§E21.3基本群

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位相空間の中で基点から出発し、同じ点へ戻る道を調べると、空間の形についての情報を得ることができる。しかし、同じ経路を異なる速さでたどる道まで区別していては、その情報を整理しにくい。たとえば、区間の一端から他端へ進んで引き返す道は、両端を固定したまま、出発点にとどまる道へ連続的に変形することができる。端点を固定した道のホモトピー類を道の連結で結びつける基本群は、道の形を代数的に記述するための基礎となる。本記事では、基本群の構成とその基本的な性質を扱う。

1 道と端点固定ホモトピー

定義 1.1.XXを位相空間とする。

  1. 連続写像α:[0,1]→X\alpha:[0,1]\to XをXX内の 道 (path) といい、α(0)\alpha(0)を 始点 (initial point)、α(1)\alpha(1)を 終点 (terminal point) という。
  2. 始点と終点を共有する道α,β\alpha,\betaに対し、{0,1}\{0,1\}を固定するホモトピーが存在するとき、両者は 端点を固定してホモトピック (homotopic relative to endpoints) であるといい、α≃β\alpha\simeq\betaと書く。すなわち、連続写像H:[0,1]2→XH:[0,1]^2\to Xで、すべてのs,t∈[0,1]s,t\in[0,1]についてH(s,0)=α(s),H(s,1)=β(s),H(0,t)=α(0),H(1,t)=α(1)H(s,0)=\alpha(s),\quad H(s,1)=\beta(s),\quad H(0,t)=\alpha(0),\quad H(1,t)=\alpha(1)を満たすものが存在することをいう。

命題 1.2. 位相空間XXの二点x0,x1x_0,x_1を固定すると、x0x_0からx1x_1への道の間の端点固定ホモトピーは同値関係である。

証明.§E21.1 命題 1.3を定義域[0,1][0,1]、固定部分集合{0,1}\{0,1\}に適用する。▨

定義 1.3 (道の積). 位相空間XX内の道α,β\alpha,\betaがα(1)=β(0)\alpha(1)=\beta(0)を満たすとき、道の積 (concatenation of paths) を

(α∗β)(s)={α(2s)0≤s≤12,β(2s−1)12≤s≤1(\alpha*\beta)(s)= \begin{cases} \alpha(2s)&0\le s\le\frac12,\\ \beta(2s-1)&\frac12\le s\le1 \end{cases}

で定める。先にα\alphaをたどり、次にβ\betaをたどる。点xxにおける定値道をexe_x、道α\alphaの逆道をαˉ(s)=α(1−s)\bar\alpha(s)=\alpha(1-s)と書く。

命題 1.4. 位相空間XX内の道α,β\alpha,\betaがα(1)=β(0)\alpha(1)=\beta(0)を満たすとき、α∗β\alpha*\betaはα(0)\alpha(0)からβ(1)\beta(1)への道である。また、α≃α′\alpha\simeq\alpha'、β≃β′\beta\simeq\beta'が端点を固定するホモトピーによって成り立つなら、α∗β≃α′∗β′\alpha*\beta\simeq\alpha'*\beta'である。

証明. 積を定める二つの式はs=1/2s=1/2で一致するので、§E2.12 系 4.11により道の積は連続である。HHをα\alphaからα′\alpha'への、KKをβ\betaからβ′\beta'への端点固定ホモトピーとすると、

L(s,t)={H(2s,t)0≤s≤12,K(2s−1,t)12≤s≤1L(s,t)= \begin{cases} H(2s,t)&0\le s\le\frac12,\\ K(2s-1,t)&\frac12\le s\le1 \end{cases}

の二つの式はs=1/2s=1/2でα(1)=β(0)\alpha(1)=\beta(0)に一致する。同じ貼り合わせ補題によりLLは連続であり、端点を固定して二つの積を結ぶ。▨

2 道の積の法則と基本群

補題 2.1. 位相空間XX内の道α\alphaと連続写像φ:[0,1]→[0,1]\varphi:[0,1]\to[0,1]をとり、φ(0)=0\varphi(0)=0、φ(1)=1\varphi(1)=1とする。このときα∘φ≃α\alpha\circ\varphi\simeq\alphaである。

証明.H(s,t)=α((1−t)φ(s)+ts)H(s,t)=\alpha((1-t)\varphi(s)+ts)は連続であり、端点を固定してα∘φ\alpha\circ\varphiからα\alphaへ移す。▨

補題 2.2. 位相空間XX内のx0x_0からx1x_1への道α\alphaに対して、ex0∗α≃αe_{x_0}*\alpha\simeq\alpha、α∗ex1≃α\alpha*e_{x_1}\simeq\alphaである。

証明.ex0∗α=α∘φ0e_{x_0}*\alpha=\alpha\circ\varphi_0、α∗ex1=α∘φ1\alpha*e_{x_1}=\alpha\circ\varphi_1であり、φ0(s)=max⁡{0,2s−1}\varphi_0(s)=\max\{0,2s-1\}、φ1(s)=min⁡{2s,1}\varphi_1(s)=\min\{2s,1\}は補題 2.1の条件を満たす。▨

補題 2.3. 位相空間XX内の道α,β,γ\alpha,\beta,\gammaがα(1)=β(0)\alpha(1)=\beta(0)、β(1)=γ(0)\beta(1)=\gamma(0)を満たすとき、(α∗β)∗γ≃α∗(β∗γ)(\alpha*\beta)*\gamma\simeq\alpha*(\beta*\gamma)である。

証明.η=(α∗β)∗γ\eta=(\alpha*\beta)*\gammaとおく。φ:[0,1]→[0,1]\varphi:[0,1]\to[0,1]を、点

(0,0),(1/2,1/4),(3/4,1/2),(1,1)(0,0),\quad(1/2,1/4),\quad(3/4,1/2),\quad(1,1)

を順に線分で結んだグラフをもつ区分線形写像とする。三つの区間で道の積の式を展開すると、η∘φ=α∗(β∗γ)\eta\circ\varphi=\alpha*(\beta*\gamma)である。補題 2.1によりη∘φ≃η\eta\circ\varphi\simeq\etaである。▨

補題 2.4. 位相空間XX内のx0x_0からx1x_1への道α\alphaに対して、α∗αˉ≃ex0\alpha*\bar\alpha\simeq e_{x_0}、αˉ∗α≃ex1\bar\alpha*\alpha\simeq e_{x_1}である。

証明.u(s)=min⁡{2s,2−2s}u(s)=\min\{2s,2-2s\}とおくと、H(s,t)=α((1−t)u(s))H(s,t)=\alpha((1-t)u(s))は連続であり、端点を固定してα∗αˉ\alpha*\bar\alphaをex0e_{x_0}へ移す。α\alphaをαˉ\bar\alphaに替えると、後半の主張も得る。▨

定義 2.5.XXを位相空間、x0∈Xx_0\in Xとする。始点と終点がx0x_0である道をx0x_0における ループ (loop) という。ループの端点固定ホモトピー類全体をπ1(X,x0)\pi_1(X,x_0)と書き、積を[α][β]=[α∗β][\alpha][\beta]=[\alpha*\beta]で定める。

命題 2.6. 位相空間XXとx0∈Xx_0\in Xに対し、π1(X,x0)\pi_1(X,x_0)は群をなす。単位元は[ex0][e_{x_0}]、[α][\alpha]の逆元は[αˉ][\bar\alpha]である。この群をXXのx0x_0を基点とする 基本群 (fundamental group) という。

証明. 積は命題 1.4により代表元によらない。結合律は補題 2.3、単位元律は補題 2.2、逆元律は補題 2.4による。▨

例 2.7.x0∈Rx_0\in\Rとし、α\alphaをx0x_0における任意のループとする。このとき、H(s,t)=(1−t)α(s)+tx0H(s,t)=(1-t)\alpha(s)+tx_0は端点を固定してα\alphaをex0e_{x_0}へ移す。したがってすべてのホモトピー類が単位元に等しく、π1(R,x0)\pi_1(\R,x_0)は自明群である。

3 基点の変更

命題 3.1.XXを位相空間、γ\gammaをx0x_0からx1x_1への道とする。このとき

βγ:π1(X,x0)⟶π1(X,x1),βγ([α])=[γˉ∗α∗γ]\beta_\gamma:\pi_1(X,x_0)\longrightarrow\pi_1(X,x_1),\qquad \beta_\gamma([\alpha])=[\bar\gamma*\alpha*\gamma]

は群の同型であり、逆写像はβγˉ\beta_{\bar\gamma}である。

証明.γˉ∗α∗γ\bar\gamma*\alpha*\gammaはx1x_1におけるループである。命題 1.4により、その類は[α][\alpha]だけで定まり、補題 2.3により括弧の位置によらない。ループα,α′\alpha,\alpha'に対して、補題 2.4と補題 2.2により

[γˉ∗α∗γ∗γˉ∗α′∗γ]=[γˉ∗α∗α′∗γ][\bar\gamma*\alpha*\gamma*\bar\gamma*\alpha'*\gamma] =[\bar\gamma*\alpha*\alpha'*\gamma]

であるから、βγ\beta_\gammaは準同型である。また

βγˉ(βγ([α]))=[γ∗γˉ∗α∗γ∗γˉ]=[α]\beta_{\bar\gamma}(\beta_\gamma([\alpha])) =[\gamma*\bar\gamma*\alpha*\gamma*\bar\gamma]=[\alpha]

であり、γ\gammaをγˉ\bar\gammaに替えると逆順の合成も恒等写像である。▨

命題 3.2. 位相空間XX内のx0x_0からx1x_1への道γ,γ′\gamma,\gamma'が端点を固定してホモトピックなら、βγ=βγ′\beta_\gamma=\beta_{\gamma'}である。

証明.HHがγ\gammaとγ′\gamma'を端点を固定して結ぶなら、H(1−s,t)H(1-s,t)はγˉ\bar\gammaとγˉ′\bar\gamma'を端点を固定して結ぶ。したがって命題 1.4により、任意のループα\alphaについて[γˉ∗α∗γ]=[γˉ′∗α∗γ′][\bar\gamma*\alpha*\gamma]=[\bar\gamma'*\alpha*\gamma']である。▨

系 3.3. 位相空間XXが弧状連結なら、任意のx0,x1∈Xx_0,x_1\in Xに対してπ1(X,x0)≅π1(X,x1)\pi_1(X,x_0)\cong\pi_1(X,x_1)である。

証明.x0x_0からx1x_1への道をとり、命題 3.1を適用する。▨

命題 3.4.XXを位相空間とする。

  1. γ:x0→x1\gamma:x_0\to x_1、δ:x1→x2\delta:x_1\to x_2を道とすると、βγ∗δ=βδ∘βγ\beta_{\gamma*\delta}=\beta_\delta\circ\beta_\gammaである。
  2. γ,γ′:x0→x1\gamma,\gamma':x_0\to x_1を道とし、λ=γ∗γˉ′\lambda=\gamma*\bar\gamma'とおく。任意の[α]∈π1(X,x0)[\alpha]\in\pi_1(X,x_0)に対してβγ′−1(βγ([α]))=[λ]−1[α][λ]\beta_{\gamma'}^{-1}(\beta_\gamma([\alpha]))=[\lambda]^{-1}[\alpha][\lambda]が成り立つ。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。演習とする（問題 5.1 (1)）。▨

注意 3.5.命題 3.4 (2)により、二つの道による基点変更同型について、一方と他方の逆写像との合成は内部自己同型である。したがって、弧状連結空間の基本群の同型類は基点によらないが、基点間の同型写像は一般に道の選び方に依存する。

4 積空間の基本群

命題 4.1. 基点付き位相空間(X,x0),(Y,y0)(X,x_0),(Y,y_0)と射影pX:X×Y→Xp_X:X\times Y\to X、pY:X×Y→Yp_Y:X\times Y\to Yに対し、

Φ:π1(X×Y,(x0,y0))⟶π1(X,x0)×π1(Y,y0),[α]⟼([pX∘α],[pY∘α])\Phi:\pi_1(X\times Y,(x_0,y_0))\longrightarrow\pi_1(X,x_0)\times\pi_1(Y,y_0),\qquad [\alpha]\longmapsto([p_X\circ\alpha],[p_Y\circ\alpha])

は群の同型である。

証明. 端点固定ホモトピーと射影の合成は端点固定ホモトピーであるから、Φ\Phiは代表元によらない。射影は道の積の式と両立するので、Φ\Phiは準同型である。

X,YX,Y内のループu,vu,vをとると、積位相の普遍性によりs↦(u(s),v(s))s\mapsto(u(s),v(s))はX×YX\times Y内のループである。二つの端点固定ホモトピーも成分ごとに組にすることができるので、Ψ([u],[v])=[s↦(u(s),v(s))]\Psi([u],[v])=[s\mapsto(u(s),v(s))]は代表元によらない。各座標をとるとΦ∘Ψ=id⁡\Phi\circ\Psi=\idであり、積への写像は二つの座標で決まるのでΨ∘Φ=id⁡\Psi\circ\Phi=\idである。▨

5 演習

問題 5.1.

  1. 命題 3.4の証明を完成させよ。
  2. 弧状連結空間XXとx0∈Xx_0\in Xに対し、π1(X,x0)\pi_1(X,x_0)が可換であることは、任意のx1∈Xx_1\in Xおよび任意の二つの道γ,γ′:x0→x1\gamma,\gamma':x_0\to x_1についてβγ=βγ′\beta_\gamma=\beta_{\gamma'}となるための必要十分条件であることを示せ。
  3. 基点付き空間(X,x0),(Y,y0)(X,x_0),(Y,y_0)に対し、iX(x)=(x,y0)i_X(x)=(x,y_0)、iY(y)=(x0,y)i_Y(y)=(x_0,y)とおく。ループとの合成による準同型iX#:[u]↦[iX∘u]i_{X\#}:[u]\mapsto[i_X\circ u]、iY#:[v]↦[iY∘v]i_{Y\#}:[v]\mapsto[i_Y\circ v]が単射であり、両者の像の元どうしが可換であることを示せ。またiX#(π1(X,x0))i_{X\#}(\pi_1(X,x_0))が正規部分群であり、対応する商群がπ1(Y,y0)\pi_1(Y,y_0)と同型であることを示せ。
解答.
  1. γ∗δ‾=δˉ∗γˉ\overline{\gamma*\delta}=\bar\delta*\bar\gammaであるから、道の結合律によりβγ∗δ([α])=[δˉ∗γˉ∗α∗γ∗δ]=βδ(βγ([α]))\beta_{\gamma*\delta}([\alpha])=[\bar\delta*\bar\gamma*\alpha*\gamma*\delta]=\beta_\delta(\beta_\gamma([\alpha]))である。またβγ′−1=βγˉ′\beta_{\gamma'}^{-1}=\beta_{\bar\gamma'}なので、βγ′−1(βγ([α]))=[γ′∗γˉ∗α∗γ∗γˉ′]=[λ]−1[α][λ]\beta_{\gamma'}^{-1}(\beta_\gamma([\alpha]))=[\gamma'*\bar\gamma*\alpha*\gamma*\bar\gamma']=[\lambda]^{-1}[\alpha][\lambda]である。
  2. 基本群が可換なら、命題 3.4 (2)の共役は恒等写像なので、βγ=βγ′\beta_\gamma=\beta_{\gamma'}である。逆に、すべての道の選択について同型が等しいとする。x1=x0x_1=x_0とし、任意のループλ\lambdaとex0e_{x_0}を選ぶと、βλ=βex0=id⁡\beta_\lambda=\beta_{e_{x_0}}=\idである。よって任意の[α],[λ][\alpha],[\lambda]について[λ]−1[α][λ]=[α][\lambda]^{-1}[\alpha][\lambda]=[\alpha]であり、基本群は可換である。
  3. 命題 4.1の同型Φ\Phiのもとで、iX#i_{X\#}とiY#i_{Y\#}はそれぞれg↦(g,1)g\mapsto(g,1)とh↦(1,h)h\mapsto(1,h)になる。両写像は単射であり、(g,1)(1,h)=(1,h)(g,1)(g,1)(1,h)=(1,h)(g,1)である。さらにpr⁡Y∘Φ\pr_Y\circ\Phiは全射準同型で、その核はiX#(π1(X,x0))i_{X\#}(\pi_1(X,x_0))である。したがって§E7.8 定理 1.1により、対応する商群はπ1(Y,y0)\pi_1(Y,y_0)と同型である。

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参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.基本群、基点変更および積空間の基本群の標準的な構成を参考にした。

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