局所定数層と被覆写像 | 位相幾何入門

1 局所定数層と被覆写像

命題 1.1. 被覆写像は局所同相写像である。

証明. 各均等被覆近傍の各シートは開集合であり、底の開近傍へ同相に写る。▨

定理 1.2.

集合の局所定数層 $F$ に対し、 $X_0=\{x\mid F_x\neq\varnothing\}$ は開かつ閉であり、 $\pi(\operatorname{Et}(F))=X_0$ である。 $\operatorname{Et}(F)\to X_0$ は被覆写像である。
開かつ閉な $X_0\subseteq X$ と被覆写像 $q:E\to X_0$ に対して、合成 $E\to X$ の切断の層は局所定数であり、その茎が空でない点はちょうど $X_0$ である。そのエタール空間は $X$ 上で $E$ と同相である。
$F\mapsto(X_0,\operatorname{Et}(F)\to X_0)$ と $(X_0,q)\mapsto\Gamma_E$ は、局所定数層と開かつ閉な部分集合上の被覆写像の組を、同型を除いて互いに逆に対応させる。層の射と $X$ 上の連続写像の集合の間には恒等射と合成を保つ全単射があり、同型類も一対一に対応する。この組は§E21.10 定義 1.1の空のファイバーを許す被覆写像 $E\to X$ と同じものである。

証明.主張 (1)を示す。 $F|_U\cong S_U$ ならば、§E20.1 命題 5.5 (4)と§E20.1 命題 6.4 (2)により $\pi^{-1}(U)\cong U\times S$ である。したがって $S$ が空か否かに応じて $U$ 全体が $X_0$ の外または内に入る。よって $X_0$ は開かつ閉であり、非空の $S$ をもつ近傍が均等被覆近傍を与える。

主張 (2)を示す。逆に $X_0$ 上の均等被覆近傍では $E$ は $U\times S$ と同相なので、その切断の層は $S_U$ である。 $X\setminus X_0$ 上では空集合の定数層である。射影は局所同相であるから、そのエタール空間は $E$ と同相になる。

主張 (3)を示す。射と同型類の対応は§E20.1 系 2.8 (1)を制限すれば得られる。

空のファイバーを許す被覆の像は開かつ閉で、像への制限は被覆となる（§E21.10 命題 1.6）。逆に組 $(X_0,q)$ に対して、 $X\setminus X_0$ 上で空のシートの族をとると、空のファイバーを許す被覆写像 $E\to X$ を得る。したがって、二種類の対象は一致する。▨

系 1.3.

すべての茎が空でない局所定数層は、全射な被覆写像 $E\to X$ と対応する。射の集合と同型類についても定理 1.2 (3)の対応が成り立つ。
$X$ が連結ならば、局所定数層の茎はすべて空か、すべて空でない。すべて空の場合、空でない開集合上の切断は存在しない。
群、アーベル群の局所定数層は、ファイバーごとに同じ種類の群構造をもつ被覆写像で、各点の開近傍上で群構造を保つ同相 $q^{-1}(U)\cong U\times A$ をもつものと対応する。準同型である層の射は、ファイバーごとに準同型である $X$ 上の連続写像に対応する。このような被覆の演算は連続である。逆に $X$ が局所連結ならば、ファイバーごとの群構造の演算が連続な被覆は、各点の開近傍 $U$ の上で群構造を保つ同相 $q^{-1}(U)\cong U\times A$ をもつ。

証明.主張 (1)を示す。定理 1.2 (1)で $X_0=X$ とすればよい。

主張 (2)を示す。連結な $X$ の開かつ閉な部分集合 $X_0$ は $\varnothing$ または $X$ である。すべての茎が空である場合、非空開集合上の切断があればその各点で芽を与えるので矛盾する。

主張 (3)を示す。群のファイバーは単位元を含むため空でない。代数構造を保つ層とエタール空間の対応により、 $F|_U\cong A_U$ は群構造を保つ $q^{-1}(U)\cong U\times A$ に対応する。演算の連続性もこの局所表示で確かめることができる。

逆の主張では、連結な均等被覆近傍 $U$ をとる。各シートに対応する切断を $s_a$ と書く。二つの切断の積 $s_as_b$ は連続な切断なので、連結な $U$ 上で一つのシートに入る。したがってシートの添字の積は $U$ の点によらず一定である。逆元と単位元についても同様であり、シートの集合を一つの群 $A$ として局所表示を得る。▨

注意 1.4. 局所連結性を外すと、演算が連続な被覆から群の局所定数層が得られるとは限らない（問題 4.2）。

命題 1.5. 連続写像 $f\colon Y\to X$ と被覆写像 $q\colon E\to X$ について、被覆写像 $E\to X$ の引き戻し $Y\times_XE\to Y$ は被覆写像であり、その切断の層は元の切断の層の逆像と同型である。

証明. 最後に均等被覆表示 $q^{-1}U\cong U\times S$ を引き戻すと $f^{-1}U\times S$ となり、引き戻した射影も被覆である。切断の層の同一視は§E20.1 命題 5.5 (5)による。▨

例 1.6. $p_2:S^1\to S^1$ 、 $z\mapsto z^2$ の切断の層 $\mathcal E$ を $p_2$ で引き戻すと、二元集合の定数層になる。実際、ファイバー積 $\{(y,z)\mid y^2=z^2\}$ は二つの円 $z=y$ 、 $z=-y$ の和であり、 $z/y\in\{1,-1\}$ によって $S^1\times\{1,-1\}$ と同相である。その切断の層に命題 1.5を適用すればよい。

2 局所定数層の圏同値

記法位相空間 $X$ の局所定数層の充満部分圏を $\mathbf{LC}(X)$ 、すべての茎が空でないものの充満部分圏を $\mathbf{LC}^{\ne\varnothing}(X)$ と書く。空のファイバーを許す被覆写像の圏を $\mathbf{Cov}_{\varnothing}(X)$ 、全射である被覆写像の圏を $\mathbf{Cov}(X)$ と書く。いずれも射は $X$ 上の連続写像である。

定理 2.1. 任意の位相空間 $X$ について、エタール空間と切断の層の関手は、圏同値

\mathbf{LC}(X)\simeq\mathbf{Cov}_{\varnothing}(X),\qquad \mathbf{LC}^{\ne\varnothing}(X)\simeq\mathbf{Cov}(X)

に制限される。

証明.定理 1.2 (3)により、局所定数層のエタール空間は空のファイバーを許す被覆写像であり、その逆に被覆写像の切断の層は局所定数である。したがって§E20.9 定理 9.1の二つの関手と自然同型が指定した充満部分圏に制限される。エタール空間の $x$ 上のファイバーは $F_x$ であるので、すべての茎が空でないという条件は被覆写像が全射であるという条件に一致する。▨

定理 2.2. $X$ を空でない連結かつ局所弧状連結な空間、 $x_0\in X$ 、 $\pi=\pi_1(X,x_0)$ とする。空集合を含む右 $\pi$ -集合と同変写像の圏を $\mathbf{Set}_\pi$ と書く。このとき、次が成り立つ。

被覆写像の $x_0$ 上のファイバーにモノドロミー作用を入れる関手 $\Phi:\mathbf{Cov}_{\varnothing}(X)\to\mathbf{Set}_\pi$ は充満忠実である。
$X$ がさらに半局所単連結なら、 $\Phi$ は右 $\pi$ -集合 $S$ の付随被覆 $E_S$ を準逆とする圏同値である。この同値は全射な被覆写像と空でない右 $\pi$ -集合の圏に制限される。

証明.主張 (1)を示す。§E21.10 命題 2.1 (4)により、射のファイバーへの制限は同変であり、恒等射と合成を保つ。§E21.10 定理 2.2により Hom の全単射を得るので充満忠実である。

主張 (2)を示す。半局所単連結性も仮定する。付随被覆は§E21.11 命題 1.2によって与えられる。同変写像 $v:S\to T$ は $[s,\widetilde x]\mapsto[v(s),\widetilde x]$ によって $E_S\to E_T$ を定め、これは恒等射と合成を保つ。§E21.11 命題 1.2 (2)の $s\mapsto[s,\widetilde x_0]$ は自然な同型 $S\to\Phi(E_S)$ である。

被覆 $E$ に対して、この同型の逆をファイバーで与える唯一の射 $E_{\Phi(E)}\to E$ が充満忠実性によって定まる。ファイバー上の逆写像も同じ理由で射となり、忠実性から両合成は恒等射である。自然性もファイバー上で確認し、忠実性によって戻す。これで準逆と二つの自然同型を構成した。 $X$ の連結性から空でないファイバーをもつ被覆は全射であり、付随被覆についても§E21.11 命題 1.2 (3)により同じ条件を得る。▨

系 2.3. $X$ を空でない連結、局所弧状連結かつ半局所単連結な空間とし、 $x_0\in X$ 、 $\pi=\pi_1(X,x_0)$ とする。このとき、次が成り立つ。

モノドロミー作用を備えた茎をとる関手は $\mathbf{LC}(X)\simeq\mathbf{Set}_\pi$ を与える。準逆は $S\mapsto\Gamma_{E_S}$ であり、空でない茎と空でない右 $\pi$ -集合の圏に制限される。
アーベル群の局所定数層の圏は、茎をとる関手によって左 $\Z[\pi]$ -加群の圏と同値であり、準逆は付随局所系 $M\mapsto\mathcal L_M$ である。

証明.主張 (1)を示す。定理 2.1と定理 2.2の関手、準逆、自然同型を合成する。 $\operatorname{Et}(F)$ の $x_0$ 上のファイバーは $F_{x_0}$ なので、合成は表示した茎の関手である。

主張 (2)を示す。加群の場合は右作用から $g\cdot m=m\cdot g^{-1}$ によって左作用を定める。§E21.42 系 1.6 (1)により Hom の全単射を得る。付随局所系は§E21.42 命題 1.5の同変な局所定数写像の層であり、加群写像との後合成は層の射を定め、恒等射と合成を保つ。§E21.42 命題 1.5 (3)の評価による同型は加群写像について自然である。もう一方の自然同型は、この評価の逆を茎で与える唯一の層の射として Hom の全単射から得る。逆射と自然性も茎で確認して忠実性を用いる。▨

例 2.4. 空でない空間 $X$ に対し、 $\varnothing_X$ は $\mathbf{LC}(X)$ の始対象である。一方、 $\mathbf{Cov}(X)$ に始対象 $I\to X$ があれば $I\ne\varnothing$ であり、自明な二重被覆 $X\sqcup X\to X$ への唯一の射 $h$ が存在するはずである。二つのシートを交換する射 $\sigma$ は固定点をもたないため、 $\sigma h\ne h$ となり一意性に反する。したがって両圏は同値ではない。空でない右 $\pi$ -集合の圏も、自明な二元集合への写像を同じ方法で比較すると始対象をもたない。空のファイバーを許す条件は圏同値に必要である。

例 2.5. 二点の離散空間 $X=\{a,b\}$ では、すべての層が局所定数であり、 $F\mapsto(F_a,F_b)$ が $\mathbf{Set}\times\mathbf{Set}$ との同値を与える。準逆は、 $(A,B)$ を $\{a\}$ 上で $A$ 、 $\{b\}$ 上で $B$ 、 $X$ 上で $A\times B$ 、空集合上で一点集合を値とする層に送る。

$\pi_1(X,a)$ は自明であり、 $a$ の茎をとる関手は第一成分への射影である。 $(1,1)\to(1,2)$ の第二成分に異なる二写像をとると、異なる二つの層の射が同じ $a$ の茎の射を与える。よってこの関手は忠実でなく、連結性の仮定を外すことはできない。

例 2.6. $X=S^1$ では $\pi_1(X,1)=\Z$ なので、局所定数層は一つの全単射を備えた集合に対応する。定数層 $S_{S^1}$ ではエタール空間が $S^1\times S$ であり、ループの持ち上げは $S$ の成分を保つので、対応する全単射は恒等写像である。二重被覆 $z\mapsto z^2$ の切断の層は二元集合を入れ替える全単射に対応し、定数層ではない。一般の $n$ 重被覆 $z\mapsto z^n$ は、右 $\Z$ -集合 $\Z/n\Z$ の平行移動に対応する。計算は演習とする（問題 4.1 (1)）。

3 離散群の torsor

命題 3.1. $G$ を離散群、 $G_X$ を局所定数な $G$ 値関数の層とする。このとき、次が成り立つ。

右 $G_X$ -torsor $P$ のエタール空間 $\operatorname{Et}(P)\to X$ は被覆写像であり、ファイバーごとの右作用をもつ。 $g\cdot e=e\cdot g^{-1}$ と定めると、§E21.11 定義 2.1の左作用による主 $G$ 束になる。
主 $G$ 束の切断の層は、局所定数な $h\colon U\to G$ に対し $(s\cdot h)(x)=h(x)^{-1}\cdot s(x)$ と定めることで右 $G_X$ -torsor になる。
この二つの構成は、右 $G_X$ -torsor と主 $G$ 束の同型類の間の一対一対応を与える。

証明.主張 (1)を示す。torsor の局所切断は $P|_U\cong G_U$ を与える。§E20.1 命題 6.4 (2)によりそのエタール空間は $U\times G$ であり、各茎は空でない。したがって定理 1.2 (1)により被覆写像である。右作用は局所表示 $U\times G$ で通常の右乗法であり、各 $g$ の作用は被覆の同型となる。逆元によって左作用に直すと、各ファイバーで自由推移的である。

主張 (2)を示す。主 $G$ 束の局所切断を一つ取ると、任意の切断はその切断に一意な局所定数 $G$ 値関数を作用させたものになる。これにより主張 (2)の自由推移性と局所切断の存在が従う。

主張 (3)を示す。§E20.1 定理 2.7と§E20.1 系 2.8により、両構成は同変な射も含めて互いに逆である。▨

定理 3.2. $G$ を離散群とする。このとき、次が成り立つ。

$X$ を空でない連結かつ局所弧状連結な空間とし、 $x_0\in X$ を固定する。自明な作用に対する第一次非可換コホモロジーは $H^1(\pi_1(X,x_0),G)=\operatorname{Hom}(\pi_1(X,x_0),G)/G$ であり、主 $G$ 束のモノドロミーは単射 $\check H^1(X;G_X)\longrightarrow H^1(\pi_1(X,x_0),G)$ を与える。 $X$ がさらに半局所単連結ならば全単射である。基点は自明な準同型に対応し、群の準同型 $u\colon G\to G'$ による係数の写像は $[\rho]\mapsto[u\circ\rho]$ に対応する。
$X$ を空でない連結かつ局所弧状連結な空間、 $x_0\in X$ 、 $G$ をアーベル群とする。このとき、 $\operatorname{Hom}(\pi_1(X,x_0),G)/G$ は群コホモロジー $H^1(\pi_1(X,x_0),G)=\operatorname{Hom}(\pi_1(X,x_0),G)$ であり、係数付き特異コホモロジー $H^1(X;G)$ と標準的に同一視される。
$X$ が局所弧状連結で、各連結成分 $C$ が半局所単連結ならば、各成分に $x_C\in C$ を選ぶことで、制限は全単射 $\check H^1(X;G_X)\xrightarrow{\cong}\prod_C\check H^1(C;G_C) \cong\prod_C\bigl(\operatorname{Hom}(\pi_1(C,x_C),G)/G\bigr)$ を与える。

証明.主張 (1)を示す。自明な群作用では、非可換コサイクル条件は $z(\gamma\eta)=z(\gamma)z(\eta)$ 、捻り共役は $z^a(\gamma)=a^{-1}z(\gamma)a$ となるので、右辺は述べた準同型の共役類である。命題 3.1 (3)と§E21.11 定理 3.1を合成すると、単射性と半局所単連結な場合の全射性が従う。自明な torsor は積の主束へ移り、自明な準同型に対応する。

主 $G$ 束 $P$ の局所切断を $s_i$ 、対応するコサイクルを $g$ とする。§E21.11 定義 2.4の $u_*P$ の局所切断 $[1,s_i]$ に対応するコサイクルは $u(g_{ij})$ である。したがって§E21.11 定理 3.1 (4)によりモノドロミーは $u\circ\rho$ になる。

主張 (2)を示す。アーベル群では§E7.39 命題 4.1によって群コホモロジーと一致し、共役作用は自明である。§E21.31 系 2.4によって特異コホモロジーとの同一視を得る。

主張 (3)を示す。§E2.43 定理 8.4 (2)により連結成分は互いに交わらない開集合である。各成分の torsor の族から、開集合 $U$ 上の切断を $\prod_C P_C(U\cap C)$ とする層を作ると、自由推移性と局所切断の条件を成分ごとに満たす。§E20.1 命題 1.3 (2)により、制限とこの構成は同型類上で互いに逆である。各成分へ主張 (1)を適用すれば結論を得る。▨

例 3.3. $G=S_3$ とすると、§E21.6 定理 1.5 (1)により $\check H^1(S^1;G_{S^1})$ は $\operatorname{Hom}(\Z,S_3)/S_3$ と一対一に対応する。準同型は $1$ の像で決まり、 $S_3$ の共役類は恒等置換、互換、三巡回置換の三種類なので、一次 Čech コホモロジーは三元の基点付き集合である。基点は恒等置換に対応する。

例 3.4. $X=S^1\sqcup S^1$ 、 $G=\Z/2\Z$ とすると、定理 3.2 (3)により $\check H^1(X;G_X)$ は $\operatorname{Hom}(\Z,G)^2$ と一対一に対応し、四元からなる。一方、一つの基点の基本群から $G$ への準同型は二つしかない。円周はコンパクトな Hausdorff 空間であり、有限直和もコンパクトな Hausdorff 空間なので、この $X$ はパラコンパクトでもある。パラコンパクト性だけでは、一つの基本群による分類に必要な連結性を補うことはできない。

例 3.5.§E21.9 定義 4.1のハワイアンイヤリング $\mathbb H$ と $G=\pi_1(\mathbb H,o)$ を取る。このとき、 $\mathbb H$ は連結かつ局所弧状連結なので、定理 3.2 (1)の単射が定まる。しかし§E21.11 命題 3.4によって恒等準同型の類は主 $G$ 束から得られない。命題 3.1 (3)により、その類はこの単射の像にも入らない。

例 3.6. 定数層の中心拡大 $0\to\Z/2\Z\to\Z/4\Z\to\Z/2\Z\to0$ を考える。

$X=S^1$ と二重被覆 $z\mapsto z^2$ に対して、対応する準同型は $\Z\to\Z/2\Z$ 、 $1\mapsto1$ である。その持ち上げは $1\mapsto1$ と $1\mapsto3$ の二つであり、異なる主束を与えるので持ち上げとしても同型でない。 $\check H^1(S^1;\Z/2\Z)$ は二元の群であり、§E20.5 定理 4.4 (4)によりその作用は自由かつ推移的なので、この二つですべてである。
$X=\mathbf{RP}^2$ と二重被覆 $S^2\to\mathbf{RP}^2$ を考える。§E21.10 命題 5.2により、対応する準同型は $\Z/2\Z$ の恒等写像である。これを $\Z/4\Z$ へ持ち上げる準同型は存在しない。実際、 $1$ の像は奇数でなければならないが、その位数は4である。 $\mathbf{RP}^2$ は局所弧状連結かつ半局所単連結であり、係数の写像と両立する分類により torsor の持ち上げも存在しない。 $\mathbf{RP}^2$ は有限胞体複体としてコンパクトな Hausdorff 空間なので、§E20.5 定理 4.4 (2)を適用することができる。したがって障害類は零でなく、 $\check H^2(\mathbf{RP}^2;\Z/2\Z)\ne0$ である。

例 3.7. 中心拡大 $1\to\Z/2\to\Z/4\to\Z/2\to1$ の定数群の層を考える。このとき、例 3.6により、円周の非自明な二重被覆には、指定した同定を伴う持ち上げが二つある。この二つは $H^1(S^1;\Z/2)\cong\Z/2$ の作用で交換される。一方、実射影平面の普遍二重被覆の Čech 障害は零でなく、その像 $o(P)\in H^2(\mathbf{RP}^2;\Z/2)$ も零でない。したがって後者の持ち上げは存在しない。

4 演習

問題 4.1.

円周の被覆 $z\mapsto z^n$ （ $n\ge1$ ）の切断の層に対応する右 $\Z$ -集合を求め、被覆の連結性と作用の推移性との対応を確かめよ。

解答.

ファイバーを $e^{2\pi ik/n}$ （ $k\in\Z/n\Z$ ）で番号づける。正の一周の持ち上げは $t\mapsto e^{2\pi i(k+t)/n}$ なので、終点は $k+1$ である。したがって右作用は $k\cdot m=k+m\pmod n$ であり、推移的である。被覆の全空間は円周なので連結であり、§E21.10 命題 2.1 (3)の連結成分と軌道の対応に一致する。

▨

問題 4.2. $X=\{0\}\cup\{1/n\mid n\geq1\}\subseteq\R$ 、 $E=X\times\Z$ とする。 $0$ のファイバーに通常の加法群 $\Z$ を入れ、 $1/n$ のファイバーには、 $|k|\leq n$ で $b_n(k)=(k,0)$ を満たす全単射 $b_n:\Z\to\Z\times\Z/2\Z$ によって移した群構造を入れる。演算は連続であるが、切断の層はアーベル群の層として局所定数でないことを示せ。

解答.

指定した有限個の値の外側では、両方の集合に可算無限個の元が残るので、その間の全単射を選んで $b_n$ を完成させることができる。 $1/n$ は $X$ の孤立点なので、そのファイバー上では演算の連続性は自明である。

固定した整数 $a,b$ に対して、 $n\geq\max(|a|,|b|,|a+b|)$ ならば移した群の和は通常の $a+b$ に等しい。逆元も $n\geq|a|$ で $-a$ に等しく、単位元は常に $0$ である。 $E=X\times\Z$ の $\Z$ は離散であり、 $n$ が十分大きいとき和と逆元の値は通常の整数の演算に等しい。したがって $0$ 上の各点で演算は連続である。したがって $E\to X$ は連続なファイバーごとのアーベル群構造をもつ被覆である。

しかし茎の群は $0$ で $\Z$ 、 $1/n$ で $\Z\times\Z/2\Z$ であり、後者は非零の捩れ元をもつため前者と同型でない。 $0$ のどの開近傍も十分大きい $n$ の $1/n$ を含むので、群構造を保つ定数層との局所同型は存在しない。局所連結性を外すと、演算が連続な被覆から群の局所定数層が得られるとは限らない。▨

§E21.40局所定数層と被覆写像

1 局所定数層と被覆写像

2 局所定数層の圏同値

3 離散群の torsor

4 演習

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