§E21.7閉曲面の多角形表示

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円環面は、正方形の向かい合う辺を貼り合わせて得られる閉曲面である。こうした構成を一般の多角形へ広げるには、辺の対応だけでなく、同一視された頂点の近傍も曲面の条件を満たすことを確かめる必要がある。多角形表示では、貼り合わせる辺とその向きを文字の列に記録し、閉曲面を有限の組合せデータから構成する。この表示は、曲面の代数的な不変量を計算するための最も基本的な模型の一つである。本記事では、多角形表示による閉曲面の構成と代表的な模型の関係を解説する。

1 曲面の語と多角形表示

定義 1.1.SSを空でない有限集合とする。n≥1n\geq1、xl∈Sx_l\in S、εl∈{1,−1}\varepsilon_l\in\{1,-1\}に対し、列w=x1ε1⋯xnεnw=x_1^{\varepsilon_1}\cdots x_n^{\varepsilon_n}をSS上の長さnnの語という。各x∈Sx\in Sがx1,…,xnx_1,\ldots,x_nにちょうど二度現れる語を曲面の語という。

D2={z∈C∣∣z∣≤1}D^2=\{z\in\C\mid |z|\leq1\}、S1=∂D2S^1=\partial D^2とし、長さnnの語に対して

ζj=e2πij/n(j∈Z/nZ),cl(s)=e2πi(l−1+s)/n(1≤l≤n, 0≤s≤1)\zeta_j=e^{2\pi ij/n}\quad(j\in\Z/n\Z),\qquad c_l(s)=e^{2\pi i(l-1+s)/n}\quad(1\leq l\leq n,\ 0\leq s\leq1)

と置く。El=cl([0,1])E_l=c_l([0,1])を辺、ζj\zeta_jを頂点と呼ぶ。

定義 1.2.w=x1ε1⋯xnεnw=x_1^{\varepsilon_1}\cdots x_n^{\varepsilon_n}を曲面の語とする。xl=xmx_l=x_m、l≠ml\neq mである各対について、0≤s≤10\leq s\leq1に対する

cl(s)∼cm(s)(εl=εm),cl(s)∼cm(1−s)(εl≠εm)c_l(s)\sim c_m(s)\quad(\varepsilon_l=\varepsilon_m),\qquad c_l(s)\sim c_m(1-s)\quad(\varepsilon_l\neq\varepsilon_m)

が生成するD2D^2上の同値関係を≈w\approx_wとする。商空間Pw=D2/≈wP_w=D^2/{\approx_w}をwwの多角形表示、商写像をπw\pi_wと書く。πw(ζj)\pi_w(\zeta_j)とπw(El)\pi_w(E_l)を、それぞれPwP_wの頂点と辺という。

補題 1.3.wwを長さnnの曲面の語とし、Vn={ζj∣j∈Z/nZ}V_n=\{\zeta_j\mid j\in\Z/n\Z\}と置く。

  1. D˚2\mathring D^2の各点の同値類は一点集合である。
  2. 0<s<10<s<1のとき、cl(s)c_l(s)の同値類は{cl(s),cm(s∗)}\{c_l(s),c_m(s^*)\}である。ただしmmはxlx_lのもう一つの出現位置、s∗=ss^*=sまたは1−s1-sは貼り合わせで指定した値である。
  3. VnV_nは同値類の合併である。辺の対の両端をそれぞれ結ぶグラフΓw\Gamma_wをVnV_n上に作ると、頂点の同値類はその連結成分である。ループを次数二と数えると各頂点の次数は二であり、各連結成分は閉路である。
  4. ≈w\approx_wはD2×D2D^2\times D^2の閉集合である。PwP_wはコンパクト Hausdorff 空間であり、πw\pi_wは閉写像である。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)を示す。生成する対は境界の点どうしだけを結ぶ。辺の内点を含む生成対は、その点と相手の辺の内点を結ぶ一対だけである。頂点を含む生成対の両端は頂点なので、主張 (1)と主張 (2)および頂点の同値類の記述が従う。

各頂点には、直前の辺の終点と直後の辺の始点という二つの端点が接している。各端点は辺の貼り合わせによって一つの端点と対になるので、Γw\Gamma_wの各頂点の次数は二である。有限な連結成分で一つの辺から進み、直前の辺とは異なる辺へ進むと、有限回で出発点へ戻る。閉路の外へ出る辺は次数二に反するから、連結成分全体がこの閉路である。

主張 (4)を示す。同値関係≈w\approx_wは、対角集合、各貼り合わせのグラフ{(cl(s),cm(s∗))∣0≤s≤1}\{(c_l(s),c_m(s^*))\mid0\leq s\leq1\}とその転置、および同値な頂点の対の有限集合の合併である。各集合はコンパクトであり、D2×D2D^2\times D^2は Hausdorff なので閉である。§E2.19 補題 6.18により主張 (4)を得る。▨

補題 1.4.w=x1ε1⋯xnεnw=x_1^{\varepsilon_1}\cdots x_n^{\varepsilon_n}を曲面の語とする。

  1. 全単射による文字の名の変更、または一つの文字の二つの指数をともに反転する操作で得られる語w′w'について、≈w′=≈w\approx_{w'}=\approx_wである。
  2. 巡回置換した語x2ε2⋯xnεnx1ε1x_2^{\varepsilon_2}\cdots x_n^{\varepsilon_n}x_1^{\varepsilon_1}の多角形表示は、回転z↦e−2πi/nzz\mapsto e^{-2\pi i/n}zによってPwP_wと同相になる。
  3. 逆順の語xn−εn⋯x1−ε1x_n^{-\varepsilon_n}\cdots x_1^{-\varepsilon_1}の多角形表示は、共役z↦zˉz\mapsto\bar zによってPwP_wと同相になる。

いずれの同相も頂点を頂点へ写す。

証明.主張 (1)を示す。辺の貼り合わせは、二つの文字が等しいか、およびその指数が等しいかだけで決まる。名の変更と一つの文字の指数の同時反転は両条件を保つ。

主張 (2)と主張 (3)を示す。回転は第ll辺を第l−1l-1辺へ、辺の媒介変数を保って写す。共役についてはcl(s)‾=cn+1−l(1−s)\overline{c_l(s)}=c_{n+1-l}(1-s)である。したがって、どちらの写像も貼り合わせの生成対を新しい語の生成対へ写し、逆写像も同じ性質を持つ。商位相の普遍性により、互いに逆な連続写像を得る。▨

例 1.5. 語aba−1baba^{-1}bを一文字だけ巡回させるとba−1baba^{-1}baになる。a,ba,bの名を交換し、交換後のbbの指数をともに反転するとabab−1abab^{-1}になる。したがって、この二つの語の多角形表示は同相である。

2 閉曲面の構成

定義 2.1. コンパクトな二次元位相多様体を閉曲面という。位相多様体は Hausdorff かつ第二可算で、境界を持たないものとする。

注意 2.2. 空集合も閉曲面であり、連結である。空でないことを必要とする主張では、その条件を別に課す。

命題 2.3. 曲面の語wwの多角形表示PwP_wは、空でない弧状連結な閉曲面である。

証明.補題 1.3 (4)によりPwP_wはコンパクト Hausdorff である。πw\pi_wは閉写像であり、そのファイバーは有限なので完全写像である。§E2.20 系 3.2により、第二可算なD2D^2の像PwP_wも第二可算である。円板は空でなく弧状連結なので、その連続像PwP_wも空でなく弧状連結である。

円板の内点では、その点を含む小さい開円板は飽和しており、商写像の制限は同相である。辺の内点の近くでは、極座標の角度をその辺の媒介変数に取り直し、境界から内側への距離を第二座標に取る。相手の辺の内点でも同じ座標を取り、必要なら第一座標を反転する。二つの半長方形の境界を同じ第一座標で貼る商は、第二座標の符号を片側で反転する写像により開長方形と同相になる。

頂点の一つの類を固定し、その類のkk頂点をΓw\Gamma_wの閉路の順に並べる。各頂点の近くで、円板の境界に沿う符号付き距離をtt、内側への距離をrrとする。十分小さいδ>0\delta>0に対して、t2+r2≤δ2t^2+r^2\leq\delta^2、r≥0r\geq0の半円板を各頂点で取る。辺の貼り合わせは境界から頂点までの距離∣t∣|t|を保つ。閉路の向きに従って各半円板の向きを選ぶと、隣接する半径は同じ距離で貼り合わされる。第jj半円板を極座標ρeiφ\rho e^{i\varphi}、0≤φ≤π0\leq\varphi\leq\piで表し、

ρeiφ⟼ρexp⁡(i(2φk+2πjk))(0≤j<k)\rho e^{i\varphi}\longmapsto \rho\exp\left(i\left(\frac{2\varphi}{k}+\frac{2\pi j}{k}\right)\right) \quad(0\leq j<k)

と置く。共通の半径上で値が一致し、最後の半径は最初の半径と一致する。写像のファイバーは貼り合わせの同値類に等しいので、半円板の商から閉円板への連続全単射が得られる。コンパクトから Hausdorff への連続全単射であるから同相である。ρ<δ\rho<\deltaの部分は元の円板で飽和な開集合である。その像へ制限すると頂点の開円板近傍を得る。k=1k=1の場合にも同じ式が半円板の二本の半径を貼り合わせる。

各点が開円板近傍を持つので、PwP_wは二次元位相多様体である。▨

命題 2.4. 曲面の語aa−1aa^{-1}について、次が成り立つ。

  1. 同値関係は境界上のz∼zˉz\sim\bar zで生成され、頂点の類は{1}\{1\}と{−1}\{-1\}の二つである。
  2. Paa−1P_{aa^{-1}}は単位球面S2⊂R3S^2\subset\R^3と同相である。

証明.主張 (1)を示す。c1(s)=eπisc_1(s)=e^{\pi is}、c2(1−s)=e−πisc_2(1-s)=e^{-\pi is}なので、生成対は共役な境界点の対である。頂点1,−11,-1は、それぞれ自分自身とのみ同一視される。

主張 (2)を示す。z=x+iy∈D2z=x+iy\in D^2に対し、∣x∣<1|x|<1では

F(z)=(x,1−x2cos⁡πy1−x2,1−x2sin⁡πy1−x2)F(z)=\left(x,\sqrt{1-x^2}\cos\frac{\pi y}{\sqrt{1-x^2}}, \sqrt{1-x^2}\sin\frac{\pi y}{\sqrt{1-x^2}}\right)

と置き、F(±1)=(±1,0,0)F(\pm1)=(\pm1,0,0)と置く。x→±1x\to\pm1では最後の二成分の絶対値が1−x2\sqrt{1-x^2}以下なので、FFは連続である。第一座標xxを固定するとy/1−x2y/\sqrt{1-x^2}は[−1,1][-1,1]を動き、円周を一周する。異なるyyが同じ点へ写るのは両端の場合だけである。したがってFFは全射であり、そのファイバーは≈aa−1\approx_{aa^{-1}}の類である。誘導される連続全単射Paa−1→S2P_{aa^{-1}}\to S^2は、§E2.19 定理 6.8により同相である。▨

3 円周の楔和への接着

定義 3.1. 空でない有限集合SSについて、円周の位相的直和∐x∈SSx1\coprod_{x\in S}S^1_xで各成分の点11を同一視した空間をWS=⋁x∈SSx1W_S=\bigvee_{x\in S}S^1_xと書く。共通の点をw0w_0、各成分の標準写像をκx:S1→WS\kappa_x:S^1\to W_Sとし、σ(s)=e2πis\sigma(s)=e^{2\pi is}と置く。

補題 3.2.

  1. 写像σ:[0,1]→S1\sigma:[0,1]\to S^1は、00と11だけを同一視する商写像である。
  2. SS上の長さn≥1n\geq1の語w=x1ε1⋯xnεnw=x_1^{\varepsilon_1}\cdots x_n^{\varepsilon_n}に対して、 λw((l−1+s)/n)=κxl(e2πiεls)(1≤l≤n, 0≤s≤1)\lambda_w((l-1+s)/n)=\kappa_{x_l}(e^{2\pi i\varepsilon_ls}) \quad(1\leq l\leq n,\ 0\leq s\leq1) は端点をw0w_0に写す連続写像[0,1]→WS[0,1]\to W_Sを定める。連続写像φw:S1→WS\varphi_w:S^1\to W_Sでφw∘σ=λw\varphi_w\circ\sigma=\lambda_wを満たすものがただ一つ存在する。

証明.主張 (1)を示す。σ\sigmaはコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全射なので閉写像であり、商写像である。そのファイバーは、{0,1}\{0,1\}を除けば一点集合である。

主張 (2)を示す。各閉区間[(l−1)/n,l/n][(l-1)/n,l/n]上の式は連続であり、隣り合う区間の共通端点で値はw0w_0である。§E2.12 系 4.11 (2)によりλw\lambda_wは連続である。両端の値もw0w_0なので、商位相の普遍性によりφw\varphi_wを得る。▨

定義 3.3.補題 3.2 (2)のφw\varphi_wを語wwの接着写像という。接着空間をMw=WS∪φwD2M_w=W_S\cup_{\varphi_w}D^2、標準写像をj:WS→Mwj:W_S\to M_w、χ:D2→Mw\chi:D^2\to M_wと書く。φw(cl(s))=κxl(e2πiεls)\varphi_w(c_l(s))=\kappa_{x_l}(e^{2\pi i\varepsilon_ls})である。

定義 3.4. 曲面の語wwについて、πw(Vn)\pi_w(V_n)が一点であるとき、wwを一頂点の語という。

命題 3.5.wwをSS上の曲面の語とする。

  1. Θw∘πw=χ\Theta_w\circ\pi_w=\chiを満たす連続写像Θw:Pw→Mw\Theta_w:P_w\to M_wがただ一つ存在する。Θw\Theta_wは全射で、頂点をすべてj(w0)j(w_0)へ、辺の合併をj(WS)j(W_S)の上へ写す。
  2. Θw\Theta_wは同相Pw/πw(Vn)≅MwP_w/\pi_w(V_n)\cong M_wを誘導する。
  3. wwが一頂点の語ならば、Θw\Theta_wは同相であり、Θw(πw(1))=j(w0)\Theta_w(\pi_w(1))=j(w_0)である。
  4. 全単射による文字の名の変更は同相WS≅WS′W_S\cong W_{S'}とMw≅Mw′M_w\cong M_{w'}を誘導する。一つの文字の反転は対応する円周の共役によって同相Mw≅Mw′M_w\cong M_{w'}を誘導する。これらの同相は、Pw′=PwP_{w'}=P_wの同一視の下でΘw,Θw′\Theta_w,\Theta_{w'}と両立する。

証明.主張 (1)を示す。χ\chiは、対となる辺の点で同じ値を取り、すべての頂点をj(w0)j(w_0)へ写す。商の普遍性によりΘw\Theta_wを得る。各文字が現れるのでφw\varphi_wはWSW_Sの上への全射であり、χ\chiとΘw\Theta_wも全射である。

主張 (2)を示す。q:Pw→Pw/πw(Vn)q:P_w\to P_w/\pi_w(V_n)を商写像とする。各x∈Sx\in Sの出現位置llを一つ選び、εl=1\varepsilon_l=1ならdx(s)=cl(s)d_x(s)=c_l(s)、εl=−1\varepsilon_l=-1ならdx(s)=cl(1−s)d_x(s)=c_l(1-s)と置く。qπwdxq\pi_wd_xの両端は同じ点なので、補題 3.2 (1)により円周からの連続写像uxu_xへ降りる。これらは11で一致するので、楔和の普遍性によりu:WS→Pw/πw(Vn)u:W_S\to P_w/\pi_w(V_n)を定める。他方の出現位置を選んでも、辺の貼り合わせにより同じuxu_xを得る。各辺でuφw=qπw∣S1u\varphi_w=q\pi_w|_{S^1}であるから、§E21.2 系 4.2 (1)によりuuとqπwq\pi_wは連続写像Mw→Pw/πw(Vn)M_w\to P_w/\pi_w(V_n)を誘導する。Θw\Theta_wから降りた写像との両合成は、円板と各円周の像の上で恒等写像である。それらの像は空間を覆うので、両写像は互いに逆である。

主張 (3)を示す。一頂点の語ではqqは一点を一点へ潰す写像であり同相なので、主張 (3)が従う。

主張 (4)を示す。名の変更は円周の成分を置換し、文字の反転はその円周の共役を取る。どちらも接着写像の式と両立するので、接着の普遍性と逆操作によって主張 (4)を得る。▨

例 3.6. 語aa−1aa^{-1}は一頂点の語でない。Paa−1≅S2P_{aa^{-1}}\cong S^2であるが、Maa−1M_{aa^{-1}}は曲面でない。

実際、命題 3.5 (2)により、Maa−1M_{aa^{-1}}は球面の異なる二点を一点ppへ潰した空間である。二点の互いに交わらない開円板近傍の像をVVとする。ppを含みVVに含まれる任意の開近傍UUは、二つの円板のそれぞれで頂点以外の点を含む。U∖{p}U\setminus\{p\}はこの二つの部分に分離する。したがってVVの中にはppを含む開円板近傍が存在しない。一頂点の仮定は命題 3.5 (3)から外すことができない。

4 標準閉曲面

定義 4.1.g≥1g\geq1、h≥1h\geq1に対し、

wg=a1b1a1−1b1−1⋯agbgag−1bg−1,wh′=a1a1⋯ahahw_g=a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}, \qquad w'_h=a_1a_1\cdots a_ha_h

を標準語という。標準閉曲面をΣg=Pwg\Sigma_g=P_{w_g}、Nh=Pwh′N_h=P_{w'_h}と定め、基点を頂点π(1)\pi(1)とする。またΣ0=S2\Sigma_0=S^2と定める。

補題 4.2.g,h≥1g,h\geq1の標準語wg,wh′w_g,w'_hと、語abab−1abab^{-1}は一頂点の曲面の語である。

証明. 交換子の四辺の両端を順にv0,…,v4v_0,\ldots,v_4とする。aaの貼り合わせはv0∼v3v_0\sim v_3、v1∼v2v_1\sim v_2を、bbの貼り合わせはv1∼v4v_1\sim v_4、v2∼v3v_2\sim v_3を与えるので、五頂点は同一視される。平方aaaaの三頂点もv0∼v1∼v2v_0\sim v_1\sim v_2と同一視される。隣接するブロックは端の頂点を共有するので、標準語の頂点はすべて一つの類に入る。

abab−1abab^{-1}ではaaによりζ0∼ζ2\zeta_0\sim\zeta_2、ζ1∼ζ3\zeta_1\sim\zeta_3、bbによりζ1∼ζ0\zeta_1\sim\zeta_0、ζ2∼ζ3\zeta_2\sim\zeta_3となる。▨

系 4.3.g,h≥1g,h\geq1について、Θ\Thetaは基点をj(w0)j(w_0)に写す同相Σg≅Mwg\Sigma_g\cong M_{w_g}、Nh≅Mwh′N_h\cong M_{w'_h}を与える。Σg\Sigma_g、NhN_hおよびΣ0\Sigma_0は空でない連結閉曲面である。

証明.補題 4.2と命題 3.5 (3)により同相を得る。閉曲面であることは命題 2.3により、Σ0\Sigma_0の場合は命題 2.4 (2)による。▨

命題 4.4.

  1. Paba−1b−1P_{aba^{-1}b^{-1}}は正方形の商としての円環面T2T^2と、頂点をq(0,0)q(0,0)へ写す同相で同相である。したがってΣ1≅T2≅S1×S1\Sigma_1\cong T^2\cong S^1\times S^1である。
  2. Pabab−1P_{abab^{-1}}は正方形の商としての Klein の壺KKと、頂点をq(0,0)q(0,0)へ写す同相で同相である。
  3. ≈aa\approx_{aa}は境界のz∼−zz\sim-zで生成される同値関係であり、N1N_1は円板の商としてのRP2\mathbb{RP}^2と同じ空間である。

証明. 円周を正方形の境界へ、四辺を反時計回りにそれぞれ線形にたどる同相bbで写す。b(1)=(0,0)b(1)=(0,0)とし、中心o=(1/2,1/2)o=(1/2,1/2)を用いてg(rz)=o+r(b(z)−o)g(rz)=o+r(b(z)-o)と置くと、g:D2→[0,1]2g:D^2\to[0,1]^2は同相である。

主張 (1)と主張 (2)を示す。語aba−1b−1aba^{-1}b^{-1}の貼り合わせは、正方形の対辺を座標を保って貼る関係になる。語abab−1abab^{-1}の貼り合わせは、上下の辺を逆向きに、左右の辺を座標を保って貼る関係になる。§E21.2 定義 5.3の円環面と Klein の壺の関係に一致するので、ggはそれぞれの商の間の連続全単射を誘導する。§E21.2 命題 5.4により相手は Hausdorff なので同相である。円環面と円周の積の同相は§E21.2 命題 5.5による。

主張 (3)を示す。語aaaaではc2(s)=−c1(s)c_2(s)=-c_1(s)なので、貼り合わせは円板の境界の対蹠点の同一視である。▨

5 多角形表示の連結和

補題 5.1.B={z∈C∣∣z−1/2∣≤1/2}B=\{z\in\C\mid|z-1/2|\leq1/2\}、R=D2∖B˚R=D^2\setminus\mathring Bとし、uuを曲面の語とする。

  1. πu∣B\pi_u|_Bは埋め込みである。πu(B˚)\pi_u(\mathring B)は開集合であり、πu(∂B)\pi_u(\partial B)は円周と同相である。
  2. Pu∖πu(B˚)=πu(R)P_u\setminus\pi_u(\mathring B)=\pi_u(R)であり、πu∣R:R→πu(R)\pi_u|_R:R\to\pi_u(R)は商写像である。

証明.主張 (1)を示す。B∩S1={1}B\cap S^1=\{1\}であり、円板の内点の類は一点集合なので、πu∣B\pi_u|_Bは単射である。コンパクトから Hausdorff への連続単射であるから埋め込みである。B˚\mathring Bは飽和な開集合なので、その像は開集合である。

主張 (2)を示す。その補集合RRも飽和している。RRはコンパクト、πu(R)\pi_u(R)は Hausdorff なので、制限は閉な連続全射であり商写像である。▨

定義 5.2.S∩T=∅S\cap T=\varnothingとし、uuをSS上、vvをTT上の曲面の語とする。補題 5.1のB,RB,Rを用い、同相

πu(∂B)⟶πv(∂B),πu(z)⟼πv(zˉ)\pi_u(\partial B)\longrightarrow\pi_v(\partial B),\qquad \pi_u(z)\longmapsto\pi_v(\bar z)

による接着空間Pu#Pv=πu(R)∪fπv(R)P_u\mathbin\#P_v=\pi_u(R)\cup_f\pi_v(R)を、これらの多角形表示の連結和という。

命題 5.3.S∩T=∅S\cap T=\varnothingとし、u,vu,vをそれぞれS,TS,T上の曲面の語、nun_uをuuの長さとする。

  1. uvuvは曲面の語であり、PuvP_{uv}においてuuの部分の両端の頂点π(1)\pi(1)とπ(ζnu)\pi(\zeta_{n_u})は一致する。
  2. Puv≅Pu#PvP_{uv}\cong P_u\mathbin\#P_vである。

証明.主張 (1)を示す。uuの辺の端点の貼り合わせを、両端をまだ区別した頂点v0,…,vnuv_0,\ldots,v_{n_u}の上で考える。内部の頂点の次数は二、両端の次数は一である。v0v_0から辺をたどると、途中の頂点では必ず別の辺へ進むことができる。同じ頂点へ戻ればその頂点の次数が三以上になるので、有限回で他方の次数一の頂点vnuv_{n_u}へ到達する。したがって両端は同値である。

主張 (2)を示す。写像z↦ζ=1/(1−z)z\mapsto\zeta=1/(1-z)はR∖{1}R\setminus\{1\}を閉帯1/2≤ℜζ≤11/2\leq\Re\zeta\leq1へ同相に写す。外側の円周は直線ℜζ=1/2\Re\zeta=1/2、∂B∖{1}\partial B\setminus\{1\}は直線ℜζ=1\Re\zeta=1へ写る。共役はζ↦ζˉ\zeta\mapsto\bar\zetaに対応する。vv側の帯をζ↦2−ζ\zeta\mapsto2-\zetaで移すと、接着する内側の直線は点ごとに一致し、二つの帯の接着は1/2≤ℜζ≤3/21/2\leq\Re\zeta\leq3/2となる。

ξ=2(ℜζ−1)\xi=2(\Re\zeta-1)、τ=(2/π)arctan⁡(ℑζ)\tau=(2/\pi)\arctan(\Im\zeta)と置くと、接着して得られた帯は[−1,1]×(−1,1)[-1,1]\times(-1,1)になる。

(ξ,τ)⟼(ξ1−τ2,τ)(\xi,\tau)\longmapsto(\xi\sqrt{1-\tau^2},\tau)

は円板から上下二点を除いた部分への同相であり、τ→±1\tau\to\pm1で各横断区間をそれぞれ上下の一点へ連続に潰す。左境界を上から下へたどるとuuの辺が順に現れ、右境界を下から上へたどるとvvの辺が順に現れる。境界の各辺の媒介変数をuvuvのclc_lに合わせる向きを保つ円周の同相を選び、放射状に円板全体へ延長する。この合成の後にπuv\pi_{uv}を取る。

二つの無限遠の像は主張 (1)により同じ頂点である。したがって、この写像は各RRの接点11でも連続に延長する。外側の辺の貼り合わせは、uu側ではuu、vv側ではvvの貼り合わせに正確に一致する。内部では帯の写像は単射であり、内側の直線上で一致する点は連結和の接着で指定した点である。ゆえに、誘導写像Pu#Pv→PuvP_u\mathbin\#P_v\to P_{uv}は連続全単射である。定義域はコンパクト空間の商であり、値域は Hausdorff なので、この写像は同相である。▨

系 5.4.g≥2g\geq2、h≥2h\geq2について、Σg≅Σ1#Σg−1\Sigma_g\cong\Sigma_1\mathbin\#\Sigma_{g-1}、Nh≅N1#Nh−1N_h\cong N_1\mathbin\#N_{h-1}である。右辺の後半には、文字をa2,b2,…a_2,b_2,\ldots、またはa2,a3,…a_2,a_3,\ldotsに付け替えた標準語を用いる。

証明. 標準語を最初の交換子または平方と残りの語に分け、命題 5.3 (2)を適用する。文字の名の変更は補題 1.4 (1)により商を変えない。▨

例 5.5.Σ2=Pa1b1a1−1b1−1a2b2a2−1b2−1\Sigma_2=P_{a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}a_2b_2a_2^{-1}b_2^{-1}}は二つの円環面の連結和である。N2=Pa1a1a2a2N_2=P_{a_1a_1a_2a_2}は二つの実射影平面の連結和である。

6 向きづけ可能な語

定義 6.1. 曲面の語wwについて、各文字の二つの出現の指数が互いに反対であるとき、wwを向きづけ可能な語という。そうでない曲面の語を向きづけ不可能な語という。

補題 6.2.

  1. 名の変更、巡回置換、逆順化は、語の向きづけ可能性と向きづけ不可能性を保つ。
  2. 文字集合が互いに素な曲面の語u,vu,vについて、uvuvが向きづけ可能であることと、u,vu,vがともに向きづけ可能であることは同値である。
  3. aa−1aa^{-1}とwgw_gは向きづけ可能な語であり、wh′w'_hとabab−1abab^{-1}は向きづけ不可能な語である。

証明.主張 (1)を示す。指数の組が互いに反対であるという条件は、二つの出現の位置と文字の名によらない。逆順化は二つの指数をともに反転するので条件を保つ。

主張 (2)を示す。文字集合が互いに素な場合には、各文字の二つの出現はuuまたはvvの一方に属する。

主張 (3)は各標準語の指数を読むことにより従う。▨

注意 6.3. 語の向きづけ可能性は、辺の対に付いた指数についての条件である。曲面の局所向きによる向きづけ可能性との関係は、局所向きの定義を必要とする。

7 演習

問題 7.1. 曲面の語w=ababw=ababについて、次を示せ。

  1. 頂点の同値類を求め、wwが一頂点の語でないことを示せ。
  2. ≈abab=≈aa\approx_{abab}=\approx_{aa}を示し、Pabab=N1=RP2P_{abab}=N_1=\mathbb{RP}^2を導け。
  3. Θabab\Theta_{abab}は単射でなく、PababP_{abab}とMababM_{abab}は同相でないことを示せ。
解答.
  1. aaの貼り合わせからζ0∼ζ2\zeta_0\sim\zeta_2、ζ1∼ζ3\zeta_1\sim\zeta_3を得る。bbの貼り合わせも同じ二組を結ぶので、頂点の類は{ζ0,ζ2}\{\zeta_0,\zeta_2\}と{ζ1,ζ3}\{\zeta_1,\zeta_3\}である。
  2. c3(s)=−c1(s)c_3(s)=-c_1(s)、c4(s)=−c2(s)c_4(s)=-c_2(s)であり、これらの対は境界のすべての対蹠点の対を尽くす。したがって両同値関係は一致し、命題 4.4 (3)により主張を得る。
  3. 二つの異なる頂点の類はΘabab\Theta_{abab}によってj(w0)j(w_0)へ写るので、この写像は単射でない。PababP_{abab}は曲面であり、二頂点を潰した商がMababM_{abab}である。二頂点の互いに交わらない開円板近傍を取ると、その像の中の潰した点のどの開近傍も、一点を除くと二つの空でない部分へ分離する。ゆえにMababM_{abab}は曲面でなく、二つの空間は同相でない。aaaaとababababは同じ空間を与えるので、一頂点であることは語の性質である。

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