界を一点に潰した商として扱い、境界∂In\partial I^nを基点x0x_0へ送る写像In→XI^n\to Xを、∂In\partial I^nを固定したホモトピーで分類する。その類の集合は、立方体の一つの座標の方向に写像を連結する演算によって群となる。この群をnn次のホモトピー群πn(X,x0)\pi_n(X,x_0)という。n=1n=1のときは基本群そのものであるが、n≥2n\ge2ではπn(X,x0)\pi_n(X,x_0)はつねに可換群であり、被覆写像が誘導する写像は同型である。たとえば、実数直線による円周の被覆から、n≥2n\ge2についてπn(S1,1)=0\pi_n(S^1,1)=0が従う。高次ホモトピー群は、部分空間についての相対ホモトピー群とその長完全列とともに、胞体複体のホモトピー論で繰り返し用いられる基本的な不変量である。本記事では、高次ホモトピー群と相対ホモトピー群を定義し、その基本的な性質を解説する。

1 立方体によるホモトピー群

定義 1.1.(X,x0)(X,x_0)を基点付き空間とし、I0I^0は一点、∂I0=∅\partial I^0=\varnothingとする。

  1. ∂In\partial I^nをx0x_0へ送る写像f:In→Xf:I^n\to Xの、∂In\partial I^nを固定するホモトピーによる類の集合をπn(X,x0)\pi_n(X,x_0)と書く。基点は定値写像の類である。n≥1n\geq1では、この集合に下の演算を入れたものを ホモトピー群 (homotopy group) という。ホモトピーが同値関係であることは§E21.1 命題 1.3による。
  2. n≥1n\geq1に対し、第一座標の連結を (f+g)(s1,s′)={f(2s1,s′)s1≤12,g(2s1−1,s′)s1≥12(f+g)(s_1,s')= \begin{cases} f(2s_1,s')&s_1\leq\tfrac12,\\ g(2s_1-1,s')&s_1\geq\tfrac12 \end{cases} と定める。
  3. π0(X,x0)\pi_0(X,x_0)は弧状連結成分の集合に[x0][x_0]を基点として与えたものであり、§E21.44 定義 2.1 (4)の記号と一致する。

命題 1.2.n≥1n\geq1とし、(X,x0)(X,x_0)を基点付き空間とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 固定した商写像qn:In→Snq_n:I^n\to S^nと同相写像σn:Sn→Σ∗Sn−1\sigma_n:S^n\to\Sigma_*S^{n-1}により、πn(X,x0)\pi_n(X,x_0)は[Σ∗Sn−1,X]∗[\Sigma_*S^{n-1},X]_*と一対一に対応し、第一座標の連結は懸垂座標の連結に対応する。よってπn(X,x0)\pi_n(X,x_0)は群であり、n=1n=1では基本群に一致する。
  2. n≥2n\geq2ではこの群は可換であり、どの座標で連結しても同じ群構造を与える。
  3. qnq_nとの前合成により[Sn,X]∗=πn(X,x0)[S^n,X]_*=\pi_n(X,x_0)と同一視することができる。第一座標をループ座標に取る随伴は群同型 πn(X,x0)≅πn−1(ΩX,cx0)\pi_n(X,x_0)\cong\pi_{n-1}(\Omega X,c_{x_0}) を与える。n=1n=1の右辺には、ループの連結によるπ0(ΩX)\pi_0(\Omega X)の群構造を入れる。

証明.主張 (1)を示す。境界を一点に送る写像とホモトピーは、それぞれSnS^nからの基点付き写像と基点付きホモトピーを誘導する。ホモトピーについてはqn×id⁡Iq_n\times\id_Iが商写像であることを用いる（§E2.37 定理 5.2）。§E21.44 命題 4.3 (1)の式σnqn(t,s)=[qn−1(s),t]\sigma_nq_n(t,s)=[q_{n-1}(s),t]により第一座標は懸垂座標になるので、§E21.44 定理 4.4 (3)によって群構造を得る。n=1n=1は端点固定のループの定義そのものである。

主張 (2)を示す。n≥2n\geq2ではSn−1≅Σ∗Sn−2S^{n-1}\cong\Sigma_*S^{n-2}として§E21.44 系 5.2を適用する。二つの懸垂座標は立方体の第一・第二座標であり、n=2n=2でもσ1q1(t)=[−1,t]\sigma_1q_1(t)=[-1,t]により同じ対応になる。よって可換性と、この二座標の連結の一致を得る。他の座標の場合は座標の交換により従う。その詳細は問題 6.1で確かめる。

主張 (3)を示す。[Sn,X]∗[S^n,X]_*との全単射はqnq_nとの前合成であり、ループへの対応は懸垂とループの随伴である。n≥2n\geq2ではループの連結と残りの座標の連結が主張 (2)によって一致するので、この全単射は群同型である。n=1n=1では、この全単射は§E21.44 命題 3.2 (3)の同型に一致する。▨

命題 1.3.

  1. 基点付き写像f:(X,x0)→(Y,y0)f:(X,x_0)\to(Y,y_0)はf∗[u]=[f∘u]f_*[u]=[f\circ u]により準同型f∗:πn(X,x0)→πn(Y,y0)f_*:\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(Y,y_0)を誘導する。n=0n=0ではf∗f_*は基点を保つ写像である。(g∘f)∗=g∗f∗(g\circ f)_*=g_*f_*、(id⁡)∗=id⁡(\id)_*=\idが成り立つ。
  2. 基点付きホモトピックな写像は同じ写像を誘導する。
  3. 射影は自然な同型πn(X×Y,(x0,y0))≅πn(X,x0)×πn(Y,y0)\pi_n(X\times Y,(x_0,y_0))\cong\pi_n(X,x_0)\times\pi_n(Y,y_0)を誘導する。n=0n=0ではこの写像は基点を保つ全単射である。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。後合成はホモトピーと連結を保つので、f∗f_*は定まる準同型であり、基点付きホモトピックな写像は同じ写像を誘導する。

主張 (3)を示す。積への写像とホモトピーは各成分への写像とホモトピーの対に対応し、連結も成分ごとに行われる。▨

2 基点の変更

補題 2.1.m≥0m\geq0とし、Jm=(Im×{0})∪(∂Im×I)J_m=(I^m\times\{0\})\cup(\partial I^m\times I)とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. Im×II^m\times Iの自己同相Ψ\Psiで、底面をJmJ_mに写すものが存在する。
  2. JmJ_mはIm×II^m\times Iのレトラクトであり、(Im,∂Im)(I^m,\partial I^m)はホモトピー拡張性質をもつ。
  3. 同相写像 φ:Im⟶(Im×{1})∪(∂Im×I)\varphi:I^m\longrightarrow(I^m\times\{1\})\cup(\partial I^m\times I) で、s∈∂Ims\in\partial I^mに対してφ(s)=(s,0)\varphi(s)=(s,0)となるものが存在する。

証明.主張 (1)と主張 (3)の同相写像は問題 6.2 (1)で構成する。

主張 (2)を示す。底面への射影p(s,t)=(s,0)p(s,t)=(s,0)を用いれば、ΨpΨ−1\Psi p\Psi^{-1}はJmJ_mへのレトラクションである。底面上の写像と側面上の指定されたホモトピーを貼り合わせ、このレトラクションと合成すればホモトピーの延長を得る。▨

命題 2.2.n≥1n\geq1とし、XXを位相空間、x0,x1∈Xx_0,x_1\in X、γ\gammaをx0x_0からx1x_1への道、ffをπn(X,x0)\pi_n(X,x_0)の代表元とする。このとき、次が成り立つ。

  1. F(−,0)=fF(-,0)=f、F(s,t)=γ(t)F(s,t)=\gamma(t)（s∈∂Ins\in\partial I^n）を満たすホモトピーF:In×I→XF:I^n\times I\to Xが存在する。
  2. [F(−,1)][F(-,1)]は[f][f]とγ\gammaの端点固定ホモトピー類だけで決まる。これをβγ[f]\beta_\gamma[f]と書く。
  3. βγ:πn(X,x0)→πn(X,x1)\beta_\gamma:\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(X,x_1)は群同型である。η\etaをx1x_1から点x2∈Xx_2\in Xへの道、ccをx0x_0の定値道とすると、βγ∗η=βηβγ\beta_{\gamma*\eta}=\beta_\eta\beta_\gamma、βc=id⁡\beta_c=\id、βγˉ=βγ−1\beta_{\bar\gamma}=\beta_\gamma^{-1}である。
  4. n=1n=1ではβγ[α]=[γˉ∗α∗γ]\beta_\gamma[\alpha]=[\bar\gamma*\alpha*\gamma]であり、基本群の基点変更と一致する。
  5. 連続写像a:X→Ya:X\to Yについて、πn(X,x0)→πn(Y,a(x1))\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(Y,a(x_1))の準同型としてa∗∘βγ=βa∘γ∘a∗a_*\circ\beta_\gamma=\beta_{a\circ\gamma}\circ a_*が成り立つ。

証明.主張 (1)は前補題のホモトピー拡張性質による。

主張 (2)を示す。基点変更を定める二つのホモトピーF,F′F,F'、ffからf′f'への境界固定ホモトピーK(s,u)K(s,u)、γ\gammaからγ′\gamma'への端点固定ホモトピーL(t,u)L(t,u)を取る。(s,u)(s,u)をIn+1I^{n+1}の座標として、底面t=0t=0にKK、側面u=0,1u=0,1にF,F′F,F'、側面s∈∂Ins\in\partial I^nにLLを置く。これらの写像は面の共通部分で一致するので、開いた箱上の写像を定める。この写像は開いた箱へのレトラクションとの合成によって全体へ延長される。t=1t=1への制限は、境界をx1x_1に固定した二つの終写像のホモトピーである。

主張 (3)を示す。二つの代表元に沿うホモトピーを第一座標で連結すると、その和に沿うホモトピーになる。したがってβγ\beta_\gammaは準同型である。時間方向の連結は連結した道に沿い、定値道には静止したホモトピーを用いることができる。道と逆の道の積は端点固定で定値道とホモトピックなので、主張 (3)の各式が従う。

主張 (4)を示す。n=1n=1では次の族を取る。

F(s,t)={γ(t−(1+2t)s)0≤s≤t/(1+2t),α((1+2t)s−t)t/(1+2t)≤s≤(1+t)/(1+2t),γ((1+2t)s−(1+t))(1+t)/(1+2t)≤s≤1.F(s,t)= \begin{cases} \gamma(t-(1+2t)s)&0\leq s\leq t/(1+2t),\\ \alpha((1+2t)s-t)&t/(1+2t)\leq s\leq(1+t)/(1+2t),\\ \gamma((1+2t)s-(1+t))&(1+t)/(1+2t)\leq s\leq1. \end{cases}

各式は境界で一致し、t=0t=0ではα\alpha、両端ではγ(t)\gamma(t)である。t=1t=1では三つの区間でγˉ,α,γ\bar\gamma,\alpha,\gammaをたどる。F(−,1)F(-,1)は再パラメータ化によりγˉ∗α∗γ\bar\gamma*\alpha*\gammaと同じ類を表すので、主張 (4)を得る。

主張 (5)を示す。βγ[f]\beta_\gamma[f]を定めるホモトピーFFにaaを後合成すると、a∘Fa\circ Fはa∘fa\circ fから始まり、境界がa∘γa\circ\gammaをたどるホモトピーである。その終端の類は、左辺ではa∗βγ[f]a_*\beta_\gamma[f]、右辺ではβa∘γa∗[f]\beta_{a\circ\gamma}a_*[f]である。▨

系 2.3.n≥1n\geq1とし、(X,x0)(X,x_0)を基点付き空間とする。このとき、x0x_0を基点とするループγ\gammaとa∈πn(X,x0)a\in\pi_n(X,x_0)に対して[γ]⋅a=βγˉ(a)[\gamma]\cdot a=\beta_{\bar\gamma}(a)とおくと、π1(X,x0)\pi_1(X,x_0)はπn(X,x0)\pi_n(X,x_0)に自己同型として左から作用する。n=1n=1では共役作用[γ][α][γ]−1[\gamma][\alpha][\gamma]^{-1}である。

証明. 道の積に関するβ\betaの式と逆向きの道の順序の反転から、[γ∗η]⋅a=[γ]⋅([η]⋅a)[\gamma*\eta]\cdot a=[\gamma]\cdot([\eta]\cdot a)となる。定値ループは恒等写像として作用する。共役の式は前命題の第四項による。▨

命題 2.4.

  1. ホモトピーH:f≃g:X→YH:f\simeq g:X\to Yとx0∈Xx_0\in Xに対し、h(t)=H(x0,t)h(t)=H(x_0,t)とおけば、n≥1n\geq1でg∗=βhf∗g_*=\beta_h f_*である。
  2. ホモトピー同値写像は、すべての基点とn≥1n\geq1についてπn\pi_nの同型を誘導し、π0\pi_0の全単射を誘導する。
  3. 可縮空間のホモトピー群はすべての基点で自明であり、零次の集合は一点である。

証明.主張 (1)を示す。代表元u:In→Xu:I^n\to Xについて、H∘(u×id⁡I)H\circ(u\times\id_I)はf∘uf\circ uから始まり、境界がhhに沿って動くホモトピーである。その終端はg∘ug\circ uなので、主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。f:X→Yf:X\to Yのホモトピー逆をggとし、ホモトピーH:gf≃id⁡XH:gf\simeq\id_Xに対してh(t)=H(x0,t)h(t)=H(x_0,t)と置く。r=βhg∗r=\beta_hg_*とおけば主張 (1)からrf∗=id⁡rf_*=\idである。他方、命題 2.2 (5)によりf∗r=βf∘h(fg)∗f_*r=\beta_{f\circ h}(fg)_*であり、fg≃id⁡Yfg\simeq\id_Yと主張 (1)から(fg)∗(fg)_*は同型である。よってf∗rf_*rは同型となる。したがってf∗f_*は単射かつ全射である。零次ではホモトピックな写像が同じ成分写像を誘導するので、ホモトピー逆から全単射を得る。

主張 (3)は一点空間とのホモトピー同値に主張 (2)を適用したものである。▨

定理 2.5.XXを弧状連結空間、x0∈Xx_0\in X、n≥1n\geq1とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 基点を忘れる写像πn(X,x0)=[Sn,X]∗→[Sn,X]\pi_n(X,x_0)=[S^n,X]_*\to[S^n,X]は全射である。
  2. 二つの元の像が一致することは、両者が同じπ1(X,x0)\pi_1(X,x_0)軌道に属するための必要十分条件である。したがって[Sn,X]≅πn(X,x0)/π1(X,x0)[S^n,X]\cong\pi_n(X,x_0)/\pi_1(X,x_0)である。

証明.主張 (1)を示す。写像f:Sn→Xf:S^n\to Xを取り、基点の像からx0x_0への道を選ぶ。球面の標準 CW 構造の零胞体を基点に合わせると、(Sn,{∗})(S^n,\{*\})は CW 対である。そのホモトピー拡張性質によって道をffのホモトピーへ延長すれば、終写像は基点付きとなる。

主張 (2)を示す。基点付き写像f,g:Sn→Xf,g:S^n\to Xの間の自由ホモトピーHHの基点の軌跡はループである。HHをqn×id⁡Iq_n\times\id_Iで立方体へ引き戻すと、このループに沿う基点変更を定めるホモトピーになる。したがって同じ自由ホモトピー類をもつ元は同じ軌道に属する。逆に、基点変更のホモトピーは各時刻で境界上一定なので球面へ降り、基点を忘れたホモトピーを与える。▨

例 2.6. 弧状連結空間XXについて、[S1,X][S^1,X]は基本群の共役類の集合と一対一に対応する。X=S1∨S1X=S^1\vee S^1の基本群F(a,b)F(a,b)で、ababとbabaは異なる元であるが、a−1(ab)a=baa^{-1}(ab)a=baなので共役である。ababを表すループとbabaを表すループは基点なしでホモトピックである。一方、aaとbbは可換化での像が異なるため共役でなく、基点なしでもホモトピックでない。

系 2.7. 弧状連結な位相群GGとn≥1n\geq1に対して次が成り立つ。

  1. 基点を忘れる写像πn(G,e)→[Sn,G]\pi_n(G,e)\to[S^n,G]は全単射である。
  2. π1(G,e)\pi_1(G,e)のπn(G,e)\pi_n(G,e)への作用は自明である。

証明.主張 (1)は§E21.44 命題 6.1をX=SnX=S^nに適用すれば従う。

主張 (2)を示す。前定理によれば忘却写像の各ファイバーは一つの軌道なので、単射性からすべての軌道は一点である。▨

3 被覆と高次ホモトピー群

命題 3.1.m≥1m\geq1とし、対蹠点を同一視する商をq:Sm→RPmq:S^m\to\mathbb{RP}^mとする。このとき、次が成り立つ。

  1. qqは二重被覆である。
  2. m≥2m\geq2ならばqqは普遍被覆であり、π1(RPm)≅Z/2Z\pi_1(\mathbb{RP}^m)\cong\Z/2\Zである。

証明.主張 (1)を示す。x∈Smx\in S^mの開近傍V={y:⟨x,y⟩>0}V=\{y:\langle x,y\rangle>0\}はV∩(−V)=∅V\cap(-V)=\varnothingを満たす。したがって§E21.10 補題 3.1 (1)を群{1,−1}\{1,-1\}の作用に適用すると二重被覆を得る。

主張 (2)を示す。m≥2m\geq2ではSmS^mは単連結である（§E21.8 命題 3.4）。よってqqは普遍被覆である。RPm\mathbb{RP}^mは連結な位相多様体（§E21.36 命題 5.5 (1)）なので、§E21.9 命題 3.5により局所弧状連結かつ半局所単連結である。§E21.10 定理 4.3をq∗π1(Sm)=1q_*\pi_1(S^m)=1に適用すると、デック変換群はπ1(RPm)\pi_1(\mathbb{RP}^m)に同型である。デック変換の各点での値はxxまたは−x-xであり、一点の値で全体が決まる（§E21.10 命題 1.4）。したがってデック変換はid⁡\idと−id⁡-\idの二つであり、主張 (2)を得る。▨

定理 3.2. 被覆写像p:(E,e0)→(X,x0)p:(E,e_0)\to(X,x_0)は、n≥2n\geq2について同型p∗:πn(E,e0)→πn(X,x0)p_*:\pi_n(E,e_0)\to\pi_n(X,x_0)を誘導する。

証明. 代表元f:In→Xf:I^n\to Xを取る。立方体は単連結かつ局所弧状連結なので、§E21.5 定理 3.1により、一つの境界点の値をe0e_0としてffを持ち上げることができる。n≥2n\geq2では∂In\partial I^nは連結であり、持ち上げによる∂In\partial I^nの像は離散なファイバーに含まれるので、持ち上げは境界全体をe0e_0に送る。よってp∗p_*は全射である。

πn(E,e0)\pi_n(E,e_0)の二つの代表元u,vu,vについて、pupuからpvpvへの境界固定ホモトピーも、単連結で局所弧状連結なIn×II^n\times I上で持ち上げることができる。持ち上げの一意性により両端は与えられた代表元に一致する。∂In×I\partial I^n\times Iは連結なので、その像は全体でe0e_0である。したがって持ち上げは境界固定ホモトピーとなり、p∗p_*は単射でもある。▨

注意 3.3.R→S1\R\to S^1は被覆である。R\Rの基本群は00、S1S^1の基本群はZ\Zであるから、この被覆は一次の同型を誘導しない。証明で用いた∂In\partial I^nの連結性はn=1n=1では成り立たない。

系 3.4.

  1. 可縮な全空間をもつ被覆をもつ空間XXは、すべての基点とn≥2n\geq2についてπn(X)=0\pi_n(X)=0を満たす。
  2. n≥2n\geq2とm≥1m\geq1に対し、πn(S1)=0\pi_n(S^1)=0、πn(Tm)=0\pi_n(T^m)=0である。
  3. m≥1m\geq1、n≥2n\geq2に対し、πn(RPm)≅πn(Sm)\pi_n(\mathbb{RP}^m)\cong\pi_n(S^m)である。

証明.主張 (1)は被覆の同型と可縮空間のホモトピー群の消滅による。

主張 (2)を示す。指数被覆R→S1\R\to S^1と主張 (1)からπn(S1)=0\pi_n(S^1)=0を得る。積の公式によりπn(Tm)≅πn(S1)m=0\pi_n(T^m)\cong\pi_n(S^1)^m=0である。

主張 (3)は被覆q:Sm→RPmq:S^m\to\mathbb{RP}^mに定理 3.2を適用すれば従う。▨

4 相対ホモトピー群と零の判定

定義 4.1.n≥1n\geq1、x0∈A⊆Xx_0\in A\subseteq Xとし、

Jn−1=(∂In−1×I)∪(In−1×{1})J^{n-1}=(\partial I^{n-1}\times I)\cup(I^{n-1}\times\{1\})

とおく。

  1. 三つ組の写像 f:(In,∂In,Jn−1)⟶(X,A,x0)f:(I^n,\partial I^n,J^{n-1})\longrightarrow(X,A,x_0) の、同じ三つ組の写像を通るホモトピーによる類の集合をπn(X,A,x0)\pi_n(X,A,x_0)と書き、定値写像の類を基点とする。n≥2n\geq2では下の演算を入れたものを 相対ホモトピー群 (relative homotopy group) と呼ぶ。
  2. n≥2n\geq2では第一座標の連結を和とする。
  3. 三つ組の写像(X,A,x0)→(Y,B,y0)(X,A,x_0)\to(Y,B,y_0)は後合成によって相対類の写像を誘導する。これは恒等写像と合成を保ち、三つ組の写像を通るホモトピーに対して不変である。
  4. A={x0}A=\{x_0\}ではπn(X,{x0},x0)=πn(X,x0)\pi_n(X,\{x_0\},x_0)=\pi_n(X,x_0)である。

同値関係と合成との両立は、組の写像のホモトピーに関する§E21.1 命題 1.3と§E21.1 命題 1.4による。

命題 4.2.n≥1n\geq1、x0∈A⊆Xx_0\in A\subseteq Xとする。P(X;A,x0)={γ∈C(I,X):γ(0)∈A, γ(1)=x0}P(X;A,x_0)=\{\gamma\in C(I,X):\gamma(0)\in A,\ \gamma(1)=x_0\}にコンパクト開位相の部分空間位相を入れ、cx0c_{x_0}を基点とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 最後の座標についての随伴は、基点を保つ全単射πn(X,A,x0)≅πn−1(P(X;A,x0),cx0)\pi_n(X,A,x_0)\cong\pi_{n-1}(P(X;A,x_0),c_{x_0})を与える。
  2. n≥2n\geq2では、この対応は第一座標の連結を右辺の和へ移す。したがって相対群はn≥2n\geq2で群、n≥3n\geq3で可換群であり、三つ組の写像は準同型を誘導する。
  3. A={x0}A=\{x_0\}ではP=ΩXP=\Omega Xである。主張 (1)の全単射をΦrel\Phi_{\mathrm{rel}}、第一座標をループ座標とする命題 1.2 (3)の同型をΦadj\Phi_{\mathrm{adj}}と書くと、 Φrel=Φadj∘τ∗,τ(t,u1,…,un−1)=(u1,…,un−1,t)\Phi_{\mathrm{rel}}=\Phi_{\mathrm{adj}}\circ\tau^*,\qquad \tau(t,u_1,\ldots,u_{n-1})=(u_1,\ldots,u_{n-1},t) である。ここでτ∗[f]=[f∘τ]\tau^*[f]=[f\circ\tau]は群の自己同型である。

証明.主張 (1)を示す。三つ組の写像In−1×I→XI^{n-1}\times I\to Xは、随伴によりIn−1→P(X;A,x0)I^{n-1}\to P(X;A,x_0)となり、境界では定値道を取る。指数法則により連続性は両方向に対応する。ホモトピーにも同じ対応を適用すれば主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。第一座標の連結は最後の座標についての随伴と可換である。したがって、絶対ホモトピー群の群構造・可換性・関手性をP(X;A,x0)P(X;A,x_0)に適用すればよい。

主張 (3)を示す。Φrel(f)(u)(t)=f(u,t)=(f∘τ)(t,u)\Phi_{\mathrm{rel}}(f)(u)(t)=f(u,t)=(f\circ\tau)(t,u)である。τ∗\tau^*は逆写像をもち、第一座標の連結を第二座標の連結へ移す。n≥2n\geq2では座標によらず群構造が一致するので自己同型である。n=1n=1ではτ\tauは恒等写像である。▨

補題 4.3.f:(In,∂In,Jn−1)→(X,A,x0)f:(I^n,\partial I^n,J^{n-1})\to(X,A,x_0)、n≥1n\geq1とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 像がAAに含まれる写像で、ffと∂In\partial I^nを固定してホモトピックなものが存在するならば、[f]=0[f]=0である。
  2. F(−,0)=fF(-,0)=f、F(∂In×I)⊆AF(\partial I^n\times I)\subseteq A、F(In×{1})⊆AF(I^n\times\{1\})\subseteq Aを満たすホモトピーがあるならば、ffは、∂In\partial I^nを固定するホモトピーによって、像がAAに含まれる写像へ変形することができる。
  3. [f]=0[f]=0であること、ffを境界固定でAA内の写像へ動かすことができること、主張 (2)のホモトピーがあることは、すべて同値である。

証明.主張 (1)を示す。仮定の写像をggとすると、g(s′,(1−t)sn+t)g(s',(1-t)s_n+t)は三つ組の写像を通ってggを定値写像へ動かす。したがって[f]=[g]=0[f]=[g]=0である。

主張 (2)を示す。補題 2.1 (3)の同相写像φ:In→(In×{1})∪(∂In×I)\varphi:I^n\to(I^n\times\{1\})\cup(\partial I^n\times I)を用いる。g=F∘φg=F\circ\varphiの像はAAに含まれる。写像

(s,u)⟼F((1−u)(s,0)+uφ(s))(s,u)\longmapsto F\bigl((1-u)(s,0)+u\varphi(s)\bigr)

はffからggへのホモトピーであり、境界ではφ(s)=(s,0)\varphi(s)=(s,0)なので値を固定する。

主張 (3)を示す。[f]=0[f]=0の定義によるホモトピーは主張 (2)の条件を満たす。▨

補題 4.4.k≥1k\geq1、s0∈Sk−1s_0\in S^{k-1}とし、g:(Dk,Sk−1)→(Y,B)g:(D^k,S^{k-1})\to(Y,B)を対の写像とする。このとき、πk(Y,B,g(s0))\pi_k(Y,B,g(s_0))が基点だけからなるならば、ggはSk−1S^{k-1}を固定するホモトピーによって、像がBBに含まれる写像へ変形することができる。

証明.問題 6.2 (2)で構成する商写像ρ:Ik→Dk\rho:I^k\to D^kは、Jk−1J^{k-1}をちょうど一点s0s_0に潰し、その他では単射であり、境界を球面へ送る。したがってgρg\rhoは三つ組の写像であり、仮定からその類は零である。前補題によりgρg\rhoは境界を固定して像がBBに含まれる写像へ動かされる。このホモトピーはJk−1J^{k-1}上で全時刻にわたり定値なので、商写像ρ×id⁡I\rho\times\id_Iを通じてDk×ID^k\times Iへ降りる。得られたホモトピーはSk−1S^{k-1}を固定する。▨

5 三つ組と対の完全列

命題 5.1.x0∈B⊆A⊆Xx_0\in B\subseteq A\subseteq Xとする。このとき、次が成り立つ。

  1. 包含による写像と、底面への制限をπi−1(A,B,x0)\pi_{i-1}(A,B,x_0)に送る写像∂\partialは、完全列 ⋯→πi(A,B,x0)→πi(X,B,x0)→πi(X,A,x0)→∂πi−1(A,B,x0)→⋯\cdots\to\pi_i(A,B,x_0)\to\pi_i(X,B,x_0)\to\pi_i(X,A,x_0) \xrightarrow{\partial}\pi_{i-1}(A,B,x_0)\to\cdots ⋯→π1(A,B,x0)→π1(X,B,x0)→π1(X,A,x0)\cdots\to\pi_1(A,B,x_0)\to\pi_1(X,B,x_0)\to\pi_1(X,A,x_0) を与える。基点付き集合の項での完全性は、基点の逆像と直前の写像の像が一致することを意味する。
  2. 群の項の間の写像は準同型であり、列は基点を保つ三つ組(X,A,B)(X,A,B)の写像について自然である。
  3. B={x0}B=\{x_0\}とすると、零次の項を除いた対の完全列を得る。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。包含と底面への制限はホモトピーと両立し、第一座標の連結も保つので、写像は定まり、群の間では準同型となる。これらは基点を保つ三つ組(X,A,B)(X,A,B)の写像との後合成と可換なので自然である。完全性の三種類の項での証明を問題 6.3 (1)で与える。

主張 (3)は絶対群との同一視による。▨

定理 5.2.x0∈A⊆Xx_0\in A\subseteq Xとする。このとき、次が成り立つ。

  1. 包含と底面への制限∂[f]=[f∣In−1×{0}]\partial[f]=[f|_{I^{n-1}\times\{0\}}]は完全列 ⋯→πn(A,x0)→πn(X,x0)→πn(X,A,x0)→∂πn−1(A,x0)→⋯\cdots\to\pi_n(A,x_0)\to\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(X,A,x_0) \xrightarrow{\partial}\pi_{n-1}(A,x_0)\to\cdots ⋯→π1(X,x0)→π1(X,A,x0)→∂π0(A,x0)→π0(X,x0)\cdots\to\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(X,A,x_0) \xrightarrow{\partial}\pi_0(A,x_0)\to\pi_0(X,x_0) を与える。末尾は基点付き集合の意味で完全である。
  2. 群の項の間の写像は準同型であり、列は基点を保つ対の写像について自然である。
  3. π1(X,x0)=1\pi_1(X,x_0)=1ならば、∂:π1(X,A,x0)→π0(A,x0)\partial:\pi_1(X,A,x_0)\to\pi_0(A,x_0)は単射である。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。正次数の完全性と自然性は前命題をB={x0}B=\{x_0\}に適用すれば従う。末尾では相対一次の元はAAの点からx0x_0への道の類であり、∂\partialは始点の成分を取る。道の連結による完全性の確認は問題 6.3 (2)で与える。

主張 (3)を示す。π1(X,A,x0)\pi_1(X,A,x_0)の代表元f,gf,gの始点がAAの同じ成分に属するとし、δ:f(0)→g(0)\delta:f(0)\to g(0)をAAの道とする。ループfˉ∗δ∗g\bar f*\delta*gはXXで零ホモトピックなので、道の連結の法則からffとδ∗g\delta*gは端点固定でホモトピックである。δ∗g\delta*gの始点をδ\deltaに沿って動かすと、相対一次のホモトピーによってggに移る。したがって[f]=[g][f]=[g]であり、単射性を得る。▨

例 5.3.

  1. n≥1n\geq1とする。DnD^nは可縮なので、k≥2k\geq2で∂:πk(Dn,Sn−1)≅πk−1(Sn−1)\partial:\pi_k(D^n,S^{n-1})\cong\pi_{k-1}(S^{n-1})である。またπ1(Dn,Sn−1)→π0(Sn−1)\pi_1(D^n,S^{n-1})\to\pi_0(S^{n-1})は全単射である。全射性は零次での完全性、単射性は前定理の第三項による。n=1n=1ではこの集合は二点からなる。n=2n=2ではπ2(D2,S1)≅Z\pi_2(D^2,S^1)\cong\Zであり、 f(s,t)=t+(1−t)e2πisf(s,t)=t+(1-t)e^{2\pi is} は、その境界が正向きの円周のループとなる生成元を表す。
  2. A=S1∨S1A=S^1\vee S^1、X=CAX=CAとする。AAは錐の底として閉部分空間に埋め込まれ、錐は可縮である（§E21.2 命題 2.5 (2)、§E21.2 系 2.6）。したがってπ2(X,A)≅π1(A)≅F(a,b)\pi_2(X,A)\cong\pi_1(A)\cong F(a,b)であり、可換でない。相対群の可換性における次元条件n≥3n\geq3をn≥2n\geq2に下げることはできない。

6 演習

問題 6.1.n≥3n\geq3、3≤i≤n3\leq i\leq nとする。πn(X,x0)\pi_n(X,x_0)の第一座標と第ii座標による連結が一致することを、第一・第二座標の一致から導け。

解答.

第一座標を固定し、第二座標と第ii座標を交換する立方体の自己同相をTTとする。TTは境界を保ち、前合成による全単射T∗T^*を誘導する。T∗T^*は第一座標の連結を保ち、第二座標の連結を第ii座標の連結へ移す。第一・第二座標の演算が一致する等式をT∗T^*で移し、その全射性を用いると、第一・第ii座標の演算も一致する。▨

問題 6.2.

  1. 補題 2.1の第一項と第三項の同相写像を構成せよ。
  2. Jk−1J^{k-1}を指定した一点s0∈Sk−1s_0\in S^{k-1}に潰し、他の点では単射である商写像ρ:Ik→Dk\rho:I^k\to D^kを構成せよ。境界がSk−1S^{k-1}へ写ることも示せ。
解答.

  1. m=0m=0では底面と上面はいずれも一点であり、第三項には上面の点への写像、第一項には区間の恒等写像を用いる。m≥1m\geq1ではc=(12,…,12)c=(\tfrac12,\ldots,\tfrac12)、r(s)=2∥s−c∥∞r(s)=2\|s-c\|_\inftyとおき、

    φ(s)={(c+2(s−c),1)r(s)≤12,(c+(s−c)/r(s),1/r(s)−1)r(s)≥12\varphi(s)= \begin{cases} (c+2(s-c),1)&r(s)\leq\tfrac12,\\ (c+(s-c)/r(s),1/r(s)-1)&r(s)\geq\tfrac12 \end{cases}

    と定める。二つの式はr=12r=\tfrac12で一致する。逆写像は(y,t)↦c+(y−c)/(1+t)(y,t)\mapsto c+(y-c)/(1+t)である。よって第三項の同相であり、r(s)=1r(s)=1ではφ(s)=(s,0)\varphi(s)=(s,0)となる。

    境界を底面とその補側の閉円板に分ける。φ(s)=(y,t)\varphi(s)=(y,t)のとき、底面の点(s,0)(s,0)を(y,1−t)(y,1-t)へ送り、補側の点φ(s)\varphi(s)を(s,1)(s,1)へ送る。共通の縁では両方とも(s,1)(s,1)となるので、境界の自己同相が得られる。底面の像はJmJ_m、φ(Im)\varphi(I^m)の像は上面である。この自己同相を立方体の中心から各半径上へ線形に延長し、中心を固定すれば、全体の自己同相Ψ\Psiを得る。

  2. k≥2k\geq2とし、b=(1,0,…,0)∈Sk−1b=(1,0,\ldots,0)\in S^{k-1}とする。qk−1q_{k-1}と球面の直交変換を合成して、e:Ik−1→Sk−1e:I^{k-1}\to S^{k-1}で境界をちょうどbbに潰し、他では単射となる商写像を取る。

    ρ0(s′,t)=tb+(1−t)e(s′)\rho_0(s',t)=tb+(1-t)e(s')

    と定める。球体の各点はbbから球面へ向かう弦上にあり、bb以外では弦の他端と弦上の比が一意である。したがってρ0\rho_0は全射であり、bbの逆像はJk−1J^{k-1}、他のファイバーは一点である。境界の底面は球面へ、残りの面はbbへ写る。bbをs0s_0へ送る球体の直交変換を合成すればよい。k=1k=1ではρ0(t)=2t−1\rho_0(t)=2t-1とし、必要ならば符号を反転する。いずれもコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全射なので商写像である。

▨

問題 6.3.

  1. 命題 5.1の完全性を、三種類の項で証明せよ。
  2. 対の列への特殊化と、末尾の基点付き集合における完全性を確かめよ。
解答.

  1. まずπn(X,B)\pi_n(X,B)の項を考える。AAに値を取る代表元は、πn(X,A)\pi_n(X,A)では零である。逆に[f]∈πn(X,B)[f]\in\pi_n(X,B)がπn(X,A)\pi_n(X,A)で零ならば、補題 4.3によって境界を固定してAAに値を取る写像ggへ動かすことができる。境界の像はBBに含まれ、Jn−1J^{n-1}の像はx0x_0のままなので、ggはπn(A,B)\pi_n(A,B)の代表元である。

    次にn≥2n\geq2としてπn(X,A)\pi_n(X,A)の項を考える。πn(X,B)\pi_n(X,B)から来る代表元の底面はBBに入るので、πn−1(A,B)\pi_{n-1}(A,B)では零である。逆に底面a=f∣In−1×{0}a=f|_{I^{n-1}\times\{0\}}の相対類が零ならば、零の判定によってaaを境界固定でBBに値を取る写像へ動かすことができる。このホモトピーを底面に置き、他の面では値x0x_0を固定する。(In,∂In)(I^n,\partial I^n)のホモトピー拡張性質によってff全体へ延長すると、終写像はπn(X,B)\pi_n(X,B)の代表元となる。

    最後にπm(A,B)\pi_m(A,B)（m≥1m\geq1）の項を考える。πm+1(X,A)\pi_{m+1}(X,A)の代表元ffを最後の座標についてのホモトピーとみると、ffは底面への制限f∣Im×{0}f|_{I^m\times\{0\}}から定値写像へのXX内のホモトピーである。したがって像は次の写像の核に含まれる。

    逆にa:Im→Aa:I^m\to Aがπm(X,B)\pi_m(X,B)で零とし、三つ組の写像を通るヌルホモトピーF:Im×It→XF:I^m\times I_t\to Xを取る。境界のホモトピーF∣∂Im×IF|_{\partial I^m\times I}はBBに値を取る。ホモトピー拡張性質をAAを値域として用い、これをaaのホモトピーK:Im×Iu→AK:I^m\times I_u\to Aに延長する。K(−,0)=aK(-,0)=aであり、Jm−1J^{m-1}では常にx0x_0、残る境界では常にBBに値を取る。よってa′=K(−,1)a'=K(-,1)はaaと同じ相対類を表し、境界全体をx0x_0に送る。

    円柱Im×ItI^m\times I_tの境界上に、uuを時間として、底面にはK(s,u)K(s,u)、上面にはx0x_0、側面にはF(s,t+u(1−t))F(s,t+u(1-t))を置く。これらは共通部分で一致し、u=0u=0ではFFの境界値に一致する。再びホモトピー拡張性質によりFF全体のホモトピーへ延長する。u=1u=1の写像は底面でa′a'、他の境界でx0x_0を取るので、πm+1(X,A)\pi_{m+1}(X,A)の代表元である。その境界の類は[a′]=[a][a']=[a]であり、核が像に含まれることを得る。

  2. B={x0}B=\{x_0\}とすれば、絶対群との同一視により対の列の正次数部分を得る。π1(X,A)\pi_1(X,A)では、ループから来る道の始点はx0x_0なので、その境界は基点の成分である。逆に道f:a→x0f:a\to x_0の始点がAAでx0x_0と同じ成分に属するとき、AA内の道δ:x0→a\delta:x_0\to aを前に連結すればループδ∗f\delta*fとなる。始点をδ\deltaに沿って動かすと相対類は[f][f]に一致するので、ここで完全である。

    π0(A)\pi_0(A)の項では、AAの点aaの成分がXXで基点の成分へ写ることは、XX内に道a→x0a\to x_0が存在するための必要十分条件である。その道は相対一次の代表元であり、境界は[a][a]である。したがって末尾の完全性を得る。

▨

参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.立方体による高次ホモトピー群、基点の取り替えと基本群の作用、相対ホモトピー群の零の判定、対と三つ組のホモトピー完全列の議論を参考にした。

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