§E21.37キャップ積

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位相空間のコホモロジーには、Alexander–Whitney の対角写像を用いたカップ積によって環の構造が入り、評価写像は同じ次数のコホモロジー類とホモロジー類から係数環RRの元を作る。しかし、カップ積と評価写像はいずれもコホモロジーの類をホモロジーの類に作用させるものではない。同じ対角写像を用い、特異nn単体の始めのkk次元の面でkk次の余鎖の値をとり、残りのn−kn-k次元の面を鎖として残すと、nn次の鎖とkk次の余鎖からn−kn-k次の鎖が得られる。この鎖をキャップ積という。キャップ積はホモロジーの上の積を定め、この積によって対のホモロジーはコホモロジー環の上の右加群になる。たとえば円環面T2T^2では、基本類[T2][T^2]とのキャップ積が一次のコホモロジー類を一次のホモロジー類へ写し、評価写像でH1(T2;Z)H_1(T^2;\Z)の基底に双対な二つの類を、符号を除いて基底の二つの元へ写す。キャップ積は、多様体の基本類を通してコホモロジーとホモロジーを結ぶための基本的な操作である。本記事では、多様体を仮定しない位相空間についてキャップ積を定め、その基本的な性質を Mayer–Vietoris 完全列の連結準同型との関係まで含めて解説する。

1 鎖とホモロジーの上のキャップ積

以下ではRRを単位元をもつ可換環とする。鎖と余鎖の係数はRRとし、余境界はδφ=φ∂\delta\varphi=\varphi\partialという§E21.29 定義 1.1 (1)の規約を用いる。

定義 1.1.XXを位相空間、c∈Cn(X;R)c\in C_n(X;R)、φ∈Ck(X;R)\varphi\in C^k(X;R)、n,k≥0n,k\geq0とする。Alexander–Whitney 写像AW⁡X\operatorname{AW}_X（§E21.32 定義 2.2）を用いて

c⌢φ=(φ⊗1)AW⁡X(c)∈Cn−k(X;R)c\frown\varphi=(\varphi\otimes1)\operatorname{AW}_X(c)\in C_{n-k}(X;R)

を キャップ積 (cap product) という。ここでφ⊗1\varphi\otimes1は、次数(k,n−k)(k,n-k)の成分にRR線形写像

Ck(X;R)⊗RCn−k(X;R)→φ⊗1R⊗RCn−k(X;R)=Cn−k(X;R)C_k(X;R)\otimes_R C_{n-k}(X;R) \xrightarrow{\varphi\otimes1}R\otimes_R C_{n-k}(X;R)=C_{n-k}(X;R)

を作用させ、ほかの成分を零へ送る写像である。負の次数の鎖群は零とする。

補題 1.2. キャップ積はRR双線形である。特異nn単体σ\sigmaと0≤k≤n0\leq k\leq nに対して

(σ⊗1)⌢φ=φ(σ[0,…,k]) σ[k,…,n](\sigma\otimes1)\frown\varphi =\varphi(\sigma[0,\ldots,k])\,\sigma[k,\ldots,n]

であり、k>nk>nならばc⌢φ=0c\frown\varphi=0である。

証明.AW⁡X(σ)\operatorname{AW}_X(\sigma)の和のうち次数(k,n−k)(k,n-k)の成分はσ[0,…,k]⊗σ[k,…,n]\sigma[0,\ldots,k]\otimes\sigma[k,\ldots,n]だけである。これに評価を合成すれば単体の式を得る。各写像の線形性から双線形性も従う。▨

命題 1.3.XXを位相空間、c∈Cn(X;R)c\in C_n(X;R)、φ∈Ck(X;R)\varphi\in C^k(X;R)とする。

  1. 境界公式 ∂(c⌢φ)=(−1)k(∂c⌢φ−c⌢δφ)\partial(c\frown\varphi)=(-1)^k\bigl(\partial c\frown\varphi-c\frown\delta\varphi\bigr) が成り立つ。
  2. 連続写像f:X→Yf:X\to Y、c∈Cn(X;R)c\in C_n(X;R)、ψ∈Ck(Y;R)\psi\in C^k(Y;R)に対して f#(c⌢f#ψ)=f#c⌢ψf_\#(c\frown f^\#\psi)=f_\#c\frown\psi である。
  3. A⊆XA\subseteq X、c∈Cn(A;R)c\in C_n(A;R)ならばc⌢φ∈Cn−k(A;R)c\frown\varphi\in C_{n-k}(A;R)である。さらにφ∣Ck(A;R)=0\varphi|_{C_k(A;R)}=0ならばc⌢φ=0c\frown\varphi=0である。

証明.主張 (1)を示す。テンソル積複体の境界は∂⊗(a⊗b)=∂a⊗b+(−1)∣a∣a⊗∂b\partial_\otimes(a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{|a|}a\otimes\partial bである（§E6.51 定義 2.1）。鎖写像性§E21.32 命題 2.4 (1)による等式AW⁡X∂=∂⊗AW⁡X\operatorname{AW}_X\partial=\partial_\otimes\operatorname{AW}_Xにφ⊗1\varphi\otimes1を合成する。左側の次数k+1k+1の成分からφ(∂a)b=(δφ)(a)b\varphi(\partial a)b=(\delta\varphi)(a)bが、次数kkの成分から(−1)kφ(a)∂b(-1)^k\varphi(a)\partial bが得られる。したがって

∂c⌢φ=c⌢δφ+(−1)k∂(c⌢φ)\partial c\frown\varphi=c\frown\delta\varphi+(-1)^k\partial(c\frown\varphi)

となる。したがって、主張 (1)を得る。

主張 (2)は Alexander–Whitney 写像の自然性§E21.32 命題 2.4 (2)に評価を合成した式である。

主張 (3)は主張 (2)を包含A↪XA\hookrightarrow Xに適用すれば従う。制限余鎖が零なら、その余鎖とのキャップ積も零である。▨

命題 1.4.A⊆XA\subseteq Xとする。このとき、キャップ積は次のRR双線形写像を誘導する。

  1. Hn(X;R)×Hk(X;R)→Hn−k(X;R)H_n(X;R)\times H^k(X;R)\to H_{n-k}(X;R)。
  2. Hn(X,A;R)×Hk(X;R)→Hn−k(X,A;R)H_n(X,A;R)\times H^k(X;R)\to H_{n-k}(X,A;R)。
  3. Hn(X,A;R)×Hk(X,A;R)→Hn−k(X;R)H_n(X,A;R)\times H^k(X,A;R)\to H_{n-k}(X;R)。
  4. いずれも[c]⌢[φ]=[c⌢φ][c]\frown[\varphi]=[c\frown\varphi]で定まる。対の連続写像f:(X,A)→(Y,B)f:(X,A)\to(Y,B)について、両辺が定まる各組合せで f∗(c⌢f∗φ)=f∗c⌢φf_*(c\frown f^*\varphi)=f_*c\frown\varphi が成り立つ。この等式を 射影公式 (projection formula) という。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)を示す。相対余鎖をAAの鎖上で消える余鎖とみなす（§E21.29 補題 2.2 (1)）。輪体と余輪体に境界公式を適用すると、絶対の場合には積の境界が零となり、主張 (2)では積の境界がAAの鎖となる。主張 (3)では∂c\partial cがAAの鎖で、φ\varphiがその上で消えるので、積の境界は絶対の鎖群でも零となる。

代表鎖をc+∂b+ac+\partial b+a（aaはAAの鎖）へ替えた場合、∂b⌢φ=(−1)k∂(b⌢φ)\partial b\frown\varphi=(-1)^k\partial(b\frown\varphi)である。a⌢φa\frown\varphiは主張 (2)ではAAの鎖、主張 (3)では零なので、ホモロジー類は変わらない。また余輪体をφ+δψ\varphi+\delta\psiへ替えると、

c⌢δψ=∂c⌢ψ+(−1)k∂(c⌢ψ)c\frown\delta\psi=\partial c\frown\psi+(-1)^k\partial(c\frown\psi)

である。主張 (2)では最初の項はAAの鎖、主張 (3)では相対余鎖ψ\psiによって零となる。絶対の場合はA=∅A=\varnothingとすればよい。主張 (4)を示す。射影公式は鎖の水準の公式から従う。▨

例 1.5. 相対鎖と絶対余鎖の積を、絶対ホモロジーへ移すことは一般にはできない。具体的には、双線形写像

Φ:Hn(X,A;R)×Hk(X;R)→Hn−k(X;R)\Phi:H_n(X,A;R)\times H^k(X;R)\to H_{n-k}(X;R)

で、商写像q∗:Hn−k(X;R)→Hn−k(X,A;R)q_*:H_{n-k}(X;R)\to H_{n-k}(X,A;R)に対してq∗Φ(c,φ)=c⌢φq_*\Phi(c,\varphi)=c\frown\varphiを満たすものが存在しない場合がある。

R=ZR=\Z、(X,A)=(Dn,Sn−1)(X,A)=(D^n,S^{n-1})、n≥1n\geq1、k=0k=0とする。§E21.23 命題 1.1 (1)によりHn(Dn,Sn−1)H_n(D^n,S^{n-1})は無限巡回群なので、生成元uuをとる。単位余鎖との積は単体の式からu⌢1=u≠0u\frown1=u\neq0である。一方、可縮性によりHn(Dn)=0H_n(D^n)=0なのでq∗Φ(u,1)=0q_*\Phi(u,1)=0であり、所要の両立条件を満たすことはできない。

2 カップ積との関係

評価写像⟨−,−⟩\langle-,-\rangleは§E21.31 定義 1.2のものとする。キャップ積とカップ積の関係は、同じ対角写像に評価を合成する順序から得られる。

命題 2.1.c∈Hn(X,A;R)c\in H_n(X,A;R)とする。

  1. φ∈Hk(X,A;R)\varphi\in H^k(X,A;R)、ψ∈Hn−k(X;R)\psi\in H^{n-k}(X;R)に対して ⟨ψ,c⌢φ⟩=⟨φ⌣ψ,c⟩\langle\psi,c\frown\varphi\rangle=\langle\varphi\smile\psi,c\rangle である。右辺では相対カップ積Hk(X,A;R)×Hn−k(X;R)→Hn(X,A;R)H^k(X,A;R)\times H^{n-k}(X;R)\to H^n(X,A;R)を用いる。
  2. φ∈Hk(X;R)\varphi\in H^k(X;R)、ψ∈Hl(X;R)\psi\in H^l(X;R)に対して (c⌢φ)⌢ψ=c⌢(φ⌣ψ),c⌢1=c(c\frown\varphi)\frown\psi=c\frown(\varphi\smile\psi),\qquad c\frown1=c である。したがってH∗(X,A;R)H_*(X,A;R)はキャップ積によってH∗(X;R)H^*(X;R)上の右加群となる。
  3. φ∈Hn(X,A;R)\varphi\in H^n(X,A;R)とすると、増大写像ε:H0(X;R)→R\varepsilon:H_0(X;R)\to Rに対して ε(c⌢φ)=⟨φ,c⟩\varepsilon(c\frown\varphi)=\langle\varphi,c\rangle である。

証明.主張 (1)を示す。代表鎖と代表余鎖について、

ψ((φ⊗1)AW⁡Xc)=(φ⊗ψ)AW⁡Xc=(φ⌣ψ)(c)\psi\bigl((\varphi\otimes1)\operatorname{AW}_Xc\bigr) =(\varphi\otimes\psi)\operatorname{AW}_Xc =(\varphi\smile\psi)(c)

である。カップ積の定義§E21.32 定義 3.1と相対版§E21.32 命題 4.3 (2)により、主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。Alexander–Whitney 写像の余結合性§E21.32 命題 2.4 (3)の両辺の次数(k,l,n−k−l)(k,l,n-k-l)の成分にφ⊗ψ⊗1\varphi\otimes\psi\otimes1を合成すると、主張 (2)の最初の式を得る。係数の順序を交換していないので、符号は現れない。k+l>nk+l>nでは両辺が零である。単位則は余単位則§E21.32 命題 2.4 (4)による。

主張 (3)は主張 (1)でψ=1\psi=1とした場合である。▨

例 2.2. 円環面T2T^2の向きを固定する。H1(T2;Z)H_1(T^2;\Z)の基底x,yx,yと評価に関する双対基底α,β∈H1(T2;Z)\alpha,\beta\in H^1(T^2;\Z)を、⟨α⌣β,[T2]⟩=1\langle\alpha\smile\beta,[T^2]\rangle=1となる順にとる。このとき

[T2]⌢α=y,[T2]⌢β=−x,[T2]⌢(α⌣β)=[pt][T^2]\frown\alpha=y,\qquad [T^2]\frown\beta=-x, \qquad [T^2]\frown(\alpha\smile\beta)=[\mathrm{pt}]

である。

実際、§E21.18 系 3.5と§E21.31 定理 2.2により双対基底が存在する。§E21.33 系 3.3により任意の基底の二つの元の積はH2(T2;Z)H^2(T^2;\Z)の生成元であり、基本類との評価は±1\pm1となる。必要ならx,yx,yとα,β\alpha,\betaの順をともに替えれば、表示の正規化を得る。

評価公式と次数付き交換律から、[T2]⌢α[T^2]\frown\alphaのα,β\alpha,\betaによる評価はそれぞれ0,10,1、[T2]⌢β[T^2]\frown\betaの評価は−1,0-1,0である。したがって最初の二式を得る。最後の式は増大写像による公式とH0(T2;Z)≅ZH_0(T^2;\Z)\cong\Zによる。また

([T2]⌢α)⌢β=y⌢β=[pt]([T^2]\frown\alpha)\frown\beta=y\frown\beta=[\mathrm{pt}]

であり、結合則とも一致する。基本類の存在と生成元であることは§E21.36 定理 5.1による。

3 Mayer–Vietoris 完全列の連結準同型

記号H∗(X ∣ K;R)=H∗(X,X∖K;R)H_*(X\,|\,K;R)=H_*(X,X\setminus K;R)は§E21.36 定義 1.1に従い、コホモロジーにも同じ記号を用いる。ホモロジーの切除同型をe∗e_*、コホモロジーの切除同型をe∗e^*と書き分ける。

命題 3.1.X=U∪VX=U\cup Vを開被覆、K⊆UK\subseteq UとL⊆VL\subseteq VをXXの閉集合とする。μ∈Hn(X ∣ K∪L;R)\mu\in H_n(X\,|\,K\cup L;R)のHn(X ∣ K∩L;R)H_n(X\,|\,K\cap L;R)への像を、切除同型

e∗:Hn(U∩V ∣ K∩L;R)→≅Hn(X ∣ K∩L;R)e_*:H_n(U\cap V\,|\,K\cap L;R)\xrightarrow{\cong}H_n(X\,|\,K\cap L;R)

で戻した元をμ′\mu'とする。開集合X∖K,X∖LX\setminus K,X\setminus Lに関する相対コホモロジーの Mayer–Vietoris 連結準同型を

δ:Hk(X ∣ K∪L;R)→Hk+1(X ∣ K∩L;R)\delta:H^k(X\,|\,K\cup L;R)\to H^{k+1}(X\,|\,K\cap L;R)

とし、δ′=e∗δ\delta'=e^*\deltaと置く。このときω∈Hk(X ∣ K∪L;R)\omega\in H^k(X\,|\,K\cup L;R)について

∂MV(μ⌢ω)=(−1)k+1μ′⌢δ′ωin Hn−k−1(U∩V;R)\partial_{MV}(\mu\frown\omega)=(-1)^{k+1}\mu'\frown\delta'\omega \quad\text{in }H_{n-k-1}(U\cap V;R)

である。左辺の∂MV\partial_{MV}は開被覆X=U∪VX=U\cup Vの係数付きホモロジーの連結準同型であり、∂MV[a+b]=[∂a]\partial_{MV}[a+b]=[\partial a]の規約を用いる。

証明.K∩LK\cap LはXXの閉集合でU∩VU\cap Vに含まれるから、§E21.17 系 1.4の鎖ホモトピー同値とその余鎖版によりe∗,e∗e_*,e^*は同型である。

開被覆W={U∖L,U∩V,V∖K}\mathcal W=\{U\setminus L,U\cap V,V\setminus K\}を用いる。小さい単体の定理をXXとX∖(K∪L)X\setminus(K\cup L)の誘導被覆に適用し、二つの短完全列の長完全列を比較すると、五項補題により相対の小鎖の包含もホモロジー同型を誘導する。したがってμ\muの代表相対輪体を

α=α0+α1+α2,α0∈Cn(U∖L;R),α1∈Cn(U∩V;R),α2∈Cn(V∖K;R)\alpha=\alpha_0+\alpha_1+\alpha_2, \quad \alpha_0\in C_n(U\setminus L;R),\quad \alpha_1\in C_n(U\cap V;R),\quad \alpha_2\in C_n(V\setminus K;R)

と選ぶことができる。∂α\partial\alphaはX∖(K∪L)X\setminus(K\cup L)の鎖である。α0,α2\alpha_0,\alpha_2はK∩LK\cap Lを避けるので、α1\alpha_1はμ′\mu'を代表する。

ω\omegaの代表余輪体をwwと書く。§E21.29 命題 5.2 (1)の分解を用いてw=φ−ψw=\varphi-\psiとし、φ\varphiはX∖KX\setminus Kの鎖上で、ψ\psiはX∖LX\setminus Lの鎖上で零とする。δφ=δψ\delta\varphi=\delta\psiなので、この共通の余鎖は二つの部分空間の鎖上でそれぞれ零となる。部分空間についてのキャップ積の性質により

α⌢w=a+b,a=(α0+α1)⌢φ∈Cn−k(U;R),b=−(α1+α2)⌢ψ∈Cn−k(V;R).\alpha\frown w=a+b,\qquad a=(\alpha_0+\alpha_1)\frown\varphi\in C_{n-k}(U;R),\qquad b=-(\alpha_1+\alpha_2)\frown\psi\in C_{n-k}(V;R).

境界公式をaaに適用する。∂(α0+α1)=∂α−∂α2\partial(\alpha_0+\alpha_1)=\partial\alpha-\partial\alpha_2はX∖KX\setminus Kの鎖なのでφ\varphiとの積が零となり、α0⌢δφ\alpha_0\frown\delta\varphiもX∖LX\setminus Lの上で零となる。したがって

∂a=(−1)k+1α1⌢δφ.\partial a=(-1)^{k+1}\alpha_1\frown\delta\varphi.

ここでδφ\delta\varphiは二つの開集合それぞれの鎖上で消えるが、その和集合のすべての鎖上で消えるとは限らない。相対コホモロジーの連結公式に従い、δω\delta\omegaを代表する実際の相対余輪体θ∈Ck+1(X,X∖(K∩L);R)\theta\in C^{k+1}(X,X\setminus(K\cap L);R)をとる。同じ公式により

θ−δφ=δη\theta-\delta\varphi=\delta\eta

と書くことができる。ここで、η\etaはX∖KX\setminus KとX∖LX\setminus Lの各鎖上で消える。∂α1=∂α−∂α0−∂α2\partial\alpha_1=\partial\alpha-\partial\alpha_0-\partial\alpha_2はこの二つの部分空間の鎖の和なので、∂α1⌢η=0\partial\alpha_1\frown\eta=0である。境界公式から

α1⌢θ−α1⌢δφ=(−1)k+1∂(α1⌢η).\alpha_1\frown\theta-\alpha_1\frown\delta\varphi =(-1)^{k+1}\partial(\alpha_1\frown\eta).

右辺はU∩VU\cap Vの境界である。よってμ′⌢δ′ω=[α1⌢δφ]\mu'\frown\delta'\omega=[\alpha_1\frown\delta\varphi]となり、∂MV[a+b]=[∂a]\partial_{MV}[a+b]=[\partial a]と合わせて結論を得る。▨

例 3.2.X=S1⊂CX=S^1\subset\C、U=S1∖{−i}U=S^1\setminus\{-i\}、V=S1∖{i}V=S^1\setminus\{i\}とし、閉半円

K={z∈S1∣ℑz≥0},L={z∈S1∣ℑz≤0}K=\{z\in S^1\mid\Im z\geq0\},\qquad L=\{z\in S^1\mid\Im z\leq0\}

をとる。1,i,−1,−i,11,i,-1,-i,1を順に結ぶ四つの反時計回りの弧の特異単体をτ1,…,τ4\tau_1,\ldots,\tau_4とし、μ=[τ1+⋯+τ4]\mu=[\tau_1+\cdots+\tau_4]と置く。このとき、U∩VU\cap Vの二つの成分をP∋1P\ni1、Q∋−1Q\ni-1とすると、k=0k=0、ω=1\omega=1について

∂MV(μ⌢1)=[Q]−[P],μ′⌢δ′1=[P]−[Q]\partial_{MV}(\mu\frown1)=[Q]-[P],\qquad \mu'\frown\delta'1=[P]-[Q]

である。

左辺ではτ1+τ2\tau_1+\tau_2をUUの鎖、τ3+τ4\tau_3+\tau_4をVVの鎖とする。その境界は[−1]−[1][-1]-[1]なので最初の等式を得る。

右辺では1=φ−ψ1=\varphi-\psiを、点上の値φ=1K\varphi=\mathbf1_K、ψ=−1X∖K\psi=-\mathbf1_{X\setminus K}で分解する。四つの弧を十分細かく分け、1,−11,-1の近くをU∩VU\cap Vの鎖としてとる。−1-1から下半円へ進む短い弧ではδφ=−1\delta\varphi=-1、下半円から11へ至る短い弧ではδφ=1\delta\varphi=1であり、ほかの弧では零である。単体のキャップ積は終点を残すので、結果はQQの点の負とPPの点の正の和である。小鎖への移行と実際の相対余輪体への補正は前の証明の境界を変えるだけであり、二番目の等式を得る。

H0(U∩V;Z)≅Z2H_0(U\cap V;\Z)\cong\Z^2なので、両者は異なる。命題の符号(−1)0+1=−1(-1)^{0+1}=-1が等式に必要である。

4 演習

問題 4.1. キャップ積の境界公式命題 1.3 (1)を、特異単体σ\sigmaの面を展開して確かめよ。

解答.

0≤k<n0\leq k<nとする。(∂σ)⌢φ(\partial\sigma)\frown\varphiのうちii番目の頂点を除く面の寄与は、i≤ki\leq kでは

(−1)iφ(σ[0,…,i^,…,k+1])σ[k+1,…,n],(-1)^i\varphi(\sigma[0,\ldots,\widehat i,\ldots,k+1])\sigma[k+1,\ldots,n],

i≥k+1i\geq k+1では

(−1)iφ(σ[0,…,k])σ[k,…,i^,…,n](-1)^i\varphi(\sigma[0,\ldots,k])\sigma[k,\ldots,\widehat i,\ldots,n]

である。一方、σ⌢δφ\sigma\frown\delta\varphiは

∑i=0k+1(−1)iφ(σ[0,…,i^,…,k+1])σ[k+1,…,n]\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^i\varphi(\sigma[0,\ldots,\widehat i,\ldots,k+1])\sigma[k+1,\ldots,n]

となる。差をとるとi≤ki\leq kの項が相殺し、残りは

φ(σ[0,…,k])((−1)kσ[k+1,…,n]+∑i=k+1n(−1)iσ[k,…,i^,…,n]).\varphi(\sigma[0,\ldots,k]) \left((-1)^k\sigma[k+1,\ldots,n] +\sum_{i=k+1}^n(-1)^i\sigma[k,\ldots,\widehat i,\ldots,n]\right).

これは(−1)k∂(σ⌢φ)(-1)^k\partial(\sigma\frown\varphi)に等しい。k=nk=nでは積は零次鎖で、右辺の二項も次数により零である。k>nk>nでも両辺は零となる。双線形性によって一般の鎖についての公式を得る。▨

問題 4.2.n≥1n\geq1とする。球面の基本類[Sn][S^n]と⟨ω,[Sn]⟩=1\langle\omega,[S^n]\rangle=1を満たすω∈Hn(Sn;Z)\omega\in H^n(S^n;\Z)に対して、[Sn]⌢1=[Sn][S^n]\frown1=[S^n]、[Sn]⌢ω=[pt][S^n]\frown\omega=[\mathrm{pt}]を示し、[Sn]⌢−:H∗(Sn;Z)→Hn−∗(Sn;Z)[S^n]\frown-:H^*(S^n;\Z)\to H_{n-*}(S^n;\Z)が各次数で同型であることを確かめよ。

解答.

最初の式はキャップ積の単位則である。二番目の積は零次ホモロジーの元であり、増大写像による公式からその増大は11である。SnS^nは弧状連結なので、この元は[pt][\mathrm{pt}]である。§E21.18 定理 2.2と普遍係数定理により、ホモロジー・コホモロジーはともに次数0,n0,nだけでZ\Zとなり、ほかでは零である。二つの式により、各非零次数の生成元は生成元へ写るので、所要の写像は同型である。▨

問題 4.3.RP2\mathbb{RP}^2のF2\mathbb F_2係数の基本類をu=[RP2]u=[\mathbb{RP}^2]とし、w∈H1(RP2;F2)w\in H^1(\mathbb{RP}^2;\mathbb F_2)を§E21.33 命題 4.1の生成元とする。u⌢wu\frown wがH1(RP2;F2)H_1(\mathbb{RP}^2;\mathbb F_2)の生成元であることを示せ。

解答.

§E21.33 命題 4.1によりw⌣ww\smile wは二次コホモロジーの非零元である。§E21.24 命題 4.1 (2)と体係数の普遍係数定理により、二次の評価は一次元ベクトル空間の双対性であり、⟨w⌣w,u⟩=1\langle w\smile w,u\rangle=1である。キャップ積の評価公式から

⟨w,u⌢w⟩=⟨w⌣w,u⟩=1\langle w,u\frown w\rangle=\langle w\smile w,u\rangle=1

となるのでu⌢w≠0u\frown w\neq0である。一次ホモロジーもF2\mathbb F_2上一次元なので、この元が生成元となる。▨

参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.キャップ積の定義と境界公式の符号、カップ積との関係、および Poincaré 双対の証明に現れる Mayer–Vietoris 完全列とキャップ積の図式を参考にした。

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