ホモトピーとホモトピー同値 | 位相幾何入門

1 写像のホモトピー

定義 1.1 (ホモトピー). $X,Y$ を位相空間、 $f,g:X\to Y$ を連続写像とする。連続写像 $H:X\times[0,1]\to Y$ が、すべての $x\in X$ について

H(x,0)=f(x),\qquad H(x,1)=g(x)

を満たすとき、 $H$ を $f$ から $g$ へのホモトピー (homotopy) という。ホモトピーが存在するとき、 $f$ と $g$ はホモトピック (homotopic) であるといい、 $f\simeq g$ と書く。 $H_t:X\to Y$ を $H_t(x)=H(x,t)$ で定める。

定義 1.2. $X,Y$ を位相空間とする。

$A\subseteq X$ とし、連続写像 $f,g:X\to Y$ が $f|_A=g|_A$ を満たすとする。 $f$ から $g$ へのホモトピー $H$ が、すべての $a\in A$ と $t\in[0,1]$ について $H(a,t)=f(a)$ を満たすとき、 $H$ を $A$ を固定するホモトピー (homotopy relative to A) という。その存在を $f\simeq g\ (\mathrm{rel}\ A)$ と書く。
同じ添字集合 $J$ をもつ部分集合の族 $(A_j)_{j\in J}$ 、 $(B_j)_{j\in J}$ を、それぞれ $X,Y$ の中にとる。すべての $j\in J$ について $f(A_j)\subseteq B_j$ を満たす連続写像 $f:X\to Y$ を組の写像 (map of tuples) といい、 $f:(X;(A_j))\to(Y;(B_j))$ と書く。
組の写像 $f,g:(X;(A_j))\to(Y;(B_j))$ の間のホモトピー $H$ が、すべての $j\in J$ と $t\in[0,1]$ について $H_t(A_j)\subseteq B_j$ を満たすとき、 $H$ を組の写像のホモトピー (homotopy of maps of tuples) という。

命題 1.3. 位相空間 $X,Y$ と、同じ添字集合 $J$ をもつ部分集合の族 $(A_j)$ 、 $(B_j)$ を固定する。組の写像 $(X;(A_j))\to(Y;(B_j))$ の間で、組の写像のホモトピーが存在するという関係は同値関係である。とくに、連続写像 $X\to Y$ の間のホモトピー関係、および $A\subseteq X$ 上の値を固定した連続写像の間の rel $A$ のホモトピー関係は同値関係である。

証明. $J=\varnothing$ では部分集合の像への条件が無く、組の写像のホモトピーは連続写像のホモトピーである。 $A$ 上の値を $u:A\to Y$ に固定した場合は、 $J=A$ 、 $A_a=\{a\}$ 、 $B_a=\{u(a)\}$ とすれば、組の写像のホモトピーが rel $A$ のホモトピーに一致する。

任意の組の写像 $f$ に対して $H(x,t)=f(x)$ は $f$ から $f$ へのホモトピーである。 $H$ が $f$ から $g$ への組の写像のホモトピーなら、 $\bar H(x,t)=H(x,1-t)$ は $g$ から $f$ への組の写像のホモトピーである。

$H$ が $f$ から $g$ への、 $K$ が $g$ から $h$ への組の写像のホモトピーであるとする。

L(x,t)= \begin{cases} H(x,2t)&0\le t\le\frac12,\\ K(x,2t-1)&\frac12\le t\le1 \end{cases}

とおく。二つの式は $t=\frac12$ で $g(x)$ に一致する。 $X\times[0,\frac12]$ と $X\times[\frac12,1]$ は $X\times[0,1]$ を覆う閉集合なので、§E2.12 系 4.11により $L$ は連続である。 $L_0=f$ 、 $L_1=h$ であり、各時刻の $L_t$ は $H$ または $K$ のある時刻の写像であるから、 $L_t(A_j)\subseteq B_j$ が成り立つ。▨

命題 1.4. $H$ を組の写像 $f_0,f_1:(X;(A_j))\to(Y;(B_j))$ の間のホモトピーとし、 $a:(W;(C_j))\to(X;(A_j))$ と $b:(Y;(B_j))\to(Z;(D_j))$ を組の写像とする。このとき

L(w,t)=b(H(a(w),t))

は $b\circ f_0\circ a$ から $b\circ f_1\circ a$ への組の写像のホモトピーである。また、 $H$ が $A\subseteq X$ を固定するなら、 $L$ は $a^{-1}(A)$ を固定する。

証明. $L=b\circ H\circ(a\times\id_{[0,1]})$ は連続写像の合成であり、 $L_0=b\circ f_0\circ a$ 、 $L_1=b\circ f_1\circ a$ である。各 $j,t$ に対して

b(H_t(a(C_j)))\subseteq b(H_t(A_j))\subseteq b(B_j)\subseteq D_j

が成り立つ。 $w\in a^{-1}(A)$ なら、すべての $t$ について $H(a(w),t)=f_0(a(w))$ であるから、 $L(w,t)=b(f_0(a(w)))$ である。▨

2 ホモトピー同値と可縮性

定義 2.1. $X,Y$ を位相空間とする。

連続写像 $f:X\to Y$ に対し、連続写像 $g:Y\to X$ で $g\circ f\simeq\id_X,\qquad f\circ g\simeq\id_Y$ を満たすものが存在するとき、 $f$ をホモトピー同値写像 (homotopy equivalence) といい、 $g$ を $f$ のホモトピー逆写像 (homotopy inverse) という。
ホモトピー同値写像 $X\to Y$ が存在するとき、 $X$ と $Y$ はホモトピー同値 (homotopy equivalent) であるという。
空でない位相空間 $X$ に対し、ある $x_0\in X$ が存在して、その点への定値写像 $c_{x_0}:X\to X$ が $\id_X\simeq c_{x_0}$ を満たすとき、 $X$ は可縮 (contractible) であるという。

命題 2.2. 空でない位相空間 $X$ が可縮であることは、 $X$ が一点空間とホモトピー同値であるための必要十分条件である。

証明. $\id_X\simeq c_{x_0}$ とし、 $p:X\to\{*\}$ を唯一の写像、 $i:\{*\}\to X$ を $i(*)=x_0$ で定める。 $p\circ i=\id_{\{*\}}$ 、 $i\circ p=c_{x_0}\simeq\id_X$ であるから、 $p$ はホモトピー同値写像である。

逆に、 $p:X\to\{*\}$ のホモトピー逆写像を $i$ とすると、 $i\circ p=c_{i(*)}\simeq\id_X$ である。したがって $X$ は可縮である。▨

命題 2.3. 位相空間のホモトピー同値は、反射律、対称律および推移律を満たす。

証明. $\id_X$ は自分自身をホモトピー逆写像にもつ。 $g$ が $f:X\to Y$ のホモトピー逆写像なら、 $f$ は $g$ のホモトピー逆写像である。

$f:X\to Y$ と $u:Y\to Z$ のホモトピー逆写像を、それぞれ $g:Y\to X$ と $v:Z\to Y$ とする。命題 1.4と命題 1.3により

(g\circ v)\circ(u\circ f)\simeq g\circ f\simeq\id_X, \qquad (u\circ f)\circ(g\circ v)\simeq u\circ v\simeq\id_Z

が成り立つ。したがって $u\circ f$ はホモトピー同値写像である。▨

3 変位レトラクト

定義 3.1 (変位レトラクト). $A$ を位相空間 $X$ の部分空間とし、 $i:A\hookrightarrow X$ を包含写像とする。レトラクション $r:X\to A$ （§E2.42 定義 3.4）と、 $\id_X$ から $i\circ r$ への $A$ を固定するホモトピー $H:X\times[0,1]\to X$ が存在するとき、 $A$ を $X$ の変位レトラクト (deformation retract) という。すなわち、すべての $x\in X$ 、 $a\in A$ 、 $t\in[0,1]$ について

H(x,0)=x,\qquad H(x,1)=i(r(x)),\qquad H(a,t)=a

を要求する。

命題 3.2. 位相空間 $X$ の部分空間 $A$ が変位レトラクトなら、包含写像 $i:A\hookrightarrow X$ はホモトピー同値写像である。

証明. 変位レトラクトを与えるレトラクションを $r:X\to A$ とする。 $r\circ i=\id_A$ であり、変位を与えるホモトピーにより $\id_X\simeq i\circ r$ である。したがって $r$ は $i$ のホモトピー逆写像である。▨

注意 3.3. $X=\{0\}\cup[1,2]\subset\R$ と $A=\{0\}$ に対し、定値写像 $X\to A$ はレトラクションである。しかし、 $1$ と $0$ を結ぶ $X$ 内の道は存在しない。実際、そのような道を $\R$ への連続写像とみなすと、中間値の定理により像が $\frac12$ を含むことになる。 $A$ が変位レトラクトなら $t\mapsto H(1,t)$ がその道を与えるので、 $A$ は変位レトラクトでない。

例 3.4. $X=\{x\in\R^2:1\le\lVert x\rVert\le2\}$ と $A=S^1$ に対し、

r(x)=\frac{x}{\lVert x\rVert},\qquad H(x,t)=\left(1-t+\frac{t}{\lVert x\rVert}\right)x

とおく。 $H$ は連続であり、 $\lVert H(x,t)\rVert=(1-t)\lVert x\rVert+t\in[1,2]$ である。さらに $H(x,0)=x$ 、 $H(x,1)=r(x)$ であり、 $x\in A$ なら $H(x,t)=x$ である。したがって $A$ は $X$ の変位レトラクトである。

定義 3.5. 同相で保たれる空間の性質を位相不変量 (topological invariant)、ホモトピー同値で保たれる性質をホモトピー不変量 (homotopy invariant) という。

注意 3.6. 同相写像はホモトピー同値写像なので、ホモトピー不変量は位相不変量でもある。

$\R$ は $H(x,t)=(1-t)x$ によって可縮であるから、命題 2.2により一点空間とホモトピー同値である。一点空間はコンパクトであり、 $\R$ はコンパクトでないので、両空間は同相でない。したがって、コンパクト性は位相不変量であるがホモトピー不変量ではない。

4 演習

問題 4.1.

$X=(\R\times\{0\})\cup(\{0\}\times\R)\subset\R^2$ が凸でないことを示し、原点への収縮を構成せよ。
空でない位相空間 $X,Y$ について、 $X\times Y$ が可縮であることは、 $X,Y$ がともに可縮であるための必要十分条件であることを示せ。

解答.

$(1,0),(0,1)\in X$ の中点 $(\frac12,\frac12)$ は $X$ に属さないので、 $X$ は凸でない。 $H(x,t)=(1-t)x$ は連続であり、各座標軸を保つ。したがって $H$ は $X$ の原点への収縮である。
$F:X\times[0,1]\to X$ と $G:Y\times[0,1]\to Y$ が収縮なら、 $((x,y),t)\mapsto(F(x,t),G(y,t))$ は $X\times Y$ の収縮である。逆に、 $H:(X\times Y)\times[0,1]\to X\times Y$ が $(a,b)$ への収縮であるとする。 $x_0\in X$ 、 $y_0\in Y$ を選ぶと、 $F(x,t)=\pr_X(H((x,y_0),t))$ と $G(y,t)=\pr_Y(H((x_0,y),t))$ は、それぞれ $X$ の $a$ への収縮と $Y$ の $b$ への収縮である。

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§E21.1ホモトピーとホモトピー同値

1 写像のホモトピー

2 ホモトピー同値と可縮性

3 変位レトラクト

4 演習

参考文献

前提記事