§E21.26一次ホモロジーと基本群の可換化

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基本群と一次ホモロジーは、いずれも空間のループに関係する不変量である。しかし、基本群ではループの連結を積とし、一次ホモロジーでは鎖の和を用いるため、両者の関係は定義だけでは明らかでない。一次 Hurewicz 同型は、弧状連結空間の一次ホモロジーが基本群の可換化に一致することを述べる、両理論の最も基本的な比較定理である。たとえば、二つの円周の楔和では基本群は非可換であるが、一次ホモロジーは階数二の自由アーベル群となる。本記事では、一次 Hurewicz 同型とその具体例を解説する。

1 道の連結と二次鎖

補題 1.1.XXを空間とし、C‾1(X)=C1(X;Z)/B1(X;Z)\overline C_1(X)=C_1(X;\Z)/B_1(X;\Z)と置く。一次鎖のこの商での類を⟨ ⟩\langle\ \rangleと書く。

  1. 連結することができる道α,β\alpha,\betaに対して⟨α∗β⟩=⟨α⟩+⟨β⟩\langle\alpha*\beta\rangle=\langle\alpha\rangle+\langle\beta\rangleであり、任意の道α\alphaに対して⟨αˉ⟩=−⟨α⟩\langle\bar\alpha\rangle=-\langle\alpha\rangleである。現れる鎖が一次サイクルである場合には、同じ等式がH1(X;Z)H_1(X;\Z)で成り立つ。
  2. 基点を保ってホモトピックな二つのループは、H1(X;Z)H_1(X;\Z)で同じ類を与える。
  3. 基点付き空間(X,x0)(X,x_0)に対して、ループを特異一次サイクルとみなす対応[α]↦[α]H1[\alpha]\mapsto[\alpha]_{H_1}は群準同型π1(X,x0)→H1(X;Z)\pi_1(X,x_0)\to H_1(X;\Z)を定める。この準同型は交換子部分群を零に送り、可換化からH1(X;Z)H_1(X;\Z)への準同型を一意に誘導する。

証明.主張 (1)を示す。γ=α∗β\gamma=\alpha*\betaとし、標準二単体の重心座標を用いて

s(t0,t1,t2)=γ(t1/2+t2)s(t_0,t_1,t_2)=\gamma(t_1/2+t_2)

と置く。0101辺ではs(1−u,u,0)=γ(u/2)=α(u)s(1-u,u,0)=\gamma(u/2)=\alpha(u)、1212辺ではs(0,1−u,u)=γ((1+u)/2)=β(u)s(0,1-u,u)=\gamma((1+u)/2)=\beta(u)、0202辺ではs(1−u,0,u)=γ(u)s(1-u,0,u)=\gamma(u)である。よって

∂s=β−(α∗β)+α\partial s=\beta-(\alpha*\beta)+\alpha

であり、連結の公式を得る。

主張 (2)を示す。H:[0,1]2→XH:[0,1]^2\to Xを基点を固定するループα\alphaからβ\betaへのホモトピーとする。正方形の頂点をA=(0,0)A=(0,0)、B=(1,0)B=(1,0)、C=(1,1)C=(1,1)、D=(0,1)D=(0,1)とし、HHと頂点順序ABCABC、ADCADCのアフィン二単体の合成をそれぞれs1,s2s_1,s_2とする。境界を引くと、対角線の項は消え、

∂(s1−s2)=α−β+H∣BC−H∣AD=α−β\partial(s_1-s_2)=\alpha-\beta+H|_{BC}-H|_{AD}=\alpha-\beta

となる。最後の二つの辺は、同じ基点での定値一次単体なので一致する。これにより主張 (2)を得る。

主張 (1)の逆道の公式を示す。定値一次単体cxc_xは定値二単体の境界である。α∗αˉ\alpha*\bar\alphaは始点を保って定値ループにホモトピックなので、主張 (2)と連結の公式から

0=⟨cα(0)⟩=⟨α∗αˉ⟩=⟨α⟩+⟨αˉ⟩0=\langle c_{\alpha(0)}\rangle =\langle\alpha*\bar\alpha\rangle =\langle\alpha\rangle+\langle\bar\alpha\rangle

となる。したがって、逆道の公式を得る。

主張 (3)を示す。ループは一次サイクルであり、主張 (2)によりそのホモロジー類は基本群の代表元によらない。連結の公式により基本群の積はホモロジーの和へ移るので、群準同型である。終域がアーベル群なので交換子を零へ送り、可換化の普遍性により主張 (3)の一意な準同型を得る。▨

定義 1.2. 基点付き空間(X,x0)(X,x_0)に対して、補題 1.1 (3)の準同型を一次 Hurewicz 準同型

hX:π1(X,x0)⟶H1(X;Z)h_X:\pi_1(X,x_0)\longrightarrow H_1(X;\Z)

という。可換化に誘導される準同型をhˉX:π1(X,x0)ab→H1(X;Z)\bar h_X:\pi_1(X,x_0)^{\mathrm{ab}}\to H_1(X;\Z)と書く。

2 補助道による逆写像

補題 2.1.XXを弧状連結な空間、x0∈Xx_0\in Xとする。各x∈Xx\in Xに道λx:x0→x\lambda_x:x_0\to xを選び、λx0\lambda_{x_0}は定値道とする。始点xx、終点yyの特異一次単体σ\sigmaに対し、Lσ=λx∗σ∗λˉyL_\sigma=\lambda_x*\sigma*\bar\lambda_yと置く。このとき、σ\sigmaを[Lσ][L_\sigma]の可換化での類へ送る準同型

Φ:C1(X;Z)⟶π1(X,x0)ab\Phi:C_1(X;\Z)\longrightarrow\pi_1(X,x_0)^{\mathrm{ab}}

は、任意の特異二単体τ\tauに対してΦ(∂τ)=0\Phi(\partial\tau)=0を満たす。したがってサイクルへの制限から準同型ϕX:H1(X;Z)→π1(X,x0)ab\phi_X:H_1(X;\Z)\to\pi_1(X,x_0)^{\mathrm{ab}}を誘導する。

証明. 一次鎖群は特異一次単体を基底とする自由アーベル群なので、指定した値は一意な準同型Φ\Phiを定める。τ\tauの頂点の像をp0,p1,p2p_0,p_1,p_2、辺の制限をτ01,τ12,τ02\tau_{01},\tau_{12},\tau_{02}とする。∂τ=τ12−τ02+τ01\partial\tau=\tau_{12}-\tau_{02}+\tau_{01}なので、Φ(∂τ)\Phi(\partial\tau)は、可換化における

[Lτ01][Lτ12][Lτ02]−1[L_{\tau_{01}}][L_{\tau_{12}}][L_{\tau_{02}}]^{-1}

の類である。この積を基本群で展開し、隣り合う補助道とその逆道を消去すると、

[λp0∗τ01∗τ12∗τˉ02∗λˉp0][\lambda_{p_0}*\tau_{01}*\tau_{12}*\bar\tau_{02}*\bar\lambda_{p_0}]

を得る。中央のループは標準二単体の境界のループをτ\tauで写したものである。標準二単体内で基点v0v_0への線形ホモトピーを取ると、このループは基点を固定して縮む。したがって積は単位元であり、Φ(∂τ)=0\Phi(\partial\tau)=0である。線形性によりΦ\PhiはB1(X;Z)B_1(X;\Z)を零へ送るので、Z1(X;Z)Z_1(X;\Z)上の制限はその商H1(X;Z)H_1(X;\Z)を通る。▨

定理 2.2 (一次 Hurewicz 同型). 弧状連結な基点付き空間(X,x0)(X,x_0)に対して、一次 Hurewicz 準同型は自然な同型

hˉX:π1(X,x0)ab→≅H1(X;Z)\bar h_X:\pi_1(X,x_0)^{\mathrm{ab}}\xrightarrow{\cong}H_1(X;\Z)

を与える。したがってhXh_Xは全射であり、その核はπ1(X,x0)\pi_1(X,x_0)の交換子部分群である。

証明.補題 2.1のϕX\phi_Xを取る。基点付きループα\alphaに対して、Lα=λx0∗α∗λˉx0L_\alpha=\lambda_{x_0}*\alpha*\bar\lambda_{x_0}はα\alphaと端点固定でホモトピックなので、ϕXhˉX\phi_X\bar h_Xは可換化の各元を保つ。

逆の合成を、一次サイクルz=∑iniσiz=\sum_i n_i\sigma_i上で調べる。σi\sigma_iの始点をxix_i、終点をyiy_iとすると、補題 1.1により、まずC1(X)/B1(X)C_1(X)/B_1(X)において

∑ini⟨Lσi⟩=∑ini(⟨λxi⟩+⟨σi⟩−⟨λyi⟩)\sum_i n_i\langle L_{\sigma_i}\rangle =\sum_i n_i\bigl(\langle\lambda_{x_i}\rangle+\langle\sigma_i\rangle-\langle\lambda_{y_i}\rangle\bigr)

である。∂z=∑ini(yi−xi)=0\partial z=\sum_i n_i(y_i-x_i)=0なので、各点xxについて終点に現れる係数の和と始点に現れる係数の和は等しい。したがって補助道だけの一次鎖

∑ini(λxi−λyi)\sum_i n_i(\lambda_{x_i}-\lambda_{y_i})

は零である。ゆえに上の等式の右辺は⟨z⟩\langle z\rangleに等しい。両辺はサイクルを表すのでH1(X;Z)H_1(X;\Z)の等式でもある。したがって、hˉXϕX([z])=[z]\bar h_X\phi_X([z])=[z]を得る。両合成が恒等写像であるから、両写像は互いに逆である。

基点付き連続写像f:(X,x0)→(Y,y0)f:(X,x_0)\to(Y,y_0)に対して、ループをffで写してから一次サイクルとみなす操作と、先に一次サイクルとみなしてからffで写す操作は、いずれも特異一次単体fαf\alphaを与える。したがってH1(f)hˉX=hˉY(f∗)abH_1(f)\bar h_X=\bar h_Y(f_*)^{\mathrm{ab}}であり、同型は自然である。最後にhXh_Xは可換化の商写像と同型hˉX\bar h_Xの合成なので、全射性と核の主張が従う。▨

注意 2.3. 逆写像の構成では各特異一次単体に補助道を付け、二次境界が可換化で零になることを先に確かめた。これにより、サイクルをループの和に分解する選択を比較する必要がなくなる。計算で相殺したのは補助道の小計であり、基点付きループLσL_\sigmaという一つの特異単体と、三本の道の鎖の和とを鎖群の中で等しいとしたわけではない。

3 基本群の表示からの計算

例 3.1.§E21.6 定理 1.5 (1)によりπ1(S1,1)≅Z\pi_1(S^1,1)\cong\Zなので、一次 Hurewicz 同型はH1(S1;Z)≅ZH_1(S^1;\Z)\cong\Zを与える。正の向きの一周のループが生成元を表す。

r≥1r\geq1個の円周の楔和では、§E21.8 命題 3.1により基本群はF(a1,…,ar)F(a_1,\ldots,a_r)である。その可換化はZr\Z^rなので、H1(⋁i=1rS1;Z)≅ZrH_1(\bigvee_{i=1}^rS^1;\Z)\cong\Z^rとなる。r≥2r\geq2では基本群は非可換であるが、一次ホモロジーでは交換子は零になる。

例 3.2.§E21.7 定義 4.1の標準閉曲面を考える。このとき、§E21.8 命題 4.5のΣg\Sigma_g、g≥1g\geq1、の表示の関係語は交換子の積である。可換化するとこの関係はすでに成り立つので、H1(Σg;Z)≅Z2gH_1(\Sigma_g;\Z)\cong\Z^{2g}である。

§E21.8 命題 4.6のNhN_h、h≥1h\geq1、の表示は⟨a1,…,ah∣a12⋯ah2⟩\langle a_1,\ldots,a_h\mid a_1^2\cdots a_h^2\rangleである。したがって

H1(Nh;Z)≅Zh/⟨2(e1+⋯+eh)⟩.H_1(N_h;\Z)\cong\Z^h/\langle2(e_1+\cdots+e_h)\rangle.

u=e1+⋯+ehu=e_1+\cdots+e_hと置くと、u,e2,…,ehu,e_2,\ldots,e_hは整数基底である。実際、e1=u−e2−⋯−ehe_1=u-e_2-\cdots-e_hにより元の基底を整数係数で復元することができる。この基底では関係は2u=02u=0だけになるので、H1(Nh;Z)≅Zh−1⊕Z/2ZH_1(N_h;\Z)\cong\Z^{h-1}\oplus\Z/2\Zである。

注意 3.3. 一次 Hurewicz 同型の証明は一次と二次の特異鎖の計算で完結する。高次の Hurewicz の定理では高次ホモトピー群を用い、対応する連結性の仮定を課す。高次の Hurewicz の定理は、一次 Hurewicz 同型の証明だけからは従わない。

4 演習

問題 4.1.

  1. 三角形の境界を一方向に巡る三本の道α:x0→x1\alpha:x_0\to x_1、β:x1→x2\beta:x_1\to x_2、γ:x2→x0\gamma:x_2\to x_0を考える。一次サイクルα+β+γ\alpha+\beta+\gammaと、一つの特異一次単体であるループ(α∗β)∗γ(\alpha*\beta)*\gammaを比較し、鎖としての相違とホモロジー類の一致を説明せよ。
  2. 弧状連結なXXでker⁡hX\ker h_Xが交換子部分群に等しいことを示せ。さらにX=S1∨S1X=S^1\vee S^1で、交換子aba−1b−1aba^{-1}b^{-1}は基本群の単位元でないが、hXh_Xで零へ移ることを示せ。
  3. Klein の壺の基本群の表示⟨a,b∣aba−1b⟩\langle a,b\mid aba^{-1}b\rangleを可換化し、一次ホモロジーを求めよ。
解答.
  1. α+β+γ\alpha+\beta+\gammaは三つの特異単体の形式和であり、連結したループは一つの特異単体である。したがって鎖群では一般に等しくない。連結の補題の二単体をsα,βs_{\alpha,\beta}、sα∗β,γs_{\alpha*\beta,\gamma}と書くと、その境界の和はα+β+γ−((α∗β)∗γ)\alpha+\beta+\gamma-((\alpha*\beta)*\gamma)である。両者はサイクルなので、同じホモロジー類を表す。
  2. 可換化の商写像をπ\piとすると、hX=hˉXπh_X=\bar h_X\piである。hˉX\bar h_Xは単射なのでker⁡hX=ker⁡π\ker h_X=\ker\piは交換子部分群である。八の字の基本群はF(a,b)F(a,b)であり、a↦(1 2)a\mapsto(1\,2)、b↦(2 3)b\mapsto(2\,3)はS3S_3への準同型を定める。交換子の像は((1 2)(2 3))2((1\,2)(2\,3))^2という非自明な三巡回なので、元の交換子も単位元でない。一方、交換子であるからhXh_Xの像は零である。
  3. 自由群の可換化Z⟨a,b⟩\Z\langle a,b\rangleにおいて、関係語の指数和は0a+2b0a+2bである。よって可換化はZ⟨a⟩⊕(Z⟨b⟩/2Z⟨b⟩)\Z\langle a\rangle\oplus(\Z\langle b\rangle/2\Z\langle b\rangle)であり、一次 Hurewicz 同型によりH1(K;Z)≅Z⊕Z/2ZH_1(K;\Z)\cong\Z\oplus\Z/2\Zとなる。

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参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.一次 Hurewicz 準同型の特異一次鎖と二次鎖による証明を参考にした。

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