§E21.50Hurewicz の定理

証明.主張 (1)を示す。§E2.12 例 8.15の同相$\kappa:(I^n,\partial I^n)\to(D^n,S^{n-1})$と§E21.23 命題 1.1 (1)により、$H_n(I^n,\partial I^n)$は無限巡回群である。$n=1$では対の完全列の境界写像は恒等写像を表す特異一次単体の類を$[1]-[0]$に送る。この境界写像は$H_1(I)=0$により単射であり、その像は$H_0(\partial I)\to H_0(I)$の核、すなわち$[1]-[0]$の生成する群である。

主張 (2)を示す。§E21.17 命題 2.2により円板と境界は良い対である。$q_n$は同相$\kappa$、商写像$D^n\to D^n/S^{n-1}$、同相$D^n/S^{n-1}\cong S^n$の合成として表されるので、§E21.17 定理 2.4 (1)により$(q_n)_*$は同型である。

主張 (3)は主張 (2)と§E21.15 補題 3.3 (3)の同型$j$による。▨

証明.主張 (1)を示す。ホモロジーのホモトピー不変性により$g_*[S^n]$は基点付きホモトピー類$[g]$の代表によらない。立方体と球面の同一視のもとで$[f]$は$[\overline f]$に対応するので、定義から式を得る。

主張 (2)を示す。相対ホモロジーの関手性から$j\overline f_*[S^n]=\overline f_*j[S^n]=\overline f_*(q_n)_*[I^n,\partial I^n]=f_*[I^n,\partial I^n]$となることによる。▨

証明.主張 (1)は§E21.49 補題 5.1 (2)を$\omega=[S^n]$に用いた等式、主張 (2)は誘導準同型の関手性による。

主張 (3)を示す。基点変更のホモトピーは、各時刻で$\partial I^n$全体を一つの点へ写す。$I$は正則な局所コンパクト空間なので、§E2.37 定理 5.2により$q_n\times\id_I$は商写像であり、このホモトピーは球面上の自由ホモトピーを誘導する。ホモロジーのホモトピー不変性から主張 (3)を得る。自由ホモトピックな写像$g,g':S^n\to X$はホモロジーに同じ準同型を誘導するので、$g_*[S^n]$は$[S^n,X]$の類$[g]$だけで定まる。

主張 (4)を示す。$n=1$では、$q_1(t)=e^{2\pi it}$を特異一次単体とみた輪体の類が$[S^1]$である。ループ$\alpha=\overline\alpha q_1$について$h_X[\alpha]=\overline\alpha_*[q_1]=[\alpha]$となり、一次の定義に一致する。

主張 (5)は写像度の定義と§E21.49 定理 5.2 (1)による。▨

証明. 各胞体の向きを$\kappa_*[I^n,\partial I^n]$で選ぶ。§E21.23 命題 1.1 (2)により$H_n(W,\{w_0\})$は胞体の類$[e_\lambda]$を基底とする自由アーベル群であり、$H_n(W)$との比較$j$は同型である。補題 1.3 (2)により$j h_W(a_\lambda)=[e_\lambda]$である。したがって$\Theta:\Z^{\oplus\Lambda}\to\pi_n(W,w_0)$を標準基底を$a_\lambda$へ送る準同型とすると、$h_W\Theta$は同型である。

胞体が有限個$k$の場合、$W$は球面の楔和であり、積$P=(S^n)^k$の$n$骨格と同相である。実際、どちらも$k$個の円板の境界を同じ一点へ接着した商である。積の胞体構造では次の胞体の次元は$2n$なので$W=P^{2n-1}$とみなすことができる。$n<2n-1$より骨格の包含は$\pi_n$の同型を誘導する。積の公式により$\pi_n(W)\cong\pi_n(P)\cong\prod_{j=1}^k\pi_n(S^n,p).$各因子は、基点変更と§E21.49 定理 5.2により無限巡回群である。標準球面の特性写像の類$c=[\chi\kappa]$は$h_{S^n}(c)$が生成元になるので、無限巡回群$\pi_n(S^n,p)$の生成元である。$a_j$は第$j$因子のこの生成元に対応する。したがって元$a_j$の族は群を生成する。

一般の場合、立方体からの代表元の像はコンパクトなので有限部分複体に含まれる。零胞体と有限個の$n$胞体からなるその部分複体に有限の場合を用いると、任意の元は有限個の$a_\lambda$の和である。ゆえに$\Theta$は全射であり、$h_W\Theta$の同型性から$\Theta$と$h_W$はともに同型である。▨

証明. ホモトピー群については§E21.46 系 5.4、ホモロジーについては§E21.24 補題 1.3を用いる。可換性は$h$の自然性による。▨

証明.§E21.48 定理 4.1により、零胞体$z_0$が一つだけで、次元$1,\ldots,n-1$の胞体をもたない CW 複体$Z$と、基点付き写像$f:(Z,z_0)\to(X,x_0)$でホモトピー同値であるものが存在する。$f$はホモトピー群とホモロジーの同型を誘導し、$h$は自然なので$Z$について示せばよい。

主張 (1)を示す。$Z$の胞体鎖複体は次数$1,\ldots,n-1$で零であるから、主張 (1)は胞体ホモロジーから従う。

主張 (2)を示す。前補題により主張 (2)は$Z^{n+1}$について示せばよい。$W=Z^n$、$V=Z^{n+1}$とし、包含を$\iota$と書く。$W$は前節の命題の形なので$h_W$は同型である。

§E21.46 系 5.4により上段の$\iota_*$は全射である。対の完全列と$H_n(V,W)=0$により下段は完全である。

$(n+1)$胞体の接着写像を$\varphi_\beta:S^n\to W$とする。$H_{n+1}(V,W)$の胞体基底$[e_\beta]$の向きを、円板の相対基本類$u_\beta$が$\partial u_\beta=[S^n]$を満たすように選ぶ。対の完全列の自然性により$\delta[e_\beta]=(\varphi_\beta)_*[S^n].$$\varphi_\beta(e_1)$から$z_0$への道$\gamma_\beta$を取り、$w_\beta=\beta_{\gamma_\beta}[\varphi_\beta q_n]\in\pi_n(W,z_0)$と置く。$h$の基点変更に対する不変性から$h_W(w_\beta)=\delta[e_\beta].$また$\varphi_\beta$は特性円板上へ延びるので、$V$では零ホモトピックである。基点変更の同型は零を零へ送るので、$\iota_*(w_\beta)=0$である。

図式から$h_V$は全射である。単射性を示すため$h_V(z)=0$とする。上段の全射性により$z=\iota_*(w)$と書くことができる。自然性から$h_W(w)\in\ker\iota_*=\operatorname{im}\delta$であり、したがって有限個の整数$c_\beta$によって$h_W(w)=\sum_\beta c_\beta h_W(w_\beta).$$h_W$は単射なので$w=\sum_\beta c_\beta w_\beta$となる。各$w_\beta$の像は零なので$z=0$である。以上より、$h_V$は同型である。これで主張 (2)は示された。▨

証明.主張 (1)を示す。$X$は単連結なので、$k=2$で$(k-1)$連結である。$X$が$(k-1)$連結で$2\leq k<n$ならば、Hurewicz の定理により$\pi_k(X)\cong H_k(X)=0$なので、$X$は$k$連結である。帰納法により$X$は$(n-1)$連結であり、同じ定理を次数$n$に用いると$\pi_n(X)\cong H_n(X)$を得る。

主張 (2)を示す。すべての被約ホモロジーが零ならば、同じ帰納によりすべてのホモトピー群が消える。§E21.48 系 3.2により可縮である。▨

証明.(1)を示す。写像$f_k$は§E21.19 命題 2.6により存在する。境界球面の零胞体を$p$、値域の零胞体を$f_k(p)$と選べば、$f_k$はそれぞれ零胞体一つと$n$胞体一つからなる構造に関して胞体的である。§E21.22 命題 4.5と胞体接着により、$M$は零胞体一つ、$n$胞体一つ、$(n+1)$胞体一つをもつ。したがって$(n-1)$連結である。胞体境界は§E21.23 定理 3.1により、向きをそろえると$k$倍なので、$H_n(M)=\Z/k\Z$である。Hurewicz の定理により$\pi_n(M)\cong H_n(M)$である。$k=1$ならば零、$k\geq2$ならば非自明な捩れ群となる。

(2)を示す。複素射影空間の胞体構造は零胞体一つと偶数次元の胞体だけからなる。したがって単連結で、§E21.24 命題 4.2により$H_2=\Z$である。主定理によるこの計算は、Hopf 束の計算§E21.47 系 4.2 (4)と一致する。

(3)を示す。二空間は単連結であり、胞体ホモロジーにより二次ホモロジーはともに$\Z^2$である。Hurewicz の定理により、二空間の二次ホモトピー群はともに$\Z^2$である。一方、四次ホモロジーは異なるので、二空間はホモトピー同値ではない。四次ホモロジーの計算は演習とする（問題 4.4）。

(4)を示す。空間$M_{aaa^{-1}}$は、円板と境界の CW 対を円周に胞体的に接着して得られる。§E21.8 命題 4.1により、その基本群は$\langle a\mid aaa^{-1}\rangle=1$である。語の指数和は$1$なので、§E21.18 補題 3.2によりすべての被約ホモロジーは零である。前系を用いると可縮性を得る。▨