胞体鎖複体 | 位相幾何入門

1 骨格対の相対ホモロジー

各骨格 $X^n$ と $X^{n-1}$ の対は CW 対であり、したがって良い対である。相対ホモロジーを商の被約ホモロジーへ移すと、新たに接着された胞体だけが残る。

命題 1.1. $X$ を CW 複体とし、その $n$ 胞体の添字集合を $I_n$ とする。

$n\geq1$ の対 $(D^n,S^{n-1})$ は良い対である。§E21.22 命題 4.2 (1)の特性写像は同相写像 $D^n/S^{n-1}\cong S^n$ を誘導し、 $H_n(D^n,S^{n-1})\cong\Z$ である。
$n\geq1$ とし、各 $H_n(D^n_\alpha,S^{n-1}_\alpha)$ の生成元 $u_\alpha$ を選ぶ。このとき $(\chi_\alpha)_*u_\alpha$ （ $\alpha\in I_n$ ）は $H_n(X^n,X^{n-1})$ の基底であり、 $k\neq n$ では $H_k(X^n,X^{n-1})=0$ である。
$H_0(X^0)$ は零胞体の点の類 $[e^0_\alpha]$ を基底とする自由アーベル群である。また $k>0$ では $H_k(X^0)=0$ である。

証明.主張 (1)を示す。この対は§E21.22 命題 4.5により CW 対なので良い対である。球面の標準特性写像は境界を一点に送り、内部をその点の補集合へ全単射に写す。よってコンパクト空間 $D^n/S^{n-1}$ から Hausdorff 空間 $S^n$ への連続な全単射を誘導し、これは同相写像である。良い対の商空間定理（§E21.17 定理 2.4 (1)）と球面のホモロジーから $H_n(D^n,S^{n-1})\cong\Z$ を得る。

主張 (2)を示す。 $X^{n-1}=\varnothing$ ならば $X^0=\varnothing$ である。空でない胞体の境界を空集合に接着することはできないので $X^n=\varnothing$ となり、主張は成り立つ。以下では $X^{n-1}\neq\varnothing$ とする。商 $Y=X^n/X^{n-1}$ は§E21.22 補題 6.2により、一つの零胞体 $*$ と各 $\alpha\in I_n$ の $n$ 胞体からなる CW 複体である。

主張 1.1.1. 有限集合 $F\subseteq I_n$ に対して、 $*$ と $F$ の胞体の合併 $Y_F$ は部分複体であり、 $\bigvee_{\alpha\in F}D^n_\alpha/S^{n-1}_\alpha$ と同相である。 $F=\varnothing$ ではこの楔和を一点とする。

証明. 各胞体の境界は $*$ に入るので、 $Y_F$ は部分複体である。各特性写像は境界を一点へ送るため、表示した有限楔和から $Y_F$ への連続な全単射を誘導する。定義域はコンパクト、 $Y_F$ は Hausdorff なので、この写像は同相写像である。▨

有限楔和のホモロジー（§E21.18 命題 2.4）と球面のホモロジーにより、 $\widetilde H_k(Y_F)$ は $k=n$ のとき各球面の生成元を基底とする自由アーベル群であり、他の次数で零である。各球面の基点は CW 対の良い近傍をもつので、楔和の命題の仮定を満たす。

有限部分楔和 $Y_F$ は包含について有向である。§E21.22 定理 2.4により、 $Y$ の任意のコンパクト部分集合に対して、それを含む $Y_F$ が存在する。したがって§E21.13 命題 4.1により、ホモロジーは有限部分楔和のホモロジーの帰納極限となる。各 $Y_F$ は弧状連結であり、正次数では被約群と通常の群が一致するので、被約群についても

\widetilde H_k(Y)\cong \begin{cases} \displaystyle\bigoplus_{\alpha\in I_n}\Z&k=n,\\ 0&k\neq n \end{cases}

を得る。商空間定理の自然性により各球面の生成元は $(\chi_\alpha)_*u_\alpha$ に対応し、主張 (2)が従う。

主張 (3)を示す。 $X^0$ は離散空間なので、各特異単体は一つの点に値を取る。その特異鎖複体は各点の鎖複体の直和である。§E21.13 命題 2.4により主張 (3)を得る。▨

定義 1.2. $n\geq1$ の開胞体 $e^n_\alpha$ の向き (orientation of a cell) とは、無限巡回群 $H_n(D^n_\alpha,S^{n-1}_\alpha)$ の生成元の選択である。選んだ生成元を相対基本類 (relative fundamental class) といい、 $[D^n_\alpha,S^{n-1}_\alpha]$ と書く。また

[e^n_\alpha]=(\chi_\alpha)_*[D^n_\alpha,S^{n-1}_\alpha]

とおく。零胞体の $[e^0_\alpha]$ は、その点の $H_0(X^0)$ における類とする。

2 胞体境界作用素

定義 2.1. $n<0$ では $X^n=\varnothing$ 、 $C_n^{\mathrm{cell}}(X)=0$ とし、 $n\geq0$ では

C_n^{\mathrm{cell}}(X)=H_n(X^n,X^{n-1})

と定める。 $n\geq1$ に対して、対の長完全列の連結準同型と包含による準同型の合成

d_n^{\mathrm{cell}}: H_n(X^n,X^{n-1})\xrightarrow{\delta_n}H_{n-1}(X^{n-1}) \xrightarrow{j_{n-1}}H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2})

を胞体境界作用素 (cellular boundary operator) と呼ぶ。 $d_0^{\mathrm{cell}}=0$ とする。

命題 2.2. $d_{n-1}^{\mathrm{cell}}d_n^{\mathrm{cell}}=0$ であり、 $(C_*^{\mathrm{cell}}(X),d_*^{\mathrm{cell}})$ は鎖複体である。

証明. $n=1$ では $d_0^{\mathrm{cell}}=0$ である。 $n\geq2$ では

d_{n-1}^{\mathrm{cell}}d_n^{\mathrm{cell}} =j_{n-2}\delta_{n-1}j_{n-1}\delta_n=0

となる。最後の等号は、対 $(X^{n-1},X^{n-2})$ の長完全列において連続する二つの準同型の合成 $\delta_{n-1}j_{n-1}$ が零であることによる。▨

命題 2.3. 一胞体 $e$ の特性写像 $\chi:[-1,1]\to X$ により、向きを $-1$ から $1$ へ選ぶと、

d_1^{\mathrm{cell}}[e]=[\chi(1)]-[\chi(-1)]

である。とくに端点が同じ零胞体ならば境界は零である。

証明. $[-1,1]$ を左端から右端へ進む特異一次単体は相対基本類を表し、その特異境界は $[1]-[-1]$ である。連結準同型の代表元による定義と自然性を適用すれば、表示した式を得る。▨

3 境界係数と写像度

定理 3.1. $n\geq2$ とし、各胞体に向きを選ぶ。 $n$ 胞体 $e^n_\alpha$ の接着写像を $\varphi_\alpha:S^{n-1}_\alpha\to X^{n-1}$ とする。相対基本類の連結準同型による像を $[S^{n-1}_\alpha]$ と書く。

$(n-1)$ 胞体 $e^{n-1}_\beta$ に対して、 $\pi_\beta:D^{n-1}_\beta\to D^{n-1}_\beta/S^{n-2}_\beta$ を商写像、境界の像を $*$ とする。写像 $q_\beta:X^{n-1}\to D^{n-1}_\beta/S^{n-2}_\beta$ を、内部の点では $q_\beta(\chi_\beta(z))=\pi_\beta(z)$ 、 $X^{n-1}\setminus e^{n-1}_\beta$ 上では値 $*$ と定める。

$q_\beta$ は連続であり、 $[S^{n-1}_\alpha]$ は $H_{n-1}(S^{n-1}_\alpha)$ の生成元である。また $\nu_\beta:H_{n-1}(D^{n-1}_\beta/S^{n-2}_\beta) \longrightarrow H_{n-1}(D^{n-1}_\beta/S^{n-2}_\beta,\{*\})$ は同型であり、 $[S^{n-1}_\beta]=\nu_\beta^{-1}((\pi_\beta)_*[D^{n-1}_\beta,S^{n-2}_\beta])$ は生成元である。
基底に関して $d_n^{\mathrm{cell}}[e^n_\alpha] =\sum_{\beta\in I_{n-1}}d_{\alpha\beta}[e^{n-1}_\beta]$ と書くと、非零の係数は有限個であり、 $(q_\beta\circ\varphi_\alpha)_*[S^{n-1}_\alpha] =d_{\alpha\beta}[S^{n-1}_\beta]$ である。したがって $d_{\alpha\beta}$ は、指定した二つの生成元に関する $q_\beta\circ\varphi_\alpha$ の写像度である。

証明.主張 (1)を示す。 $q_\beta$ と $(n-1)$ 骨格の各特性写像との合成は、 $\beta$ の円板では $\pi_\beta$ 、他の円板では定値写像である。弱位相により $q_\beta$ は連続である。円板は可縮なので、被約ホモロジーの対の長完全列は

H_n(D^n_\alpha,S^{n-1}_\alpha)\xrightarrow{\delta} \widetilde H_{n-1}(S^{n-1}_\alpha)

を同型として与える。 $n-1>0$ なので右辺は通常のホモロジーと一致する。また球面と一点の対の長完全列から $\nu_\beta$ は同型である。商空間定理と合わせて主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。連結準同型の自然性により

\delta_n[e^n_\alpha]=(\varphi_\alpha)_*[S^{n-1}_\alpha]

である。 $q_\beta$ を対の写像とみたとき、誘導写像は $[e^{n-1}_\gamma]$ を $\gamma\neq\beta$ なら零へ、 $\gamma=\beta$ なら $\nu_\beta[S^{n-1}_\beta]$ へ送る。したがって自然性の等式

(q_\beta)_*j_{n-1}=\nu_\beta(q_\beta)_*

を $\delta_n[e^n_\alpha]$ に適用すると、

d_{\alpha\beta}\nu_\beta[S^{n-1}_\beta] =\nu_\beta(q_\beta\circ\varphi_\alpha)_*[S^{n-1}_\alpha]

を得る。 $\nu_\beta$ は単射なので係数の公式が従う。非零係数の有限性は、胞体の類が直和の基底であることによる。▨

命題 3.2. 各次数の胞体の基底を $\epsilon_e[e]$ （ $\epsilon_e\in\{1,-1\}$ ）に取り替え、 $D_n$ をその符号を対角成分にもつ行列とする。このとき、新しい基底による境界行列は

d'_n=D_{n-1}^{-1}d_nD_n

である。これらの符号行列は二つの表示の鎖同型を与え、ホモロジーは変わらない。

証明. 新しい座標を古い座標へ直す写像が $D_n$ なので、 $d_nD_n=D_{n-1}d'_n$ である。各 $D_n$ は逆写像をもつので、この等式は鎖同型を与える。一つの $n$ 胞体の向きの反転は、 $d_n$ の対応する列と $d_{n+1}$ の対応する行の符号を反転させる。▨

4 実射影空間と閉曲面

命題 4.1. $m\geq1$ とし、 $\mathbb{RP}^m$ に各次元 $0,\ldots,m$ に一つの胞体をもつ標準 CW 構造を入れる。このとき、各胞体の向きを適切に選ぶと、 $1\leq n\leq m$ の境界 $d_n:\Z\to\Z$ は、 $n$ が偶数ならば $2$ 倍、 $n$ が奇数ならば零である。

証明. $n=1$ の辺の端点は同じ零胞体なので、命題 2.3により $d_1=0$ である。 $n\geq2$ では、接着写像は対蹠点を同一視する $\varphi:S^{n-1}\to\mathbb{RP}^{n-1}$ である。 $q$ を $(n-1)$ 胞体以外を一点に送る写像とし、 $f=q\circ\varphi$ とおく。

潰された点以外の値 $y$ の逆像は二点 $x,-x$ であり、二つの開半球上で $f$ は各半球をそれぞれ潰された点を除く値域へ同相に写す。したがって局所次数 $d_x,d_{-x}$ は $\pm1$ である。対蹠写像 $a$ について $f\circ a=f$ であり、局所ホモロジーの自然性と§E21.19 系 1.4から

d_x=(-1)^n d_{-x}

となる。局所次数の和公式（§E21.19 定理 2.4）により

\deg f=d_x+d_{-x}=d_x(1+(-1)^n)

である。 $n$ が奇数ならば零、偶数ならば $\pm2$ となる。低次元から順に向きを選び、偶数次元では必要ならばその胞体の向きを反転すれば、係数を $+2$ にすることができる。境界係数の公式により結論を得る。▨

命題 4.2. $g,h\geq1$ とし、標準閉曲面 $\Sigma_g,N_h$ に§E21.22 命題 4.2 (5)の胞体構造を入れる。このとき、 $\Sigma_g$ の胞体鎖群は

C_2\cong\Z,\qquad C_1\cong\Z^{2g},\qquad C_0\cong\Z

であり、向きの選び方によらず $d_2=d_1=0$ である。 $N_h$ では

C_2\cong\Z,\qquad C_1\cong\Z^h,\qquad C_0\cong\Z

であり、適切に向きを選んで二胞体の基底元を $1$ 、一胞体の基底元を $a_1,\ldots,a_h$ と書くと、 $d_2(1)=2(a_1+\cdots+a_h)$ 、 $d_1=0$ である。

証明.§E21.7 系 4.3により、 $\Sigma_g,N_h$ をそれぞれ接着語 $[a_1,b_1]\cdots[a_g,b_g]$ と $a_1^2\cdots a_h^2$ の二胞体の模型と同一視する。零胞体は一つなので $d_1=0$ である。

一般の語 $w=a_{i_1}^{\epsilon_1}\cdots a_{i_m}^{\epsilon_m}$ の模型を考える。円周の生成元を $\omega$ とし、二胞体の向きを、境界の生成元が語に沿う弧の輪体 $[\xi_w]$ となるように選ぶ。一胞体の向きも各文字の正向きと一致させる。§E21.18 補題 3.2 (5)により

(\varphi_w)_*[\xi_w] =\sum_{j=1}^m\epsilon_j(\iota_{i_j})_*\omega

である。各 $q_\beta$ は $\beta$ の円周だけを保ち、他の円周を一点へ送るので、境界係数は文字 $a_\beta$ の指数和に等しい。 $\Sigma_g$ の語ではすべての指数和が零であり、 $N_h$ の語ではすべて $2$ である。向きの変更は行と列の符号を変えるだけなので、 $\Sigma_g$ の零という結論は向きに依存しない。▨

例 4.3. 円環面の語 $aba^{-1}b^{-1}$ では $d_2=0$ である。Klein の壺を語 $aba^{-1}b$ で表せば、適切な向きの下で $d_2(1)=2b$ である。この語は逆順化、文字の反転、文字の入れ替えによって $abab^{-1}$ に移り、§E21.7 補題 1.4と§E21.7 命題 4.4 (2)によって Klein の壺の多角形表示になる。一頂点という性質も保たれるので、§E21.7 命題 3.5 (3)により二胞体の模型として同じ空間を与える。

5 演習

問題 5.1.

二頂点 $v,w$ と、 $v$ から $w$ に向く二辺 $a,b$ のグラフについて、 $d_1$ とその核を求めよ。 $b$ の向きを反転した場合と鎖同型で比較せよ。
二円周の楔和に語 $a^2$ と $b^3$ で二つの二胞体を接着した空間の境界行列を求めよ。一胞体と二胞体の向きの変更が行と列に及ぼす効果を確かめよ。

解答.

$d_1(a)=d_1(b)=w-v$ なので、 $d_1(ra+sb)=(r+s)(w-v)$ であり、 $\ker d_1=\Z(a-b)$ である。 $b'=-b$ を新しい基底とすれば $d_1(b')=v-w$ であり、核は $\Z(a+b')$ となる。 $a\mapsto a$ 、 $b'\mapsto-b$ とし、零次では恒等写像を用いれば鎖同型となる。
向きを語とそろえると、 $d_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ 、 $d_1=0$ である。二胞体の向きの反転は対応する列、一胞体の向きの反転は対応する行の符号を変える。一般の変更は命題 3.2の符号行列の式で与えられる。

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§E21.23胞体鎖複体

1 骨格対の相対ホモロジー

2 胞体境界作用素

3 境界係数と写像度

4 実射影空間と閉曲面

5 演習

参考文献

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