§E21.46胞体近似定理

証明.$I^0$は一点からなる。§E21.22 命題 5.1を$I^i=I^{i-1}\times I$に帰納的に用いると、指定された積の胞体構造を得る。$\partial I^i$と$J^{i-1}$が部分複体であることは、同じ積の部分複体の記述から従う。▨

証明. 特性写像の境界の像は$Y^{d-1}$に含まれるので$W$に含まれる。表示された写像は連続な全単射である。左辺の閉集合は、$W$と$D^d$への逆像がともに閉であることによって判定される。$W$における閉集合の判定は§E21.22 補題 3.3 (1)により$W$の特性写像を使う判定と一致する。したがって左辺の閉集合の判定は、$Y$のすべての特性写像による閉集合の判定と一致する。$Y$の弱位相により逆写像も連続である。▨

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)、主張 (4)を示す。証明は演習とする（問題 6.1）。▨

証明.$k=0$では$v=u$とすればよい。$k>0$では$u$の一様連続性により、距離が$\sqrt{k}/N$以下の点での値の差が$\varepsilon$未満となるように$N$を取る。一つの単体に属する$x$は頂点の凸結合であり、各頂点と$x$との距離は$\sqrt{k}/N$以下である。$v(x)$はそれらの頂点での$u$の値の凸結合なので、三角不等式から所要の評価を得る。各単体の像の次元は$k$以下であり、$k<d$の場合の結論は補題 2.2 (4)による。▨

証明.$U=f^{-1}(e)$上で$u=\chi^{-1}\circ f$と置く。$\chi(\overline B_r)$は$r<1$のとき$Y$の閉集合である。実際、接着を定める$W\sqcup D^d$への逆像は$D^d$内の$\overline B_r$である。したがって$K=f^{-1}(\chi(\overline B_{3/4}))$は$U$に含まれるコンパクト集合である。距離関数を用いて、$f^{-1}(\chi(\overline B_{1/2}))$上で$1$、$K$の外で$0$となる連続関数$\psi:I^k\to[0,1]$を取る。同様に、$K$上で$1$、$f^{-1}(\chi(B_{7/8}))$の外で$0$となる関数$\widetilde\psi$を取る。空集合の場合には対応する関数を$0$としてよい。

$U$上の$\widetilde\psi u$を$U$の外で$0$として延長する。この写像は連続である。実際、$u$は有界であり、$\widetilde\psi$の台は$U$内のコンパクト集合に含まれる。前系を用いて、この延長を誤差$1/8$未満で近似する区分的アフィン写像$v$を取る。$U$上で$f_t(x)=\chi\bigl((1-t\psi(x))u(x)+t\psi(x)v(x)\bigr)$とし、$K$の外で$f_t=f$とする。$K$上では$|v-u|<1/8$、$|u|\leq3/4$なので、括弧内は$B_{7/8}$に属する。$U\setminus K$上では$\psi=0$なので二つの定義は一致する。開被覆$U\cup(I^k\setminus K)$による貼り合わせから連続性を得る。

主張 (1)と主張 (2)は構成から従う。

主張 (3)を示す。$\psi(x)<1$かつ$x\in K$ならば$|u(x)|>1/2$であり、$|(1-\psi)u+\psi v|>3/8$である。$x\in U\setminus K$ならば$f_1(x)=f(x)$で$|u(x)|>3/4$である。したがって$f_1(x)\in\chi(B_{1/4})$ならば$\psi(x)=1$であり、主張 (3)が従う。▨

証明. 区分的アフィン写像$v$の像は内点をもたないので、$y\in B_{1/4}\setminus v(I^k)$を取ることができる。前補題の第三項により$\chi(y)$は$f_1$の像に含まれない。ホモトピーの像についての条件は前補題の最初の二項による。▨

証明.補題 1.2により$Y=W\cup_\varphi D^d$と表すことができる。§E21.2 命題 4.3の径方向の変形を用いればよい。▨

証明. 立方体の商による球面の表示により、恒等写像は$\pi_n(S^n)$の元を定める。この元が零ならば、恒等写像は定値写像とホモトピックである。しかし§E21.19 命題 1.2により、それぞれの写像度は$1$と$0$であって等しくない。▨

証明.$f_{-1}=f$とする。$f_{k-1}$が$A$上で$f$と一致し、$j<k$で$f_{k-1}(X^j)\subseteq Y_j$を満たすと仮定する。$A$に含まれない各$k$胞体の特性写像$\chi_\alpha$に対し、$f_{k-1}\chi_\alpha$の境界の像は$Y_{k-1}$に含まれる。仮定のホモトピーと$X^{k-1}\cup A$上の定値ホモトピーを貼り合わせ、$(X^k\cup A)\times I$上のホモトピーを得る。その連続性は§E21.22 補題 3.3 (2)によって各胞体円柱で確かめることができる。§E21.22 定理 7.2により$X\times I$全体へ延長し、その終端を$f_k$とする。$X\setminus A$に$k$胞体がない場合には定値ホモトピーを取る。

$f_{k-1}$から$f_k$へのホモトピーを時間区間$[1-2^{-k},1-2^{-k-1}]$に置いて連結する。$m$次元の閉胞体上では、$k\geq m+1$に対するこのホモトピーは定値である。時刻$1$での値を各点で安定した値と定めると、各特性写像$\chi_\alpha$について$\chi_\alpha\times\id_I$の定義域上で連続なホモトピーを得る。§E21.22 補題 1.5 (1)により全体でも連続である。その終端が所要の$g$である。▨

証明. 前補題で$Y_k=Y^k$と置く。胞体ごとの条件を確かめるため、$\phi:D^n\to Y$、$\phi(S^{n-1})\subseteq Y^{n-1}$とする。像はコンパクトなので、§E21.22 定理 2.4により有限部分複体$L$に含まれる。

$L$が$n$より高い次元の胞体をもつ間、そのうち最高次元のもの$e^m$を一つ取る。$L'=L\setminus e^m$は部分複体であり、補題 1.2により$L=L'\cup D^m$と表すことができる。$D^n\cong I^n$を介して系 2.5を用い、像が$e^m$の一点を避けるように変形する。次に補題 2.6で$L'$へ変形する。境界の像は$Y^{n-1}\cap L$に含まれているので、どちらの変形でも境界は固定される。有限回の操作で像は$Y^n$に含まれる。$n=0$でも一点からの写像に同じ議論を適用することができる。以上より、補題 3.1の仮定が$Y_k=Y^k$に対して満たされるので、$f$は$A$を固定して胞体写像へ変形することができる。▨

証明. まず$f|_A:A\to B$に胞体近似定理を適用する。そのホモトピーを$(X,A)$のホモトピー拡張性質で$X$へ延長する。得られた終端に対し、今度は$A$を固定して胞体近似定理を適用する。▨

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)を示す。証明は演習とする（問題 6.1）。▨

証明.主張 (1)を示す。$N_v$は有限個のコンパクト集合の和であり、各集合は真のアフィン部分空間に含まれるので内点をもたない。$y\notin N_v$とし、$v^{-1}(y)$と交わる$k$単体上では$v$の像の次元が$d$である。補題 4.1 (2)により逆像は次元$k-d$以下の凸多面体であり、それらの有限和が$v^{-1}(y)$である。$f_1$の逆像がこれに含まれることは補題 2.4 (3)による。

主張 (2)を示す。$f_1(x)\in\chi(B_{1/4})$ならば$\chi^{-1}f_1(x)=v(x)$である。$P$を構成する各凸多面体と各単体との交わりは凸多面体であり、次元は$d-1$以下である。そのアフィン像$v(P\cap\Delta)$をすべて集めれば、所要の包含と次元評価を得る。▨

証明.$n=0$では、両条件とも$X$のすべての弧状連結成分が$A$と交わることを述べている。以下では$n\geq1$とする。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。成分の写像は定義から全射である。$a_0,a_1\in A$を$X$内の道で結ぶことができるならば、$a_1$から$a_0$への道を$\pi_1(X,A,a_0)$の元とみることができる。この元は零なので、§E21.45 補題 4.3 (1)と§E21.45 補題 4.3 (3)により、端点を固定して$A$内の道へ変形することができる。したがって成分の写像は単射でもある。各$a\in A$に対して§E21.45 定理 5.2 (1)を適用すると、$\pi_k(X,A,a)=0$から$i_*$の全射性が、さらに$k<n$では$\pi_{k+1}(X,A,a)=0$から単射性が従う。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。成分の全射性により、$X$のすべての弧状連結成分は$A$と交わる。$a\in A$を取る。$2\leq k\leq n$では、対の長完全列における$\pi_k(A,a)\to\pi_k(X,a)$の全射性と$\pi_{k-1}(A,a)\to\pi_{k-1}(X,a)$の単射性により、$\pi_k(X,A,a)=0$である。$k=1$では、成分の写像の単射性と完全性から、境界写像$\pi_1(X,A,a)\to\pi_0(A,a)$の像は基点だけである。したがって$\pi_1(X,a)\to\pi_1(X,A,a)$は全射である。$\pi_1(A,a)\to\pi_1(X,a)$も全射なので、この写像の像は基点だけであり、$\pi_1(X,A,a)$は一点からなる。▨

証明.$x\in X$とする。一点から$X$への値$x$の写像を胞体写像へ変形すると、そのホモトピーは$x$から$X^0\subseteq A$の点への道である。したがってすべての弧状連結成分が$A$と交わる。

$1\leq i\leq n$とし、相対群の代表$f:(I^i,\partial I^i,J^{i-1})\to(X,A,x_0)$を取る。系 1.1と系 3.3により、対の写像として$f$を胞体写像へ変形することができる。その像は$X^i\subseteq A$に含まれる。ここでは$J^{i-1}$の像を固定していないが、§E21.45 補題 4.3 (2)と§E21.45 補題 4.3 (3)の零の判定により$[f]=0$である。▨

証明.$(X,X^n)$は定理 5.3により$n$連結である。したがって命題 5.2により、包含が誘導する写像は指定された範囲で全単射または全射である。零胞体が一つだけで、次元$1,\ldots,n$の胞体がなければ、$X^n$は一点である。このとき、同じ結論から$X$は弧状連結であり、$1\leq k\leq n$で$\pi_k(X)=0$となる。▨

証明.$S^n$は零胞体一つと$n$胞体一つからなる CW 構造をもつので、系 5.4により$(n-1)$連結である。したがって$1\leq k<n$では、任意の基点について$\pi_k(S^n)=0$である。基点を指定しない$S^k$からの写像には、空の部分複体を固定する胞体近似を適用すると、その像は零胞体に含まれる。$k=0$の両結論は球面の弧状連結性による。▨

証明.主張 (1)を示す。各有限段$S^m$には§E21.22 系 3.2によって指定された有限 CW 構造が入り、$S^m$は$S^{m+1}$の$m$骨格である。§E21.22 補題 6.1により主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。$x_0\in S^m$とし、$r=\max\{m,k+1\}$と取ると、前系により$\pi_k(S^\infty,x_0)\cong\pi_k(S^r,x_0)$である。右辺は系 5.5により一点からなる。▨

証明.§E21.22 命題 4.2 (3)の胞体構造は一つの零胞体をもち、一胞体をもたず、$3$骨格が$\mathbb{CP}^1$である。したがって系 5.4を適用することができる。$\mathbb{CP}^1$と$S^2$はともに一点へ二胞体一つを接着した空間なので、補題 1.2から基点を保つ同相を得る。▨