被覆と π₁-集合 | 位相幾何入門

定義 1.1. $X$ を空でない連結かつ局所弧状連結かつ半局所単連結な空間、 $x_0\in X$ 、 $\Pi=\pi_1(X,x_0)$ とする。§E21.9 定理 3.1の普遍被覆 $q:(\widetilde X,\widetilde x_0)\to(X,x_0)$ と、§E21.10 定理 3.2の左作用 $g\mapsto T_g$ を固定する。

右 $\Pi$ -集合 $S$ に離散位相を入れる。 $\Pi$ の左作用

g\cdot(s,\widetilde x)=(s\cdot g^{-1},T_g\widetilde x)

による軌道空間を $E_S=\Pi\backslash(S\times\widetilde X)$ と書き、軌道 $[s,\widetilde x]$ の射影を $p_S([s,\widetilde x])=q(\widetilde x)$ とする。この射影を $S$ に付随する被覆 (associated covering) という。ここでは§E21.10 定義 1.1の空のファイバーを許す被覆を用い、 $S=\varnothing$ も含める。

命題 1.2.定義 1.1の記号のもとで、次が成り立つ。

$p_S:E_S\to X$ は空のファイバーを許す被覆である。
$s\mapsto[s,\widetilde x_0]$ は $S$ から $p_S^{-1}(x_0)$ への、モノドロミー作用についての同変同型である。
$S\neq\varnothing$ ならば $p_S$ は全射な被覆写像である。
部分群 $H\leq\Pi$ と $S=H\backslash\Pi$ に対して、 $[Hg,\widetilde x]\mapsto H\cdot T_g\widetilde x$ は $E_S$ から§E21.10 定義 3.3の $E_H$ への $X$ 上の同型である。

証明. $g\cdot(h\cdot(s,\widetilde x))=(s\cdot h^{-1}g^{-1},T_{gh}\widetilde x)=(gh)\cdot(s,\widetilde x)$ なので左作用である。 $qT_g=q$ により射影は軌道の代表元によらず定まり、商写像の普遍性により連続である。

主張 (1)を示す。 $S$ は離散なので、 $(s,\widetilde x)\mapsto q(\widetilde x)$ は空のファイバーを許す被覆である。 $T_g$ が一点を固定すれば§E21.10 命題 1.4により恒等写像となり、 $g=1$ である。したがって上の作用は自由であり、§E21.10 補題 3.1 (2)により主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。 $q^{-1}(x_0)$ の各点は一意に $T_g\widetilde x_0$ と書くことができる。軌道の関係は

[s,T_g\widetilde x_0]=[s\cdot g,\widetilde x_0]

を与える。一方、 $[s,\widetilde x_0]=[s',\widetilde x_0]$ ならば、両者を移す元 $g$ は $T_g\widetilde x_0=\widetilde x_0$ を満たすので $g=1$ 、 $s=s'$ である。よって主張 (2)の写像は全単射である。ループ $\gamma$ の標準持ち上げを $\widehat\gamma$ とすると、 $t\mapsto[s,\widehat\gamma(t)]$ は $[s,\widetilde x_0]$ からの持ち上げである。その終点は§E21.9 補題 2.4により $[s,T_{[\gamma]}\widetilde x_0]=[s\cdot[\gamma],\widetilde x_0]$ であり、同変性を得る。

主張 (3)を示す。 $S$ が空でなければファイバーも空でなく、§E21.10 命題 1.6 (3)により全射性を得る。

主張 (4)を示す。指定された写像は $g$ を $hg$ 、 $h\in H$ に替えても変わらない。また、 $(Hg,\widetilde x)$ を $(Hgk^{-1},T_k\widetilde x)$ に替えても $T_{gk^{-1}}T_k=T_g$ により値が変わらない。商写像の普遍性から連続な $X$ 上の写像を得る。基点上では $[Hg,\widetilde x_0]\mapsto H\cdot T_g\widetilde x_0$ であり、§E21.10 補題 3.5と主張 (2)により全単射である。§E21.10 系 2.3により同型である。▨

定理 1.3. $X$ を空でない連結かつ局所弧状連結かつ半局所単連結な空間、 $x_0\in X$ 、 $\Pi=\pi_1(X,x_0)$ とする。このとき、ファイバーにモノドロミー作用を入れる対応 $p\mapsto p^{-1}(x_0)$ は、次の同型類の一対一対応を与える。いずれも逆は $S\mapsto E_S$ である。

空のファイバーを許す被覆と、右 $\Pi$ -集合。
全射な被覆写像と、空でない右 $\Pi$ -集合。
連結被覆と、空でない推移的な右 $\Pi$ -集合。安定化群の共役類を取ると、§E21.10 定理 4.2の連結被覆と部分群の共役類の対応になる。

証明.主張 (1)を示す。被覆の同型はファイバーの同変同型を誘導する。逆に、ファイバーの同変同型は§E21.10 定理 2.2により被覆の間の写像を定め、§E21.10 系 2.3により被覆の同型となる。よって同型類の対応は単射である。命題 1.2 (2)により任意の右 $\Pi$ -集合を実現することができるので、全射でもある。

主張 (2)を示す。空でないファイバーと全射性の同値は§E21.10 命題 1.6 (3)による。

主張 (3)を示す。連結性と推移性の同値は§E21.10 命題 2.1 (3)による。推移的集合を安定化群の剰余類集合と同一視すると、命題 1.2 (4)により主張 (3)は既出の連結被覆の分類に一致する。▨

命題 1.4.§E21.9 定義 4.1のハワイアンイヤリング $\mathbb H$ の原点を $o$ 、 $\Pi=\pi_1(\mathbb H,o)$ とする。このとき、空のファイバーを許す被覆 $p:E\to\mathbb H$ で、 $p^{-1}(o)$ がモノドロミー作用について右乗法を持つ $\Pi$ と同変同型になるものは存在しない。

証明. そのような被覆が存在すると仮定する。ファイバーは空でなく推移的なので、§E21.10 命題 1.6 (3)と§E21.10 命題 2.1 (3)により $p$ は全射であり、 $E$ は連結である。 $\mathbb H$ は局所弧状連結なので $E$ は弧状連結でもある。右乗法の安定化群は自明であるから、§E21.10 命題 2.1 (2)により $p_*\pi_1(E,e)=1$ である。§E21.5 系 2.3により $\pi_1(E,e)=1$ となり、 $p$ は普遍被覆である。これは§E21.9 命題 4.2に反する。▨

注意 1.5. $\mathbb H$ は空でなく連結かつ局所弧状連結なので、被覆の間の写像とファイバーの同変写像の対応は成立する。前の命題は、任意の作用を被覆で実現するという結論から半局所単連結性を外すことができないことを示す。

例 1.6. $\pi_1(S^1,1)\cong\Z$ の右作用は、 $1$ が定める一つの置換と同じ情報である。その軌道は有限巡回集合 $\Z/n$ 、 $n\geq1$ 、または無限巡回集合 $\Z$ である。§E21.10 命題 5.3と§E21.9 命題 3.4 (3)により、これらに対応する連結被覆は $p_n(z)=z^n$ と指数被覆 $\R\to S^1$ である。

一般の被覆の成分は開であるから、全空間は成分の族の位相的直和であり、各成分の被覆は上のいずれかと同型である。したがって円周の任意の被覆は、これらの被覆の族の位相的直和と $S^1$ 上で同型になる。 $n$ 重被覆ではファイバーの置換の巡回型だけが同型類を決める。よって同型類は、和が $n$ になる正の整数の組を順序によらず考えた分割と一対一に対応する。

例 1.7.§E21.8 命題 3.1により $\pi_1(S^1\vee S^1)=F(a,b)$ である。三点集合への右作用は、 $a,b$ の作用を表す置換の組 $(\sigma,\tau)\in S_3^2$ で決まる。連結性は二つの置換が生成する作用の推移性に対応する。

非推移的な作用は少なくとも一点を固定する。指定した一点を両方が固定する組は $2^2=4$ 組であり、異なる二点を固定する組は $(1,1)$ だけである。したがって非推移的な組は $1+3(4-1)=10$ 組、推移的な組は $36-10=26$ 組である。

$S_3$ の同時共役について、恒等元の固定点はこの $26$ 組である。互換と可換な二つの置換はその互換が生成する二元群に属するので、推移的な組を与えない。三巡回と可換な置換はその三元巡回群に属し、九組のうち $(1,1)$ 以外の八組は推移的である。三巡回は二個あるから、§E7.12 定理 3.1により三重の連結被覆の同型類は

\frac{26+3\cdot0+2\cdot8}{6}=7

個である。

基点付きの場合、ファイバーの一点を $1$ と表示した後の表示替えは、 $1$ を固定する二元群による。推移的な作用と可換で $1$ を固定する置換は、各点 $1\cdot g$ も固定するので恒等置換である。したがってこの表示替えの作用は自由であり、基点付き同型類は $26/2=13$ 個である。§E21.10 定理 4.1により、これは $F(a,b)$ の指数三の部分群の個数でもある。

定義 2.1. $G$ を離散群とする。 $X$ 上の主 $G$ 束 (principal G-bundle) とは、全射な被覆写像 $p:P\to X$ と $G$ の $P$ への左作用で、次の条件を満たすものの組である。

各 $g\in G$ は $P$ のデック変換として作用する。
各ファイバーへの作用は自由かつ推移的である。

主 $G$ 束の同型とは、 $G$ の作用と可換な被覆の同型である。 $P$ の連結性は仮定しない。 $e\star g=g^{-1}\cdot e$ と置くと構造群の右作用になり、右作用による主束の定義へ移る。この作用と、基本群のモノドロミーの右作用 $e\cdot\gamma$ は区別する。

補題 2.2. 主 $G$ 束 $p:P\to X$ の均等被覆近傍 $U$ と、その一つのシートの切断 $s:U\to P$ に対し、

U\times G\longrightarrow p^{-1}(U),\qquad (u,g)\longmapsto g\cdot s(u)

は $U$ 上の被覆の同型である。 $U\times G$ の第二成分への左乗法について、この同型は $G$ -同変である。

証明. 各ファイバーでの自由性により写像は単射であり、推移性により全射である。 $V=s(U)$ とすると、各 $gV$ は開集合であり、 $u\mapsto g\cdot s(u)$ は $U$ から $gV$ への同相である。これらの開集合は互いに交わらず $p^{-1}(U)$ を覆うので、写像は同相である。 $h\cdot(g\cdot s(u))=(hg)\cdot s(u)$ が同変性を与える。▨

例 2.3.

$\theta\notin\Q$ とし、 $\Z$ を $S^1$ に $n\cdot z=e^{2\pi in\theta}z$ で作用させる。この作用は自由であり、各軌道は稠密である。稠密性は次のように分かる。 $0,\theta,\ldots,N\theta$ の小数部分を長さ $1/N$ の区間に分けると、二つが同じ区間に入る。差の符号を選ぶことにより、 $\Z\theta+\Z$ に属する $0<\delta<1/N$ を得る。 $0,\delta,\ldots,\lfloor1/\delta\rfloor\delta$ の円周上の像は間隔が高々 $\delta$ であり、軌道に属する。 $N$ は任意なので軌道は稠密である。

空でない不変な閉集合は一つの軌道とその閉包を含むので $S^1$ 全体である。したがって軌道空間 $\Z\backslash S^1$ は密着位相を持つ。各軌道は可算で $S^1$ は非可算なので、この商には異なる二点がある。商写像が被覆ならば、唯一の空でない開集合である底空間全体と同相なシートを持つはずであるが、そのシートは Hausdorff 空間 $S^1$ の部分空間である。二点以上の密着空間は Hausdorff でないから矛盾する。自由な作用だけでは、商写像が被覆になるとは限らない。
§E21.10 命題 5.1の平行移動による $\R^2\to T^2$ は主 $\Z^2$ 束である。各ファイバーは格子の一つの剰余類であり、平行移動はその上で自由かつ推移的である。
正規被覆 $p$ は、そのデック変換群を構造群とする主束である。作用の自由性は§E21.10 命題 1.4、推移性は正規被覆の定義による。

定義 2.4. 主 $G$ 束 $p:P\to X$ と群準同型 $u:G\to G'$ に対し、離散空間 $G'$ との積 $G'\times P$ を

(g'u(g),e)\sim(g',g\cdot e)

が生成する同値関係で割った空間を $u_*P=G'\times_GP$ と書く。射影を $[g',e]\mapsto p(e)$ 、 $G'$ の左作用を $h\cdot[g',e]=[hg',e]$ とする。 $u_*P$ を $P$ の係数を $u$ で取り替えた束という。

補題 2.5. $X$ が局所弧状連結ならば、定義 2.4の射影と左作用は主 $G'$ 束を定める。 $\iota:P\to u_*P$ 、 $e\mapsto[1,e]$ は $X$ 上の連続写像であり、 $\iota(g\cdot e)=u(g)\cdot\iota(e)$ を満たす。

証明. $G$ の $G'\times P$ への左作用を $g\cdot(g',e)=(g'u(g)^{-1},g\cdot e)$ とする。軌道の同値関係は定義の関係に一致する。この作用は自由であり、被覆 $G'\times P\to X$ と両立するので、§E21.10 補題 3.1 (2)により $u_*P\to X$ は空のファイバーを許す被覆である。 $P\to X$ が全射なので、この射影も全射である。

$x\in X$ と $e\in p^{-1}(x)$ を固定する。そのファイバーの任意の元は $[g',g\cdot e]=[g'u(g),e]$ と書くことができる。 $[a,e]=[b,e]$ ならば、両者を移す $g\in G$ は $g\cdot e=e$ を満たすので $g=1$ 、 $a=b$ である。したがって $a\mapsto[a,e]$ は $G'$ とファイバーとの全単射であり、左乗法の作用は自由かつ推移的である。左乗法は商関係を保ち、逆元による左乗法を逆写像とする連続写像なので、デック変換である。

$e\mapsto(1,e)$ と商写像の合成が $\iota$ であるから連続であり、 $[1,g\cdot e]=[u(g),e]$ が求める等式である。▨

定理 3.1. $X$ を空でない連結かつ局所弧状連結な空間、 $x_0\in X$ 、 $\Pi=\pi_1(X,x_0)$ 、 $G$ を離散群とする。

主 $G$ 束 $p:P\to X$ と $e_0\in p^{-1}(x_0)$ に対して、 $e_0\cdot\gamma=\rho_{e_0}(\gamma)\cdot e_0$ で定めた $\rho_{e_0}:\Pi\to G$ は群準同型である。 $h\in G$ に対して $\rho_{h\cdot e_0}(\gamma)=h\rho_{e_0}(\gamma)h^{-1}$ である。
$P\mapsto[\rho_{e_0}]$ は主 $G$ 束の同型類から $\operatorname{Hom}(\Pi,G)/G$ への単射を定める。 $X$ がさらに半局所単連結ならば全単射であり、逆は、 $G$ に右作用 $g\cdot\gamma=g\rho(\gamma)$ を入れた集合 $G_\rho$ に付随する被覆 $E_{G_\rho}$ と、その左乗法の作用である。
$P$ が連結であることは、 $\rho_{e_0}$ が全射であるための必要十分条件である。
群準同型 $u:G\to G'$ による係数の取り替えについて、 $\rho_{[1,e_0]}=u\circ\rho_{e_0}$ である。したがって第二項の対応のもとで $P\mapsto u_*P$ は $[\rho]\mapsto[u\circ\rho]$ に対応する。

証明.主張 (1)を示す。ファイバーへの自由推移的な作用により $\rho_{e_0}(\gamma)$ は一意に定まる。構造群の各元はデック変換なので、§E21.10 命題 2.1 (4)によりモノドロミーと可換である。したがって

e_0\cdot(\gamma\delta)=(\rho_{e_0}(\gamma)\cdot e_0)\cdot\delta =\rho_{e_0}(\gamma)\rho_{e_0}(\delta)\cdot e_0.

自由性により $\rho_{e_0}(\gamma\delta)=\rho_{e_0}(\gamma)\rho_{e_0}(\delta)$ である。同様に

(h\cdot e_0)\cdot\gamma =h\rho_{e_0}(\gamma)h^{-1}\cdot(h\cdot e_0)

から基点を替えた式を得る。

主張 (2)を示す。主束の同型 $\Phi:P\to P'$ は二つの作用と可換なので $\rho'_{\Phi(e_0)}=\rho_{e_0}$ である。基点の取り替えの式と合わせると、準同型の共役類は主束の同型類だけで決まる。

二つの主束の準同型が共役ならば、一方の基点を替えて $\rho'_{e'_0}=\rho_{e_0}$ としてよい。このとき $g\cdot e_0\mapsto g\cdot e'_0$ は左 $G$ -同変かつ右 $\Pi$ -同変なファイバーの全単射である。§E21.10 定理 2.2と§E21.10 系 2.3により、被覆の同型 $\Phi:P\to P'$ に延長される。各 $g\in G$ に対して $\Phi\circ g$ と $g\circ\Phi$ はファイバー上で一致する。写像の対応の単射性により全体で一致するので、 $\Phi$ は主束の同型である。したがって単射性を得る。

$X$ が半局所単連結であるとする。 $G_\rho$ の左乗法は右 $\Pi$ 作用と可換なので、 $h\cdot[g,\widetilde x]=[hg,\widetilde x]$ は $E_{G_\rho}$ のデック変換を定める。各 $x\in X$ の上の点 $\widetilde x\in\widetilde X$ を選ぶと、 $g\mapsto[g,\widetilde x]$ はファイバーとの全単射である。実際、普遍被覆の同じファイバーの二点は一意な $T_\gamma$ で移り、軌道の関係を使って第二成分を $\widetilde x$ にそろえることができる。単射性は $T_\gamma$ の自由性による。この同定で左作用は左乗法となるので、 $E_{G_\rho}$ は主 $G$ 束である。基点上では

[1,\widetilde x_0]\cdot\gamma=[\rho(\gamma),\widetilde x_0] =\rho(\gamma)\cdot[1,\widetilde x_0]

となり、指定した準同型を実現する。

主張 (3)を示す。ファイバーを $g\mapsto g\cdot e_0$ で $G$ と同一視すると、モノドロミーは $g\cdot\gamma=g\rho_{e_0}(\gamma)$ である。この作用が推移的であることは $\rho_{e_0}(\Pi)=G$ であるための必要十分条件なので、§E21.10 命題 2.1 (3)により主張 (3)を得る。

主張 (4)を示す。 $\iota$ は $X$ 上の写像なのでモノドロミーと可換であり、補題 2.5により

[1,e_0]\cdot\gamma=[1,\rho_{e_0}(\gamma)\cdot e_0] =u(\rho_{e_0}(\gamma))\cdot[1,e_0].

自由性により最後の等式から主張 (4)を得る。 $u(h\rho h^{-1})=u(h)(u\rho)u(h)^{-1}$ なので、共役類の上でも対応が定まる。▨

命題 3.2. $X$ を空でない連結かつ局所弧状連結かつ半局所単連結な空間、 $\Pi=\pi_1(X,x_0)$ とする。このとき、道の類から構成した普遍被覆 $q:\widetilde X\to X$ は、 $T_g$ の左作用によって主 $\Pi$ 束である。定値道の類 $\widetilde x_0$ に対して $\rho_{\widetilde x_0}=\operatorname{id}_\Pi$ である。

証明. $T_g$ はデック変換であり、その作用は自由である。同じ終点を持つ道 $\alpha,\beta$ に対して $g=[\beta*\bar\alpha]$ と置くと、 $T_g[\alpha]=[\beta*\bar\alpha*\alpha]=[\beta]$ である。よってすべてのファイバーで推移的でもある。ループ $\gamma$ の標準持ち上げの終点は $[\gamma]=T_{[\gamma]}\widetilde x_0$ なので、対応する準同型は恒等写像である。▨

系 3.3.

空でない連結かつ局所弧状連結かつ半局所単連結な空間 $X$ の普遍被覆は、主 $\pi_1(X,x_0)$ 束として恒等準同型の共役類に対応する。
空でない連結かつ局所弧状連結な空間 $X$ と離散群 $G$ に対して、積の主束 $X\times G\to X$ は自明な準同型の類に対応する。

証明.主張 (1)は命題 3.2による。

主張 (2)を示す。積の主束では、 $(x_0,1)$ からのループの持ち上げは $X\times\{1\}$ にとどまる。したがって終点は $(x_0,1)$ であり、準同型は自明である。▨

命題 3.4. $\Pi=\pi_1(\mathbb H,o)$ を離散群とみなす。このとき、恒等準同型 $\Pi\to\Pi$ の共役類に対応する $\mathbb H$ 上の主 $\Pi$ 束は存在しない。したがって定理 3.1 (2)の単射は、この場合には全射でない。

証明. そのような主束があれば、基点の上の点 $e_0$ を替えて $\rho_{e_0}=\operatorname{id}_\Pi$ とすることができる。同一視 $g\mapsto g\cdot e_0$ のもとでファイバーのモノドロミー作用は $g\cdot\gamma=g\gamma$ となる。これは命題 1.4に反する。▨

例 3.5.

$X=S^1$ では、 $\Z\to G$ は $1$ の像で決まり、準同型の共役はその像の共役と同値である。よって主 $G$ 束は $G$ の共役類で分類される。 $G=\Z/2$ では二つの類があり、自明な二重被覆と $z\mapsto z^2$ に対応する。
$X=S^1\vee S^1$ 、 $G=\Z/2$ では、準同型は自由生成元二つの像で決まるので四つある。 $G$ は可換なので共役による同一視はなく、主 $\Z/2$ 束は四つである。自明でない三つの準同型はいずれも全射なので、連結なものは三つである。二点集合には、その二点を交換する唯一の自由な $\Z/2$ 作用がある。この作用は二点集合の置換と可換なので、被覆の分類と写像の対応により、任意の二重被覆は一意なこの主束構造を持つ。したがって四つという個数は二重被覆の同型類の個数でもある。

定理 4.1. 空でない連結な位相多様体 $M$ と $x_0\in M$ に対して、 $\pi_1(M,x_0)$ は高々可算である。

証明.§E21.9 命題 3.5により $M$ は弧状連結かつ局所弧状連結である。座標近傍を Euclid 空間の開球と同相な近傍に縮め、§E2.21 命題 1.6を適用すると、高々可算個の座標球 $B_i$ による開被覆を得る。各 $B_i$ は弧状連結かつ単連結である。

各 $B_i\cap B_j$ の弧状連結成分は $M$ の開集合であり、互いに交わらない。§E2.13 命題 5.4により、その成分の族は高々可算である。空でない各成分から代表点を一つ選び、これらと $x_0$ を合わせた高々可算集合を $R$ とする。各 $r\in R$ に対して $x_0$ から $r$ への道 $\lambda_r$ を固定し、 $\lambda_{x_0}$ は定値道とする。各 $i$ と $r,r'\in R\cap B_i$ に対して、 $B_i$ 内の道 $\sigma_{i,r,r'}:r\to r'$ を固定する。これらの選択の添字の集合は高々可算である。

$x_0$ のループ $\gamma$ を取る。区間の開被覆 $\{\gamma^{-1}(B_i)\}$ に Lebesgue 数補題を適用し、分割 $0=t_0<\cdots<t_m=1$ と添字 $i_j$ を、 $\gamma([t_{j-1},t_j])\subset B_{i_j}$ となるように取る。 $1\leq j<m$ に対し、 $\gamma(t_j)$ を含む $B_{i_j}\cap B_{i_{j+1}}$ の成分の代表点を $r_j$ とし、その成分内で $\gamma(t_j)$ から $r_j$ への道 $\delta_j$ を取る。 $r_0=r_m=x_0$ とし、 $\delta_0,\delta_m$ は定値道とする。

$\gamma$ の第 $j$ 部分道を $\gamma_j$ とすると、 $\bar\delta_{j-1}*\gamma_j*\delta_j$ は $B_{i_j}$ 内で $r_{j-1}$ から $r_j$ へ向かう。 $B_{i_j}$ は単連結なので、この道は $\sigma_{i_j,r_{j-1},r_j}$ と端点固定でホモトピックである。隣り合う $\delta_j*\bar\delta_j$ を消去すると、

[\gamma]=\prod_{j=1}^m [\lambda_{r_{j-1}}*\sigma_{i_j,r_{j-1},r_j}*\bar\lambda_{r_j}].

ゆえに基本群は高々可算個の指定したループの類で生成される。その有限語の集合は高々可算なので、基本群も高々可算である。▨

定理 4.2. $M$ を空でない連結な $n$ 次元位相多様体、 $p:E\to M$ を全空間が連結な被覆写像とする。このとき、各ファイバーは高々可算であり、 $E$ は Hausdorff かつ第二可算な $n$ 次元位相多様体である。とくに $M$ の普遍被覆は位相多様体である。

証明.§E21.10 命題 2.1 (3)により、各ファイバーは基本群の推移的な集合である。定理 4.1により基本群は高々可算なので、その軌道であるファイバーも高々可算である。

各点の均等被覆近傍を座標球へ縮める。 $M$ は Lindelöf なので、このような高々可算個の近傍 $U_i$ で $M$ を覆うことができる。各 $U_i$ の上のシートは、その一点のファイバーと同じ個数だけあるので高々可算個である。各シートは $U_i$ と同相であり、第二可算な開集合である。全シートの可算開基を合わせると $E$ の高々可算な開基を得るので、 $E$ は第二可算である。シートの座標により $E$ は $n$ 次元の局所 Euclid 的な空間である。

異なる二点 $e,e'\in E$ の像が異なれば、Hausdorff 空間 $M$ の互いに交わらない近傍の逆像で分離することができる。像が等しければ、その点の均等被覆近傍の異なる二つのシートで分離することができる。よって $E$ は Hausdorff であり、§E21.2 定義 5.2の条件を満たす。普遍被覆の存在は§E21.9 命題 3.5によるので、最後の主張も従う。▨

例 4.3. $M$ を空でない $n$ 次元位相多様体、 $D$ を非可算な離散空間とする。このとき、射影 $M\times D\to M$ は被覆写像であり、全空間は局所 Euclid 的かつ Hausdorff である。一方、 $\{M\times\{d\}\mid d\in D\}$ は互いに交わらない空でない開集合の非可算族なので、§E2.13 命題 5.4により全空間は第二可算でない。連結被覆という仮定を外すと、被覆の全空間は位相多様体とは限らない。

§E21.11被覆と π₁-集合

1 基本群の作用に付随する被覆

2 離散群を構造群とする主束

3 主束の分類

4 位相多様体の基本群と被覆

参考文献

前提記事