§E21.9普遍被覆の存在

証明. 半局所単連結性による近傍を$W$とする。局所弧状連結性により、$x\in U\subseteq O\cap W$を満たす弧状連結な開集合$U$が存在する。$U$内のループは$W$内のループでもあるので、$X$内で零ホモトピックである。▨

証明.$U$内の$x$から$y$への二つの道$\eta,\eta'$について、$\eta*\bar\eta'$は$X$内で零ホモトピックである。道の逆元と結合律により$[\alpha*\eta]=[\alpha*\eta']$である。$U$の弧状連結性も用いると、$p|_B$は全単射になる。

$y\in U$への道$\eta$を$U$内に取る。$y$を基点とする$U$内のループを$\eta$と$\bar\eta$で挟むと、$x$を基点とする$U$内のループになる。基点変更は同型なので、$U$は$y$に対しても許容近傍である。さらに$[\gamma]=[\alpha*\eta]$ならば、道の連結と逆道の消去により$B([\gamma],U)=B([\alpha],U)$である。

各$[\alpha]$は定値道を用いて$B([\alpha],U)$に属する。$[\gamma]\in B([\alpha],U)\cap B([\beta],V)$に対して、補題 1.3により$p([\gamma])$の許容近傍$W\subseteq U\cap V$を取ると、$B([\gamma],W)$はこの交わりに含まれる。したがって開基の条件が成り立つ。

$O\subseteq X$が開で$p([\gamma])\in O$ならば、許容近傍$W\subseteq O$を取ることにより$B([\gamma],W)\subseteq p^{-1}(O)$を得る。ゆえに$p$は連続である。各基本開集合の像は$U$そのものなので、$p$は開写像でもある。全単射な制限$p|_B$は連続かつ開であり、同相である。▨

証明. 局所弧状連結な空間の弧状連結成分は開集合である。$X$は連結なので弧状連結であり、各点へ$x_0$から道が存在する。したがって$p$は全射である。

$x\in X$の許容近傍$U$を固定する。$[\gamma]\in p^{-1}(U)$とし、$\eta$を$x$から$p([\gamma])$への$U$内の道とする。$\alpha=\gamma*\bar\eta$と置くと$[\alpha]\in p^{-1}(x)$、$[\gamma]\in B([\alpha],U)$である。したがって$p^{-1}(U)$は$[\alpha]\in p^{-1}(x)$に対応する基本開集合で覆われる。

$[\alpha*\eta]=[\beta*\nu]$が二つのそのような基本開集合の交わりに属するとする。$\eta,\nu$はともに$x$から同じ点への$U$内の道であり、$\eta*\bar\nu$は$X$内で零ホモトピックである。よって$[\alpha]=[\beta]$である。各基本開集合上の$p$は命題 2.2により$U$への同相なので、$U$は均等被覆近傍である。▨

証明.$t_0\in[0,1]$と、$[\alpha_{t_0}]$の基本近傍$B([\alpha_{t_0}],U)$を取る。$t_0$を含む区間の相対開近傍$J$で$\alpha(J)\subseteq U$となるものを選ぶ。$t\in J$に対し、$t_0$から$t$へ向かう区間上の$\alpha$を$\eta_t$と書く。分割による道の分解と逆道の消去により$[\alpha_t]=[\alpha_{t_0}*\eta_t]$である。したがって$\widehat\alpha(J)\subseteq B([\alpha_{t_0}],U)$であり、開基の定義により連続性が従う。射影と端点の等式は定義による。▨

証明.補題 2.4により、各点$[\alpha]$を$\widetilde x_0$と結ぶ道が存在するので、$\widetilde X$は弧状連結である。

$\widetilde x_0$を基点とするループ$\lambda$を取り、$\omega=p\lambda$と置く。$\lambda$と$\widehat\omega$は始点が同じ$\omega$の持ち上げなので、§E21.5 定理 2.2 (1)により一致する。特に$[\omega]=\widehat\omega(1)=\lambda(1)=[e_{x_0}]$である。被覆が誘導する基本群の準同型は§E21.5 系 2.3により単射なので、$[\lambda]=1$である。命題 2.3と合わせて結論を得る。▨

証明. 普遍被覆$q:E\to X$と$x\in X$を取り、$x$の均等被覆近傍$U$とその上の一つのシート$V$を選ぶ。$x$を基点とする$U$内のループは、同相$(q|_V)^{-1}$によって$V$内のループへ移る。$E$は単連結なので、このループは$E$内で縮む。縮めるホモトピーに$q$を合成すると、元のループは$X$内で縮む。▨

証明.主張 (1)を示す。指数写像は§E21.5 命題 1.3 (1)により被覆写像であり、$\R$は凸なので単連結である。

主張 (2)を示す。円周は$\R$の連続像なので弧状連結であり、各点の任意の近傍に開区間と同相な短い開弧がある。開弧は単連結なので主張 (2)も成り立つ。

主張 (3)を示す。端点固定ホモトピーの持ち上げは端点を保つので、$\Phi$は道の代表元によらず定まる。$t\in\R$に対し$s\mapsto e^{2\pi ist}$の持ち上げの終点は$t$なので、$\Phi$は全射である。二つの道の持ち上げの終点が同じならば、その持ち上げと逆道の積は$\R$内のループである。$\R$の単連結性からこれを縮め、$q$で写すと元の二つの道は両端を固定してホモトピックになる。したがって$\Phi$は単射である。

$\alpha(1)$の許容近傍を均等被覆される短い開弧$U$の中に取る。$q^{-1}(U)$のうち$\Phi([\alpha])$を含むシートを$V$とすると、$B([\alpha],U)$上で$\Phi=(q|_V)^{-1}p$である。両辺は$U$への同相を介して一致するので、$\Phi$は各基本開集合からシートへの同相である。全単射な局所同相として$\Phi$は同相である。▨

証明.$y$の座標近傍$\varphi:W\to O\subseteq\R^n$と、任意の開近傍$N$を取る。$\varphi(W\cap N)$は$\varphi(y)$の開近傍なので、$\varphi(y)$を中心とする開球$B$を含む。$\varphi^{-1}(B)$は$N$に含まれる所要の開近傍である。開球は凸なので弧状連結かつ単連結である。局所弧状連結性と半局所単連結性が従い、最後は定理 3.1による。$n=0$では開球は一点であり、同じ議論が成り立つ。▨

証明. 各円周は$o$を含み弧状連結なので、その合併は弧状連結である。$o$以外の点の十分小さい近傍は一つの円周の開弧に含まれる。実際、原点から離れた近傍に達する円周は有限個であり、対象の点はほかの円周のいずれにも属さないので、その有限個も避けることができる。原点では$\mathbb H\cap B(o,\varepsilon)$が近傍基をなし、各$C_n$との交わりは原点を含む開弧または円周全体である。したがってこれらの近傍は弧状連結である。

固定した$n$に対し、$r_n:\mathbb H\to C_n$を$C_n$上の恒等写像、ほかの円周上では定値$o$とする。原点以外では局所的に一つの円周上に制限されるので連続である。原点では$\lVert r_n(z)\rVert\leq\lVert z\rVert$により連続である。よって$r_n$はレトラクションであり、$C_n$の一周のループは$\mathbb H$内で零ホモトピックではない。零ホモトピックであれば$r_n$を合成して円周の生成ループが縮むことになり、$\pi_1(C_n,o)\cong\Z$に反する。

原点の任意の開近傍は、十分大きい$n$について$C_n$全体を含む。その近傍には$\mathbb H$内で縮まないループが存在するので、半局所単連結ではない。命題 3.2により普遍被覆は存在しない。▨

証明. 証明は問題 6.2 (1)の演習とする。解答は解答にある。▨

証明. 証明は問題 6.3 (1)の演習とする。解答は解答にある。▨