Whitehead の定理 | 位相幾何入門

1 弱ホモトピー同値

定義 1.1. 連続写像 $f:X\to Y$ が弱ホモトピー同値 (weak homotopy equivalence) であるとは、 $\pi_0(X)\to\pi_0(Y)$ が全単射であり、すべての $x\in X$ と $n\geq1$ について $f_*:\pi_n(X,x)\longrightarrow\pi_n(Y,f(x))$ が同型であることをいう。

命題 1.2. $f,g:X\to Y$ を連続写像とする。このとき、次が成り立つ。

ホモトピー同値写像は弱ホモトピー同値である。
$f\simeq g$ で $f$ が弱ホモトピー同値ならば、 $g$ も弱ホモトピー同値である。
弱ホモトピー同値の合成は弱ホモトピー同値である。
$X$ が空でなく弧状連結であり、 $f$ が誘導する写像 $\pi_0(X)\to\pi_0(Y)$ が全単射であるとする。ある $x_0\in X$ が存在して、すべての $n\geq1$ で $f_*:\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(Y,f(x_0))$ が同型ならば、 $f$ は弱ホモトピー同値である。

証明.主張 (1)は§E21.45 命題 2.4 (2)による。

主張 (2)を示す。 $H:f\simeq g$ とする。ホモトピーは各点の像を道で結ぶので、 $f$ と $g$ は $\pi_0$ に同じ写像を誘導する。 $x_0\in X$ に対し $h(t)=H(x_0,t)$ と置くと、§E21.45 命題 2.4 (1)により $g_*=\beta_hf_*$ である。 $\beta_h$ は同型なので、 $f_*$ が同型ならば $g_*$ も同型である。

主張 (3)は関手性による。

主張 (4)を示す。 $x_0$ から任意の $x\in X$ への道 $\gamma$ を取る。§E21.45 命題 2.2 (5)により $f_*\beta_\gamma=\beta_{f\gamma}f_*$ となる。両方の $\beta$ は同型なので、 $x_0$ での同型性から $x$ での同型性が従う。▨

2 写像柱と部分空間への変形

命題 2.1. CW 複体の間の胞体写像 $f:X\to Y$ に対し、 $i,j$ を写像柱 $M_f$ の標準写像とする。このとき、 $M_f$ は $i(X)$ と $j(Y)$ を互いに交わらない部分複体にもつ CW 複体である。

証明.§E21.22 命題 5.1により、 $X\times I$ は両端 $X\times\{0\}$ 、 $X\times\{1\}$ を部分複体にもつ CW 複体である。 $X\times\{0\}\to Y$ は胞体写像なので、§E21.22 命題 5.2を用いて接着すると所要の CW 構造を得る。 $i(X)$ の各閉胞体は上端にとどまるので、 $i(X)$ も部分複体である。二つの部分複体は接着の同値関係から互いに交わらない。▨

補題 2.2. $(X,A)$ を CW 対、 $(Y,B)$ を $B\ne\varnothing$ である空間の対とし、次を仮定する。

$X\setminus A$ が零胞体をもつならば、 $Y$ のすべての弧状連結成分が $B$ と交わる。
$X\setminus A$ が $k$ 胞体をもつ各 $k\geq1$ について、すべての $y\in B$ で $\pi_k(Y,B,y)=0$ である。

このとき任意の対の写像 $f:(X,A)\to(Y,B)$ は、 $A$ を固定するホモトピーによって、像が $B$ に含まれる写像へ変形することができる。

証明.§E21.46 補題 3.1で $Y_k=B$ と置く。 $k=0$ の胞体の像を、第一の条件によって $B$ の点へ道で結ぶことができる。 $k\geq1$ では、 $\phi:(D^k,S^{k-1})\to(Y,B)$ と $s_0\in S^{k-1}$ を取る。仮定により $\pi_k(Y,B,\phi(s_0))=0$ であるから、§E21.45 補題 4.4により、 $\phi$ は境界を固定するホモトピーによって、像が $B$ に含まれる写像へ変形することができる。したがって§E21.46 補題 3.1の仮定が満たされ、その結論から $f$ は $A$ を固定するホモトピーによって、像が $B$ に含まれる写像へ変形することができる。▨

3 Whitehead の定理

定理 3.1 (Whitehead の定理).

CW 複体 $X$ の部分複体 $A$ の包含が弱ホモトピー同値ならば、 $A$ は $X$ の変位レトラクトである。
CW 複体の間の弱ホモトピー同値 $f:X\to Y$ はホモトピー同値写像である。

証明.主張 (1)を示す。 $X=\varnothing$ ならば結論は自明である。それ以外では $\pi_0$ の全単射により $A\ne\varnothing$ である。§E21.46 命題 5.2により $(X,A)$ はすべての $n\geq0$ について $n$ 連結である。したがって、 $X$ のすべての弧状連結成分が $A$ と交わり、すべての $a\in A$ と $k\geq1$ で $\pi_k(X,A,a)=0$ である。

補題 2.2を恒等写像 $(X,A)\to(X,A)$ に適用すると、 $A$ を固定して $\id_X$ を像が $A$ に含まれる写像 $r$ へ変形することができる。 $r|_A=\id_A$ なので、所要の変位レトラクトを得る。

主張 (2)を示す。胞体近似によって $f$ を胞体写像 $f'\simeq f$ に取り替える。 $f'$ も弱ホモトピー同値である。命題 2.1により $M=M_{f'}$ は $i(X)$ と $j(Y)$ を部分複体にもつ CW 複体であり、§E21.2 命題 2.5 (1)により $j:Y\to M$ はホモトピー同値写像、 $i\simeq jf'$ である。したがって $i$ も弱ホモトピー同値である。主張 (1)を部分複体 $i(X)$ に適用すると、 $i(X)$ は $M$ の変位レトラクトである。

写像柱のレトラクション $r:M\to Y$ は $ri=f'$ 、 $rj=\id_Y$ を満たす。 $j$ はホモトピー同値写像なので、 $r$ もホモトピー同値写像である。§E21.1 命題 3.2により、包含 $\lambda:i(X)\hookrightarrow M$ はホモトピー同値写像である。 $i$ の値域を $i(X)$ に制限した写像 $i':X\to i(X)$ は同相写像であり、 $f'=r\lambda i'$ である。したがって $f'$ はホモトピー同値写像であり、 $f\simeq f'$ なので $f$ もホモトピー同値写像である。▨

系 3.2. $X$ を空でない弧状連結な CW 複体、 $x_0\in X$ とする。このとき、すべての $n\geq1$ で $\pi_n(X,x_0)=0$ ならば、 $X$ は可縮である。

証明. 一点への写像は命題 1.2 (4)により弱ホモトピー同値である。Whitehead の定理と§E21.1 命題 2.2により可縮性を得る。▨

例 3.3.§E21.46 系 5.7により $S^\infty$ はすべてのホモトピー群が消える弧状連結な CW 複体なので、可縮である。したがってその恒等写像と対蹠写像はホモトピックである。対蹠写像の連続性は各有限骨格への制限と弱位相から従う。一方、 $n\geq1$ について、 $S^n$ の対蹠写像の写像度は $(-1)^{n+1}$ である。したがって、 $n$ が偶数ならば $S^n$ の対蹠写像は恒等写像とホモトピックではない。

4 胞体複体による置き換え

定理 4.1. $n\geq1$ とし、 $X$ を $(n-1)$ 連結な空間、 $x_0\in X$ とする。このとき、次が成り立つ。

零胞体 $z_0$ を一つだけもち、次元 $1,\ldots,n-1$ の胞体をもたない CW 複体 $Z$ と、弱ホモトピー同値 $f:(Z,z_0)\to(X,x_0)$ が存在する。 $Z$ の $n$ 骨格は $n$ 次元球面の楔和である。
$X$ が CW 複体ならば、この $f$ はホモトピー同値写像である。

証明.主張 (1)を示す。まず $V_n=\pi_n(X,x_0)$ に離散位相を入れ、 $Z_n=(V_n\times I^n)/(V_n\times\partial I^n)$ とする。潰した点を $z_0$ とする。§E21.46 系 1.1、§E21.22 命題 5.1、§E21.22 補題 6.2により、 $Z_n$ は零胞体一つと各 $a\in V_n$ に対応する $n$ 胞体をもつ CW 複体である。商の普遍性から $\bigvee_{a\in V_n}S^n$ と同相である。各 $a$ の基点付き球面代表を用いて $f_n:Z_n\to X$ を定めると、 $f_{n*}$ は $\pi_n$ で全射である。 $1\leq i<n$ では、 $\pi_i(Z_n,z_0)$ と $\pi_i(X,x_0)$ はともに零である。

主張 4.1.1. $k\geq n$ とする。 $k$ 次元 CW 複体 $Z_k$ からの基点付き写像 $f_k:Z_k\to X$ が、 $i<k$ で $\pi_i$ の同型を、 $i=k$ で全射を誘導するとする。このとき、 $(k+1)$ 次元 CW 複体 $Z_{k+1}$ で $Z_k$ を $k$ 骨格にもつものと、 $f_k$ の延長である基点付き写像 $f_{k+1}:Z_{k+1}\to X$ で、 $i<k+1$ で $\pi_i$ の同型を、 $i=k+1$ で全射を誘導するものが存在する。

証明. $f_{k*}:\pi_k(Z_k,z_0)\to\pi_k(X,x_0)$ の核の各元 $c$ を代表する写像 $\psi_c:(I^k,\partial I^k)\to(Z_k,z_0)$ を取る。 $(k+1)$ 立方体の底面を $\psi_c$ で写し、上面と側面 $J^k$ を $z_0$ へ写して、その境界を $Z_k$ に接着する。 $f_k\psi_c$ は境界を固定して零ホモトピックなので、その零ホモトピーによって $f_k$ を新しい胞体へ延長する。

さらに各 $d\in\pi_{k+1}(X,x_0)$ に対して、境界全体を $z_0$ に接着する $(k+1)$ 胞体を一つ加え、その胞体からの写像を $d$ の立方体代表とする。 $c$ と $d$ の添字集合の非交和に離散位相を入れて $\Lambda$ とし、 $\Lambda\times I^{k+1}$ を $\Lambda\times\partial I^{k+1}$ で $Z_k$ に同時に接着する。境界の $k-1$ 骨格は $J^k$ に含まれ、 $k$ 次元の底面は $Z_k$ に写るので、接着写像は胞体的である。§E21.22 命題 5.2により $Z_{k+1}$ は CW 複体であり、 $Z_k$ はその $k$ 骨格である。

§E21.46 系 5.4により、包含 $Z_k\hookrightarrow Z_{k+1}$ は $i<k$ で同型を、 $i=k$ で全射を誘導する。 $\pi_k(Z_{k+1})$ の元の像が $X$ で零ならば、その元を $c\in\pi_k(Z_k)$ へ持ち上げると $c\in\ker f_{k*}$ である。 $c$ は接着した胞体によって零になるので、 $f_{k+1*}$ は $\pi_k$ で単射でもある。各 $d\in\pi_{k+1}(X,x_0)$ に対して加えた $(k+1)$ 胞体の閉包は球面であり、 $f_{k+1}$ によるその球面上の写像は $d$ を代表する。したがって、 $f_{k+1*}$ は $\pi_{k+1}$ で全射である。▨

主張を反復して $Z=\bigcup_{k\geq n}Z_k$ とし、各 $Z_k$ との交わりで閉集合を判定する位相を入れる。§E21.22 補題 6.1により $Z$ は CW 複体で、 $Z^k=Z_k$ 、 $k\geq n$ である。 $f=\bigcup_kf_k$ はこの位相の定義から連続である。 $i\geq n$ について、骨格の包含による同型 $\pi_i(Z^{i+1})\cong\pi_i(Z)$ と $f_{i+1*}$ の同型性から、 $f_*$ は同型である。 $i<n$ では両群が零であり、両空間は弧状連結である。命題 1.2 (4)により $f$ は弱ホモトピー同値となる。

主張 (2)を示す。 $X$ が CW 複体ならば、定理 3.1 (2)により $f$ はホモトピー同値写像である。▨

5 仮定の必要性

例 5.1. $K=\{0\}\cup\{1/k:k\geq1\}\subset\R$ 、 $N$ を可算な離散空間とし、全単射 $f:N\to K$ を取る。このとき、 $f$ は連続である。両空間の弧状連結成分はいずれも一点からなるので、 $f$ は $\pi_0$ の全単射を誘導する。 $K$ の空でない連結部分集合は一点集合に限るので、両空間の正の次数のホモトピー群は零である。したがって $f$ は弱ホモトピー同値である。

しかし連続写像 $g:K\to N$ の像はコンパクトな離散空間なので有限である。 $K$ 内の道は定値であるから、 $fg\simeq\id_K$ ならば $fg=\id_K$ となり、 $g$ は単射でなければならない。これは像が有限であることに反する。ゆえに $f$ はホモトピー同値写像ではない。値域が CW 複体であるという仮定は省くことができない。

例 5.2. $X_1=S^2\times\mathbb{RP}^3$ 、 $X_2=S^3\times\mathbb{RP}^2$ とする。このとき、次が成り立つ。

すべての $n\geq1$ で $\pi_n(X_1)\cong\pi_n(X_2)$ である。一次群はともに $\Z/2\Z$ 、高次群はともに $\pi_n(S^2)\times\pi_n(S^3)$ に同型である。この同型は次の演習で確かめる。
$H_2(X_1)$ は $\Z$ を直和因子にもつが、 $H_2(X_2)=0$ である。前者は $S^2\times\{*\}$ がレトラクトであることによる。後者では積の胞体構造の $2$ 骨格が $\mathbb{RP}^2$ であり、§E21.24 補題 1.3により $H_2(\mathbb{RP}^2)\to H_2(X_2)$ は全射である。§E21.24 命題 4.1 (1)により左辺は零である。
したがって $X_1$ と $X_2$ はホモトピー同値ではない。すべてのホモトピー群が抽象的に同型であることは、それらの同型を誘導する一つの写像が存在することを意味しない。

6 演習

問題 6.1.例 5.2 (1)を証明せよ。

解答.

球面 $S^2,S^3$ は単連結であり、§E21.45 命題 3.1により $\mathbb{RP}^2,\mathbb{RP}^3$ の基本群はともに $\Z/2\Z$ である。積の基本群の公式から、両空間の一次群は $\Z/2\Z$ となる。

$n\geq2$ では、被覆が高次ホモトピー群の同型を誘導するので $\pi_n(\mathbb{RP}^2)\cong\pi_n(S^2),\qquad \pi_n(\mathbb{RP}^3)\cong\pi_n(S^3).$ 積の公式と二因子の交換により $\pi_n(X_1)\cong\pi_n(S^2)\times\pi_n(S^3)\cong\pi_n(X_2)$ を得る。▨

§E21.48Whitehead の定理