局所系 | 位相幾何入門

1 局所定数層と基本群の作用

注意 1.1. 以下では、空でない連結かつ局所弧状連結かつ半局所単連結な空間 $X$ と基点 $x_0\in X$ を固定する。 $\pi=\pi_1(X,x_0)$ とし、普遍被覆 $q\colon(\widetilde X,\widetilde x_0)\to(X,x_0)$ と、§E21.10 定理 3.2のデック変換による左作用 $T_g$ を用いる。 $R=\Z[\pi]$ と書き、 $R$ -加群は左加群とする。被覆のファイバーのモノドロミーには右作用を用いる。

定理 1.2. $X$ を空でない連結かつ局所弧状連結な空間とし、 $x_0\in X$ 、 $\pi=\pi_1(X,x_0)$ とする。このとき、 $X$ 上の集合の局所定数層 $F$ のエタール空間は、空のファイバーを許す被覆である。そのモノドロミーにより茎 $F_{x_0}$ を右 $\pi$ -集合とみなすと、次が成り立つ。

$\varphi\mapsto\varphi_{x_0}$ は、層の射 $F\to F'$ の全体と右 $\pi$ -集合の同変写像 $F_{x_0}\to F'_{x_0}$ の全体との全単射であり、恒等射と合成を保つ。
$X$ がさらに半局所単連結ならば、 $F\mapsto F_{x_0}$ は、集合の局所定数層の同型類と右 $\pi$ -集合の同変同型類との一対一対応を与える。逆は、右 $\pi$ -集合 $S$ に付随する被覆 $E_S$ の切断の層である。空集合 $S$ も含む。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。§E21.40 定理 1.2 (3)の局所定数層と被覆の対応に、§E21.10 定理 2.2の被覆の写像の対応を合成すると主張 (1)を得る。半局所単連結性も仮定すれば、§E21.11 定理 1.3 (1)の同型類の対応を合成して主張 (2)を得る。エタール空間のファイバーと茎の同一視のもとで、 $\operatorname{Et}(\varphi)$ のファイバーへの制限は $\varphi_{x_0}$ である。この記述から恒等射と合成も保たれる。▨

補題 1.3. アーベル群の局所定数層 $\mathcal L$ の茎に対するモノドロミーの右作用は、各 $g\in\pi$ について加法を保つ。

証明. $E=\operatorname{Et}(\mathcal L)$ とする。ファイバー積 $E\times_XE$ は被覆であり、加法 $E\times_XE\to E$ は $X$ 上の連続写像である（§E21.10 命題 1.6 (4)、§E20.1 命題 3.6 (1)）。ファイバー積のモノドロミーは対角作用であり、被覆の間の写像はモノドロミーと可換である（§E21.10 命題 2.1）。したがって $(a+b)\cdot g=a\cdot g+b\cdot g$ である。▨

定義 1.4.

アーベル群の局所定数層を局所系 (local system) という。
局所系 $\mathcal L$ の茎 $\mathcal L_{x_0}$ に、 $g m=m\cdot g^{-1}$ による左 $\pi$ -作用を入れる。この作用は補題 1.3により加法を保つ。
§E6.1 定理 6.3の群環の普遍性により、この作用を左 $R$ -加群の構造へ延ばす。

命題 1.5. 左 $R$ -加群 $M$ に離散位相を入れる。開集合 $U\subseteq X$ に対して

\mathcal L_M(U)=\{s\colon q^{-1}U\to M\mid s\text{ は局所定数},\ s(T_g\tilde x)=g s(\tilde x)\}

とおき、制限を写像の制限で定める。

$\mathcal L_M$ は局所系である。均等に被覆される開集合 $V$ と一つのシートの逆写像 $\lambda\colon V\to\widetilde V$ を選ぶと、各開集合 $W\subseteq V$ で $s\mapsto s\lambda|_W$ は $\mathcal L_M(W)\cong M_V(W)$ を与え、制限と可換である。
$\operatorname{Et}(\mathcal L_M)$ は、右作用 $m\cdot g=g^{-1}m$ を入れた $M$ に付随する被覆と同型である。
$\widetilde x_0$ での値を取る写像は、左 $R$ -加群の同型 $(\mathcal L_M)_{x_0}\cong M$ を与える。

証明.主張 (1)を示す。写像の貼り合わせは局所定数性と同変性を保つので、 $\mathcal L_M$ はアーベル群の層である。§E21.11 補題 2.2の普遍被覆の主束としての局所自明化により

q^{-1}V=\coprod_{g\in\pi}T_g\widetilde V

である。局所定数写像 $a\colon W\to M$ に対して $s(T_g\lambda(x))=g a(x)$ とおくと、主張 (1)の写像の逆を得る。この公式は加法と制限を保つ。

主張 (2)を示す。付随する被覆は対角作用 $g(m,\tilde x)=(gm,T_g\tilde x)$ の商 $E_M=\pi\backslash(M\times\widetilde X)$ である。 $s$ に $x\mapsto[s(\tilde x),\tilde x]$ を対応させる。 $\tilde x$ を $T_g\tilde x$ に替えても $[s(\tilde x),\tilde x]$ は変わらず、局所自明化の上では、この対応は局所定数写像 $W\to M$ と被覆の切断との対応である。逆に、被覆の切断は各 $\tilde x$ についてただ一つの $m$ を定めるので、同変な局所定数写像を復元する。この層の同型と§E20.1 定理 2.7 (2)により主張 (2)を得る。

主張 (3)を示す。§E21.11 命題 1.2 (2)により、 $m\mapsto[m,\widetilde x_0]$ は右作用について同変である。その逆が芽の値を取る写像であり、右作用を逆元で左作用へ移せば主張 (3)の加群同型を得る。▨

系 1.6. 局所系と、その基点の茎に入れた左 $R$ -加群の構造について、次が成り立つ。

茎を取る写像は、局所系 $\mathcal L,\mathcal L'$ の層の射の全体と、茎 $\mathcal L_{x_0},\mathcal L'_{x_0}$ の間の $R$ -線形写像の全体との全単射である。
$\mathcal L\mapsto\mathcal L_{x_0}$ と $M\mapsto\mathcal L_M$ は、局所系の同型類と左 $R$ -加群の同型類との一対一対応を与える。
定数層 $M_X$ は自明な作用の加群に対応する。

証明.主張 (1)を示す。定理 1.2 (1)の写像の対応に加法との両立を加える。茎の写像が準同型であるとする。ファイバー積 $\operatorname{Et}(\mathcal L)\times_X\operatorname{Et}(\mathcal L)$ から $\operatorname{Et}(\mathcal L')$ への二つの写像 $(a,b)\mapsto\varphi(a+b)$ と $(a,b)\mapsto\varphi(a)+\varphi(b)$ は $x_0$ の上で一致するので、写像の対応の単射性により全体で一致する。零も同様に保たれ、層の射は群の射である。逆方向は茎を取ればよい。

主張 (2)を示す。命題 1.5 (3)により、 $M\mapsto\mathcal L_M$ は茎を取る対応の逆である。

主張 (3)を示す。定数層のエタール空間は $X\times M$ なので、主張 (3)のモノドロミーは自明である。▨

命題 1.7. 局所系 $\mathcal L$ について、茎を取る写像は同型 $\Gamma(X,\mathcal L)\cong(\mathcal L_{x_0})^\pi$ を与える。したがって $\check H^0(X;\mathcal L)\cong(\mathcal L_{x_0})^\pi$ である。

証明. 大域切断は恒等被覆 $X\to X$ から $\operatorname{Et}(\mathcal L)$ への $X$ 上の写像である。§E21.10 定理 2.2により、一点集合から $\mathcal L_{x_0}$ への同変写像と対応する。その像はちょうど不変元であり、この対応は加法を保つ。後半は§E20.3 命題 2.7 (2)による。▨

2 向きの局所系

定義 2.1. $n\ge1$ とし、 $N$ を $n$ 次元位相多様体とする。開集合 $U\subseteq N$ に§E21.36 定義 2.1 (1)の整合的な族の群 $\Gamma(U;\Z)$ を対応させる前層を $\mathcal O_N$ と書く。

命題 2.2. $n\ge1$ とし、 $N$ を $n$ 次元位相多様体とする。このとき、整合的な局所ホモロジーの族の前層 $\mathcal O_N$ について、次が成り立つ。

$\mathcal O_N$ は、茎が $H_n(N,N\setminus\{x\};\Z)\cong\Z$ である局所系である。これを $N$ の向きの局所系 (orientation local system) という。
$N$ が空でなく連結なら、基点の茎 $(\mathcal O_N)_{x_0}$ の $\Z[\pi_1(N,x_0)]$ -作用に対して $gm=w(g)m$ を満たす準同型 $w\colon\pi_1(N,x_0)\to\{\pm1\}$ がただ一つ存在する。 $\ker w$ は向きの二重被覆の $x_0$ の上の各点の安定化群である。
同じ仮定のもとで、 $N$ が向きづけ可能であるための必要十分条件は、 $w$ が自明であることである。

証明.主張 (1)を示す。整合的な族の条件は局所的なので、族の貼り合わせによって層を得る。座標球体上では、一点での局所ホモロジーの元が整合的な族をただ一つ定める（§E21.36 命題 2.4 (4)、§E21.36 補題 1.4 (2)）。その制限も同じ局所生成元の輸送である。したがって $\mathcal O_N$ は局所定数であり、芽を $x$ で評価する写像は $(\mathcal O_N)_x\cong H_n(N,N\setminus\{x\};\Z)$ を与える。

主張 (2)を示す。空でない連結な多様体は局所弧状連結かつ半局所単連結である（§E21.9 命題 3.5）。 $\Z$ の自己同型は $\pm1$ 倍なので、モノドロミー作用から一意な準同型 $w$ を得る。茎の生成元からなる部分被覆は§E21.36 定義 3.1の向きの二重被覆である。生成元を固定する作用は $+1$ 倍に限られるので、その安定化群は $\ker w$ である。

主張 (3)を示す。 $w$ が自明であるとき、二つの生成元はそれぞれ一つの軌道をなすので、向きの二重被覆は二つの連結成分をもつ。 $w$ が非自明なら二つの生成元は同じ軌道にあり、この被覆は連結である（§E21.10 命題 2.1）。§E21.36 命題 3.2 (3)により、 $w$ が自明であることと $N$ が向きづけ可能であることは同値である。▨

定義 2.3. $\tau\colon\R^2\to\R^2$ を $\tau(x,y)=(x+1,-y)$ とする。商空間 $N=\R^2/\langle\tau\rangle$ を開いた Möbius の帯 (open Möbius band) という。

命題 2.4. 円周の基本群を§E21.6 定理 1.5 (1)により $\langle t\rangle\cong\Z$ と同定し、 $t$ が $-1$ 倍で作用する加群を $\Z_-$ と書く。

$S^1$ 上の $\mathcal L_{\Z_-}$ は定数層でなく、大域切断の群は零である。
開いた Möbius の帯 $N$ は連結な $2$ 次元位相多様体であり、 $\R^2\to N$ は普遍被覆である。零切断 $\{[x,0]\}$ への変位レトラクションがあり、 $N$ は $S^1$ とホモトピー同値である。
$\pi_1(N)\cong\Z$ の正の生成元の向きのモノドロミーは $-1$ である。したがって $\mathcal O_N$ は $\Z_-$ に対応し、 $N$ は向きづけ不能である。

証明.主張 (1)を示す。非自明な作用は自明な作用と同型でなく、不変元の群は $\{m\in\Z\mid m=-m\}=0$ である。系 1.6と命題 1.7により結論が従う。

主張 (2)を示す。 $\tau$ が生成する $\Z$ -作用は自由であり、幅が $1$ より小さい縦帯の十分小さい開集合はその非自明な整数移動と交わらない。§E21.10 補題 3.1 (1)により商への写像は被覆である。商の Hausdorff 性、第二可算性、および $[x,y]\mapsto[x,(1-u)y]$ が変位レトラクションを与えることは問題 6.1の解答で確かめる。局所座標は被覆のシートから得られ、 $\R^2$ は単連結なので、この被覆は普遍被覆である。

主張 (3)を示す。生成元のループは $(0,0)$ から $\tau(0,0)$ に至る道へ持ち上がる。 $\R^2$ 上の整合的な向きに対して $\tau$ は向きを反転する。実際、 $x\mapsto x+1$ は $x=0$ と $x=1/2$ に関する二つの鏡映の合成であり、 $y\mapsto-y$ と合わせて三つの鏡映の合成となる。各鏡映は固定点の局所ホモロジーに $-1$ 倍で作用する（§E21.19 命題 2.9）。§E21.36 命題 2.4 (3)の整合的な族の輸送により、この符号は各点で同じである。よってループに沿う輸送は $-1$ であり、主張 (3)が従う。▨

3 ねじれた特異余鎖

補題 3.1. 特異鎖に $g\sigma=T_g\circ\sigma$ と作用させると、 $C_\bullet(\widetilde X)$ は左 $R$ -加群の鎖複体となる。

各 $C_p(\widetilde X)$ は自由 $R$ -加群である。 $X$ の各特異 $p$ 単体の持ち上げを一つずつ選ぶと、それらが $R$ -基底をなす。
$q_\#$ は同型 $\Z\otimes_R C_\bullet(\widetilde X)\cong C_\bullet(X)$ を誘導する。ここで $\Z$ は自明な右 $R$ -加群である。
開集合 $U\subseteq X$ に対して $C_\bullet(q^{-1}U)$ は、各次数で上の基底の部分集合により生成される自由 $R$ -部分複体である。

証明.主張 (1)を示す。境界は面写像との合成で与えられるので $\partial(T_g\sigma)=T_g(\partial\sigma)$ であり、加群の複体を得る。標準単体は単連結かつ局所弧状連結なので、§E21.5 定理 3.1により各特異単体は普遍被覆へ持ち上がる。持ち上げは一つの頂点の像で決まり、普遍被覆の各ファイバーに $\pi$ は自由かつ推移的に作用する（§E21.5 補題 2.1、§E21.11 命題 3.2）。したがって各単体の持ち上げは一つの自由な軌道をなし、主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。自明な右 $R$ -加群 $\Z$ とのテンソル積では $1\otimes g\sigma=1\otimes\sigma$ となるので、各軌道を一つの基底元と同定すると、基底は $X$ の単体の全体になる。対応は境界と可換なので主張 (2)を得る。

主張 (3)を示す。像が $U$ に含まれるという条件は持ち上げの軌道全体について成り立ち、面を取っても保たれる。したがって、その条件を満たす基底の部分集合で生成される群は自由 $R$ -部分複体である。▨

定義 3.2. 左 $R$ -加群 $M$ に対し

C^p(X;M)=\operatorname{Hom}_R(C_p(\widetilde X),M),\qquad \delta c=c\circ\partial

とおく。そのコホモロジーを $M$ に係数をもつねじれた特異コホモロジー (twisted singular cohomology) といい、 $H^p(X;M)$ と書く。局所系 $\mathcal L$ に対しては、基点の茎に定まる群環上の加群を用いて $H^p(X;\mathcal L)=H^p(X;\mathcal L_{x_0})$ と定める。

命題 3.3. ねじれた特異余鎖について、次が成り立つ。

$M$ の作用が自明なら、 $q_\#$ との前合成は、通常の特異余鎖複体 $\operatorname{Hom}_{\Z}(C_\bullet(X),M)$ からねじれた特異余鎖複体への同型を与える。したがって両者のコホモロジーは一致する。
左 $R$ -加群の短完全列 $0\to M'\to M\to M''\to0$ は、余鎖複体の短完全列と、係数の短完全列の射について自然な長完全列 $\cdots\longrightarrow H^p(X;M)\longrightarrow H^p(X;M'') \xrightarrow{\partial}H^{p+1}(X;M')\longrightarrow H^{p+1}(X;M)\longrightarrow\cdots$ を与える。

証明.主張 (1)を示す。自明な作用の場合、同変な余鎖は単体の持ち上げの軌道上で一定であり、その値は $X$ の単体の上の値としてただ一つ定まる。これは面の制限と可換なので、主張 (1)の同型は余鎖複体の同型である。

主張 (2)を示す。各次数の鎖群は自由 $R$ -加群である。基底での値を指定することによって、 $\operatorname{Hom}_R(C_p(\widetilde X),-)$ は短完全列を保つ。§E6.34 定理 4.3を適用すると、長完全列と自然性を得る。▨

4 可縮な普遍被覆と群コホモロジー

定理 4.1. 普遍被覆 $\widetilde X$ が可縮なら、増大した特異鎖複体 $C_\bullet(\widetilde X)\to\Z$ は自明な左 $R$ -加群 $\Z$ の自由分解である。したがって、任意の左 $R$ -加群 $M$ について、 $M$ に関して自然な同型

H^p(X;M)\cong H^p(\pi,M)

がある。

証明. $\widetilde X$ は空でなく可縮なので、被約ホモロジーはすべて零である（§E21.15 系 3.4 (2)）。したがって増大した鎖複体は完全である。増大射は群の作用を保ち、各項は補題 3.1 (1)により自由 $R$ -加群なので、 $\Z$ の自由分解を得る。

群コホモロジーは $\operatorname{Ext}^p_R(\Z,M)$ であり（§E7.37 定義 4.1）、この自由分解の $\operatorname{Hom}_R(-,M)$ で計算される（§E7.37 系 4.4）。その複体は定義したねじれた特異余鎖複体そのものである。係数についての自然性は§E6.36 定理 1.4による。▨

例 4.2. $S^1$ の普遍被覆は可縮な $\R$ であり、基本群は $\langle t\rangle\cong\Z$ である。任意の左 $\Z[t,t^{-1}]$ -加群 $M$ について

H^0(S^1;M)\cong\ker(t-1\colon M\to M),\qquad H^1(S^1;M)\cong M/(t-1)M,\qquad H^p(S^1;M)=0\quad(p\ge2)

となる。実際、§E7.43 系 1.2の自由分解

0\longrightarrow\Z[t,t^{-1}]\xrightarrow{\ t-1\ }\Z[t,t^{-1}] \longrightarrow\Z\longrightarrow0

に $\operatorname{Hom}_{\Z[t,t^{-1}]}(-,M)$ を施し、各準同型を $1$ での値により $M$ と同定すると、微分は $m\mapsto tm-m$ になる。定理 4.1により、この二項複体でねじれた特異コホモロジーを計算することができる。

$M=\Z_-$ の場合は $H^0=0$ 、 $H^1\cong\Z/2\Z$ である。開いた Möbius の帯も普遍被覆が $\R^2$ であり、向きの局所系の加群は $\Z_-$ なので、 $H^p(N;\mathcal O_N)$ は同じ値を取る。

例 4.3. $T^n=\R^n/\Z^n$ の普遍被覆は可縮な $\R^n$ である。被覆であることは§E21.5 命題 1.4 (2)、基本群が $\Z^n$ であることは§E21.3 命題 4.1と§E21.6 定理 1.5 (1)による。したがって、次数付き群の同型

H^*(T^n;\Z)\cong H^*(\Z^n,\Z)

を得る。右辺は§E7.43 定理 4.3により、左辺は§E21.35 系 3.1により、それぞれ外積代数 $\Lambda_{\Z}(\Z^n)$ と環として同型である。よって二つの環は抽象的に同型である。上の比較同型の積との両立は、ここでは示していない。

例 4.4. $S^2$ は単連結なので普遍被覆は $S^2$ 自身であり、基本群は自明である（§E21.8 命題 3.4）。命題 3.3 (1)で通常の特異コホモロジーへ移し、§E21.18 定理 2.2 (2)と§E21.31 系 2.5 (1)を適用すると $H^2(S^2;\Z)\cong\Z$ である。一方、自明な群の正次数の群コホモロジーは零である（§E7.37 例 7.1）。したがって普遍被覆の可縮性は、定理 4.1から外すことができない。

5 ねじれた余鎖の層と Čech 比較

命題 5.1. 左 $R$ -加群 $M$ に対し、開集合 $U\subseteq X$ について

S^p(U;M)=\operatorname{Hom}_R(C_p(q^{-1}U),M)

とおき、制限を鎖の包含との前合成で定める。

$S^p(-;M)$ は貼り合わせの条件を満たすアーベル群の前層であり、 $S^p(\varnothing;M)=0$ である。余境界は前層の射であり、 $S^\bullet(X;M)=C^\bullet(X;M)$ である。
すべての整数値関数の環の層 $\mathcal D$ の作用を $(a c)(\tilde\sigma)=a(q\tilde\sigma(e_0))c(\tilde\sigma)$ と定めると、 $S^p(-;M)$ は $\mathcal D$ 上の加群の前層である。その層化 $\mathcal S^p(M)$ は $\mathcal D$ 上の加群の層であり、 $X$ がパラコンパクトな Hausdorff 空間なら細層である。
同変な局所定数写像を零次余鎖とみなす写像は、前層の射 $\iota\colon\mathcal L_M\to S^0(-;M)$ を与え、 $\delta\iota=0$ である。層化後の射 $\varepsilon=\eta\iota\colon\mathcal L_M\to\mathcal S^0(M)$ も $d\varepsilon=0$ を満たす。
均等に被覆される開集合 $V$ と一つのシート $\widetilde V$ を選ぶと、各開集合 $W\subseteq V$ に対し、そのシートへの制限は自然な同型 $S^\bullet(W;M)\cong \operatorname{Hom}_{\Z}(C_\bullet(W),M)$ を与える。右辺は通常の特異余鎖であり、この同型は $\mathcal L_M|_V\cong M_V$ および増大射と両立する。

証明.主張 (1)を示す。被覆 $U=\bigcup_iU_i$ 上の、交わりで一致する余鎖 $c_i$ を取る。 $U_i$ のどれかに像が含まれる単体の持ち上げには $c_i$ の値を与える。交わりでの一致から値は選択によらず、同変性も保たれる。残りの単体の軌道には零を与えれば、 $U$ 上の余鎖が得られる。これが貼り合わせの存在を示す。空集合には単体がないので値は零である。境界との前合成は制限と可換なので、余境界は前層の射になる。

主張 (2)を示す。主張 (2)の公式は $qT_g=q$ により同変性を保ち、点ごとの加法と積から加群の法則と制限との両立が従う。§E20.6 命題 1.5により層化にも作用が定まる。パラコンパクトな Hausdorff 空間では $\mathcal D$ は任意の開被覆に従属する $1$ の分割をもち（§E20.6 命題 2.8）、§E20.6 定理 2.9から各項が細層であることを得る。

主張 (3)を示す。局所定数写像は各特異 $1$ 単体の両端で同じ値を取るので、主張 (3)の $\delta\iota=0$ が従う。層化してもこの等式は保たれる。

主張 (4)を示す。 $\widetilde W=\widetilde V\cap q^{-1}W$ とおく。主束の局所自明化により $q^{-1}W=\coprod_gT_g\widetilde W$ である。単体の像は連結なので一つのシートに含まれ、

C_p(q^{-1}W)\cong R\otimes_{\Z}C_p(\widetilde W)

となる。同変な余鎖は $\widetilde W$ 上の値でただ一つ定まり、 $q|_{\widetilde W}$ によって通常の余鎖と同定される。面を取る操作と局所定数写像の評価はこの同定と可換なので、複体と増大射の両立も従う。▨

定理 5.2. $X$ を空でない連結かつ局所可縮なパラコンパクトな Hausdorff 空間、 $\mathcal L$ を局所系とする。茎 $\mathcal L_{x_0}$ に定義 1.4 (2)の作用を入れた左 $R$ -加群を $M$ とし、茎で恒等写像を誘導する一意な同型 $\varphi\colon\mathcal L\to\mathcal L_M$ を取る。

$0\to\mathcal L_M\xrightarrow{\varepsilon}\mathcal S^\bullet(M)$ は細分解であり、 $\eta\colon C^\bullet(X;M)\to\Gamma(X,\mathcal S^\bullet(M))$ はコホモロジーの同型を誘導する。したがって $\eta_*^{-1}\Phi_{\mathcal S(M)}\check H^p(\varphi)\colon \check H^p(X;\mathcal L)\longrightarrow H^p(X;\mathcal L)$ は標準的な同型である。ここで $\Phi_{\mathcal S(M)}$ は§E20.6 定理 4.4の細分解の同型である。
$\mathcal L=M_X$ の場合、この同型は命題 3.3 (1)のもとで、§E21.41 定理 3.2の定数係数の比較同型と一致する。

証明. 局所可縮性から $X$ は局所弧状連結かつ半局所単連結であり（§E21.41 命題 2.4）、普遍被覆 $q$ と群環 $R$ を用いることができる。 $\varphi$ の存在と一意性は系 1.6 (1)と命題 1.5 (3)による。

主張 (1)を示す。完全性は茎で判定することができる。各点で均等に被覆される近傍を取り、命題 5.1 (4)を用いると、増大射を付した余鎖の層の複体は通常の定数係数の複体と同定される。§E21.41 定理 2.5の局所可縮性のもとでの完全性により、 $0\to\mathcal L_M\to\mathcal S^\bullet(M)$ は分解である。各項は命題 5.1 (2)により細層である。

前層 $S^p(-;M)$ は貼り合わせを満たし、空集合で零なので、§E20.4 補題 1.5により $\eta$ は全射である。その核の非輪状性を示す。

主張 5.2.1. $X$ の任意の開被覆 $\mathcal U$ に対して

\operatorname{Hom}_R\bigl(C_\bullet(\widetilde X)/C^{q^{-1}\mathcal U}_\bullet(\widetilde X),M\bigr)

は非輪状である。

証明. ある $q^{-1}U_i$ に像が含まれるという条件は単体の持ち上げの軌道全体について成り立つ。したがって各次数の小鎖部分は自由 $R$ -基底の部分集合で生成され、商も非負次数の自由 $R$ -複体である。§E21.16 定理 2.3 (1)の小さい単体の定理により、商の整数係数ホモロジーは零である。これは $R$ -加群としての核と像の一致でもある。商から零複体への擬同型に§E6.35 補題 3.1 (2)を適用すると、表示された $\operatorname{Hom}$ 複体のコホモロジーも零である。▨

$\eta$ の核に属するコサイクル $z$ は、各点のある近傍上で零である。そのような近傍の被覆を $\mathcal U$ とすれば、 $z$ は主張 5.2.1の複体に属する。正次数なら同じ複体の元 $w$ で $z=\delta w$ と書くことができ、 $w$ も局所的に零なので $\eta$ の核に属する。次数 $0$ では主張 5.2.1によって $z=0$ である。よって核は非輪状であり、 $\eta_*$ は同型である。§E20.6 定理 4.4 (1)の細分解の同型と合成して主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。自明な作用の場合は、 $q$ との前合成が、各開集合上で通常の余鎖前層から $S^\bullet(-;M)$ への同型を与える。局所定数写像の増大射とも可換なので、層化して細分解の同型を得る。茎で恒等写像を与える $\varphi$ は写像の対応の一意性によってこの同型と一致する。細分解の同型の自然性から、主張 (2)の二つの比較は一致する。▨

注意 5.3. この記法では、固定した基点と基点付き普遍被覆を用いる。定理 5.2の仮定を満たす空間では、異なる基点を用いた群を同じ $\check H^p(X;\mathcal L)$ と比較することができる。

注意 5.4. 局所可縮性を仮定しない空間では、定数係数の Čech コホモロジーと特異コホモロジーが一致しない場合がある。§E21.41 例 4.3の空間 $\{0\}\cup\{1/n\mid n\ge1\}$ はパラコンパクトな Hausdorff 空間だが $0$ で局所可縮でなく、整数係数の $\check H^0$ は可算、特異の $H^0$ は非可算である。ただしこの空間は連結でないので、定理 5.2から局所可縮性だけを外した反例ではない。

6 演習

問題 6.1. $\tau(x,y)=(x+1,-y)$ による商 $N=\R^2/\langle\tau\rangle$ が Hausdorff かつ第二可算であることを示せ。また、 $H([x,y],u)=[x,(1-u)y]$ が零切断への変位レトラクションを与え、零切断が $S^1$ と同相であることを示せ。

解答.

商写像を $p$ とする。任意の開集合 $O\subseteq\R^2$ に対して $p^{-1}p(O)=\bigcup_{k\in\Z}\tau^kO$ は開集合なので、 $p$ は開写像である。

異なる二つの軌道の代表元を $(x,y),(x',y')$ とする。 $x'-x\notin\Z$ なら、両者の第一座標を含む十分小さい区間の整数移動どうしは交わらない。その区間を用いた縦帯の像は、二つの軌道を分離する。 $x'-x\in\Z$ なら、一方の代表元を移して $x'=x$ とする。軌道が異なるので $y'\ne y$ である。共通の第一座標の区間を長さ $1$ 未満に取り、第二座標に交わらない小区間を取れば、二つの長方形の飽和集合は交わらない。この場合も商で交わらない開近傍を得る。よって $N$ は Hausdorff 空間である。

$\R^2$ の可算開基の像は、 $p$ が開写像なので $N$ の可算開基である。したがって $N$ は第二可算である。

写像 $(x,y,u)\mapsto(x,(1-u)y)$ は $\tau$ と可換である。 $p$ が開写像なので $p\times\mathrm{id}_{[0,1]}$ も商写像であり、この写像は連続な $H\colon N\times[0,1]\to N$ を誘導する。 $H(-,0)$ は恒等写像、 $H(-,1)$ の像は零切断であり、零切断上ではすべての $u\in[0,1]$ について恒等写像である。零切断は $x\mapsto[x,0]$ によって $\R/\Z$ と同相であり、指数写像で $S^1$ と同相になる。▨

§E21.42局所系