写像空間とループ空間 | 位相幾何入門

1 写像空間と連続な写像族

連続写像の集合 $C(Z,Y)$ にはコンパクト開位相を入れる。§E2.30 定理 4.4の指数法則により、連続写像 $F:W\times Z\to Y$ の随伴写像 $\widehat F(w)(z)=F(w,z)$ は連続である。随伴写像から元の写像の連続性を導く逆方向は、 $Z$ が局所コンパクトな Hausdorff 空間のときに成り立つ。以下で指数に用いる区間 $I=[0,1]$ はこの仮定を満たす。

注意 1.1. 固定した局所コンパクトな Hausdorff 空間 $Z$ に対し、指数法則により連続写像の自然な全単射

C(W\times Z,Y)\cong C(W,C(Z,Y))

が得られる。連続写像 $a:W'\to W$ 、 $b:Y\to Y'$ に対して

\widehat{b\circ F\circ(a\times\id_Z)} =(b\circ-)\circ\widehat F\circ a

だからである。前合成と後合成の連続性は§E2.30 命題 1.10による。この自然な全単射は、関手 $-\times Z$ と $C(Z,-)$ の随伴を表す。

例 1.2. $0<w\leq\tfrac12$ 、 $0\leq s\leq1$ に対して

\lambda_w(s)=\max\left\{0,1-\frac{2|s-w|}{w}\right\}, \qquad\alpha_w(s)=e^{\pi i\lambda_w(s)}

とし、 $\alpha_0(s)=1$ とする。このとき、各 $\alpha_w$ は両端の値が $1$ の連続な道である。 $s>0$ を固定すると、十分小さい $w$ で $\lambda_w(s)=0$ となり、 $s=0$ ではすべての $w$ について $\lambda_w(0)=0$ である。したがって各 $s$ に対し $w\mapsto\alpha_w(s)$ は連続である。

しかし $\alpha_w(w)=-1$ であり、 $\alpha_0(0)=1$ なので、 $(w,s)\mapsto\alpha_w(s)$ は $(0,0)$ で連続でない。§E2.30 定理 4.4 (2)により、写像 $[0,\tfrac12]\to C(I,S^1)$ 、 $w\mapsto\alpha_w$ も連続でない。各変数についての連続性だけでは、連続な写像族は得られない。

2 基点付きホモトピーと道の空間

定義 2.1.

空間 $X$ と指定した点 $x_0\in X$ の対 $(X,x_0)$ を基点付き空間 (based space)、 $x_0$ を基点 (basepoint) という。
連続写像 $f:X\to Y$ が $f(x_0)=y_0$ を満たすとき、 $f:(X,x_0)\to(Y,y_0)$ を基点付き写像 (based map) という。
基点付き写像 $f,g:X\to Y$ の間のホモトピー $H:X\times I\to Y$ がすべての $t\in I$ について $H(x_0,t)=y_0$ を満たすとき、基点付きホモトピー (based homotopy) という。この関係による基点付き写像の基点付きホモトピー類 (based homotopy class) の集合を $[X,Y]_*$ と書き、定値写像の類を基点とする。基点付きホモトピーは $\{x_0\}$ を固定するホモトピーなので、同値関係と合成との両立は§E21.1 命題 1.3、§E21.1 命題 1.4の特殊な場合である。
$S^0=\{1,-1\}$ には離散位相を入れ、 $1$ を基点とする。 $Y$ の弧状連結成分の集合に $y_0$ の成分を基点として与えたものを $\pi_0(Y,y_0)$ と書く。

補題 2.2. $[f]\mapsto[f(-1)]$ は、基点を保つ全単射 $[S^0,Y]_*\to\pi_0(Y,y_0)$ を与える。

証明. 基点付き写像 $f:S^0\to Y$ は $f(-1)$ の選択で定まる。基点付きホモトピーの $-1$ における値は $Y$ の道である。逆に、 $f(-1)$ から $g(-1)$ への道を $-1$ における値、 $y_0$ の定値道を $1$ における値とすれば、 $S^0$ が離散であることから基点付きホモトピーとなる。▨

定義 2.3. $(Y,y_0)$ を基点付き空間とする。

コンパクト開位相を入れた $C(I,Y)$ の部分空間 $\Omega Y=\{\gamma:\gamma(0)=\gamma(1)=y_0\},\qquad PY=\{\gamma:\gamma(0)=y_0\}$ を、それぞれループ空間 (loop space)、道の空間 (path space) という。基点はどちらも定値道 $c_{y_0}$ とする。
終点写像 (endpoint map) を $e_1:PY\to Y$ 、 $e_1(\gamma)=\gamma(1)$ と定める。開集合 $U\subseteq Y$ に対して $e_1^{-1}(U)=PY\cap[\{1\},U]$ なので、この写像は連続である。

補題 2.4. $(Y,y_0)$ を基点付き空間とする。このとき、次が成り立つ。

空間 $W$ から $PY$ または $\Omega Y$ への写像 $f$ が連続であることは、 $F(w,s)=f(w)(s)$ とおいた $F:W\times I\to Y$ が連続であるための必要十分条件である。

証明. 部分空間への写像の連続性は $C(I,Y)$ への写像として判定してよい。 $I$ は局所コンパクトな Hausdorff 空間なので、指数法則を適用すればよい。▨

補題 2.5. $G:W\to C(I,Y)$ と $w:I\times I\to I$ が連続ならば、

R:W\times I\to C(I,Y),\qquad R(v,t)(s)=G(v)(w(s,t))

は連続である。

証明. 随伴写像 $(v,t,s)\mapsto\ev(G(v),w(s,t))$ は、評価写像の連続性（§E2.30 定理 4.2）により連続である。§E2.30 定理 4.4 (1)により $R$ は連続である。▨

命題 2.6. $(Y,y_0)$ を基点付き空間とする。このとき、 $\{c_{y_0}\}$ は $PY$ の変位レトラクトであり、 $PY$ は可縮である。

証明. $H(\gamma,t)(s)=\gamma((1-t)s)$ と定める。補題 2.5により $H$ は連続であり、各道の始点を $y_0$ に保つ。 $H(-,0)=\id$ 、 $H(-,1)=c_{y_0}$ であり、定値道は全時刻で固定される。▨

3 ループの連結とホモトピー類の群

命題 3.1. $(Y,y_0)$ を基点付き空間とする。ループの連結を $\mu(\alpha,\beta)=\alpha*\beta$ 、逆向きを $\nu(\alpha)=\bar\alpha$ とし、 $c=c_{y_0}$ とする。このとき、次が成り立つ。

$\mu:\Omega Y\times\Omega Y\to\Omega Y$ と $\nu:\Omega Y\to\Omega Y$ は連続な基点付き写像である。
$\mu(c,-)$ と $\mu(-,c)$ は、基点付き写像として $\id_{\Omega Y}$ とホモトピックである。
$\mu\circ(\mu\times\id)$ と $\mu\circ(\id\times\mu)$ は基点付きホモトピックである。
$\alpha\mapsto\alpha*\bar\alpha$ と $\alpha\mapsto\bar\alpha*\alpha$ は、値 $c$ の定値写像と基点付きホモトピックである。

証明.主張 (1)を示す。連結 $\mu$ の随伴写像 $(\alpha,\beta,s)\mapsto(\alpha*\beta)(s)$ は、 $s\leq\tfrac12$ では $\alpha(2s)$ 、 $s\geq\tfrac12$ では $\beta(2s-1)$ である。二つの閉集合上で連続であり、共通部分では値 $y_0$ で一致する。逆向きの随伴写像は $\alpha(1-s)$ で連続である。補題 2.4により主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。 $\alpha*c=\alpha\circ u_R$ 、 $c*\alpha=\alpha\circ u_L$ と書くことができる。ただし $u_R(s)=\min\{2s,1\}$ 、 $u_L(s)=\max\{2s-1,0\}$ である。 $u_R,u_L$ のそれぞれを $(1-t)u(s)+ts$ で恒等写像へ変形すればよい。

主張 (3)を示す。写像 $G(\alpha,\beta,\gamma)=\alpha*(\beta*\gamma)$ とおくと、

(\alpha*\beta)*\gamma=G(\alpha,\beta,\gamma)\circ\varphi, \qquad \varphi(s)= \begin{cases} 2s&0\leq s\leq\tfrac14,\\ s+\tfrac14&\tfrac14\leq s\leq\tfrac12,\\ (s+1)/2&\tfrac12\leq s\leq1 \end{cases}

である。 $\varphi$ を $(1-t)\varphi(s)+ts$ で恒等写像へ変形する。

主張 (4)を示す。

H(\alpha,t)(s)= \begin{cases} \alpha(2s(1-t))&s\leq\tfrac12,\\ \alpha((2-2s)(1-t))&s\geq\tfrac12 \end{cases}

とすれば、 $\alpha*\bar\alpha$ から定値ループへのホモトピーとなる。 $\alpha$ を $\bar\alpha$ に替えると、 $\alpha\mapsto\bar\alpha*\alpha$ から定値写像へのホモトピーも得られる。これらのホモトピーの連続性はすべて補題 2.5による。各時刻のループの両端は $y_0$ に保たれ、入力がすべて定値ループの場合には、出力もすべての時刻で定値ループとなる。したがって、これらは基点付きホモトピーである。▨

命題 3.2. $(Y,y_0)$ を基点付き空間とする。このとき、次が成り立つ。

連結 $\mu$ と逆向き $\nu$ は連続な基点付き写像である。
任意の基点付き空間 $X$ に対して $[X,\Omega Y]_*$ は $[f][g]=[\mu\circ(f,g)]$ により群となる。単位元は定値写像の類であり、逆元は $[\nu\circ f]$ である。この群構造は $X$ の基点付き写像による前合成と、基点付き写像 $b:Y\to Y'$ による $\Omega b=b\circ-$ について自然である。
$[S^0,\Omega Y]_*=\pi_0(\Omega Y,c_{y_0})$ は、この群構造により $\pi_1(Y,y_0)$ と自然に同型である。

証明.主張 (1)は命題 3.1 (1)による。

主張 (2)を示す。積と逆向きは基点付きホモトピーと両立するので類の上に定まる。命題 3.1の普遍的なホモトピーへ $X$ からの写像を前合成すれば、結合律・単位元律・逆元律を得る。 $\Omega b$ は§E2.30 命題 1.10 (1)により連続であり、連結と逆向きを保つ。また、前合成も点ごとの演算を保つので自然性が従う。

主張 (3)を示す。 $S^0$ からの基点付き写像は、 $-1$ における一つのループの選択である。二つの写像の基点付きホモトピーはループ空間の中の道であり、随伴による連続性の判定によってループの端点固定ホモトピーに対応する。積は同じ道の連結なので、主張 (3)の対応は基本群との群同型である。▨

例 3.3. $\pi_0(\Omega S^1)$ は $\Z$ と一対一に対応し、ループの連結は整数の和に対応する。整数 $n$ はループ $s\mapsto e^{2\pi ins}$ を含む成分に対応する。この対応は命題 3.2 (3)と§E21.6 定理 1.5 (1)による。具体的な対応は問題 7.2 (1)で演習とする。

4 懸垂とループの随伴

定義 4.1.

基点付き空間 $(X,x_0)$ の懸垂 (reduced suspension) を $\Sigma_*X=(X\times I)/(X\times\partial I\cup\{x_0\}\times I)$ と定め、同一視した点を基点とする。点を $[x,s]$ と書く。
基点付き写像 $a:X\to X'$ に対して、 $\Sigma_*a[x,s]=[a(x),s]$ と定める。商写像の普遍性により、 $\Sigma_*a$ は連続な基点付き写像である。

注意 4.2. 懸垂 $\Sigma_*X$ は、§E21.2 定義 2.1の $\Sigma X$ と異なり、基点の線分を潰し、二つの端も同じ一点にする。基点付きの構成は被約懸垂、約懸垂とも呼ばれるが、ここでは記号 $\Sigma_*X$ によって区別する。

各 $n\geq1$ について、§E2.12 例 8.15の基点を保つ同相 $I^n/\partial I^n\cong S^n$ を固定し、商写像を $q_n:I^n\to S^n$ と書く。 $q_1(t)=e^{2\pi it}$ とする。以下の球面はこの規約に従い、 $S^0$ は先に定めた二点空間とする。

命題 4.3.

$n\geq1$ に対して、基点を保つ同相 $\sigma_n:S^n\to\Sigma_*S^{n-1}$ が存在して、 $n\geq2$ では $\sigma_nq_n(t,s)=[q_{n-1}(s),t],$ $n=1$ では $\sigma_1q_1(t)=[-1,t]$ を満たす。
したがって $n\geq0$ で $\Sigma_*S^n\cong S^{n+1}$ である。
基点を用いない懸垂についても、 $n\geq0$ で $\Sigma S^n\cong S^{n+1}$ である。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。 $n\geq2$ では $(t,s)\mapsto[q_{n-1}(s),t]$ は、 $\id_I\times q_{n-1}$ 、積の順序の交換、懸垂への商写像の合成である。 $I$ は正則な局所コンパクト空間なので、§E2.37 定理 5.2によりこの合成は商写像である。同一視される集合は

(\partial I\times I^{n-1})\cup(I\times\partial I^{n-1})=\partial I^n

であり、境界の外ではこの写像は単射である。よって商の普遍性から、表示された式を満たす同相写像 $\sigma_n$ を得る。 $n=1$ では $-1\in S^0$ に対応する線分だけが残り、その両端を同一視するので $\Sigma_*S^0\cong I/\partial I$ である。主張 (3)は§E21.2 命題 2.8による。▨

定理 4.4. 基点付き空間 $X,Y$ について、次が成り立つ。

$\Phi(g)(x)(s)=g[x,s]$ は、基点付き写像 $\Sigma_*X\to Y$ と基点付き写像 $X\to\Omega Y$ を一対一に対応させ、全単射 $[\Sigma_*X,Y]_*\cong[X,\Omega Y]_*$ を誘導する。とくに $\eta_X=\Phi(\id_{\Sigma_*X})$ は $\eta_X(x)(s)=[x,s]$ を満たす。
基点付き写像 $a:X'\to X$ 、 $b:Y\to Y'$ に対し、 $\Phi(b\circ g\circ\Sigma_*a)=\Omega b\circ\Phi(g)\circ a$ である。
$[X,\Omega Y]_*$ の群構造を移した $[\Sigma_*X,Y]_*$ の積は、懸垂座標の連結 $(g+h)[x,s]= \begin{cases} g[x,2s]&s\leq\tfrac12,\\ h[x,2s-1]&s\geq\tfrac12 \end{cases}$ で表され、 $\Phi$ は群同型である。
$X=S^0$ では、 $\Sigma_*S^0\cong I/\partial I$ を通じて $[\Sigma_*S^0,Y]_*$ は基本群 $\pi_1(Y,y_0)$ と一致する。

証明.主張 (1)を示す。 $g$ と懸垂への商写像の合成は、 $X\times\partial I\cup\{x_0\}\times I$ で値 $y_0$ を取る連続写像である。その随伴写像は $\Omega Y$ に値を取り、基点を保つ。逆に、 $X\to\Omega Y$ に指数法則の逆方向を用いれば、この集合上で一定な連続写像 $X\times I\to Y$ を得るので、商の普遍性によって $g$ が定まる。

ホモトピーについても同じ対応を用いる。§E2.37 定理 5.2により、懸垂への商写像とホモトピーの区間 $I$ の積は商写像である。指数法則をパラメータ空間 $X\times I$ とループの変数の区間 $I$ に適用することができる。したがって基点付きホモトピーは両方向に対応し、類の全単射を得る。主張 (2)は各 $(x,s)$ で値を計算した等式である。主張 (3)は連結の定義から従い、主張 (4)は命題 3.2 (3)による。▨

5 二つの積と可換性

補題 5.1. 集合 $M$ 上の二つの二項演算 $\cdot$ と $\circ$ が、それぞれ両側単位元をもち、等式

(a\cdot b)\circ(c\cdot d)=(a\circ c)\cdot(b\circ d)

を満たすとする。このとき次が成り立つ。

二つの単位元は一致する。
二つの演算は一致し、その演算は可換かつ結合的である。

この補題は Eckmann–Hilton の補題と呼ばれる。証明は問題 7.1 (1)で扱う。

系 5.2. 基点付き空間 $B,Y$ に対して次が成り立つ。

$[\Sigma_*B,\Omega Y]_*$ 上の、懸垂座標の連結とループの連結による二つの群構造は一致し、可換である。
$[\Sigma_*\Sigma_*B,Y]_*$ は可換群であり、二つの懸垂座標のどちらで連結しても同じ群構造を与える。

証明.主張 (1)を示す。 $\Sigma_*B$ の懸垂座標を $s$ 、ループ座標を $t$ とする。四つの写像 $f,g,h,k$ をそれぞれ $s,t$ の四つの半区間の積へ置いた写像を考えると、 $s$ 方向の連結の後で $t$ 方向に連結しても、逆の順序で連結しても、各点で同じ値になる。したがって、代表元の上で補題 5.1の等式が成り立つ。両演算は定値写像の類を単位元とするので、補題 5.1により主張 (1)が従う。

主張 (2)を示す。定理 4.4 (3)の群同型を通じて主張 (1)を移すと、主張 (2)が従う。▨

命題 5.3. 空間 $Y$ に連続写像 $m:Y\times Y\to Y$ と点 $e$ が存在して、すべての $y\in Y$ で $m(e,y)=y=m(y,e)$ が成り立つとする。このとき、次が成り立つ。

基点付き空間 $X$ に対し、 $[\Sigma_*X,(Y,e)]_*$ 上の点ごとの積 $[f]\cdot[g]=[m\circ(f,g)]$ は、懸垂座標の連結による群構造と一致し、可換である。
$\pi_1(Y,e)$ は可換群であり、ループ $\alpha,\beta$ について $[\alpha][\beta]=[m\circ(\alpha,\beta)]$ である。
とくに位相群 $G$ の基本群 $\pi_1(G,e)$ は可換であり、ループの点ごとの積は基本群の積を与える。

証明.主張 (1)を示す。点ごとの積はホモトピー類に対して定まり、値 $e$ の定値写像の類を両側単位元とする。懸垂座標の各半区間で値を計算すると、この積と連結は補題 5.1の等式を満たす。よって補題 5.1により主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。 $X=S^0$ とし、定理 4.4 (4)を適用すれば主張 (2)となる。

主張 (3)を示す。位相群の積と単位元は仮定を満たすので主張 (3)も従う。▨

例 5.4.

$r\geq2$ 個の円周の楔和の基本群は、非可換な自由群 $F(a_1,\ldots,a_r)$ である（§E21.8 命題 3.1）。この空間は弧状連結なので、基本群の同型型は基点によらない（§E21.3 系 3.3）。したがって、どの点を単位元に選んでも両側単位元をもつ連続な積は存在せず、位相群の構造も存在しない。
$S^1$ は複素数の乗法により位相群であり、 $S^1\times S^1$ も成分ごとの積により位相群である。その基本群 $\Z$ と $\Z^2$ は、命題 5.3 (3)の結論どおり可換である。

6 位相群への写像と基点

命題 6.1. $G$ を単位元 $e$ をもつ位相群、 $(X,x_0)$ を基点付き空間とし、基点を忘れる写像 $[X,(G,e)]_*\to[X,G]$ を考える。このとき、次が成り立つ。

この写像は単射である。
$G$ が弧状連結ならば、この写像は全単射である。

証明.主張 (1)を示す。基点付き写像 $f_0,f_1$ の間に基点なしのホモトピー $H$ があるとする。

H'(x,t)=H(x,t)H(x_0,t)^{-1}

と定めると、積と逆元の連続性から $H'$ は連続であり、 $H'(x_0,t)=e$ である。両端では $H(x_0,0)=H(x_0,1)=e$ なので $H'(-,0)=f_0$ 、 $H'(-,1)=f_1$ となり、主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。 $G$ が弧状連結であるとき、任意の連続写像 $f:X\to G$ に対し、 $e$ から $f(x_0)^{-1}$ への道 $\gamma$ を取る。 $f(x)\gamma(t)$ は $f$ から基点付き写像 $x\mapsto f(x)f(x_0)^{-1}$ へのホモトピーである。よって基点を忘れる写像は全射でもある。▨

例 6.2. $G=\{1,-1\}$ に離散位相と乗法を入れ、 $X=S^0$ とする。このとき、離散空間への道は定値なので、二つの写像がホモトピックであることは、それらが等しいための必要十分条件である。 $[S^0,(G,1)]_*$ は二元、 $[S^0,G]$ は四元からなる。したがって命題 6.1 (2)の全射性には弧状連結性の仮定が必要である。

7 演習

問題 7.1.

補題 5.1を証明せよ。演算の結合性を仮定せず、結論として導け。

解答.

$\cdot$ の単位元を $e$ 、 $\circ$ の単位元を $u$ とする。仮定の等式より $u=(e\cdot u)\circ(u\cdot e) =(e\circ u)\cdot(u\circ e)=e$ である。この共通の単位元を $e$ と書くと、 $a\circ b=(a\cdot e)\circ(e\cdot b) =(a\circ e)\cdot(e\circ b)=a\cdot b$ となり、演算は一致する。また $a\cdot b=(e\circ a)\cdot(b\circ e) =(e\cdot b)\circ(a\cdot e)=b\cdot a$ なので可換である。共通の演算を $*$ と書くと、もう一度仮定の等式を用いて $(a*b)*c=(a*b)*(e*c)=(a*e)*(b*c)=a*(b*c)$ となり、結合性も従う。

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問題 7.2.

$\pi_0(\Omega S^1)\cong\Z$ の下で、 $s\mapsto e^{2\pi ins}$ を含む成分が $n$ に対応することを確かめよ。
$d\in\Z$ とし、 $p_d:S^1\to S^1$ 、 $p_d(z)=z^d$ とする。 $\Omega p_d$ が $\pi_0(\Omega S^1)$ に誘導する写像を求めよ。