係数を持つ鎖複体とホモロジー | 位相幾何入門

1 係数付きの特異鎖

補題 1.1. 位相空間 $X$ とアーベル群 $M$ に対し、各整数 $n$ について

(\partial_n\otimes\id_M)(\partial_{n+1}\otimes\id_M)=0

である。したがって、 $(C_n(X)\otimes_{\Z}M,\partial_n\otimes\id_M)_{n\in\Z}$ は鎖複体である。

証明. テンソル積の関手性§E6.12 命題 12.1と§E21.13 命題 1.3により、左辺は $(\partial_n\partial_{n+1})\otimes\id_M=0$ に等しい。▨

定義 1.2 (係数付きの特異ホモロジー). $X$ を位相空間、 $M$ をアーベル群とする。

$C_n(X;M)=C_n(X)\otimes_{\Z}M$ を $M$ 係数特異鎖群 (singular chain group with coefficients) といい、境界作用素を $\partial_n^M=\partial_n\otimes\id_M$ とする。
補題 1.1の鎖複体のホモロジー $H_n(X;M)=\ker\partial_n^M/\operatorname{im}\partial_{n+1}^M$ を $M$ 係数ホモロジー群 (homology group with coefficients) という。

補題 1.3. $X$ を位相空間、 $M$ をアーベル群、 $n\geq0$ とする。

任意の $c\in C_n(X;M)$ に対し、特異 $n$ 単体 $\sigma$ で添字付けられた族 $(m_\sigma)_\sigma$ で、有限個を除いて $m_\sigma=0$ であり、 $c=\sum_\sigma\sigma\otimes m_\sigma$ を満たすものがただ一つ存在する。

証明. $C_n(X)$ は特異 $n$ 単体を基底とする自由アーベル群である。§E6.12 定理 10.1により $C_n(X)\otimes_{\Z}M\cong\bigoplus_\sigma M$ であり、直和の座標の一意性により結論を得る。▨

命題 1.4. 位相空間の間の連続写像 $f\colon X\to Y$ とアーベル群の準同型 $\varphi\colon M\to N$ は、鎖写像

f_\#\otimes\varphi\colon C_\bullet(X;M)\longrightarrow C_\bullet(Y;N)

を誘導する。この対応は各変数について恒等写像と合成を保ち、ホモロジー上にも同じ性質をもつ準同型を誘導する。 $M,N$ が可換環 $R$ 上の加群であり、 $\varphi$ が $R$ 線形ならば、これらは $R$ 線形写像である。

証明.§E21.13 命題 1.6 (1)により $\partial f_\#=f_\#\partial$ である。テンソル積の合成則により

(\partial\otimes\id_N)(f_\#\otimes\varphi) =(f_\#\otimes\varphi)(\partial\otimes\id_M)

となる。恒等写像と合成の保存も§E6.12 命題 12.1と§E21.13 命題 1.6 (2)から従う。鎖写像は輪体と境界を保つのでホモロジー上の射を誘導する。 $R$ は係数の第二因子に作用し、表示した写像はその作用と可換である。▨

命題 1.5.

任意の位相空間 $X$ と整数 $n$ に対し、自然な同型 $H_n(X;\Z)\cong H_n(X)$ がある。
位相空間の間の連続写像 $f,g\colon X\to Y$ がホモトピックならば、任意のアーベル群 $M$ と整数 $n$ に対して $f_*=g_*\colon H_n(X;M)\to H_n(Y;M)$ である。したがってホモトピー同値写像は、任意の係数についてホモロジーの同型を誘導する。

証明.主張 (1)を示す。§E6.12 命題 13.1の同型 $C_n(X)\otimes_{\Z}\Z\to C_n(X)$ 、 $c\otimes m\mapsto mc$ は微分および連続写像が誘導する射と可換であるから、整数係数の同型を得る。主張 (2)を示す。 $f$ から $g$ へのホモトピーの角柱作用素を $P$ とする。§E21.13 命題 3.2 (1)にテンソル積を施すと

\partial^M(P\otimes\id_M)+(P\otimes\id_M)\partial^M =g_\#\otimes\id_M-f_\#\otimes\id_M

となる。§E6.34 命題 1.3により二つのホモロジー射は一致する。ホモトピー同値写像とそのホモトピー逆写像にこの結論と関手性を適用すると、誘導される二つの射の合成は恒等写像になる。▨

系 1.6. 位相空間 $X$ の弧状連結成分を $(X_\alpha)_\alpha$ 、包含を $i_\alpha\colon X_\alpha\to X$ とし、 $M$ をアーベル群とする。このとき、各整数 $n$ に対して、

\sum_\alpha(i_\alpha)_*\colon\bigoplus_\alpha H_n(X_\alpha;M)\longrightarrow H_n(X;M)

は同型である。 $M$ が可換環 $R$ 上の加群ならば、この同型は $R$ 線形である。

証明.§E21.13 命題 2.3 (1)の直和分解へ $-\otimes_{\Z}M$ を施す。§E6.12 命題 18.1により $C_\bullet(X;M)=\bigoplus_\alpha C_\bullet(X_\alpha;M)$ である。微分は各成分を保つので、輪体と境界を成分ごとにとると表示された同型を得る。係数が $R$ 加群の場合には、各包含の誘導射が $R$ 線形である。▨

系 1.7. $X$ を位相空間、 $\mathcal W$ を包含について有向な、 $X$ の部分集合からなる空でない集合とする。各 $W$ に部分空間位相を入れ、 $X$ の任意のコンパクト部分集合に対して、それを含む $W\in\mathcal W$ が存在すると仮定する。このとき、任意のアーベル群 $M$ と整数 $n$ に対して、包含による写像

\varinjlim_{W\in\mathcal W}H_n(W;M)\longrightarrow H_n(X;M)

は同型である。 $M$ が可換環 $R$ 上の加群ならば、この同型は $R$ 線形である。

証明.§E21.13 命題 4.1 (1)により、 $C_\bullet(X)$ は $C_\bullet(W)$ の有向な和である。各次数の $C_n(W)$ は基底の部分集合が張る直和因子なので、§E6.12 命題 18.1により $C_n(W;M)\to C_n(X;M)$ は単射である。係数付き鎖も有限個の特異単体の和であり、その有限個の像を含む $W$ が存在する。したがって $C_\bullet(X;M)$ は部分複体 $C_\bullet(W;M)$ の有向な和である。§E6.33 命題 3.1によりホモロジーの同型を得る。係数が $R$ 加群の場合には、微分と包含の誘導射は $R$ 線形であるから、得られた同型も $R$ 線形である。▨

2 実射影平面の係数変更

命題 2.1. $\mathbb{RP}^2$ に、§E21.12 Δ複体と単体的ホモロジーの二頂点 $v_0,v_1$ 、三辺 $a,b,c$ 、二つの二単体 $U,L$ による Δ複体構造を入れる。このとき、辺と二単体の境界は

\partial_1a=\partial_1b=v_1-v_0,\qquad\partial_1c=0, \qquad\partial_2U=a-b+c,\qquad\partial_2L=a-b-c

である。アーベル群 $M$ に対し、 $C_\bullet^\Delta(\mathbb{RP}^2)\otimes_{\Z}M$ のホモロジーを $H_n^\Delta(\mathbb{RP}^2;M)$ と書くと、次の表が成り立つ。表にない次数の群は零である。

$M$	$H_0^\Delta(\mathbb{RP}^2;M)$	$H_1^\Delta(\mathbb{RP}^2;M)$	$H_2^\Delta(\mathbb{RP}^2;M)$
$\Z$	$\Z$	$\Z/2\Z$	$0$
$\Q$	$\Q$	$0$	$0$
$\mathbb F_2$	$\mathbb F_2$	$\mathbb F_2$	$\mathbb F_2$

証明.§E6.12 定理 10.1によって、鎖を各単体へ付けた $M$ の係数で表す。一次鎖 $a\otimes x+b\otimes y+c\otimes z$ が輪体である条件は $x+y=0$ である。したがって $p=a-b$ 、 $q=c$ とおくと、輪体群の各元は $p\otimes x+q\otimes z$ で一意に表される。二次の境界は、 $(U,L)$ の係数から $(p,q)$ の係数への行列

A=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

で表される。よって $H_1^\Delta=\operatorname{coker}A$ 、 $H_2^\Delta=\ker A$ である。また零次の商では二つの頂点の係数の差を除くので、係数の和が同型 $H_0^\Delta\cong M$ を与える。

$M=\Z$ の行は、整数とのテンソル積の単位同型と§E21.12 命題 2.4による。 $M=\Q$ では $\det A=-2$ が可逆なので、 $A$ は同型である。 $M=\mathbb F_2$ では二列がともに $(1,1)^{\mathsf T}$ である。像と核はともに一次元であり、余核も一次元である。 Δ鎖群は次数 $0,1,2$ 以外で零なので、ほかの次数のホモロジーは零である。▨

注意 2.2.命題 2.1では、整数係数の一次ホモロジーの二捩れは有理数係数で消える。一方、

H_2^\Delta(\mathbb{RP}^2;\mathbb F_2)\cong\mathbb F_2, \qquad H_2^\Delta(\mathbb{RP}^2)\otimes_{\Z}\mathbb F_2=0

である。したがって係数付きホモロジーは、整数係数ホモロジーへ係数群をテンソルした群と同型とは限らない。この表の群と特異ホモロジー $H_n(\mathbb{RP}^2;M)$ との同型は、§E21.24 胞体ホモロジーと特異ホモロジーの一致の§E21.24 定理 3.4 (2)で証明する。

3 演習

問題 3.1.命題 2.1の証明に現れた行列 $A$ を $\Z/4\Z$ 上で考え、 $H_1^\Delta(\mathbb{RP}^2;\Z/4\Z)$ と $H_2^\Delta(\mathbb{RP}^2;\Z/4\Z)$ を求めよ。

解答.

$A(x,y)=(x+y,x-y)$ であるから、核の条件は $y=-x$ かつ $2x=0$ である。したがって核は $\{(0,0),(2,2)\}$ であり、 $H_2^\Delta\cong\Z/2\Z$ である。像は $(1,1)$ と $(1,-1)$ で生成される。準同型

(\Z/4\Z)^2\longrightarrow\Z/2\Z,\qquad (u,v)\longmapsto u-v\pmod2

は全射であり、像の二つの生成元を零へ送る。 $A$ の核の位数は $2$ なので $\operatorname{im}A$ の位数は $8$ であり、この全射の核の位数も $8$ である。ゆえに両者は一致し、 $H_1^\Delta=\operatorname{coker}A\cong\Z/2\Z$ である。▨

問題 3.2. 係数準同型 $\Z\to\mathbb F_2$ が、 $H_1^\Delta(\mathbb{RP}^2;\Z)$ の非零元を $H_1^\Delta(\mathbb{RP}^2;\mathbb F_2)$ の非零元へ送ることを、輪体 $q=c$ で確かめよ。

解答.

整数係数の輪体群の基底 $(p,q)$ では、境界の関係は $p+q=0$ と $p-q=0$ である。したがって $p=q$ 、 $2q=0$ となり、 $q$ の類が $\Z/2\Z$ の生成元である。係数を $\mathbb F_2$ へ移すと、 $q$ の座標は $(0,1)$ である。一方、境界の像は $(1,1)$ が張る一次元部分空間なので $(0,1)$ を含まない。よって $q$ の像の類は非零である。▨

§E21.14係数を持つ鎖複体とホモロジー

1 係数付きの特異鎖

2 実射影平面の係数変更

3 演習

参考文献

前提記事