二次元の Poincaré 双対と交叉形式 | 位相幾何入門

1 双対胞体と向き

以下、 $M$ は向きづけられた空でない連結閉曲面とする。§E21.27 定理 1.1により有限三角形分割 $(K,h)$ を取り、 $h$ によって $M=|K|$ と同一視する。§E21.27 補題 1.4により、各単体は二単体の面であり、各辺はちょうど二枚の二単体に接する。

定義 1.1.

頂点 $w$ に対し、点 $x$ の重心座標のうち $w$ の係数を $t_w(x)$ と書く。 $x$ を含む単体の頂点でない $w$ では値を零とする。単体 $\sigma$ の重心を $b(\sigma)$ とし、包含鎖 $\sigma=\sigma_0<\cdots<\sigma_r$ に対応するアフィン単体 $[b(\sigma_0),\ldots,b(\sigma_r)]$ をすべて合わせた集合を $D(\sigma)$ と書き、 $\sigma$ の双対胞体 (dual cell) と呼ぶ。
$K$ の頂点に全順序を固定し、単体をその順序で向きづける。接続係数を $[\tau:\sigma]$ 、基本二サイクルを $c_M=\sum_T\epsilon_TT$ と書く。 $\epsilon_T\in\{1,-1\}$ は、頂点順序の向きと $M$ の向きとの比較である。重心細分の単体上の鎖を $\begin{aligned} d(T)&=\epsilon_T[b(T)],\\ d(e)&=\sum_{T\supset e}\epsilon_T[T:e][b(e),b(T)],\\ d(v)&=-\sum_{v<e<T}\epsilon_T[T:e][e:v][v,b(e),b(T)] \end{aligned}$ と定める。次元 $p$ の各単体の $d(\sigma)$ を生成元とする群を $C_{2-p}(K^*)$ と書き、 $\mathcal D_p:C^p_\Delta(K;\Z)\to C_{2-p}(K^*)$ を $\mathcal D_p(u)=\sum_{\dim\sigma=p}u(\sigma)d(\sigma)$ と定める。これらの鎖はアフィン特性写像によって特異鎖ともみなす。

補題 1.2.

各 $t_w:M\to[0,1]$ は連続である。
各点 $x\in M$ は、一つの単体の包含鎖 $\sigma_0<\cdots<\sigma_r$ の重心の正係数の凸結合として、ただ一通りに表される。
$x\in D(\sigma)$ であるための必要十分条件は、 $\sigma$ のすべての頂点で $t_w(x)$ が最大値を取ることである。

証明.主張 (1)を示す。 $t_w$ は各閉単体上でアフィンであり、共通の面で値が一致する。有限個の閉集合での貼り合わせにより連続である。

主張 (2)を示す。 $x$ の正の重心座標の異なる値を $a_1>\cdots>a_m>0$ とし、 $S_j=\{w:t_w(x)\geq a_j\}$ 、 $a_{m+1}=0$ と置く。 $S_j$ は $x$ の台となる単体の面であり、 $S_1<\cdots<S_m$ である。すると

x=\sum_{j=1}^m |S_j|(a_j-a_{j+1})b(S_j)

\text{(1.2.1)}

である。実際、 $t_w(x)=a_l$ の頂点に対する右辺の係数は $\sum_{j=l}^m(a_j-a_{j+1})=a_l$ である。各係数は正で、その和は全頂点の重心座標の和である $1$ となる。

逆に、包含鎖の重心の正係数の凸結合からは、各頂点が最初に鎖へ現れる段に応じて重心座標の値が厳密に小さくなる。したがってその鎖は座標の上位集合 $S_j$ に復元され、係数も上の式に復元される。したがって主張 (2)を得る。

主張 (3)を示す。最初の面 $S_1$ は最大値を取る頂点の集合である。 $\sigma\subseteq S_1$ ならば、必要に応じて先頭に係数零の $\sigma$ を付け加えることによって $x\in D(\sigma)$ となる。逆に $\sigma$ で始まる鎖の凸結合では、 $\sigma$ の頂点の座標は等しく、ほかの頂点以上である。主張 (3)も従う。▨

命題 1.3.

$p$ 単体 $\sigma$ に対して、 $D(\sigma)$ は閉 $(2-p)$ 次元円板と同相である。
双対胞体の内部は互いに交わらず、その合併は $M$ である。
$D(\tau)$ が $D(\sigma)$ の境界に含まれるための必要十分条件は、 $\sigma$ が $\tau$ の真の面であることである。境界はこれらの $D(\tau)$ の合併である。
頂点 $v$ を含む辺と二単体を、 $e_1,\ldots,e_k$ 、 $T_1,\ldots,T_k$ 、 $k\geq3$ 、と巡回的に並べることができる。ただし $T_j$ は $e_j,e_{j+1}$ を面に持つ。このとき $P_v=\partial D(v)$ は、 $b(e_1),b(T_1),\ldots,b(e_k),b(T_k)$ をこの順に結ぶ $2k$ 本の線分の合併であり、円周と同相である。

証明.主張 (1)と主張 (4)を示す。二単体 $T$ の双対胞体は点 $b(T)$ である。辺 $e$ に接する二枚を $T,T'$ とすると、 $D(e)$ は $[b(e),b(T)]$ と $[b(e),b(T')]$ を端点 $b(e)$ でつないだ閉区間である。

頂点 $v$ については、§E21.27 補題 1.4 (4)の巡回的な辺と三角形の並びを取る。各 $T_j$ 内で $D(v)$ は二枚の小三角形 $[v,b(e_j),b(T_j)]$ 、 $[v,b(e_{j+1}),b(T_j)]$ からなる。これらを全 $j$ について合わせると、主張の $2k$ 角形の周を $v$ から結んだ錐になる。異なる小三角形の内部は重心表示の一意性により交わらず、隣接するものだけが指定した辺で接する。円板を $2k$ 枚の扇形の三角形へ分け、各三角形をこれらの小三角形へアフィンに写すと、連続全単射を得る。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射なので同相であり、主張 (1)と主張 (4)を得る。

主張 (2)と主張 (3)を示す。前の補題により、 $D(\sigma)$ の内部は最大座標を取る頂点の集合がちょうど $\sigma$ である点からなる。境界では、その最大値を取る頂点がさらに増える。したがって各点が属する内部は一意であり、境界に現れる双対胞体は真の上位面に対応する。したがって主張 (2)と主張 (3)を得る。▨

補題 1.4.

$p=0,1$ に対して、 $\partial\mathcal D_p=(-1)^{p+1}\mathcal D_{p+1}\delta$ が成り立つ。次数二では $\partial\mathcal D_2=0$ である。
$C_*(K^*)$ は特異境界の制限によって鎖複体となる。各 $\mathcal D_p$ は自由アーベル群の同型であり、余輪体を双対の輪体へ、余境界を符号を除いて双対の境界へ送る。

証明.主張 (1)を示す。 $c_M$ がサイクルであることと、各三角形の境界の二乗が零であることから、

\sum_{T\supset e}\epsilon_T[T:e]=0

\text{(1.4.1)}

および

\sum_{v<e<T}[T:e][e:v]=0

\text{(1.4.2)}

を得る。第一の式により、

\partial d(e)=\sum_{T\supset e}\epsilon_T[T:e][b(T)] =\sum_{T\supset e}[T:e]d(T).

一方、 $d(v)$ の各小三角形の境界を展開すると、 $[b(e),b(T)]$ の項は $-\sum_{e\supset v}[e:v]d(e)$ になる。 $[v,b(T)]$ の項は第二の式により相殺し、 $[v,b(e)]$ の項は第一の式により相殺する。ゆえに

\partial d(v)=-\sum_{e\supset v}[e:v]d(e)

である。これらは各基底元の双対の余境界の式なので、主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。各 $d(\sigma)$ は双対胞体の内部の小単体上で係数 $1$ または $-1$ を持ち、同じ次数の別の双対胞体の内部とは交わらない。したがって各次数で独立であり、定義した群の基底である。主張 (1)は境界がこの群の中に入ることを示し、特異境界の二乗は零なので鎖複体となる。 $\mathcal D_p$ は基底どうしを一対一に対応させるため同型である。主張 (1)と各次数の単射性により、輪体と境界の対応も従う。▨

補題 1.5.

$D(\sigma)$ を閉胞体とし、次元が $2-q$ 以上の単体の双対胞体の合併を $q$ 骨格とする有限 CW 構造 $K^*$ がある。これを双対胞体分解 (dual cell decomposition) という。
各 $d(\sigma)$ の相対類は、対応する胞体基底の元の $1$ 倍または $-1$ 倍である。相対類へ送る写像は鎖複体の同型 $C_*(K^*)\cong C_*^{\mathrm{cell}}(K^*)$ を与える。

証明.主張 (1)を示す。双対胞体が円板であり、その境界がより低い次元の双対胞体の合併であることは、分解の命題で示した。閉胞体の円板からの同相を特性写像に取ると、内部の像は互いに交わらず全体を覆う。 $M$ は Hausdorff 空間で胞体は有限個なので、§E21.22 系 3.2により主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。零次の $d(T)$ は点の $\epsilon_T$ 倍である。一次の $d(e)$ は閉区間を端から端へ向かう二本の線分の鎖であり、その境界は両端の差である。したがって区間対の相対一次ホモロジーの生成元である。

二次の $d(v)$ では、各小三角形の係数 $-\epsilon_T[T:e][e:v]$ は、その三角形に $M$ から入る向きの符号である。このことは、 $T=[v_0,v_1,v_2]$ の三つの辺と二つの端点の六つの旗について、端点が辺の始点なら $[e:v]=-1$ 、終点なら $[e:v]=1$ と読むことで確かめることができる。隣接する小三角形の内部の辺は逆向きに現れ、残る境界は円周 $P_v$ を一度たどる鎖である。円板対の連結準同型 $H_2(D(v),P_v)\to H_1(P_v)$ は同型なので、 $d(v)$ の相対類は生成元である。

骨格対の胞体基底は各円板対の生成元の像であるから、どの次数でも $d(\sigma)$ は符号を除いて胞体基底の元へ写る。胞体境界は代表鎖の境界を取り、次の骨格対へ送る写像である。したがって前の補題で計算した境界と一致し、この基底の対応は鎖複体の同型となる。▨

例 1.6. 向き付き辺 $e$ の両側を $T,T'$ とし、 $\epsilon_T[T:e]=1$ とする。すると、基本サイクルの境界が零なので、 $\epsilon_{T'}[T':e]=-1$ である。このとき

D(e)=[b(e),b(T)]\cup[b(e),b(T')],\qquad d(e)=[b(e),b(T)]-[b(e),b(T')]

であり、 $\partial d(e)=[b(T)]-[b(T')]$ である。集合としては二本の線分の合併であり、向き付きの鎖としては $b(T')$ から $b(e)$ を通って $b(T)$ へ向かう。

2 二次元の Poincaré 双対

定理 2.1 (二次元の Poincaré 双対). 向きづけられた空でない連結閉曲面 $M$ の双対胞体分解は、 $p=0,1,2$ に対して同型

\operatorname{PD}_M:H^p(M;\Z)\longrightarrow H_{2-p}(M;\Z)

を与える。単体的コサイクル $u$ で表した類の像は、双対サイクル $\mathcal D_pu$ の特異ホモロジー類である。

証明. 境界と余境界の補題により、 $\mathcal D_p$ は単体的コホモロジーと双対鎖複体のホモロジーの同型を誘導する。単体的コホモロジーは、標準鎖写像 $\iota:C_*^\Delta(K)\to C_*(M)$ の双対による比較で特異コホモロジーに同一視する。双対鎖複体のホモロジーは、前の補題の胞体鎖複体との同型と§E21.24 定理 2.1 (2)によって特異ホモロジーに同一視する。これらを合成して $\operatorname{PD}_M$ を定める。

像の代表も確かめる。各双対骨格で、 $d(\sigma)$ が生成する鎖の部分複体を特異鎖へ包含させる。この写像は骨格対の相対ホモロジーで、前の補題により対応する胞体基底を保つ。零骨格から順に対の長完全列を比較すると、胞体ホモロジーの比較は、この包含が絶対サイクルに誘導する写像に一致する。したがって $\mathcal D_pu$ は表示した像を代表する。▨

命題 2.2. $u\in H^p(M;\Z)$ 、 $v\in H^{2-p}(M;\Z)$ に対して、

\langle u\smile v,[M]\rangle =\langle v,\operatorname{PD}_M(u)\rangle

が成り立つ。

証明. 重心細分の頂点 $b(\sigma)$ を、 $\sigma$ の最大頂点へ送る写像を、各小単体上でアフィンに延ばして $\ell:M\to M$ とする。小単体に対応する包含鎖は一つの元の単体の中にあるため、この延長は定まり、共通の面で一致する。 $x$ と $\ell(x)$ は同じ元の単体に含まれるから、 $(1-t)x+t\ell(x)$ は恒等写像と $\ell$ のホモトピーを与える。

主張 2.2.1. 重心細分の単体の各頂点を最大頂点へ送り、頂点の重複がある像を零とする写像を $\ell_\flat:C_*^\Delta(\operatorname{sd}K)\to C_*^\Delta(K)$ とする。これは鎖写像であり、特異ホモロジーへの比較のもとで恒等写像を誘導する。また、 $T=[v_0,v_1,v_2]$ を頂点順に書くと、任意の単体的余鎖 $u$ に対して

\begin{aligned} \ell_\flat\mathcal D_0u&=\sum_T\epsilon_Tu(v_0)[v_0,v_1,v_2],\\ \ell_\flat\mathcal D_1u&=\sum_T\epsilon_Tu([v_0,v_1])[v_1,v_2],\\ \ell_\flat\mathcal D_2u&=\sum_T\epsilon_Tu(T)[v_2] \end{aligned}

が成り立つ。

証明. 包含鎖の最大頂点は非減少列である。相異なる場合には、頂点を一つ除く操作が面写像に一致する。重複がある場合には、重複した二頂点の一方ずつを除く二項が反対符号で相殺し、残りの面は重複を持つため零となる。したがって鎖写像性を得る。

特異鎖への標準写像を重心細分では $j$ 、元の複体では $\iota$ と書く。鎖写像 $\ell_\#j$ と $\iota\ell_\flat$ は同じ頂点を送り、小単体の像をいずれもその元の単体の中へ送る。この二つの鎖写像の間の鎖ホモトピーを帰納的に作る。零次では差が零なので作用素を零とする。小 $n$ 単体 $s$ について低次の作用素 $B$ が構成済みならば、

z_s=(\ell_\#j)(s)-(\iota\ell_\flat)(s)-B(\partial s)

は、その包含鎖の最大の単体の中のアフィン $n$ 単体の整数線形結合であり、境界は零である。この最大単体の一頂点から錐を取り、 $B(s)$ とすれば、§E21.16 補題 1.2により $\partial B(s)=z_s$ となる。面の段で選んだ錐も同じ最大単体に含まれるので、帰納が続く。したがって二つの写像は鎖ホモトピックであり、 $\ell$ が恒等写像とホモトピックであることと合わせて、比較のもとでの主張を得る。

三つの式は非退化な旗だけを数える。 $d(T)$ では $b(T)$ が $v_2$ へ写る。 $d(e)$ では $\max e\neq v_2$ となる辺は $e=[v_0,v_1]$ だけであり、その接続係数は $[T:e]=1$ である。 $d(v)$ では $v<\max e<v_2$ でなければ像が退化するので、 $v=v_0$ 、 $e=[v_0,v_1]$ だけが残る。その係数は $-\epsilon_T[T:e][e:v_0]=\epsilon_T$ である。これらが表示した三式である。▨

$u,v$ を単体的コサイクルで表す。補助主張により、 $\operatorname{PD}_M(u)$ を表す単体的輪体として $\ell_\flat\mathcal D_pu$ を用いてよい。各次数で表示式に $v$ を作用させると、

\langle v,\operatorname{PD}_M(u)\rangle =\sum_T\epsilon_Tu([v_0,\ldots,v_p])v([v_p,\ldots,v_2])

となる。これは単体的カップ積を $c_M$ で評価した式である。§E21.33 定理 1.3により積の比較が成り立ち、 $c_M$ は $[M]$ を代表するので、所望の等式を得る。▨

3 交叉形式と標準形

補題 3.1. $H_1(M;\Z)$ と $H^1(M;\Z)$ は有限生成自由アーベル群である。

証明. 双対胞体分解は有限なので、§E21.24 命題 5.1 (1)により $H_1(M;\Z)$ は有限生成である。一方、Poincaré 双対と§E21.31 系 2.4により

H_1(M;\Z)\cong H^1(M;\Z)\cong\Hom_{\Z}(H_1(M;\Z),\Z)

である。右辺には捩れがないので $H_1(M;\Z)$ にも捩れがない。有限生成アーベル群の構造定理により自由であり、同型である $H^1(M;\Z)$ も有限生成自由である。▨

定義 3.2.

$H^1(M;\Z)$ 上の写像 $Q_M(u,v)=\langle u\smile v,[M]\rangle$ を、 $M$ の交叉形式 (intersection form) という。

双線形形式・交代形式・ユニモジュラー性には、§E6.47 定義 3.1 (1)、§E6.47 定義 3.1 (2)、§E6.47 定義 3.1 (3)の定義を用いる。

命題 3.3. $Q_M$ はユニモジュラーな交代双線形形式である。すなわち、 $u\mapsto Q_M(u,-)$ による $H^1(M;\Z)\to\Hom_{\Z}(H^1(M;\Z),\Z)$ は同型であり、任意の $u$ について $Q_M(u,u)=0$ である。

証明. カップ積と評価が双線形なので $Q_M$ は双線形である。カップ積と双対の評価公式により、 $u\mapsto Q_M(u,-)$ は

H^1(M;\Z)\xrightarrow{\operatorname{PD}_M}H_1(M;\Z) \xrightarrow{\mathrm{ev}}\Hom_{\Z}(H^1(M;\Z),\Z), \qquad \mathrm{ev}(z)(v)=\langle v,z\rangle

の合成である。有限生成自由群 $H_1$ は評価によって二重双対へ同型に写る。一次の普遍係数同型 $\rho:H^1\to\Hom(H_1,\Z)$ の転置をその後に合成したものが $\mathrm{ev}$ なので、 $\mathrm{ev}$ は同型である。したがって $Q_M$ はユニモジュラーである。

次数付き交換律により $2(u\smile u)=0$ である。連結多様体では弧状連結成分が開なので、 $M$ は弧状連結である。Poincaré 双対により $H^2(M;\Z)\cong H_0(M;\Z)\cong\Z$ であり、捩れがない。ゆえに $u\smile u=0$ であり、 $Q_M(u,u)=0$ となる。 $Q_M(u+v,u+v)=0$ を展開すると、 $Q_M(u,v)=-Q_M(v,u)$ も得られる。▨

定理 3.4. $J_g=\bigoplus_{i=1}^g\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ とし、 $J_0$ は空行列とする。

向きづけられた空でない連結閉曲面 $M$ について、ある非負整数 $g$ があり、 $H^1(M;\Z)$ は階数 $2g$ の自由アーベル群である。 $Q_M$ の行列を $J_g$ とする基底が存在する。
標準閉曲面 $\Sigma_g$ 、 $g\geq1$ 、では、§E21.33 命題 3.2の基本二サイクル $z$ が基本類を表す向きを取り、その基底 $\alpha_1,\beta_1,\ldots,\alpha_g,\beta_g$ を用いると、 $Q(\alpha_i,\beta_j)=\delta_{ij}$ 、 $Q(\beta_i,\alpha_j)=-\delta_{ij}$ 、 $Q(\alpha_i,\alpha_j)=Q(\beta_i,\beta_j)=0$ である。この基底に関する行列は $J_g$ である。

証明.主張 (1)は、有限生成自由性とユニモジュラー交代性を確かめたうえで、整数環上の§E6.47 定理 4.1を適用したものである。閉曲面の分類は用いない。

主張 (2)を示す。主張 (2)の $z$ が基本類を表すことと、表示した類の基底性は§E21.33 補題 3.1と§E21.33 命題 3.2 (2)による。同命題の積の表を $[z]$ で評価すると、それぞれの値を得る。▨

4 代数的交点数

補題 4.1. 向き付き辺 $e$ を面に持つ二枚の二単体のうち、 $\epsilon_T[T:e]=1$ を満たすもの $T$ がただ一つ存在する。他方を $T'$ とすると、 $\epsilon_{T'}[T':e]=-1$ であり、 $d(e)=[b(e),b(T)]-[b(e),b(T')]$ である。

証明. 各係数は $1$ または $-1$ であり、基本サイクルの境界が零なので二係数の和は零である。したがって符号は互いに反対であり、正のものがただ一つある。双対鎖の定義に代入すると表示式を得る。▨

定義 4.2. $e=[a,b]$ 、 $a<b$ 、に対して、前の補題の正の三角形を $T=[v_0,v_1,v_2]$ 、 $v_0<v_1<v_2$ 、とする。 $T$ の平面の一次独立なベクトル $\alpha,\beta$ を枠 $(v_1-v_0,v_2-v_0)$ で表した係数行列の行列式の符号に $\epsilon_T$ を掛けた値を $\operatorname{or}_T(\alpha,\beta)$ と書く。

値 $\kappa_{b(e)}(e,D(e))=\operatorname{or}_T(b-a,b(T)-b(e)),\qquad \kappa_{b(e)}(D(e),e)=\operatorname{or}_T(b(T)-b(e),b-a)$ を局所交点符号 (local intersection sign) と呼ぶ。
単体的一サイクル $C=\sum_em_ee$ と双対一サイクル $D=\sum_en_ed(e)$ に対し、 $I_K(C,D)=\sum_em_en_e\kappa_{b(e)}(e,D(e))$ を代数的交点数 (algebraic intersection number) と定める。

命題 4.3. $u_C,u_D\in H^1(M;\Z)$ とする。 $\operatorname{PD}_M(u_C)$ を単体的一サイクル $C$ で表し、 $u_D$ の単体的コサイクル代表 $\widetilde u_D=\sum_en_ee^*$ に対して $D=\mathcal D_1\widetilde u_D$ と置く。このとき $Q_M(u_C,u_D)=I_K(C,D)$ であり、右辺は $C,D$ のホモロジー類だけで定まる。

証明. 順序付き三角形 $T=[v_0,v_1,v_2]$ の辺 $[v_0,v_1]$ 、 $[v_0,v_2]$ 、 $[v_1,v_2]$ について、辺の向きと内側へ向かうベクトル $b(T)-b(e)$ の行列式の符号は、それぞれ $1,-1,1$ である。これは接続係数 $[T:e]$ に等しい。正の三角形を選んでいるので、 $\kappa_{b(e)}(e,D(e))=\epsilon_T[T:e]=1$ である。

したがって

I_K(C,D)=\sum_em_en_e =\langle u_D,[C]\rangle =\langle u_D,\operatorname{PD}_M(u_C)\rangle =Q_M(u_C,u_D)

となる。 $C$ を境界だけ変えてもコサイクルの評価は変わらない。 $D$ を双対境界だけ変えることは、境界と余境界の補題により $\widetilde u_D$ をコバウンダリだけ変えることに対応し、サイクル上での評価を変えない。したがってホモロジー類だけで定まることも従う。▨

例 4.4. $T^2=\R^2/\Z^2$ に平面の標準の向きを入れる。 $p_{ij}$ を $(i/3,j/3)$ の像とし、添字は $3$ を法として読むものとする。頂点 $p_{ij}$ と三角形

L_{ij}=[p_{ij},p_{i+1,j},p_{i+1,j+1}],\qquad U_{ij}=[p_{ij},p_{i+1,j+1},p_{i,j+1}]

の頂点集合およびその面で、有限単体的複体を作る。表示では各小正方形の平面で正の向きに頂点を並べている。全頂点の順序は $p_{00}<p_{10}<p_{20}<p_{01}<\cdots<p_{22}$ とし、順序による向きとの差を $\epsilon_T$ に含める。

このとき、各三角形の頂点は異なり、水平辺・垂直辺・対角辺の端点の組は、それぞれ対応する格子の辺を一意に定める。二つの三角形が共有する頂点の組は、格子の共通の面に一致する。したがってこの族は有限単体的複体である。各平面三角形から商へのアフィン写像を貼り合わせると、複体の多面体から $T^2$ への連続全単射を得る。重なりは格子の辺と周期の同一視だけなので単射であり、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射として同相である。これが有限三角形分割 $K$ を与える。

高さ $1/3$ の水平な一周を右向きに進む一サイクルを $A$ とする。双対一サイクル $B$ は、三角形の重心を $L_{00},U_{00},L_{01},U_{01},L_{02},U_{02},L_{00}$ の順に、共通の辺の重心を通って結ぶものとする。 $A$ の辺で $B$ も横切るものは $e_0=[p_{01},p_{11}]$ だけである。そこで $A$ は右へ進み、 $B$ は下の $U_{00}$ から上の $L_{01}$ へ進むから、二ベクトルの行列式は正である。よって $I_K(A,B)=1$ である。二ベクトルの順序を逆にした局所交点符号は、行列式の列交換により $-1$ となる。
$u_A=\operatorname{PD}_{T^2}^{-1}[A]$ 、 $u_B=\operatorname{PD}_{T^2}^{-1}[B]$ とすると、前の命題により $Q(u_A,u_B)=1$ である。 $B$ の各双対辺の係数に対応する余鎖はコサイクルなので、この適用の条件も満たされる。 $H^1(T^2;\Z)$ は階数二の自由群であるから、§E6.47 補題 3.3により $u_A,u_B$ は基底である。この基底での交叉形式の行列は $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ となる。

例 4.5.

球面では $H_1(S^2;\Z)=0$ であり、一次の普遍係数同型から $H^1(S^2;\Z)=0$ である。交叉形式は階数零で、その行列は空行列 $J_0$ である。
$\Sigma_2$ では標準多角形の三角形分割 $K_{w_2}$ を取り、標準一次基底を $\alpha_1,\beta_1,\alpha_2,\beta_2$ とする。交叉形式は $J_2$ であり、異なる二つのハンドルに対応する基底元の交点数は零である。 $u=2\alpha_1$ 、 $v=\beta_1+\alpha_2$ 、 $w=\beta_2$ とすると、 $Q(u,v)=2Q(\alpha_1,\beta_1)=2$ 、 $Q(v,w)=Q(\alpha_2,\beta_2)=1$ となる。幾何学的交点数の命題により、対応する単体的一サイクルと双対一サイクルの交点数もこれらの整数である。 $u$ は非零の類を $2$ 倍したものなので、基底の一部にすることができない非原始な類である。

5 演習

問題 5.1.

頂点・辺・二単体の双対胞体を、最大の包含鎖に対応する重心細分の単体の合併で記述せよ。元の単体との次元の和が $2$ であることを説明し、辺の双対鎖を向きも含めて書け。
$L=\Z^2$ の基底 $e,f$ 上の交代形式 $Q(e,f)=2$ について、双対への写像の核と余核を求め、非退化であるがユニモジュラーでないことを示せ。 $Q(x,y)=1$ となる整数ベクトルが存在しない理由を述べ、曲面の自己積の証明で必要な二次コホモロジーの捩れの条件と区別せよ。
円環面の一次基底 $a,b$ が $Q(a,b)=1$ を満たすとする。 $a'=a+b$ 、 $b'=a+2b$ が基底であることを示し、この基底に関する行列と、曲面の向きを逆にした場合の行列を求めよ。

解答.

頂点 $v$ では、すべての旗 $v<e<T$ の小三角形 $[v,b(e),b(T)]$ を合わせる。辺 $e$ では、接する二枚の二単体 $T,T'$ に対する二本の線分 $[b(e),b(T)]$ 、 $[b(e),b(T')]$ を合わせる。二単体 $T$ では点 $b(T)$ だけである。短い包含鎖の単体は、これらの面として既に含まれている。したがって双対胞体の次元は順に $2,1,0$ であり、元の単体の次元との和は $2$ である。 $\epsilon_T[T:e]=1$ とすると、向き付き双対鎖は $d(e)=[b(e),b(T)]-[b(e),b(T')]$ であり、 $b(T')$ から $b(T)$ へ向かう。
形式の行列は $2J_1$ である。双対への写像は、係数の置き方に応じてこの行列または転置で表され、いずれも核は零、像は $2\Z^2$ 、余核は $(\Z/2\Z)^2$ である。したがって非退化だが全射ではなく、ユニモジュラーではない。 $x=re+sf$ 、 $y=te+uf$ に対して $Q(x,y)=2(ru-st)$ は偶数なので、値 $1$ は取らない。

これとは別に、曲面の自己積で $2(u\smile u)=0$ から $u\smile u=0$ を得るためには、二次コホモロジーで $2$ 倍写像が単射であることを用いる。向きづけられた連結閉曲面では、この群が $\Z$ に同型であるため条件が満たされる。形式のユニモジュラー性と、二次コホモロジーに二捩れがないことは、証明の異なる段で使われる。
列に新基底の係数を並べた行列は $\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$ であり、行列式が $1$ なので整数係数の逆行列を持つ。したがって $a',b'$ は基底である。双線形性と交代性により $Q(a',b')=Q(a+b,a+2b)=2-1=1$ であり、行列は $J_1$ である。向きを逆にすると基本類が $-[M]$ へ変わるので、同じコホモロジー基底に関する形式は全体が $-1$ 倍され、行列は $-J_1$ となる。

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§E21.34二次元の Poincaré 双対と交叉形式

1 双対胞体と向き

2 二次元の Poincaré 双対

3 交叉形式と標準形

4 代数的交点数

5 演習

参考文献

前提記事