コンパクト台コホモロジー | 位相幾何入門

1 定義と関手性

以下では $R$ を単位元をもつ可換環、 $G$ を $R$ 加群とする。相対コホモロジーの記号を

H^k(X\,|\,K;G)=H^k(X,X\setminus K;G)

と略記する。余鎖はまず整数係数の特異鎖から $G$ への準同型として扱う。

補題 1.1.

対 $(X,A)$ の相対余鎖に $(r\varphi)(c)=r\varphi(c)$ で $R$ の作用を入れると、余境界と対の写像による引き戻しは $R$ 線形である。したがって $H^k(X,A;G)$ は $R$ 加群であり、誘導写像は $R$ 線形である。 $G=R$ のとき、この構造は $R$ 係数の鎖に対する $R$ 線形余鎖で定めた相対コホモロジーと自然に同一視される。

証明. 余境界は $\varphi\mapsto\varphi\partial$ 、引き戻しは $\varphi\mapsto\varphi f_\#$ なので、値へのスカラー倍と可換である。 $G=R$ の場合の同一視は、§E6.12 定理 15.1による

\Hom_{\Z}(C_*(X,A),R)\cong\Hom_R(C_*(X,A)\otimes_{\Z}R,R)

である。対応は $\varphi$ を $c\otimes r\mapsto r\varphi(c)$ に送る。Hom–tensor 同型の自然性により境界と対の写像とも可換であり、コホモロジー上の同一視を得る。▨

補題 1.2. 任意の空間 $X$ のコンパクト部分集合の全体 $\mathcal K(X)$ は、包含について空でない有向集合である。

証明. 空集合が $\mathcal K(X)$ に属する。二つのコンパクト集合の和はコンパクトであり、その二つの共通上界となる。▨

定義 1.3. $X$ を Hausdorff 空間とする。

コンパクト集合の有向集合 $\mathcal K(X)$ に対し、 $K\subseteq L$ に対応する写像を、対の包含 $(X,X\setminus L)\to(X,X\setminus K)$ の誘導する $H^k(X\,|\,K;G)\to H^k(X\,|\,L;G)$ とする。
この図式の帰納極限、すなわち有向集合で添字付けたフィルター余極限 $H^k_c(X;G)=\varinjlim_{K\in\mathcal K(X)}H^k(X\,|\,K;G)$ を $X$ のコンパクト台コホモロジー (compactly supported cohomology) という。構造写像を $q_K:H^k(X\,|\,K;G)\to H^k_c(X;G)$ と書く。

命題 1.4. $X$ がコンパクト Hausdorff 空間ならば、 $q_X:H^k(X;G)\to H^k_c(X;G)$ は $R$ 加群の同型である。

証明. $X$ は $\mathcal K(X)$ の最大元である。一元からなる共終部分圏へ§E6.9 命題 9.3を適用すれば、余極限は $H^k(X\,|\,X;G)=H^k(X;G)$ になる。▨

命題 1.5. $X$ を Hausdorff 空間とする。

相対余鎖を $X\setminus K$ に像をもつ特異単体の上で消える余鎖とみなすと、 $K\subseteq L$ に対して $C^\bullet(X,X\setminus K;G)\subseteq C^\bullet(X,X\setminus L;G)$ である。その有向な和 $C^\bullet_c(X;G)=\bigcup_{K\in\mathcal K(X)}C^\bullet(X,X\setminus K;G)$ は $C^\bullet(X;G)$ の部分余鎖複体である。
包含は同型 $H^k_c(X;G)\cong H^k(C^\bullet_c(X;G))$ を誘導する。

証明.主張 (1)を示す。 $X\setminus L\subseteq X\setminus K$ なので、主張 (1)の包含が成り立つ。各相対余鎖複体は部分複体であり、有向性によりその和も部分複体となる。

主張 (2)を示す。§E6.9 補題 8.5と、有向余極限とコホモロジーの交換§E6.33 命題 3.1を適用すると主張 (2)を得る。▨

命題 1.6. $X$ を Hausdorff 空間、 $W\subseteq X$ を開集合とする。

コンパクト集合 $K\subseteq W$ に対して、包含の引き戻し $\varepsilon_K^{W,X}:H^k(X\,|\,K;G)\to H^k(W\,|\,K;G)$ は $R$ 加群の同型である。
$q_K(\varepsilon_K^{W,X})^{-1}$ は $K$ について両立し、 $R$ 線形写像 $\iota_{W,X}:H^k_c(W;G)\to H^k_c(X;G)$ を定める。
開集合 $W\subseteq W'\subseteq X$ に対して $\iota_{W',X}\iota_{W,W'}=\iota_{W,X}$ であり、 $\iota_{X,X}=\id$ である。

命題 1.7. $f:X\to Y$ を Hausdorff 空間の間の固有写像とする。

コンパクト集合 $K\subseteq Y$ に対する対の写像 $(X,X\setminus f^{-1}K)\to(Y,Y\setminus K)$ は、余極限をとることにより $R$ 線形写像 $f^*:H^k_c(Y;G)\to H^k_c(X;G)$ を誘導する。
固有写像 $g:Y\to Z$ に対して $(g\circ f)^*=f^*g^*$ であり、 $\id^*=\id$ である。
同相写像 $h:X\to Y$ は同型 $h^*$ を誘導する。また $W\subseteq X$ が開ならば $h^*\iota_{h(W),Y}=\iota_{W,X}(h|_W)^*$ が成り立つ。

二つの命題の証明は問題 5.1で与える。開集合からの拡張は共変であり、固有写像による引き戻しは反変である。

2 凸開集合と開被覆

補題 2.1. $U\subseteq\R^n$ を空でない凸開集合、 $K\subseteq U$ をコンパクト集合とする。このとき、 $K\subseteq C\subseteq U$ を満たす空でないコンパクトな凸集合 $C$ が存在する。

証明. $K\neq\varnothing$ の場合、各点を $U$ に含まれる閉直方体の内部で覆い、有限部分被覆をとる。その有限個の直方体の頂点全体の凸包を $C$ とする。 $C$ は有限個の点の凸包なので標準単体の連続像であり、コンパクトである。 $U$ の凸性により $C\subseteq U$ であり、 $K\subseteq C$ も成り立つ。 $K=\varnothing$ の場合は $U$ の一点を $C$ にとればよい。▨

命題 2.2. $M$ を $n$ 次元多様体（ $n\geq1$ ）、 $\varphi:\R^n\to M$ を座標写像、 $U\subseteq\R^n$ を空でない凸開集合、 $W=\varphi(U)$ とする。

$U$ に含まれる空でないコンパクトな凸集合 $C$ に対して、 $q_{\varphi(C)}:H^k(W\,|\,\varphi(C);G)\to H^k_c(W;G)$ は同型である。
$H^k_c(W;G)$ は $k\neq n$ で零、 $k=n$ でアーベル群として $G$ と同型である。
とくに $H^k_c(\R^n;G)$ は $k=n$ で $G$ と同型、それ以外で零である。

証明.主張 (1)を示す。前の補題により、 $U$ の空でないコンパクトな凸集合の像は $\mathcal K(W)$ で共終である。この部分族も、二つの集合の和を前の補題で包むことにより有向である。

$C\subseteq D\subseteq U$ がこの族の元なら、 $y\in C$ を選ぶ。§E21.36 補題 1.4 (1)と開集合への切除により、点 $\varphi(y)$ から $\varphi(C)$ 、 $\varphi(D)$ への二つのコホモロジー写像は同型である。したがって $\varphi(C)$ から $\varphi(D)$ への構造写像も同型である。共終部分圏による比較と§E6.9 命題 10.2により各構造写像 $q_{\varphi(C)}$ が同型となる。主張 (2)の値は§E21.36 補題 1.4 (2)による。

主張 (3)を示す。 $M=\R^n$ 、 $\varphi=\id$ 、 $U=\R^n$ とすれば主張 (3)を得る。▨

命題 2.3. $X$ を Hausdorff 空間、 $\mathcal W$ を $X$ の開集合からなる空でない集合とする。任意の $W_1,W_2\in\mathcal W$ に対して $W_1\cup W_2\subseteq W_3$ を満たす $W_3\in\mathcal W$ が存在し、 $\bigcup\mathcal W=X$ と仮定する。このとき拡張が誘導する写像

\varinjlim_{W\in\mathcal W}H^k_c(W;G)\longrightarrow H^k_c(X;G)

は $R$ 加群の同型である。

証明. コンパクト集合 $K\subseteq X$ は有限個の $\mathcal W$ の元で覆われ、有向性により一つの元 $W$ に含まれる。 $H^k_c(X;G)$ の元はある $H^k(X\,|\,K;G)$ の元で表されるので、切除と拡張により $H^k_c(W;G)$ の元の像となる。よって表示の写像は全射である。

$H^k_c(W;G)$ の元が $H^k_c(X;G)$ で零になるとする。その元をコンパクト集合 $K\subseteq W$ 上の相対類で表す。§E6.9 定理 8.4 (3)により、あるコンパクト集合 $L\supseteq K$ が存在して、その段で相対類の像が零となる。 $L$ を含む $\mathcal W$ の元と $W$ の共通上界を $W'$ とすれば、切除によりこの元は $H^k_c(W';G)$ で零となる。再び余極限の零の判定から、表示の写像は単射である。▨

補題 2.4. Hausdorff 空間 $X$ が二つの開集合 $U,V$ で覆われているとする。このとき、任意のコンパクト集合 $C\subseteq X$ に対して、 $C=K\cup L$ を満たすコンパクト集合 $K\subseteq U$ 、 $L\subseteq V$ が存在する。

証明. $C\setminus V$ と $C\setminus U$ はコンパクト Hausdorff 空間 $C$ の交わらない閉集合である。§E2.19 定理 6.11により、 $C$ の開集合 $O$ で

C\setminus V\subseteq O\subseteq\overline O^{\,C}\subseteq C\cap U

を満たすものをとる。 $K=\overline O^{\,C}$ 、 $L=C\setminus O$ と置く。両者は $C$ の閉部分集合なのでコンパクトであり、所要の包含と $C=K\cup L$ を満たす。▨

定理 2.5. $X$ を Hausdorff 空間、 $X=U\cup V$ を開被覆とする。

開集合からの拡張による列 $\cdots\to H^k_c(U\cap V;G)\xrightarrow{(\iota,\iota)} H^k_c(U;G)\oplus H^k_c(V;G) \xrightarrow{(a,b)\mapsto\iota a-\iota b}H^k_c(X;G) \xrightarrow{\delta}H^{k+1}_c(U\cap V;G)\to\cdots$ は完全である。
コンパクト集合 $K\subseteq U$ 、 $L\subseteq V$ に対して、 $H^k(X\,|\,K\cup L;G)$ の元の像に対する $\delta$ は、開集合 $X\setminus K,X\setminus L$ に関する相対 Mayer–Vietoris 連結準同型 $H^k(X\,|\,K\cup L;G)\to H^{k+1}(X\,|\,K\cap L;G)$ と、 $U\cap V$ への切除および余極限の構造写像との合成である。

証明.主張 (1)を示す。組 $(K,L)\in\mathcal K(U)\times\mathcal K(V)$ を成分ごとの包含で順序付ける。この有向集合の上で、§E21.29 命題 5.2 (1)の列

\cdots\to H^k(X\,|\,K\cap L;G) \to H^k(X\,|\,K;G)\oplus H^k(X\,|\,L;G) \to H^k(X\,|\,K\cup L;G)\to\cdots

を考える。写像は最初が同符号の二つの制限、次が差である。切除によって最初の項を $U\cap V$ の上へ、中央の各成分を $U,V$ の上へ移す。

$(K,L)$ から $K$ 、 $L$ 、 $K\cap L$ 、 $K\cup L$ への順序写像は、それぞれ対応するコンパクト集合の有向集合で共終な像をもつ。成分については他方を空集合にとればよく、交わりについては任意のコンパクト集合 $C\subseteq U\cap V$ を $K=L=C$ とすればよい。和については補題 2.4を用いる。したがって§E6.9 命題 10.1により、これらの余極限は表示のコンパクト台コホモロジーになる。有限直和との交換は§E6.3 命題 2.7による。

フィルター余極限は完全列を保つ（§E6.9 定理 9.1）。各段の包含の誘導射は切除を通して拡張となるので、写像と符号は主張 (1)の表示に一致する。

主張 (2)を示す。連結準同型は各相対完全列の連結準同型から誘導されるため、主張 (2)の公式も得る。▨

3 開集合についての帰納

補題 3.1. $M$ を $n$ 次元多様体（ $n\geq1$ ）、 $P$ を $M$ の開集合についての性質とする。次の三条件を仮定する。

開集合 $U,V$ について $P(U)$ 、 $P(V)$ 、 $P(U\cap V)$ が成り立つならば $P(U\cup V)$ が成り立つ。
開集合からなる空でない集合が包含について有向であり、その各元が $P$ を満たすならば、その和集合も $P$ を満たす。
$P(\varnothing)$ が成り立つ。また、座標写像 $\varphi:\R^n\to M$ と空でない凸開集合 $C\subseteq\R^n$ に対して $P(\varphi(C))$ が成り立つ。

このとき、 $M$ のすべての開集合 $W$ が $P$ を満たす。

証明.

主張 3.1.1. 座標写像 $\varphi:\R^n\to M$ の像に含まれる任意の開集合 $W$ は $P$ を満たす。

証明. まず凸開集合の有限和の像について示す。空集合と一つの凸開集合では第3条件による。 $m$ 個以下の和について成り立つとし、 $C_1,\ldots,C_{m+1}$ を凸開集合とする。

(C_1\cup\cdots\cup C_m)\cap C_{m+1} =\bigcup_{j=1}^m(C_j\cap C_{m+1})

であり、各交わりは空または凸開集合である。帰納法の仮定と第1条件により、 $m+1$ 個の和にも $P$ が成り立つ。 $\varphi^{-1}(W)$ に含まれる凸開集合の有限和の全体は空集合を含む有向集合であり、その和は $\varphi^{-1}(W)$ である。第2条件から $P(W)$ を得る。▨

一般の開集合 $W$ を考える。§E21.36 補題 1.3により各点は座標写像の像に含まれる。有限個の座標写像の像を $O_1,\ldots,O_m$ とすると、 $W\cap(O_1\cup\cdots\cup O_m)$ は $P$ を満たす。実際、 $m=1$ は補助主張による。 $m$ から $m+1$ へ進む際の交わり

W\cap(O_1\cup\cdots\cup O_m)\cap O_{m+1}

は一つの座標写像の像 $O_{m+1}$ に含まれる開集合なので補助主張を適用し、第1条件で和へ進むことができる。このような有限和との交わり全体は $W$ を覆う有向集合であり、第2条件から $P(W)$ を得る。可算被覆は用いていない。▨

命題 3.2. 向きづけ可能性を仮定しない $n$ 次元多様体 $M$ について、 $k>n$ ならば $H^k_c(M;G)=0$ である。

証明. $n\geq1$ では、開集合 $W$ の性質を「すべての $k>n$ で $H^k_c(W;G)=0$ 」とする。Mayer–Vietoris 列の部分

H^k_c(U;G)\oplus H^k_c(V;G)\to H^k_c(U\cup V;G)\to H^{k+1}_c(U\cap V;G)

で両端が零となるため、第1条件を満たす。有向和集合の命題により第2条件を満たし、凸開集合の計算と空空間のコホモロジーにより第3条件を満たす。帰納の補題を適用すればよい。 $n=0$ の場合には $M$ は離散空間であり、コンパクト集合は有限集合なので、各相対コホモロジーの正の次数が零となることから従う。▨

4 例

例 4.1. 離散空間 $\N$ について

H^0_c(\N;G)\cong\bigoplus_{\N}G, \qquad H^0(\N;G)\cong\prod_{\N}G, \qquad H^k_c(\N;G)=0\quad(k>0)

である。有限集合 $F$ に対する $H^0(\N\,|\,F;G)$ は、 $F$ の外で消える関数の群 $G^F$ である。余極限は有限台の関数を集めるため直和となる。通常の零次コホモロジーはすべての関数を含むため直積となる。余鎖複体 $C^\bullet_c$ の零次余輪体も同じ有限台の関数を与える。余極限の元の表示と零の判定による計算は演習で確かめる。

例 4.2. $n\geq1$ 、 $G\neq0$ とする。このとき、 $\R^n$ は一点とホモトピー同値であるが、

H^n_c(\R^n;G)\cong G,\qquad H^n_c(\mathrm{pt};G)=0

である。したがってコンパクト台コホモロジーは通常のホモトピー同値で不変ではない。

包含 $i:\mathrm{pt}\to\R^n$ は固有であるが、定値写像 $c:\R^n\to\mathrm{pt}$ は一点の逆像が非コンパクトなので固有でない。すべての連続写像に反変関手としての引き戻しを与え、さらに通常のホモトピー不変性を課すと、 $ci=\id$ と $ic\simeq\id$ から上の二群が同型となり矛盾する。これは二つの要求を同時に課すことができない例であり、個々の非固有写像に何らかの準同型を与えることを否定するものではない。

例 4.3. 穴あき Euclid 空間のコンパクト台コホモロジーは次のようになる。

$n\geq2$ のとき、 $H^k_c(\R^n\setminus\{0\};G)$ は $k=1,n$ で $G$ と同型であり、ほかの次数では零である。
$H^1_c(\R\setminus\{0\};G)\cong G\oplus G$ であり、ほかの次数では零である。

$n\geq2$ では、球面を北極と南極をそれぞれ除く開集合 $U,V$ で覆う。立体射影§E21.8 補題 3.2 (1)により $U,V\cong\R^n$ 、 $U\cap V\cong\R^n\setminus\{0\}$ である。球面はコンパクトなので、通常の球面のコホモロジーと凸開集合の計算を Mayer–Vietoris 列へ代入する。零次の部分は

0\to H^0(S^n;G)\xrightarrow{\cong}H^1_c(U\cap V;G)\to0

となり、一次の値を得る。

最高次では、拡張 $H^n_c(U;G)\to H^n(S^n;G)$ が同型である。実際、 $p\in U$ を一点選ぶと、凸開集合の命題により $H^n(U\,|\,p;G)\to H^n_c(U;G)$ が同型である。切除と対 $(S^n,S^n\setminus\{p\})$ の完全列により $H^n(S^n\,|\,p;G)\to H^n(S^n;G)$ も同型なので、拡張の主張を得る。 $V$ についても同様である。したがって最高次の完全列は

0\to H^n_c(U\cap V;G)\to G\oplus G\xrightarrow{(a,b)\mapsto a-b}G\to0

となり、核は $G$ と同型である。ほかの次数では完全列の隣接項が零となる。

$n=1$ では、二つの開半直線を被覆にとる。交わりが空なので、完全列により各次数の群は二つの半直線の群の直和である。各半直線は凸開集合であり、第2項を得る。

5 演習

問題 5.1.命題 1.6と命題 1.7を証明せよ。

解答.

$K\subseteq W$ がコンパクトならば、Hausdorff 性により $K$ は $X$ で閉である。閉集合 $X\setminus W$ は開集合 $X\setminus K$ に含まれるから、コホモロジーの切除§E21.29 系 4.3 (2)により $\varepsilon_K^{W,X}$ は同型である。この制限写像は $K\subseteq L$ の誘導写像と可換なので、逆写像と $q_K$ は余錐をなし、§E6.3 命題 2.6により $\iota_{W,X}$ が定まる。

$W\subseteq W'\subseteq X$ ならば $\varepsilon_K^{W,X}=\varepsilon_K^{W,W'}\varepsilon_K^{W',X}$ である。逆写像をとり、構造写像と合成することで拡張の合成則を得る。恒等の場合も同じ式による。

固有写像 $f:X\to Y$ では $f^{-1}K$ がコンパクトである。 $K\subseteq L$ ならば $f^{-1}K\subseteq f^{-1}L$ であり、対の写像の関手性により各引き戻しと余極限の構造写像が両立する。したがって $f^*$ が定まる。固有写像の合成も固有であり、 $(gf)^{-1}K=f^{-1}(g^{-1}K)$ と相対コホモロジーの関手性から合成則と恒等則を得る。

同相写像とその逆は固有なので、誘導写像は互いに逆である。 $K\subseteq h(W)$ について、同相による引き戻しと $W,h(W)$ への制限の可換図式を作り、その制限同型を逆にすると $h^*\iota_{h(W),Y}=\iota_{W,X}(h|_W)^*$ を得る。すべての写像の $R$ 線形性は係数構造の補題による。▨

問題 5.2. 開区間 $(0,1)$ と閉区間 $[0,1]$ のコンパクト台コホモロジーを求め、包含による拡張 $H^1_c((0,1);G)\to H^1_c([0,1];G)$ を求めよ。

解答.

凸開集合の計算から、 $H^1_c((0,1);G)\cong G$ 、ほかの次数は零である。閉区間はコンパクトで可縮なので、 $H^0_c([0,1];G)\cong G$ 、ほかの次数は零である。 $(0,1)$ は $[0,1]$ の開集合だから拡張が定まり、一次では零群への写像なので零写像である。包含は、コンパクト集合 $[0,1]$ の逆像 $(0,1)$ がコンパクトでないため固有ではない。▨

問題 5.3.例 4.1の余極限の計算を、§E6.9 定理 8.4の元の表示と零の判定を用いて証明せよ。

解答.

離散空間のコンパクト集合は有限であり、有限集合はコンパクトである。有限集合 $F\subseteq\N$ に対して、開集合 $F$ への切除により $H^k(\N\,|\,F;G)\cong H^k(F;G)$ となる。各一点のコホモロジーを用いると、これは $k=0$ で $G^F$ 、 $k>0$ で零である。 $F\subseteq F'$ の構造写像は、関数を $F'\setminus F$ で零として延長する写像である。

余極限の各元は有限集合 $F$ の段で表されるので、有限台の関数を定める。逆に有限台の関数はその台を含む有限集合の段で表される。ある段の関数が余極限で零なら、より大きい有限集合の段で零となるが、零による延長は単射なので、もとの関数も零である。したがって余極限は $\bigoplus_{\N}G$ である。通常の零次コホモロジーは弧状連結成分ごとの値の全体であり、離散空間では任意の点ごとに値を選ぶことができるため $\prod_{\N}G$ となる。▨

§E21.38コンパクト台コホモロジー

1 定義と関手性

2 凸開集合と開被覆

3 開集合についての帰納

4 例

5 演習

参考文献

前提記事