§E21.21Jordan–Brouwer の分離定理

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平面の部分集合で円周と同相なものは、平面をちょうど二つの連結成分に分け、その一方は有界で他方は有界でない。高い次元で同じことを問うとき、標準的な球面であれば補集合を直接書き下すことができる。しかし、球面と同相な部分集合について、球面からその部分集合への同相写像の定義域は球面であり、周囲の空間全体の同相写像が与えられているわけではないので、補集合が同じように分かれるかどうかは自明でない。n≥2n\geq2については、Sn−1S^{n-1}と同相な部分集合は、球面SnS^nの中にあっても Euclid 空間Rn\R^nの中にあっても補集合をちょうど二つの連結成分に分け、二つの連結成分の境界はいずれもその部分集合に等しい。この主張を Jordan–Brouwer の分離定理という。Rn\R^nの開集合からRn\R^nへの連続な単射の像が開集合であるという領域不変性も、この定理から導かれる。本記事では、Jordan–Brouwer の分離定理を証明し、その帰結として領域不変性を導く。

1 補集合の成分

閉集合の補集合では、零次の被約ホモロジーから成分の個数を求める。局所弧状連結性により、この成分は連結成分と弧状連結成分のどちらとしても扱うことができる。

補題 1.1.XXを局所弧状連結な空間、K⊆XK\subseteq Xを閉集合とする。

  1. X∖KX\setminus Kの各連結成分はXXの開集合であり、弧状連結である。
  2. X∖KX\setminus Kの連結成分CCの境界は∂C⊆K\partial C\subseteq Kを満たす。
  3. X∖K≠∅X\setminus K\neq\varnothingとする。成分の集合をΠ\Piとし、C0∈ΠC_0\in\Piと各成分の点xC∈Cx_C\in Cを選ぶと、H~0(X∖K)\widetilde H_0(X\setminus K)は[xC]−[xC0][x_C]-[x_{C_0}]（C≠C0C\neq C_0）を基底とする自由アーベル群である。とくに、成分が一つであることはH~0(X∖K)=0\widetilde H_0(X\setminus K)=0であるための必要十分条件であり、成分が二つであることはH~0(X∖K)≅Z\widetilde H_0(X\setminus K)\cong\Zであるための必要十分条件である。
  4. n≥1n\geq1についてRn\R^nとSnS^nは局所弧状連結である。したがって、これらの空間の閉集合には前の三項を適用することができる。

証明.主張 (1)を示す。X∖KX\setminus Kは開集合なので局所弧状連結である（§E2.43 命題 8.6）。その連結成分は弧状連結成分と一致し、開集合である（§E2.43 定理 8.4）。したがって主張 (1)が成り立つ。

主張 (2)を示す。x∈C‾∖Kx\in\overline C\setminus Kとすると、xxの属する成分は開集合なのでCCと交わり、成分の一致によりx∈Cx\in Cとなる。したがってC‾∖C⊆K\overline C\setminus C\subseteq Kであり、主張 (2)が従う。

主張 (3)を示す。§E21.13 命題 2.2によりH0(X∖K)H_0(X\setminus K)は[xC][x_C]を基底とする自由アーベル群である。被約ホモロジーは各[xC][x_C]を11に送る準同型の核なので、主張 (3)の基底が得られる。

主張 (4)を示す。Rn\R^nの各点には開球からなる弧状連結な近傍基がある。SnS^nは立体射影によってRn\R^nと同相な二つの開集合で覆われる（§E21.8 補題 3.2 (1)）。よってSnS^nも局所弧状連結である。▨

2 埋め込まれた円板の補集合

円板の補集合については、連結性より強い、すべての次数での被約ホモロジーの消滅を証明する。この消滅が、球面を二つの半球に分けたときの Mayer–Vietoris 完全列に用いられる。

定理 2.1.n≥1n\geq1、k≥0k\geq0とし、h:Dk→Snh:D^k\to S^nを連続単射とする。このときSn∖h(Dk)S^n\setminus h(D^k)は空でなく、すべての整数iiについて

H~i(Sn∖h(Dk))=0\widetilde H_i(S^n\setminus h(D^k))=0

である。とくに、この補集合は弧状連結である。

証明.hhはコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続単射なので、像への同相写像である。h(Dk)=Snh(D^k)=S^nならばSnS^nは可縮になるが、これはH~n(Sn)≅Z\widetilde H_n(S^n)\cong\Zに反する（§E21.18 定理 2.2 (1)、§E21.15 系 3.4 (2)）。したがって補集合は空でない。負の次数の被約ホモロジーは零であり、以下ではi≥0i\geq0を考える。

立方体IkI^kはDkD^kと同相なので（§E21.2 補題 3.1）、定義域をIkI^kとしてkkについて帰納法を用いる。k=0k=0の場合、補集合は一点を除いた球面であり、立体射影によってRn\R^nと同相である。よって可縮であり、主張が従う。

k≥1k\geq1とし、k−1k-1次元の円板に対して主張が成り立つと仮定する。α∈H~i(Sn∖h(Ik))\alpha\in\widetilde H_i(S^n\setminus h(I^k))が零でないと仮定する。

主張 2.1.1. 閉区間J⊆IJ\subseteq Iを長さが等しい二つの閉区間J−,J+J_-,J_+に分ける。Sn∖h(Ik−1×J)S^n\setminus h(I^{k-1}\times J)の被約ホモロジーの零でない類は、Sn∖h(Ik−1×J−)S^n\setminus h(I^{k-1}\times J_-)またはSn∖h(Ik−1×J+)S^n\setminus h(I^{k-1}\times J_+)で零でない像をもつ。

証明.JJの中点をttとし、二つの補集合をA,BA,Bと書く。両者は開集合であり、

A∩B=Sn∖h(Ik−1×J),A∪B=Sn∖h(Ik−1×{t})A\cap B=S^n\setminus h(I^{k-1}\times J),\qquad A\cup B=S^n\setminus h(I^{k-1}\times\{t\})

である。帰納法の仮定によりA∪BA\cup Bの被約ホモロジーは零である。被約 Mayer–Vietoris 完全列（§E21.18 補題 1.4）の完全性から

H~i(A∩B)⟶H~i(A)⊕H~i(B)\widetilde H_i(A\cap B)\longrightarrow \widetilde H_i(A)\oplus\widetilde H_i(B)

は単射であり、主張が従う。▨

円板を二分する補助主張を繰り返すと、長さ2−m2^{-m}の閉区間JmJ_mをJm+1⊆JmJ_{m+1}\subseteq J_mとなるように選び、α\alphaの像がすべての

Wm=Sn∖h(Ik−1×Jm)W_m=S^n\setminus h(I^{k-1}\times J_m)

で零でないようにすることができる。⋂mJm={t}\bigcap_mJ_m=\{t\}とおくと、hhの単射性から

⋃mWm=Sn∖h(Ik−1×{t})=:W\bigcup_mW_m=S^n\setminus h(I^{k-1}\times\{t\})=:W

となる。WWの被約ホモロジーは帰納法の仮定により零である。

WmW_mは増大する開集合の列なので、WWの各コンパクト部分集合に対して、それを含むWmW_mが存在する。i≥0i\geq0では被約ホモロジーは通常のホモロジーの部分群であり（§E21.15 補題 3.3 (1)）、α\alphaの像はHi(W)H_i(W)で零である。したがって§E21.13 命題 4.1 (4)により、あるmmが存在して、α\alphaの像はHi(Wm)H_i(W_m)において零になる。これはH~i(Wm)\widetilde H_i(W_m)における像が零でないことに反する。帰納法が完了し、最後の弧状連結性は補題 1.1から従う。▨

Euclid 空間では、レトラクトであることだけからも補集合の成分について結論が得られる。

命題 2.2.n≥1n\geq1とし、C⊆RnC\subseteq\R^nをコンパクトなレトラクトとする。このとき、Rn∖C\R^n\setminus Cは有界な連結成分をもたない。とくに、n≥2n\geq2ならばRn∖C\R^n\setminus Cは弧状連結である。

証明. レトラクションをr:Rn→Cr:\R^n\to Cとする。有界な成分Ω\Omegaがあると仮定し、a∈Ωa\in\Omegaを選ぶ。C∪Ω‾C\cup\overline\Omegaを内部に含む閉球体BBを取る。補題 1.1 (2)により∂Ω⊆C\partial\Omega\subseteq Cなので、

F(x)={r(x)x∈Ω‾,xx∈B∖ΩF(x)= \begin{cases} r(x)&x\in\overline\Omega,\\ x&x\in B\setminus\Omega \end{cases}

は閉被覆上での貼り合わせによって連続である。値域はB∖{a}B\setminus\{a\}に含まれ、FFは∂B\partial Bを各点で固定する。aaからの半直線と∂B\partial Bの交点へ送る写像B∖{a}→∂BB\setminus\{a\}\to\partial Bは連続である。これは§E21.2 補題 3.1の、内点を中心とする径方向の同相写像から得られる。FFとの合成はBBから∂B\partial Bへのレトラクションとなり、§E21.20 定理 1.2に反する。

n≥2n\geq2のとき、CCを含む閉球体の外部は弧状連結である。補集合の各成分は非有界なのでこの外部と交わり、したがってすべて同じ成分である。補題 1.1 (1)により補集合は弧状連結である。▨

注意 2.3. 連続単射h:Dk→Rnh:D^k\to\R^nの像はRn\R^nのレトラクトである。実際、コンパクトな像上の逆写像h−1h^{-1}の各座標を Tietze の拡張定理（§E2.18 定理 4.1）でRn\R^nへ延長すると、写像g:Rn→Rkg:\R^n\to\R^kを得る。ggとv↦v/max⁡{1,∥v∥}v\mapsto v/\max\{1,\|v\|\}、さらにhhを合成すれば所要のレトラクションとなる。k=0k=0では定値写像を用いる。

よってn≥2n\geq2では、埋め込まれた円板の補集合の弧状連結性は命題 2.2からも従う。球面の補集合を計算するには、零次だけでなくすべての次数での消滅を与える定理 2.1を用いる。

3 埋め込まれた球面の補集合

定理 3.1.n≥1n\geq1、0≤k<n0\leq k<nとし、h:Sk→Snh:S^k\to S^nを連続単射とする。このとき

H~i(Sn∖h(Sk))≅{Zi=n−k−1,0i≠n−k−1\widetilde H_i(S^n\setminus h(S^k))\cong \begin{cases} \Z&i=n-k-1,\\ 0&i\neq n-k-1 \end{cases}

である。

証明.hhは像への同相写像である。補集合が空ならばSk≅SnS^k\cong S^nとなるが、k<nk<nなので§E21.18 定理 2.2 (1)に反する。

k=0k=0ではh(S0)={a,b}h(S^0)=\{a,b\}とおく。A=Sn∖{a}A=S^n\setminus\{a\}とB=Sn∖{b}B=S^n\setminus\{b\}は可縮な開集合であり、A∪B=SnA\cup B=S^nである。被約 Mayer–Vietoris 完全列から

H~i(Sn∖{a,b})≅H~i+1(Sn)\widetilde H_i(S^n\setminus\{a,b\}) \cong\widetilde H_{i+1}(S^n)

を得るので、主張が従う。

k≥1k\geq1のとき、SkS^kを閉半球D+,D−D_+,D_-に分ける。交わりは赤道Sk−1S^{k-1}である。開集合A=Sn∖h(D+)A=S^n\setminus h(D_+)、B=Sn∖h(D−)B=S^n\setminus h(D_-)の被約ホモロジーは定理 2.1により零である。また

A∩B=Sn∖h(Sk),A∪B=Sn∖h(Sk−1)A\cap B=S^n\setminus h(S^k),\qquad A\cup B=S^n\setminus h(S^{k-1})

なので、被約 Mayer–Vietoris 完全列の連結準同型は同型

H~i+1(Sn∖h(Sk−1))≅H~i(Sn∖h(Sk))\widetilde H_{i+1}(S^n\setminus h(S^{k-1})) \cong\widetilde H_i(S^n\setminus h(S^k))

を与える。kkについての帰納法により結論を得る。▨

例 3.2.

  1. Rn+1=Rk+1×Rn−k\R^{n+1}=\R^{k+1}\times\R^{n-k}とし、標準的なSk⊆SnS^k\subseteq S^nを第二成分が零の点の集合とする。補集合では第二成分vvが零でなく、 (u,v)⟼(v∥v∥,u∥v∥)(u,v)\longmapsto \left(\frac{v}{\|v\|},\frac{u}{\|v\|}\right) はSn−k−1×Rk+1S^{n-k-1}\times\R^{k+1}への同相写像である。逆写像は(w,z)↦(z,w)/1+∥z∥2(w,z)\mapsto(z,w)/\sqrt{1+\|z\|^2}である。この積はSn−k−1×{0}S^{n-k-1}\times\{0\}を変位レトラクトにもち、Sn−k−1S^{n-k-1}とホモトピー同値である。§E21.18 定理 2.2 (1)により、n−k−1=0n-k-1=0の場合も含めて球面の補集合のホモロジーの計算と一致する。
  2. K⊆S3K\subseteq S^3がS1S^1と同相ならば、H1(S3∖K)≅ZH_1(S^3\setminus K)\cong\Zであり、i≠1i\neq1でH~i(S3∖K)=0\widetilde H_i(S^3\setminus K)=0である。このホモロジーはKKの埋め込み方を区別しない。補集合の基本群は埋め込み方によって異なることがあるが、その相違はここでは証明しない。

4 分離と成分の境界

補題 4.1.n≥1n\geq1とし、Σ⊆Sn\Sigma\subseteq S^nをSn−1S^{n-1}と同相な部分集合とする。このとき、Sn∖ΣS^n\setminus\Sigmaの各連結成分CCについて∂C=Σ\partial C=\Sigmaである。

証明.補題 1.1 (2)により∂C⊆Σ\partial C\subseteq\Sigmaである。q∈Σ∖∂Cq\in\Sigma\setminus\partial Cがあると仮定し、同相写像h:Sn−1→Σh:S^{n-1}\to\Sigmaを取る。h−1(q)h^{-1}(q)の周りに、h−1(Σ∖∂C)h^{-1}(\Sigma\setminus\partial C)に含まれる小さい開いた球面の帽を選ぶ。その補集合はDn−1D^{n-1}と同相であり、その像D′⊆ΣD'\subseteq\Sigmaは∂C\partial Cを含み、qqを含まない。n=1n=1の場合にはS0S^0の一方の点を帽として選び、他方の点をD′D'とする。

Y=Sn∖D′Y=S^n\setminus D'は定理 2.1により連結である。一方、C⊆YC\subseteq Yは空でない開集合であり、∂C⊆D′\partial C\subseteq D'からYYの閉集合でもある。q∈Y∖Cq\in Y\setminus CなのでC≠YC\neq Yとなり、連結性に反する。▨

定理 4.2 (Jordan–Brouwer の分離定理).n≥1n\geq1とし、Σ⊆Sn\Sigma\subseteq S^nをSn−1S^{n-1}と同相な部分集合とする。このとき、Sn∖ΣS^n\setminus\Sigmaはちょうど二つの連結成分をもつ。各成分はSnS^nの開集合であり、弧状連結である。二つの成分の境界はいずれもΣ\Sigmaに等しい。

証明.定理 3.1をk=n−1k=n-1に適用すると、H~0(Sn∖Σ)≅Z\widetilde H_0(S^n\setminus\Sigma)\cong\Zとなる。したがって補題 1.1により成分はちょうど二つであり、各成分は開で弧状連結である。境界の等式は補集合の成分の境界についての補題による。▨

系 4.3.n≥2n\geq2とし、Σ⊆Rn\Sigma\subseteq\R^nをSn−1S^{n-1}と同相な部分集合とする。このとき、Rn∖Σ\R^n\setminus\Sigmaはちょうど二つの連結成分をもち、一方は有界、他方は非有界である。両成分は開で弧状連結であり、その境界はいずれもΣ\Sigmaである。

証明. 立体射影によりRn=Sn∖{∞}\R^n=S^n\setminus\{\infty\}と同一視する。Jordan–Brouwer の分離定理の二つの成分をV,WV,Wとし、∞∈W\infty\in Wとする。WWに含まれる∞\inftyの座標近傍BBを、座標の下で開球となるように選ぶ。BBは可縮であり、B∖{∞}B\setminus\{\infty\}はSn−1S^{n-1}とホモトピー同値なのでn≥2n\geq2より弧状連結である。開被覆

W=(W∖{∞})∪BW=(W\setminus\{\infty\})\cup B

の被約 Mayer–Vietoris 完全列では、

H~0(B∖{∞})⟶H~0(W∖{∞})⊕H~0(B)⟶H~0(W)\widetilde H_0(B\setminus\{\infty\})\longrightarrow \widetilde H_0(W\setminus\{\infty\})\oplus\widetilde H_0(B) \longrightarrow\widetilde H_0(W)

の両端が零である。よってW∖{∞}W\setminus\{\infty\}も弧状連結である。VVとW∖{∞}W\setminus\{\infty\}がRn∖Σ\R^n\setminus\Sigmaの二つの成分になる。

V‾=V∪Σ\overline V=V\cup\Sigmaは∞\inftyを含まないSnS^nのコンパクト部分集合なので、Rn\R^nで有界である。一方、WWは∞\inftyの近傍を含み、立体射影の下でW∖{∞}W\setminus\{\infty\}は十分大きい閉球体の外部を含む。したがって後者は非有界である。Σ\Sigmaは∞\inftyを含まないので、部分空間Rn\R^nにおける両成分の境界もΣ\Sigmaである。▨

n=2n=2の系は§E2.49 定理 2.7と同じ分離の結論を与える。

例 4.4.Σ={−1,1}⊆R\Sigma=\{-1,1\}\subseteq\RはS0S^0と同相であるが、補集合は三つの区間(−∞,−1)(-\infty,-1)、(−1,1)(-1,1)、(1,∞)(1,\infty)に分かれる。他方、S1S^1から二点を除いた空間は二つの開いた弧からなり、分離定理と一致する。∞\inftyを除くと、その点を含む成分が二つに分かれるため、Euclid 空間の系にはn≥2n\geq2という仮定が必要である。

例 4.5.n≥2n\geq2とし、中心がe1e_1と−e1-e_1、半径が11の二つの球面の和をJ⊆RnJ\subseteq\R^nとする。このとき、両球面は原点だけで接する。J∖{0}J\setminus\{0\}は二つの成分をもつが、Sn−1S^{n-1}から一点を除いた空間はRn−1\R^{n-1}と同相で連結である。したがってJJはSn−1S^{n-1}と同相でない。

Rn∖J\R^n\setminus Jの成分は、二つの開球と、両閉球体の外部の三つである。外部が弧状連結であることは、外部の点xxを半直線txtx（t≥1t\geq1）に沿って十分大きい球面まで動かすことで分かる。実際、外部の条件は∥x∥2>2∣x1∣\|x\|^2>2|x_1|であり、txtxもこの条件を満たす。大きい球面は弧状連結なので、外部の任意の二点を道で結ぶことができる。

注意 4.6. 分離定理は成分の個数と境界を定めるが、各成分の位相型までは定めない。平面の単純閉曲線については、Schoenflies の定理により、有界成分の閉包は閉円板と同相であり、非有界成分の閉包は開円板の補集合と同相である。三次元では、Alexander の角付き球面の外部の成分は単連結でない。これらの事実はここでは証明しない。

5 領域不変性

定理 5.1 (領域不変性).n≥1n\geq1、U⊆RnU\subseteq\R^nを開集合、f:U→Rnf:U\to\R^nを連続単射とする。このときf(U)f(U)は開集合であり、f:U→f(U)f:U\to f(U)は同相写像である。

証明.x∈Ux\in Uを固定し、中心がxxの閉球体D⊆UD\subseteq Uを取る。その境界をSSとする。f∣Df|_Dは像への同相写像なので、f(S)f(S)はSn−1S^{n-1}と同相である。Rn=Sn∖{∞}\R^n=S^n\setminus\{\infty\}とみると、

Sn∖f(S)=f(D∖S)⊔(Sn∖f(D))S^n\setminus f(S)=f(D\setminus S)\sqcup(S^n\setminus f(D))

である。右辺の第一の集合は空でなく弧状連結であり、第二の集合も定理 2.1により空でなく弧状連結である。分離定理により左辺の成分はちょうど二つなので、右辺の二集合はそれぞれ一つの成分である。したがってf(D∖S)f(D\setminus S)は開集合であり、f(x)f(x)のf(U)f(U)に含まれる開近傍となる。xxは任意なのでf(U)f(U)は開集合である。

UUの任意の開集合に同じ結論を適用すると、ffは開写像である。よって像への逆写像も連続であり、f:U→f(U)f:U\to f(U)は同相写像となる。▨

系 5.2.M,NM,Nを同じ次元の位相多様体とし、f:M→Nf:M\to Nを連続単射とする。

  1. ffは開写像であり、MMからNNの開集合f(M)f(M)への同相写像である。
  2. MMが空でなくコンパクトであり、NNが連結ならば、f:M→Nf:M\to Nは同相写像である。
  3. n≥0n\geq0について、SnS^nからSnS^nへの連続単射は全射である。

証明.主張 (1)を示す。次元が正の場合、p∈Mp\in Mとf(p)∈Nf(p)\in Nの座標近傍を選び、MM側の近傍を十分小さくすると、ffは座標の下でRn\R^nの開集合からRn\R^nへの連続単射になる。領域不変性により、各開集合の像はf(p)f(p)の近傍で開である。したがってffは開写像である。零次元の多様体は離散空間なので、同じ結論は直ちに成り立つ。

主張 (2)を示す。f(M)f(M)はコンパクトであり、Hausdorff 空間NNの閉集合である。主張 (1)により開でもあり、空でないので、NNの連結性からf(M)=Nf(M)=Nとなる。

主張 (3)を示す。n≥1n\geq1の球面は空でないコンパクトな連結多様体なので主張 (3)が従う。n=0n=0では二点集合の自己単射は全射である。▨

例 5.3.

  1. R→R2\R\to\R^2、t↦(t,0)t\mapsto(t,0)は連続単射であるが、像は開集合でない。定義域と値域の次元が等しいという仮定を外すと結論は成り立たない。
  2. 包含[0,1)↪R[0,1)\hookrightarrow\Rは連続単射であるが、像はR\Rの開集合でない。定義域の開性は必要である。
  3. [0,1)→S1[0,1)\to S^1、t↦e2πitt\mapsto e^{2\pi it}は連続な全単射であるが、開集合[0,12)[0,\tfrac12)の像は開でなく、同相写像でない。ここで[0,1)[0,1)は一次元位相多様体でない。もし00の開近傍V⊆[0,1)V\subseteq[0,1)からR\Rの開集合OOへの同相写像があれば、その逆写像と包含V↪RV\hookrightarrow\Rの合成に領域不変性を適用して、VVがR\Rの開集合であることになる。しかしVVは00を含み、負の点を含まないので矛盾する。

6 演習

問題 6.1.n≥2n\geq2とし、Σ1,Σ2⊆Sn\Sigma_1,\Sigma_2\subseteq S^nを互いに交わらない、Sn−1S^{n-1}と同相な部分集合とする。Sn∖(Σ1∪Σ2)S^n\setminus(\Sigma_1\cup\Sigma_2)の連結成分がちょうど三つであることを示せ。

解答.

A=Sn∖Σ1A=S^n\setminus\Sigma_1、B=Sn∖Σ2B=S^n\setminus\Sigma_2とおくと、A,BA,Bは開集合でA∪B=SnA\cup B=S^nである。A∩BA\cap Bが空ならばSn=Σ1⊔Σ2S^n=\Sigma_1\sqcup\Sigma_2は空でない二つの閉集合への分割になり、SnS^nの連結性に反する。被約 Mayer–Vietoris 完全列の部分

H~1(Sn)⟶H~0(A∩B)⟶H~0(A)⊕H~0(B)⟶H~0(Sn)\widetilde H_1(S^n)\longrightarrow\widetilde H_0(A\cap B) \longrightarrow\widetilde H_0(A)\oplus\widetilde H_0(B) \longrightarrow\widetilde H_0(S^n)

で両端は零であり、分離定理により中央の右の群はZ2\Z^2である。よってH~0(A∩B)≅Z2\widetilde H_0(A\cap B)\cong\Z^2となる。補題 1.1 (3)の基底表示から、補集合の成分は三つである。▨

問題 6.2.n≥2n\geq2、0≤k≤n−20\leq k\leq n-2とし、h:Sk→Rnh:S^k\to\R^nを連続単射とする。Rn∖h(Sk)\R^n\setminus h(S^k)が弧状連結であることを示せ。

解答.

Rn=Sn∖{∞}\R^n=S^n\setminus\{\infty\}とみる。定理 3.1よりW=Sn∖h(Sk)W=S^n\setminus h(S^k)はH~0(W)=0\widetilde H_0(W)=0を満たすので、弧状連結な開集合である。∞\inftyの小さい開球近傍B⊆WB\subseteq Wを選ぶと、BBとB∖{∞}B\setminus\{\infty\}は弧状連結である。被覆W=(W∖{∞})∪BW=(W\setminus\{\infty\})\cup Bの被約 Mayer–Vietoris 完全列によりH~0(W∖{∞})=0\widetilde H_0(W\setminus\{\infty\})=0を得る。これは所要の補集合の弧状連結性を意味する。▨

参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.埋め込んだ円板と球面の補集合のホモロジーを立方体の二分割、Mayer–Vietoris 完全列およびコンパクト性による帰納で計算し、Jordan–Brouwer の分離定理と領域不変性を導く経路を参考にした。

前提記事

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