§E21.33単体的カップ積とコホモロジー環の計算

証明. 各単体をその特性写像へ送る標準鎖写像を$\iota_R:C_*^\Delta(K;R)\to C_*(|K|;R)$とする。異なる単体の開内部は交わらないので、同じ次数の特性写像は異なる特異単体である。したがって$\iota_R$は自由加群の基底の部分集合への包含であり、前合成$\iota_R^\#$は各次数で全射である。具体的には、単体的余鎖の値を特性写像上に置き、それ以外の特異単体では零とすれば延長を得る。

特性写像の前面・後面は対応する面の特性写像であるから、単体上の公式から

が余鎖の水準で成り立つ。また、$\iota_R$が鎖写像なので、前合成は余境界と可換である。任意の単体的余鎖を特異余鎖へ延長し、特異余鎖の Leibniz 則、双線形性、結合律に$\iota_R^\#$を施せば、それぞれの恒等式を得る。特異零余鎖$1_{|K|}$の制限はすべての頂点で値$1$を取るので、零コサイクルで両側単位元である。Leibniz 則によりコサイクルの積はコサイクルとなり、コバウンダリによる代表の変更は積をコバウンダリだけ変える。したがって積と結合律・単位則が類へ降りる。▨

証明.§E21.24 定理 3.2により、整数係数の鎖写像$\iota_{\Z}$は非負次数の自由複体の擬同型である。§E6.35 補題 3.1 (2)を係数加群$R$の Hom に適用すると、$\iota_{\Z}^\#$は余鎖ホモトピー同値である。Hom–tensor 対応とその自然性により、その Hom 余鎖を係数$R$の余鎖へ同一視すれば、$\iota_R^\#$はコホモロジーの同型を誘導する。前命題の証明で示した余鎖上の積との両立と、$\iota_R^\#1_{|K|}=1$により、同型とその逆は単位元を保つ環準同型である。

胞体比較との一致を確かめる。§E21.22 補題 6.3 (2)により、単体は$|K|$の胞体であり、§E21.24 補題 3.1 (2)により特性写像の相対類は、その単体から向きを入れた胞体基底である。特異コホモロジー類$y$を$\varphi$で表し、$n$骨格上で$j_nx=\rho_ny$となる相対類$x=[\chi]$を取る。ある$(n-1)$余鎖$t$が存在して、$\chi-\varphi|_{|K|^n}=\delta t$と書くことができる。各$n$単体で評価すると、$\Theta_nx$と$\iota_R^\#\varphi$の差は$\delta(\iota_R^\#t)$である。したがって両者は同じ単体的コホモロジー類を表す。これは§E21.30 定理 4.2 (1)の特徴づけそのものなので、二つの比較同型は一致する。▨

証明.主張 (1)を示す。各文字の符号の和が零なので、境界を一周した値の変化は零である。したがって始点と終点の値が一致し、$f_\lambda$は円板の全頂点上で定まる。$P_s,Q_s$は文字ごとに異なる二頂点であり、どの元の頂点とも異なるので、条件$P_s<Q_s$は全順序へ延ばすことができる。円板の頂点にはこの順序を引き戻し、同一視される頂点のコピーだけを任意に並べる。三角形の中に同一視される頂点はないため、各三角形と辺の順序は商の順序に一致する。

境界の最初と最後の小辺で$\delta f_\lambda$は零であり、中央の小辺だけが値を持つ。正向きに読んだその値は$\lambda_s$である。負向きの出現では円板を巡る向きが逆になるので、同じ正向きの値はやはり$\lambda_s$である。よって対になる境界小辺で値は一致し、一次余鎖$\eta_\lambda$が商に定まる。各三角形では頂点の値の差であるから余境界は零であり、主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。円板内部の辺は相殺し、商の各境界小辺の係数は、その文字の二つの符号の和である。この和は$R$で零なので、$z_w$はサイクルである。

円板の基本二鎖を$c$とする。その上へ戻した$\eta_\lambda\smile\eta_\nu$は$\delta f_\lambda\smile\delta f_\nu$である。Leibniz 則により$\delta(f_\lambda\smile\delta f_\nu)=\delta f_\lambda\smile\delta f_\nu$なので、

境界の中央以外の小辺では$\delta f_\nu=0$である。第$l$辺の中央小辺の寄与を求める。$\epsilon_l=1$ならば全順序は円板を巡る向きと一致し、前端点の値は$F_l$、後ろの因子の値は$\nu_{s_l}$である。$\epsilon_l=-1$ならば順序は円板を巡る向きと逆で、低い頂点の値は$F_l-\lambda_{s_l}$、順序に沿う後ろの因子の値は$\nu_{s_l}$、境界鎖の符号は$-1$である。これらを加えると表示式を得る。▨

証明.$w_g=a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}$とし、前の補題を$R=\Z$で適用する。$\lambda_s=\delta_{s,a_i}$に対応する余鎖を$u_i$、$\lambda_s=\delta_{s,b_i}$に対応する余鎖を$v_i$とする。$K=K_{w_g}$を用いる。

まず、これらの余鎖を曲線の通過数として実現する。円板上で対応する頂点の値は零または一である。三角形ごとにアフィンに延ばし、$a_i$に対応する関数の値$1/3$の曲線と、$b_i$に対応する関数の値$2/3$の曲線を取る。いずれも頂点を通らず、各三角形との交わりは空か一本の線分である。境界では対応する文字の二本の中央小辺だけと交わり、貼り合わせられる二点の辺の媒介変数は一致する。したがって商では閉曲線となる。

各関数が一となる境界頂点は、対応する正の辺の中央から負の辺の中央まで連続して並び、内側の頂点はすべて零である。このため等位線は、その境界区間に沿う帯の内側の一本の弧である。異なる交換子の区間は交わらない。同じ交換子について、二つの関数の値を組で書く。二つの値が同時に変化しうる三角形のうち、$b_i$の中央小辺に接する三角形の頂点値は$(1,0),(1,1),(0,0)$である。この三角形では第二成分が第一成分以下なので、値$(1/3,2/3)$を取らない。$a_i^{-1}$の中央小辺に接する三角形の頂点値は$(1,1),(0,1),(0,0)$であり、値$(1/3,2/3)$は三つの重心座標がすべて$1/3$の一点で取られる。ほかの三角形では一方が零か、両成分が等しい。したがって二つの等位線は、この一枚の三角形の内部で横断的に一度だけ交わる。線分が分割辺の上で接続する点では、辺の内部の小円板で角を丸めても、辺との交点は変わらない。

余鎖の値は、辺の始点から終点へ進む際の関数値の変化である。零から一へ進む辺は等位線を正に一度横切り、一から零へ進む辺は負に一度横切り、両端の値が等しい辺は横切らない。したがって$u_i,v_i$は、これらの曲線の共向きに関する符号付き通過数である。

積の値は前の補題の有限和で求める。一つの交換子の四辺で、始点の値と符号は次のとおりである。

$u_i\smile v_i$では第二・第四の辺だけが寄与し、それぞれ$1,0$となる。$v_i\smile u_i$では第一・第三の辺だけが寄与し、それぞれ$0,-1$となる。自己積では、正の辺の始点値も負の辺の終点値も零なので、寄与は零である。異なる交換子では、一方の関数は他方の四辺で零であり、すべての混合積が零となる。

円板の向きが与える二サイクルを$z_0$とする。閉曲面の整合する三角形の和に関する§E21.28 定理 3.1により、$z_0$はその向きの基本類である。指定された向きがこの向きの$\epsilon\in\{1,-1\}$倍ならば、$z=\epsilon z_0$、$\varphi_i=\epsilon u_i$、$\psi_i=v_i$と置く。上の四つの評価式は表示した値となる。曲線の共向きを必要に応じて逆にすれば、通過数の記述も保たれる。▨

証明.主張 (1)と主張 (3)を示す。§E21.30 命題 5.4 (1)により$H^2(\Sigma_g;\Z)\cong\Z$である。前の補題は、評価$x\mapsto\langle x,z\rangle$が$\alpha_1\smile\beta_1$を$1$へ送ることを示す。よってこれは$\Z$から$\Z$への全射であり、同型である。主張 (1)と積の表示式を得る。

主張 (2)を示す。一次独立性のため、$\sum_i(r_i\alpha_i+s_i\beta_i)=0$とする。右から$\beta_j$を掛けて評価すると$r_j=0$、右から$\alpha_j$を掛けて評価すると$s_j=0$を得る。

胞体コホモロジーの計算により、$H^1(\Sigma_g;\Z)$は階数$2g$の自由アーベル群である。任意の$y$を上の$2g$個の一次独立な元に加えると、整数係数の一次従属関係があり、$y$の係数は零ではない。したがって、ある非零整数$m$が存在して、$my=\sum_i(r_i\alpha_i+s_i\beta_i)$と書くことができる。$y\smile\beta_j=A_j\omega$、$y\smile\alpha_j=-B_j\omega$と書いて積を取ると、$r_j=mA_j$、$s_j=mB_j$となる。ゆえに$m(y-\sum_i(A_i\alpha_i+B_i\beta_i))=0$である。この群には捩れがないので括弧内は零であり、生成性を得る。最後に、三次以上のコホモロジーは零なので、表示した一次類どうしの積以外に正次数の非零積はない。▨

証明.§E21.7 命題 4.4 (1)の同相$T^2\cong\Sigma_1$によって、前の命題の$g=1$の類と積を移す。円環面は弧状連結なので、零次コホモロジーは定数の値による$\Z$であり、その生成元は単位元である。したがって表示した四つの類が全次数の基底であり、その積は外積代数の定義する積に一致する。▨

証明. 頂点$1$を含む五枚の三角形は、境界の頂点が$2,3,5,6,4$の順に並ぶ五角形を$1$から扇状に分けた円板である。この五本の境界辺に、残りの三角形をそれぞれ一枚ずつ付ける。すなわち辺$23,35,56,64,42$に、それぞれ$236,345,256,346,245$を付ける。この段階では新しい外側頂点を別々のコピーとして扱う。得られる円板の境界の頂点の表示は

となる。

各三角形を同じ頂点表示の単体へアフィンに写すと、この円板から$|K_6|$への連続全射を得る。異なる三角形の内部は異なる開単体へ写り、内側の共通辺の貼り合わせは既に円板の中で行われている。残る同一視は、外側の五本の小辺$26,63,34,45,52$の二度の出現を同じ向きに合わせる同一視だけである。これは語$aa$の二辺をそれぞれ五つに分けた多角形表示である。したがってファイバーはその多角形表示の同値類に一致する。誘導される$N_1\to|K_6|$はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射なので同相であり、§E21.7 命題 4.4 (3)により$|K_6|\cong\mathbb{RP}^2$を得る。

各辺は二つの二単体に含まれるので、二元体係数では全三角形の和$z$の境界が零となる。$u$がコサイクルであることの有限検算は問題 6.1 (2)の演習とする。解答は解答 (2)にある。

順序付き三角形$ijk$上で、積の値は$u[ij]u[jk]$である。最初の辺と次の辺がともに指定された六辺に属する三角形は、一覧の中では$156$だけである。したがって評価は$1$である。コバウンダリのサイクル上での評価は零なので、$[u]^2\neq0$であり、$[u]\neq0$でもある。

$N_1$の標準胞体分解は各次数$0,1,2$に一つの胞体を持ち、二元体係数の境界と余境界はすべて零である。胞体コホモロジーの比較により、三つの次数の群はそれぞれ一次元であり、ほかは零である。よって$1,[u],[u]^2$が各次数の基底をなし、$[u]^3=0$である。したがって表示した環の同型を得る。▨

証明. 標準語$w'_h=a_1a_1\cdots a_ha_h$に対し、補題 2.1を$R=\mathbb F_2$で適用する。各文字の二つの符号の和は$2=0$なので、その仮定が満たされる。$\lambda_s=\delta_{s,a_i}$の余鎖を$\xi_i$とし、$x_i=[\xi_i]$と置く。

円板上の頂点の値を実数の零または一としてアフィンに延ばし、値$1/2$の曲線を取る。これは二つの辺$a_i$の中央小辺の中点を結ぶ一本の弧である。二つの中央小辺の同一視は同じ媒介変数を保ち、両端の値は相補的なので、中点どうしが一致する。したがって商では閉曲線となる。辺がこの曲線を横切ることは、両端の零・一の値が異なるための必要十分条件であり、$\xi_i$はその通過数を二元体で読んだ余鎖である。各三角形では値の差の和が零なので、値$1$の辺は零本または二本である。これにより余輪体性も直接確認することができる。異なる$i$の境界区間は交わらず、内側の頂点は零なので、これらの曲線は互いに交わらない。

前の補題の境界和で積を計算する。$a_i$の二度の出現の始点値は$0,1$であり、符号はともに$+1$である。したがって

$i\neq j$ならば、$a_j$の二辺で$a_i$に対応する関数値はともに零であり、$\langle\xi_i\smile\xi_j,z_{w'_h}\rangle=0$となる。ここでは、商の頂点順序が$P_{a_i}<Q_{a_i}$であるため、二度の出現のいずれでも始点値を使う点が重要である。

§E21.23 命題 4.2の$d_2(1)=2(e_1+\cdots+e_h)$を二元体へ移すと、標準胞体の境界も余境界も零である。したがって各次数$0,1,2$のコホモロジーの次元は$1,h,1$である。評価が$1$となる上の平方は二次の生成元であり、評価は二次コホモロジーと$\mathbb F_2$の同型である。この生成元を$\omega$とすれば、表示した積の等式を得る。

標準一胞体$a_j$の三つの小辺を正向きにたどる一サイクルへの$\xi_i$の評価は$\delta_{ij}$である。標準胞体の一サイクルは二元体係数の一次ホモロジーの基底なので、評価の自然性と比較同型により、$x_i$は胞体余鎖の基底$a_i^*$に対応する。特に$x_1,\ldots,x_h$は基底である。三次以上には胞体がないため、残りの積は零である。▨

証明.§E21.27 系 5.3の$K\cong N_2$と前命題により、二元体係数の積を得る。整数係数の加法群は§E21.30 命題 5.4 (3)による。

§E21.2 定義 5.3 (2)の正方形の商表示で、$p([s,t])=e^{2\pi it}$と置く。上下辺の同一視では$t=0,1$の値が一致し、左右の対応でも同じ円周上の値となるので、商位相の普遍性によって連続写像が定まる。$\gamma(t)=[0,t]$は閉曲線であり、$p\gamma$は円周の正向きの一周である。

円周の基本群と一次 Hurewicz 同型により、この一周は$H_1(S^1;\Z)$の生成元である。§E21.31 系 2.4により、これに$1$と評価する$g\in H^1(S^1;\Z)$を取ることができる。評価の自然性から$\langle p^*g,[\gamma]\rangle=1$である。$H^1(K;\Z)\cong\Z$なので、この類は一次生成元である。円周の二次コホモロジーは零であるから、自然性により$(p^*g)^2=p^*(g^2)=0$となる。三次以上の群も零なので、正次数の積はすべて零である。▨

証明.主張 (1)を示す。$T^2\cong\Sigma_1$、$K\cong N_2$の標準胞体分解は、ともに零胞体一つ、一胞体二つ、二胞体一つを持つ。§E21.23 命題 4.2により、二元体係数の境界はともに零である。係数付きの胞体比較を適用すると主張 (1)を得る。主張 (2)の証明は問題 6.1 (3)の演習とする。解答は解答 (3)にある。▨