胞体コホモロジーと計算 | 位相幾何入門

1 胞体余鎖複体

定義 1.1. $R$ を単位元を持つ可換環、 $X$ を CW 複体とする。

整数係数の胞体鎖複体の係数を拡張し、 $C_n^{\mathrm{cell}}(X;R)=C_n^{\mathrm{cell}}(X;\Z)\otimes_{\Z}R$ を係数 $R$ の胞体鎖加群 (cellular chain module) とする。境界は $d_n\otimes1_R$ であり、同じ記号 $d_n$ を用いる。
$C^n_{\mathrm{cell}}(X;R)=\Hom_R(C_n^{\mathrm{cell}}(X;R),R)$ を胞体余鎖加群 (cellular cochain module) とし、 $(\delta^n\varphi)(c)=\varphi(d_{n+1}c)$ を胞体余境界 (cellular coboundary) とする。これは Hom 余鎖複体であり、§E21.23 命題 2.2による鎖複体へ§E6.36 定義 1.1を適用したものである。
この余鎖複体のコホモロジーを $H^n_{\mathrm{cell}}(X;R)$ と書き、係数 $R$ の胞体コホモロジー (cellular cohomology) という。

命題 1.2. 向きを選んだ胞体基底について、 $d_{n+1}[e^{n+1}_\beta]=\sum_\alpha d_{\beta\alpha}[e^n_\alpha]$ と書く。このとき

(\delta^n\varphi)([e^{n+1}_\beta]\otimes1) =\sum_\alpha d_{\beta\alpha}\varphi([e^n_\alpha]\otimes1).

各 $\beta$ に対して和の非零項は有限個である。両次数の胞体が有限個ならば、 $\delta^n$ の行列は $d_{n+1}$ の行列の転置である。 $d_n$ の転置は $\delta^{n-1}$ の行列を与える。

証明. 証明は問題 6.1 (1)の演習とする。解答は解答 (1)にある。▨

2 骨格対のコホモロジー

命題 2.1. $X$ を CW 複体、 $R$ を単位元を持つ可換環、 $n\geq0$ とし、 $X^{-1}=\varnothing$ と置く。

$k\neq n$ ならば $H^k(X^n,X^{n-1};R)=0$ である。
相対コサイクル $\varphi$ と、整数係数の相対サイクルを表す鎖 $z\in C_n(X^n)$ に対して $\Theta_n[\varphi]([z]\otimes r)=r\varphi(z\otimes1)$ と置くと、同型 $\Theta_n:H^n(X^n,X^{n-1};R)\to C^n_{\mathrm{cell}}(X;R)$ が定まる。
$n$ 胞体の集合を $I_n$ とし、各胞体の向きによる相対基本類（ $n=0$ では点の類）を表す鎖 $z_\alpha$ を選ぶ。このとき $[\varphi]\mapsto(\varphi(z_\alpha\otimes1))_\alpha$ は同型 $H^n(X^n,X^{n-1};R)\cong\prod_{\alpha\in I_n}R$ である。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)を示す。相対余鎖を、 $X^{n-1}$ の鎖上で零となる $X^n$ の余鎖とみる。

主張 2.1.1.主張 (2)の評価は相対ホモロジー類と相対コホモロジー類の代表によらず、 $R$ 線形写像 $\Theta_n$ を定める。

証明. $z$ を $z+\partial b+a$ 、 $a\in C_n(X^{n-1})$ 、に替えても、コサイクルは $\partial b$ 上で零であり、相対余鎖は $a$ 上で零なので値は変わらない。 $\varphi$ を $\varphi+\delta\psi$ に替えると、値の変化は $\psi(\partial z\otimes1)$ であり、 $\partial z$ は $X^{n-1}$ の鎖なので零である。加法性と $R$ 線形性により、胞体鎖群 $H_n(X^n,X^{n-1};\Z)\otimes R$ 上の表示した準同型を得る。▨

$n>0$ とする。§E21.23 命題 1.1 (2)により、 $P=C_\bullet(X^n,X^{n-1};\Z)$ のホモロジーは次数 $n$ のみであり、胞体の相対基本類を基底とする自由アーベル群である。次数 $n$ にその自由群を置き、それ以外を零とする鎖複体 $E$ を取る。各基底元を代表相対サイクル $z_\alpha$ へ送る写像 $E\to P$ は擬同型である。両複体は非負次数の自由複体なので、§E6.35 補題 3.1 (2)により $\Hom_{\Z}(P,R)\to\Hom_{\Z}(E,R)$ は余鎖ホモトピー同値である。

Hom–tensor 対応と評価を相対鎖に適用すると、左辺は係数 $R$ の相対余鎖に同一視される。右辺は次数 $n$ の $\prod_\alpha R$ だけからなり、誘導同型は代表 $z_\alpha$ での評価である。したがって主張 (1)と主張 (3)が従う。自由加群の普遍性による $C^n_{\mathrm{cell}}(X;R)\cong\prod_\alpha R$ のもとで、この評価は先の $\Theta_n$ に一致するので、主張 (2)も従う。

$n=0$ では§E21.22 補題 1.2により $X^0$ は離散であり、各特異単体は一つの点へ写る。よって整数係数鎖は点ごとの鎖複体の直和である。§E21.29 補題 6.1 (1)の縮約を各成分に用いると、 $C_\bullet(X^0)$ は零次の自由群 $\bigoplus_{x\in X^0}\Z$ へ鎖変形収縮する。Hom を施すと、零次の直積 $\prod_{x\in X^0}R$ へ余鎖ホモトピー同値を得る。その写像は点での評価なので、三つの主張は零次でも成り立つ。▨

系 2.2. $n>0$ 、 $W=\bigvee_{\alpha\in I}S^n_\alpha$ とし、楔点を $*$ とする。このとき $H^k(W,*;R)$ は $k=n$ で $\prod_{\alpha\in I}R$ 、それ以外で零である。 $n$ 次の同型は、各球面の相対基本類での評価である。

証明.§E21.22 命題 4.4により、 $W$ は一つの零胞体と各球面の $n$ 胞体からなる CW 複体である。したがって $(W^n,W^{n-1})=(W,*)$ であり、前の命題を適用することができる。球面の相対基本類は胞体の相対基本類に一致するので、評価の記述も従う。▨

3 増大列と骨格の安定性

補題 3.1. $R$ を単位元を持つ可換環とする。

$Z_0\subseteq Z_1\subseteq\cdots\subseteq Z$ を部分空間の増大列とし、 $Z$ の各特異単体に対して、その像を含む $Z_m$ が存在すると仮定する。 $q\geq0$ と $M_0\geq0$ に対して、すべての $m\geq M_0$ で制限 $H^r(Z_{m+1};R)\to H^r(Z_m;R)$ が $r=q-1,q$ の同型ならば、制限 $H^q(Z;R)\to H^q(Z_{M_0};R)$ も同型である。 $q=0$ では次数 $-1$ の条件を課さない。
CW 複体 $Y$ の骨格列 $Z_m=Y^m$ では、各特異単体に対して、その像を含む $Z_m$ が存在する。

証明.主張 (1)を示す。

主張 3.1.1.主張 (1)の仮定のもとで、制限は余鎖複体の同一視 $C^\bullet(Z;R)\cong\varprojlim_mC^\bullet(Z_m;R)$ を与える。また、各次数の制限 $C^k(Z_{m+1};R)\to C^k(Z_m;R)$ は全射である。

証明. 両立する余鎖の族があれば、特異単体 $\sigma$ の像を含む段 $Z_m$ を選び、その段での値を $\sigma$ の値とする。より大きい段で値は同じなので、段の選択によらない。自由鎖群の基底上の値から余鎖が一意に定まり、各面も同じ段に含まれるので余境界と可換である。制限の全射性は、像が $Z_m$ に含まれない基底元で値を零とする延長による。▨

$H^q(Z_{M_0};R)$ の類をコサイクル $a_{M_0}$ で表す。 $a_m$ を構成した後、 $H^q$ の制限の全射性により、 $a_m$ の類へ写るコサイクル $b_{m+1}$ を取る。 $q>0$ ならば $b_{m+1}|_{Z_m}-a_m=\delta t_m$ と書き、 $t_m$ を $Z_{m+1}$ へ延長して $a_{m+1}=b_{m+1}-\delta\widetilde t_m$ とする。これにより制限が厳密に $a_m$ となる。 $q=0$ では零余境界が零なので、初めから制限は一致する。こうして得たコサイクルを補助主張によって貼り合わせると、 $Z$ 上のコサイクルとなる。よってコホモロジーの制限は全射である。

単射性のため、 $Z$ のコサイクル $a$ の制限が $Z_{M_0}$ 上で境界であるとする。 $H^q$ の各制限が同型なので、各 $a_m=a|_{Z_m}$ の類も零である。 $q=0$ ならば各 $a_m=0$ であり、claim により $a=0$ である。

$q>0$ とし、 $\delta b_{M_0}=a_{M_0}$ を選ぶ。 $\delta b_m=a_m$ まで構成したら、 $\delta b'_{m+1}=a_{m+1}$ を選ぶ。差 $b'_{m+1}|_{Z_m}-b_m$ は次数 $q-1$ のコサイクルである。その類を持ち上げるコサイクル $c_{m+1}$ を、 $H^{q-1}$ の制限の全射性で取る。すると

b'_{m+1}|_{Z_m}-b_m-c_{m+1}|_{Z_m}=\delta d_m

と書くことができる。 $q=1$ では右辺は零であり、 $b_{m+1}=b'_{m+1}-c_{m+1}$ とする。 $q\geq2$ では $d_m$ を延長し、 $b_{m+1}=b'_{m+1}-c_{m+1}-\delta\widetilde d_m$ とする。これは $\delta b_{m+1}=a_{m+1}$ と $b_{m+1}|_{Z_m}=b_m$ をともに満たす。貼り合わせた余鎖 $b$ は $\delta b=a$ を満たすので、単射性を得る。

主張 (2)を示す。CW 複体の特異単体の像はコンパクトなので、§E21.22 定理 2.4により有限部分複体に含まれる。その胞体の次元の最大値を $m$ とすれば、像は $Y^m$ に含まれる。したがって主張 (2)を得る。▨

例 3.2. $R\neq0$ とし、 $Z=[0,1]$ 、 $Z_m=\{0\}\cup[1/m,1]$ 、 $m\geq1$ 、とする。このとき、和集合は $Z$ であり、各 $Z_m$ は二つの弧状連結成分を持つ。したがって $H^0(Z_m;R)\cong R^2$ であり、制限写像は二成分上の値を保つ同型である。一方、 $H^0(Z;R)\cong R$ の制限は $r\mapsto(r,r)$ なので全射でない。恒等道 $[0,1]\to Z$ の像はどの $Z_m$ にも入らない。各単体の像が一つの段に含まれるという仮定は、単に和集合が $Z$ であることでは置き換えられない。

系 3.3. CW 複体 $X$ と $m\geq0$ に対して、制限 $H^i(X;R)\to H^i(X^m;R)$ は $i<m$ で同型である。

証明. 負の次数では両辺が零である。 $0\leq i<m$ とする。 $j\geq m$ 、 $r=i-1,i$ に対し、骨格対の集中により $H^r(X^{j+1},X^j;R)=H^{r+1}(X^{j+1},X^j;R)=0$ である。対の長完全列により、次数 $r$ の隣接骨格間の制限は同型である。前の補題を $q=i$ 、 $M_0=m$ に適用する。 $i=0$ では負一次の条件を使わない。▨

4 特異コホモロジーとの比較

補題 4.1. $A_n=H^n(X^n,X^{n-1};R)$ と置く。このとき、対の長完全列に現れる写像を

j_n:A_n\longrightarrow H^n(X^n;R),\qquad \beta_n:H^n(X^n;R)\longrightarrow A_{n+1}

と書くと、評価同型は $\Theta_{n+1}\beta_nj_n=\delta^n\Theta_n$ を満たす。

証明. $x\in A_n$ を、 $X^{n-1}$ 上で零となる $X^n$ のコサイクル $\varphi$ で表す。特異単体を基底とすることにより、 $\varphi$ を $X^{n+1}$ の余鎖 $\widetilde\varphi$ へ延長することができる。§E21.29 定理 3.1の連結準同型の式により、 $\beta_nj_nx$ は相対コサイクル $\delta\widetilde\varphi$ で表される。

整数係数の相対サイクル $z\in C_{n+1}(X^{n+1})$ について、 $\partial z\in C_n(X^n)$ である。したがって

\Theta_{n+1}(\beta_nj_nx)([z]\otimes1) =\widetilde\varphi(\partial z\otimes1) =\varphi(\partial z\otimes1).

§E21.23 定義 2.1における $d_{n+1}[z]$ は、対の連結準同型と相対群への写像の合成であり、 $\partial z$ が表す相対類である。最後の値は $\Theta_nx(d_{n+1}[z]\otimes1)$ に等しい。 $R$ 線形性により、所望の等式を得る。▨

定理 4.2. $X$ を CW 複体、 $R$ を単位元を持つ可換環とする。包含の誘導を $\rho_n:H^n(X;R)\to H^n(X^n;R)$ と書く。

$n\geq0$ に対して、 $j_nx=\rho_ny$ を満たすすべての $x\in A_n$ と $y\in H^n(X;R)$ について $\Psi_n(y)=[\Theta_nx]$ となる写像 $\Psi_n:H^n(X;R)\to H^n_{\mathrm{cell}}(X;R)$ がただ一つ存在する。この写像は $R$ 加群の同型である。負の次数では両辺は零である。
胞体写像 $f:X\to Y$ が骨格対に誘導する整数係数の写像を $f_n^{\mathrm{cell}}$ とする。その転置 $f^n_{\mathrm{cell}}(\varphi)=\varphi\circ(f_n^{\mathrm{cell}}\otimes1_R)$ の族は余鎖写像であり、 $\Psi_n^Xf^*=H^n(f^*_{\mathrm{cell}})\Psi_n^Y$ が成り立つ。

証明. まず、対の長完全列から三つの事実を得る。

主張 4.2.1. $m\geq-1$ と $i>m$ に対して $H^i(X^m;R)=0$ である。

証明. $X^{-1}=\varnothing$ については明らかである。 $m-1$ で成り立つとすると、対 $(X^m,X^{m-1})$ の相対コホモロジーは次数 $m$ 以外で零であるから、 $i>m$ で $H^i(X^m;R)\cong H^i(X^{m-1};R)=0$ となる。帰納法により結論を得る。▨

主張 4.2.2. $j_n$ は全射であり、 $\ker j_n=\operatorname{im}\beta_{n-1}$ である。 $n=0$ では右辺を零とする。

証明. 対 $(X^n,X^{n-1})$ の長完全列の該当部分は

H^{n-1}(X^{n-1};R)\xrightarrow{\beta_{n-1}}A_n \xrightarrow{j_n}H^n(X^n;R)\longrightarrow H^n(X^{n-1};R)

であり、最後の群は前の補助主張により零である。零次では最初の群も零である。▨

主張 4.2.3. $\rho_n$ は単射であり、その像は $\ker\beta_n$ である。

証明. 骨格の安定性により、 $H^n(X;R)\to H^n(X^{n+1};R)$ は同型である。対 $(X^{n+1},X^n)$ の長完全列は

0\longrightarrow H^n(X^{n+1};R)\longrightarrow H^n(X^n;R) \xrightarrow{\beta_n}A_{n+1}

を与える。左端の零は、骨格対の次数 $n$ の相対コホモロジーが零であることによる。合成を取ると主張を得る。▨

主張 (1)を示す。 $D^n=\beta_nj_n$ と置く。長完全列の完全性により $j_{n+1}\beta_n=0$ なので、 $D^{n+1}D^n=0$ である。 $j_{n-1}$ の全射性から、 $\operatorname{im}D^{n-1}=\operatorname{im}\beta_{n-1}$ でもある。そこで

Q_n=\ker(\beta_nj_n)/\operatorname{im}\beta_{n-1}

と置く。第二・第三の補助主張により、 $j_n$ は同型 $\bar j_n:Q_n\to\ker\beta_n$ を誘導する。また、余境界の補題により、 $\Theta_n$ は同型 $\bar\Theta_n:Q_n\to H^n_{\mathrm{cell}}(X;R)$ を誘導する。 $\rho_n$ の終域をその像に限り、

\Psi_n=\bar\Theta_n\bar j_n^{-1}\rho_n

と定める。これは同型の合成であり、主張の特徴づけを満たす。 $j_n$ は全射なので、各 $y$ に対応する $x$ が存在し、その特徴づけは $\Psi_n$ を一意に定める。

主張 (2)を示す。胞体写像について、骨格対の写像は対の長完全列と可換である。評価同型も、 $f_*z$ で余鎖を評価する値が $f^*\varphi$ を $z$ で評価する値に等しいことから、骨格対の写像と可換である。したがって $f^*_{\mathrm{cell}}$ は $D$ と可換な写像を $\Theta$ で移した余鎖写像であり、 $Q_n$ の誘導、 $\bar j_n$ 、 $\bar\Theta_n$ 、 $\rho_n$ の各正方形が可換となる。上の合成の式から自然性を得る。▨

5 射影空間と閉曲面のコホモロジー

命題 5.1. $m\geq1$ とする。 $\mathbb{RP}^m$ の標準胞体分解の向きを§E21.23 命題 4.1のように選ぶ。

$0\leq n\leq m$ に対し、 $\varphi\mapsto\varphi([e^n]\otimes1)$ は同型 $C^n_{\mathrm{cell}}(\mathbb{RP}^m;\Z)\cong\Z$ を与える。この同型のもとで、 $0\leq n<m$ の $\delta^n$ は、 $n$ が奇数ならば $2$ 倍写像、偶数ならば零写像である。最上次の $\delta^m$ は零である。
整数係数のコホモロジーは $H^n(\mathbb{RP}^m;\Z)\cong \begin{cases} \Z & n=0,\ \text{または }n=m\text{ が奇数},\\ \Z/2\Z & 0<n\leq m\text{ が偶数},\\ 0 & \text{それ以外} \end{cases}$ である。

証明.主張 (1)を示す。各次数 $0\leq n\leq m$ に一つの胞体があるので、基底での評価により余鎖群は $\Z$ である。整数係数の胞体境界 $d_{n+1}$ は、 $n+1$ が偶数ならば $2$ 倍写像、奇数ならば零写像である。その転置が $\delta^n$ を与える。最上次では余鎖群 $C^{m+1}_{\mathrm{cell}}$ が零なので、 $\delta^m=0$ である。

主張 (2)を示す。零次では $\ker\delta^0=\Z$ である。 $0<n<m$ が奇数ならば $\ker\delta^n=0$ 、偶数ならば $\ker\delta^n=\Z$ 、 $\operatorname{im}\delta^{n-1}=2\Z$ である。最上次の核は $\Z$ であり、前の余境界の像は $m$ が奇数ならば零、偶数ならば $2\Z$ である。範囲外の余鎖群は零である。比較定理により、この胞体コホモロジーの計算が特異コホモロジーの値を与える。▨

例 5.2. 実射影平面の整数係数の胞体鎖複体と胞体余鎖複体は、それぞれ

0\longrightarrow\Z\xrightarrow{2}\Z\xrightarrow{0}\Z\longrightarrow0, \qquad 0\longrightarrow\Z\xrightarrow{0}\Z\xrightarrow{2}\Z\longrightarrow0

である。左の複体は次数を下げ、右の複体は次数を上げる。右の複体の核と像を計算し、比較定理を用いると、 $H^0(\mathbb{RP}^2;\Z)\cong\Z$ 、 $H^1(\mathbb{RP}^2;\Z)=0$ 、 $H^2(\mathbb{RP}^2;\Z)\cong\Z/2\Z$ を得る。左の複体では $H_1\cong\Z/2\Z$ である。同じ $2$ 倍写像の余核が、鎖複体では次数 $1$ 、余鎖複体では次数 $2$ に現れる。

命題 5.3. $m\geq0$ に対し、 $H^n(\mathbb{CP}^m;\Z)\cong\Z$ は $n=0,2,\ldots,2m$ で成り立ち、それ以外の次数の群は零である。標準胞体分解の境界と余境界はすべて零である。

証明.§E21.22 命題 4.2 (3)により、各偶数次 $0,2,\ldots,2m$ に一つの胞体があり、奇数次の胞体はない。隣接する二つの次数の胞体鎖群の少なくとも一方は零なので、境界はすべて零である。転置である余境界も零である。偶数次の余鎖群は $\Z$ 、その他は零であるから、比較定理により主張を得る。▨

この計算は加法群を定めるが、正の偶数次の生成元どうしの積を定めない。

命題 5.4. 標準閉曲面 $\Sigma_g$ 、 $N_h$ と Klein の壺 $K$ の整数係数コホモロジーは次のとおりである。

$g\geq1$ に対して、 $H^0(\Sigma_g;\Z)\cong\Z$ 、 $H^1(\Sigma_g;\Z)\cong\Z^{2g}$ 、 $H^2(\Sigma_g;\Z)\cong\Z$ であり、ほかの次数では零である。
$h\geq1$ に対して、 $H^0(N_h;\Z)\cong\Z$ 、 $H^1(N_h;\Z)\cong\Z^{h-1}$ 、 $H^2(N_h;\Z)\cong\Z/2\Z$ であり、ほかの次数では零である。標準胞体基底による $C^1_{\mathrm{cell}}(N_h;\Z)\cong\Z^h$ のもとで、 $\delta^0=0$ 、 $\delta^1(x_1,\ldots,x_h)=2\sum_i x_i$ である。
$H^0(K;\Z)\cong\Z$ 、 $H^1(K;\Z)\cong\Z$ 、 $H^2(K;\Z)\cong\Z/2\Z$ であり、ほかの次数では零である。

証明.§E21.7 系 4.3により標準閉曲面へ移した胞体分解を用いる。

主張 (1)を示す。 $\Sigma_g$ は零胞体一つ、一胞体 $2g$ 個、二胞体一つからなり、§E21.23 命題 4.2により二つの境界は零である。したがって余鎖複体は $\Z\xrightarrow0\Z^{2g}\xrightarrow0\Z$ であり、主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。 $N_h$ の胞体鎖複体は $\Z\xrightarrow{d_2}\Z^h\xrightarrow0\Z$ であり、 $d_2(1)=2(e_1+\cdots+e_h)$ である。転置を取ると主張の余境界を得る。整数では $2x=0$ ならば $x=0$ なので、 $\ker\delta^1$ は座標和が零の部分群である。最初の $h-1$ 座標を自由に選び、最後をその和の負にすることで $\Z^{h-1}$ と同型である。像は $2\Z$ なので、余核は $\Z/2\Z$ である。比較定理により主張 (2)が従う。

主張 (3)を示す。§E21.27 系 5.3により $K\cong N_2$ である。コホモロジーの同相不変性と主張 (2)から主張 (3)を得る。▨

6 演習

問題 6.1.

命題 1.2を証明せよ。胞体が無限個の場合にも各胞体に対する式が有限和であることを確かめ、有限個の場合の $d_{n+1}$ と $\delta^n$ の行列の関係を述べよ。 $d_n$ の転置に対応する余境界も述べよ。
任意の単位元を持つ可換環 $R$ に対し、 $H^1(\mathbb{RP}^2;R)=\ker(2:R\to R)$ 、 $H^2(\mathbb{RP}^2;R)=R/2R$ を求めよ。 $R=\Z,\mathbb F_2,\Z/4\Z$ の場合を比較せよ。

解答.

定義と線形性から $(\delta^n\varphi)([e^{n+1}_\beta]\otimes1) =\varphi(d_{n+1}[e^{n+1}_\beta]\otimes1) =\sum_\alpha d_{\beta\alpha}\varphi([e^n_\alpha]\otimes1)$ である。胞体鎖群は各基底元が生成する加群の直和なので、一つの胞体の境界は有限個の基底元の線形結合である。したがって余鎖が直積の任意の元であっても、各 $\beta$ について和は有限である。有限個の基底で、 $d_{n+1}$ の第 $\beta$ 列が係数 $(d_{\beta\alpha})_\alpha$ ならば、 $\delta^n$ の第 $\beta$ 行が同じ係数列となる。よって行列は転置の関係にある。 $d_n:C_n\to C_{n-1}$ の転置は $C^{n-1}\to C^n$ の写像 $\delta^{n-1}$ を表す。
係数を $R$ に拡張した胞体境界の転置から、余鎖複体は $R\xrightarrow0R\xrightarrow2R$ である。比較定理により、一次は $2$ 倍写像の核、二次は余核である。 $R=\Z$ では $H^1=0$ 、 $H^2\cong\Z/2\Z$ となる。 $R=\mathbb F_2$ では $2$ 倍写像が零なので、両群は $\mathbb F_2$ である。 $R=\Z/4\Z$ では核が $\{0,2\}$ 、像も $\{0,2\}$ であり、 $H^1=\{0,2\}$ 、 $H^2\cong\Z/2\Z$ となる。

▨

問題 6.2. $h\geq1$ とする。標準胞体基底の双対を $e_1^*,\ldots,e_h^*$ と書くとき、 $H^1(N_h;\Z)=\ker\delta^1\subseteq\Z^h$ の基底を一組挙げ、基底であることを示せ。

解答.

$e_i^*-e_h^*$ 、 $1\leq i<h$ 、が基底である。各元の座標和は零なので、核に属する。核の元 $x=(x_1,\ldots,x_h)$ は $x_h=-\sum_{i<h}x_i$ を満たすから、 $x=\sum_{i<h}x_i(e_i^*-e_h^*)$ と書くことができる。この表示の最初の $h-1$ 座標はそれぞれ係数 $x_i$ そのものなので、表示は一意である。 $h=1$ では核が零であり、空集合が基底となる。▨

§E21.30胞体コホモロジーと計算