§E21.31普遍係数定理

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係数付きのホモロジーとコホモロジーは、実射影空間のように胞体の少ない空間であれば、係数ごとに胞体鎖複体や胞体余鎖複体を作り直して直接求めることができる。しかし、こうした個別の計算からは、値が係数とどのように関係するかは明らかにならない。たとえば整数係数のコホモロジー群は、同じ次数の整数係数のホモロジー群からZ\Zへの準同型の群に一致するとは限らない。実際、H2(RP2)=0H_2(\mathbb{RP}^2)=0であるがH2(RP2;Z)≅Z/2ZH^2(\mathbb{RP}^2;\Z)\cong\Z/2\Zであり、H1(RP2)≅Z/2ZH_1(\mathbb{RP}^2)\cong\Z/2\Zの捩れが次数を一つ上げて現れる。特異鎖複体の各項が自由アーベル群であることから、任意のアーベル群MMを係数とするホモロジーとコホモロジーは、整数係数のホモロジーとMMのテンソル積と Tor、Hom と Ext による短完全列で表される。この主張を普遍係数定理という。この列は分裂するので、係数付きのホモロジーとコホモロジーは整数係数のホモロジーとMMから同型を除いて定まる。普遍係数定理は、係数を変えた計算を整数係数のホモロジーの計算に帰着させるための基本的な道具である。ただし、分裂を対について自然に選ぶことは一般にはできない。本記事では、二つの普遍係数定理を証明し、その系と実射影空間の係数ごとの計算を解説する。

1 係数と評価写像

対(X,A)(X,A)とアーベル群MMに対し、§E21.15 定義 2.3と§E21.29 定義 2.1の記号

Cn(X,A;M)=Cn(X,A)⊗ZM,Cn(X,A;M)=Hom⁡Z(Cn(X,A),M)C_n(X,A;M)=C_n(X,A)\otimes_{\Z}M,\qquad C^n(X,A;M)=\Hom_{\Z}(C_n(X,A),M)

を用いる。対の写像による誘導と係数の変更は、前者ではテンソル積の写像、後者では前合成と後合成で与えられる。とくに、f:(X,A)→(Y,B)f:(X,A)\to(Y,B)とu:M→Nu:M\to Nの余鎖への作用はφ↦u∘φ∘f#\varphi\mapsto u\circ\varphi\circ f_\#である。

RRが単位元を持つ可換環でMMがRR加群ならば、§E6.12 定理 15.1と一元基底での評価により、Hom⁡R(Cn(X,A)⊗R,M)\Hom_R(C_n(X,A)\otimes R,M)を上のHom⁡Z(Cn(X,A),M)\Hom_{\Z}(C_n(X,A),M)に同一視する。この対応はφ\varphiをc↦φ(c⊗1)c\mapsto\varphi(c\otimes1)へ送り、逆写像はψ\psiをc⊗r↦rψ(c)c\otimes r\mapsto r\psi(c)へ送る。Hom–tensor 対応の自然性により、余境界と対の写像にも両立する。

補題 1.1.RRを単位元を持つ可換環、MMをRR加群とする。このとき、相対コサイクルφ∈Ck(X,A;M)\varphi\in C^k(X,A;M)と相対サイクルc∈Ck(X,A;R)c\in C_k(X,A;R)の値φ(c)\varphi(c)は、それぞれのコホモロジー類とホモロジー類だけで定まる。類の組への対応はRR双線形である。

証明.φ\varphiをφ+δψ\varphi+\delta\psiに替えると、値の差は(δψ)(c)=ψ(∂c)=0(\delta\psi)(c)=\psi(\partial c)=0である。ccをc+∂bc+\partial bに替えると、値の差はφ(∂b)=(δφ)(b)=0\varphi(\partial b)=(\delta\varphi)(b)=0である。したがって両方の代表の変更に依存しない。余鎖の加法とRR線形性により、各変数について線形である。▨

定義 1.2. 余鎖φ∈Ck(X,A;M)\varphi\in C^k(X,A;M)と鎖c∈Ck(X,A;R)c\in C_k(X,A;R)に対して⟨φ,c⟩=φ(c)\langle\varphi,c\rangle=\varphi(c)と書く。前の補題による双線形写像

⟨−,−⟩:Hk(X,A;M)×Hk(X,A;R)⟶M\langle-,-\rangle:H^k(X,A;M)\times H_k(X,A;R)\longrightarrow M

を 評価写像 (Kronecker pairing) という。R=ZR=\Zの場合には、整数係数のホモロジーとアーベル群係数のコホモロジーを対にする。M=RM=Rの場合には、両方の係数がRRである。

補題 1.3. 対の連続写像f:(X,A)→(Y,B)f:(X,A)\to(Y,B)と、x∈Hk(Y,B;M)x\in H^k(Y,B;M)、y∈Hk(X,A;R)y\in H_k(X,A;R)に対して、⟨f∗x,y⟩=⟨x,f∗y⟩\langle f^*x,y\rangle=\langle x,f_*y\rangleが成り立つ。

証明.x=[φ]x=[\varphi]、y=[c]y=[c]と表す。§E21.29 命題 2.3 (1)により、f∗φ=φ∘f#f^*\varphi=\varphi\circ f_\#である。したがって⟨f∗φ,c⟩=φ(f#c)=⟨φ,f#c⟩\langle f^*\varphi,c\rangle=\varphi(f_\#c)=\langle\varphi,f_\#c\rangleであり、類を取ればよい。▨

2 普遍係数定理

定理 2.1 (ホモロジーの普遍係数定理). 任意の対(X,A)(X,A)、アーベル群MM、整数nnに対して、対の写像と係数の準同型について自然な短完全列

0⟶Hn(X,A)⊗ZM→αHn(X,A;M)⟶Tor⁡1Z(Hn−1(X,A),M)⟶00\longrightarrow H_n(X,A)\otimes_{\Z}M \xrightarrow{\alpha}H_n(X,A;M) \longrightarrow\operatorname{Tor}_1^{\Z}(H_{n-1}(X,A),M) \longrightarrow0

がある。ここでα([z]⊗m)=[z⊗m]\alpha([z]\otimes m)=[z\otimes m]である。この列は分裂するが、分裂を対(X,A)(X,A)について自然に選ぶことは一般にはできない。

証明.§E21.15 補題 1.3 (1)により、整数係数の相対特異鎖複体C=C∙(X,A)C=C_\bullet(X,A)は項別自由である。MMを次数零だけに置いた複体M[0]M[0]とCCに、§E6.51 定理 3.1を適用する。テンソル積の微分は∂⊗1M\partial\otimes1_Mであり、Hj(M[0])H_j(M[0])はj=0j=0以外で零である。したがって、定理の左の直和にはHn(C)⊗MH_n(C)\otimes M、右の直和にはTor⁡1Z(Hn−1(C),M)\operatorname{Tor}_1^{\Z}(H_{n-1}(C),M)だけが残る。左の写像の式はテンソル積の Künneth 定理の式そのものである。

分裂には、任意の係数加群を許す§E6.51 命題 4.1を用いる。対の写像はCCの鎖写像を、係数の準同型は次数零の複体の鎖写像を与えるので、列の自然性もテンソル積の Künneth 定理の自然性から従う。分裂の自然な選択が存在しないことは、後の命題 3.2 (2)で空間の写像を用いて示す。▨

定理 2.2 (コホモロジーの普遍係数定理). 任意の対(X,A)(X,A)、アーベル群MM、整数nnに対して、対の写像と係数の準同型について自然な短完全列

0⟶Ext⁡Z1(Hn−1(X,A),M)⟶Hn(X,A;M)→ρHom⁡Z(Hn(X,A),M)⟶00\longrightarrow\operatorname{Ext}^1_{\Z}(H_{n-1}(X,A),M) \longrightarrow H^n(X,A;M) \xrightarrow{\rho}\Hom_{\Z}(H_n(X,A),M) \longrightarrow0

がある。右の写像はρ(x)(z)=⟨x,z⟩\rho(x)(z)=\langle x,z\rangleである。この列は分裂するが、分裂を対(X,A)(X,A)について自然に選ぶことは一般にはできない。

証明. 項別自由な複体C∙(X,A)C_\bullet(X,A)に、§E6.52 系 3.1をR=ZR=\Z、係数加群MMとして適用する。そこでの余境界はφ↦φ∂\varphi\mapsto\varphi\partialであり、相対特異余鎖の規約に一致する。右の写像はコサイクルをサイクルへ制限する写像なので、評価写像の随伴ρ\rhoである。短完全性、分裂、自然性は Hom 複体の普遍係数定理から従う。空間の写像についても自然な分裂を選ぶことができない点は、命題 3.2 (1)で示す。▨

系 2.3.RRを単項イデアル整域とする。このとき、任意の対(X,A)(X,A)と整数nnに対して、RR加群の自然な短完全列

0⟶Ext⁡R1(Hn−1(X,A;R),R)⟶Hn(X,A;R)→ρHom⁡R(Hn(X,A;R),R)⟶00\longrightarrow\operatorname{Ext}^1_R(H_{n-1}(X,A;R),R) \longrightarrow H^n(X,A;R) \xrightarrow{\rho}\Hom_R(H_n(X,A;R),R) \longrightarrow0

があり、分裂する。とくに、体FFを係数とすると、評価は自然な同型Hn(X,A;F)≅Hom⁡F(Hn(X,A;F),F)H^n(X,A;F)\cong\Hom_F(H_n(X,A;F),F)を与える。

証明. 相対特異鎖の整数基底をσ\sigmaとすると、§E6.12 定理 10.1によりσ⊗1\sigma\otimes1がCn(X,A;R)C_n(X,A;R)のRR基底である。したがってこの項別自由なRR複体に、§E6.52 系 3.1を係数加群RRとして適用することができる。得られる Hom 余鎖複体は係数RRの相対特異余鎖複体なので、表示した列を得る。体上の加群は自由であり、したがって射影的である。§E6.36 命題 1.5により左項が零となり、体についての結論が従う。▨

系 2.4. 任意の空間XXとアーベル群MMに対し、評価は自然な同型

H1(X;M)≅Hom⁡Z(H1(X),M)H^1(X;M)\cong\Hom_{\Z}(H_1(X),M)

を与える。XXが弧状連結でx0∈Xx_0\in Xならば、さらにH1(X;M)≅Hom⁡(π1(X,x0),M)H^1(X;M)\cong\Hom(\pi_1(X,x_0),M)が基点を保つ写像について自然に成り立つ。

証明.§E21.13 命題 2.2によりH0(X)H_0(X)は弧状連結成分を基底とする自由アーベル群である。したがってExt⁡Z1(H0(X),M)=0\operatorname{Ext}^1_{\Z}(H_0(X),M)=0であり、普遍係数列のn=1n=1の場合から第一の同型を得る。

弧状連結の場合には、§E21.26 定理 2.2により自然な同型π1(X,x0)ab≅H1(X)\pi_1(X,x_0)_{\mathrm{ab}}\cong H_1(X)を得る。§E7.22 定理 1.3により、アーベル群MMへの準同型は可換化を一意に経由する。この対応を第一の同型と合成すれば、第二の同型と自然性を得る。▨

系 2.5.Hn(X,A)H_n(X,A)とHn−1(X,A)H_{n-1}(X,A)が有限生成であるとし、Hi(X,A)≅Zbi⊕TiH_i(X,A)\cong\Z^{b_i}\oplus T_i、i=n−1,ni=n-1,n、と書く。ここでTiT_iは捩れ部分である。この仮定は、XXが有限 CW 複体でAAが部分複体の場合に満たされる。

  1. Hn(X,A;Z)≅Zbn⊕Tn−1H^n(X,A;\Z)\cong\Z^{b_n}\oplus T_{n-1}である。評価ρ\rhoは全射であり、その核はHn(X,A;Z)H^n(X,A;\Z)の捩れ部分に等しい。
  2. dim⁡QHn(X,A;Q)=dim⁡QHn(X,A;Q)=bn\dim_{\Q}H^n(X,A;\Q)=\dim_{\Q}H_n(X,A;\Q)=b_nである。
  3. 素数ppに対し、TiT_iの素数冪位数の巡回直和分解に現れるpp冪位数の因子の個数をti,pt_{i,p}とする。このときdim⁡FpHn(X,A;Fp)=dim⁡FpHn(X,A;Fp)=bn+tn,p+tn−1,p\dim_{\mathbb F_p}H^n(X,A;\mathbb F_p)=\dim_{\mathbb F_p}H_n(X,A;\mathbb F_p)=b_n+t_{n,p}+t_{n-1,p}である。

証明. 有限生成アーベル群の構造定理を用いる。Hom と Ext は第一変数について反変な加法的関手であり、Tor は共変な加法的関手である。有限直和の包含ιs\iota_sと射影πs\pi_sの関係πsιt=0\pi_s\iota_t=0（s≠ts\neq t）、πsιs=1\pi_s\iota_s=1、∑sιsπs=1\sum_s\iota_s\pi_s=1に関手を適用すると、対応する直和の同型を得る。Ext の加法性には§E6.36 定理 1.4、Tor の加法性には§E6.38 命題 1.4を用いる。テンソル積の直和との交換は§E6.12 命題 18.1による。

自由な一因子Z\Zに対して、Hom とテンソル積は係数群自身であり、Ext と Tor の一次は零である。有限巡回群Z/dZ\Z/d\Zに対しては、§E6.36 例 1.6と§E6.38 例 5.1により

Ext⁡Z1(Z/dZ,M)≅M/dM,Tor⁡1Z(Z/dZ,M)≅{m∈M:dm=0}\operatorname{Ext}^1_{\Z}(\Z/d\Z,M)\cong M/dM, \qquad \operatorname{Tor}_1^{\Z}(\Z/d\Z,M)\cong\{m\in M:dm=0\}

である。また、Hom⁡(Z/dZ,M)\Hom(\Z/d\Z,M)もdd倍で消える元の群であり、(Z/dZ)⊗M≅M/dM(\Z/d\Z)\otimes M\cong M/dMである。

主張 (1)を示す。M=ZM=\Zでは、有限巡回因子から Hom への寄与は零、Ext への寄与は同じ巡回群である。分裂するコホモロジーの普遍係数列から主張 (1)の同型を得る。ker⁡ρ\ker\rhoは有限群Tn−1T_{n-1}に同型なので捩れからなり、ρ\rhoの終域は自由なので、コホモロジーの捩れ元はすべて核に入る。したがって核は捩れ部分そのものである。

主張 (2)を示す。M=QM=\Qでは、非零整数倍が全単射であるため、有限巡回因子からの寄与は四つの関手すべてで零である。自由因子の寄与だけを数えると主張 (2)を得る。

主張 (3)を示す。M=FpM=\mathbb F_pでは、pp冪位数の一因子は Hom とテンソル積に一次元を、Ext と Tor にも一次元を寄与し、ほかの素数冪位数の因子は寄与しない。二つの普遍係数列で次元を加えると主張 (3)を得る。

最後に有限 CW 対について仮定を確かめる。AAは有限個の胞体からなる CW 複体であり、§E21.24 命題 5.1 (1)によりHi(A)H_i(A)とHi(X)H_i(X)は有限生成である。対の長完全列により、Hi(X,A)H_i(X,A)はHi(X)H_i(X)の商群とHi−1(A)H_{i-1}(A)の部分群の拡大である。有限生成アーベル群の部分群は有限生成であり、これは構造定理と§E6.47 定理 1.1から従う。拡大の両端の有限生成集合を持ち上げて合わせれば中央も有限生成なので、仮定が成り立つ。▨

3 射影空間の係数と分裂の非自然性

例 3.1.n≥1n\geq1とする。このとき、§E21.24 命題 4.1の整数係数の値を普遍係数定理へ代入すると、次の計算を得る。

  1. 整数係数のコホモロジーは次の表で与えられる。

    次数kk Hk(RPn;Z)H^k(\mathbb{RP}^n;\Z) 普遍係数列での寄与
    k=0k=0 Z\Z H0H_0の Hom
    0<k≤n0<k\leq nが偶数 Z/2Z\Z/2\Z Hk−1H_{k-1}の Ext
    k=nk=nが奇数 Z\Z HnH_nの Hom
    それ以外 00 両項とも零

    有限巡回因子の Ext は同じ巡回群であり、Hom は零なので、この表は二つの隣接次数の整数係数ホモロジーから直接得られる。胞体余鎖による§E21.30 命題 5.1の全次数の値と一致する。とくにH2(RP2)=0H_2(\mathbb{RP}^2)=0であってもH2(RP2;Z)≅Z/2ZH^2(\mathbb{RP}^2;\Z)\cong\Z/2\Zであり、Hom の項だけではコホモロジーは決まらない。

  2. 0≤k≤n0\leq k\leq nに対して、Hk(RPn;F2)≅Hk(RPn;F2)≅F2H_k(\mathbb{RP}^n;\mathbb F_2)\cong H^k(\mathbb{RP}^n;\mathbb F_2)\cong\mathbb F_2であり、範囲外では零である。零次と奇数の最上次は自由因子が寄与し、中間の奇数次では同じ次数の捩れ因子が、正の偶数次では一つ下の次数の捩れ因子が寄与する。これは§E21.24 命題 4.1 (2)の胞体計算と一致し、n=2n=2では§E21.14 命題 2.1の単体的な計算にも一致する。

  3. M=Z/dZM=\Z/d\Z（ddは正の奇数）またはM=QM=\Qとすると、Hk(RPn;M)H^k(\mathbb{RP}^n;M)はk=0k=0と、nnが奇数の場合のk=nk=nでMM、それ以外で零である。これらの係数群では22倍写像が全単射なので、Z/2Z\Z/2\Zからの Hom と Ext の寄与は消え、自由因子からの寄与だけが残る。

命題 3.2.RP1\mathbb{RP}^1を一点へ潰す写像κ:RP2→S2\kappa:\mathbb{RP}^2\to S^2を取り、係数をF2\mathbb F_2とする。

  1. κ∗:H2(S2;F2)→H2(RP2;F2)\kappa^*:H^2(S^2;\mathbb F_2)\to H^2(\mathbb{RP}^2;\mathbb F_2)は同型である。コホモロジーの普遍係数列のρ\rhoの右逆を、空間の写像について自然に選ぶことはできない。
  2. κ∗:H2(RP2;F2)→H2(S2;F2)\kappa_*:H_2(\mathbb{RP}^2;\mathbb F_2)\to H_2(S^2;\mathbb F_2)は同型である。ホモロジーの普遍係数列のα\alphaの左逆を、空間の写像について自然に選ぶことはできない。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。RP2\mathbb{RP}^2はRP1\mathbb{RP}^1に一つの二胞体を付着して得られる。RP1\mathbb{RP}^1を球面の基点へ送り、二胞体の特性円板では商写像D2→D2/S1≅S2D^2\to D^2/S^1\cong S^2を用いる。境界では両写像の値が同じなので、付着の商位相の普遍性から連続写像κ\kappaを得る。この写像は胞体写像であり、二胞体の相対基本類を球面の二胞体の相対基本類へ符号を除いて送る。

両空間の二元体係数の胞体境界は零であり、二次胞体鎖群はそれぞれF2\mathbb F_2である。κ\kappaの二次胞体鎖写像は恒等写像であり、その転置も恒等写像である。§E21.24 定理 3.4 (1)と§E21.30 定理 4.2 (2)により、特異ホモロジーと特異コホモロジーの誘導写像も同型である。

整数係数では、H2(S2)=ZH_2(S^2)=\Z、H1(S2)=0H_1(S^2)=0、H2(RP2)=0H_2(\mathbb{RP}^2)=0、H1(RP2)=Z/2ZH_1(\mathbb{RP}^2)=\Z/2\Zである。したがってS2S^2の二次コホモロジーの普遍係数列は Hom の項だけからなり、RP2\mathbb{RP}^2の列は Ext の項だけからなる。もしρ\rhoの右逆sXs_Xが自然ならば、

κ∗sS2=sRP2Hom⁡(H2(κ),F2)=0\kappa^*s_{S^2}=s_{\mathbb{RP}^2}\Hom(H_2(\kappa),\mathbb F_2)=0

となる。しかしsS2s_{S^2}とκ∗\kappa^*はともに同型であり、矛盾する。

ホモロジーについて、α\alphaの自然な左逆をτX\tau_Xと仮定する。球面のα\alphaは同型なのでτS2\tau_{S^2}も同型である。一方、自然性は

τS2κ∗=(H2(κ)⊗1)τRP2=0\tau_{S^2}\kappa_*=(H_2(\kappa)\otimes1)\tau_{\mathbb{RP}^2}=0

を要求する。右辺が零であるのはH2(RP2)⊗F2=0H_2(\mathbb{RP}^2)\otimes\mathbb F_2=0だからである。左辺は同型の合成であり、再び矛盾する。▨

参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.普遍係数定理の主張と分裂の非自然性、および実射影空間の係数ごとの計算を参考にした。

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