§E21.15相対ホモロジーと長完全列

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部分空間のホモロジーと空間全体のホモロジーを比べると、部分空間では非零であった類が全体では零になることがある。こうした変化を記述するために、部分空間の鎖を零とみなして得られる相対ホモロジーを考える。たとえば、区間を端から端まで進む道は通常の輪体ではないが、両端点に対する相対輪体となる。相対ホモロジーと対の長完全列は、空間と部分空間のホモロジーを比較するための最も基本的な手段の一つである。本記事では、相対ホモロジーと長完全列の基本的な性質を解説する。

1 相対鎖複体

補題 1.1.X,YX,Yを位相空間、A⊆XA\subseteq X、B⊆YB\subseteq Yを部分空間とする。

  1. 像がAAに含まれる特異単体が張る部分群をC∙(A)C_\bullet(A)と同一視すると、C∙(A)C_\bullet(A)はC∙(X)C_\bullet(X)の部分複体である。
  2. f(A)⊆Bf(A)\subseteq Bを満たす連続写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Yの誘導鎖写像はC∙(A)C_\bullet(A)をC∙(B)C_\bullet(B)へ写し、商の鎖写像C∙(X)/C∙(A)→C∙(Y)/C∙(B)C_\bullet(X)/C_\bullet(A)\to C_\bullet(Y)/C_\bullet(B)とそのホモロジーの準同型を誘導する。これらの対応は恒等写像と合成を保つ。

証明.主張 (1)を示す。部分空間位相の普遍性により、像がAAに含まれるXXの特異単体はAAへの特異単体と同じである。面の像は元の単体の像に含まれるので、その基底が張る部分群は境界作用素で保たれる。主張 (2)を示す。f(A)⊆Bf(A)\subseteq Bならば、像がAAに含まれる単体σ\sigmaの合成f∘σf\circ\sigmaの像はBBに含まれる。したがって鎖写像f#f_\#は商の鎖写像を誘導する。§E21.13 命題 1.6 (2)の等式を商へ移し、輪体の類をとると関手性を得る。▨

定義 1.2 (相対ホモロジーと対の写像).

  1. 位相空間XXと部分空間A⊆XA\subseteq Xに対し、補題 1.1 (1)の商複体C∙(X,A)=C∙(X)/C∙(A)C_\bullet(X,A)=C_\bullet(X)/C_\bullet(A)を相対鎖複体 (relative chain complex) という。そのホモロジーHn(X,A)H_n(X,A)を対(X,A)(X,A)の第nn相対ホモロジー群 (relative homology group) という。商複体の輪体と境界を、それぞれ相対輪体 (relative cycle)、相対境界 (relative boundary) という。
  2. f(A)⊆Bf(A)\subseteq Bを満たす連続写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを対の写像 (map of pairs)f ⁣:(X,A)→(Y,B)f\colon(X,A)\to(Y,B)という。補題 1.1 (2)の鎖写像をf#f_\#、ホモロジーの射をf∗f_*と書く。
  3. 部分空間A⊆B⊆XA\subseteq B\subseteq Xの組を三つ組(X,B,A)(X,B,A)という。f(B)⊆B′f(B)\subseteq B'とf(A)⊆A′f(A)\subseteq A'を満たす連続写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを三つ組の写像 (map of triples)f ⁣:(X,B,A)→(Y,B′,A′)f\colon(X,B,A)\to(Y,B',A')という。

補題 1.3.AAを位相空間XXの部分空間、n∈Zn\in\Zとする。

  1. Cn(X,A)C_n(X,A)は、像がAAに含まれない特異nn単体の類を基底とする自由アーベル群である。列0→Cn(A)→Cn(X)→Cn(X,A)→00\to C_n(A)\to C_n(X)\to C_n(X,A)\to0は分裂短完全列である。
  2. c+Cn(A)c+C_n(A)が相対輪体である条件は∂c∈Cn−1(A)\partial c\in C_{n-1}(A)である。二つの代表鎖が同じ相対ホモロジー類を表す条件は、その差が∂b+a\partial b+a、b∈Cn+1(X)b\in C_{n+1}(X)、a∈Cn(A)a\in C_n(A)と表されることである。

証明.主張 (1)を示す。特異単体の基底を、像がAAに含まれるものと含まれないものへ分ける。後者が張る自由部分群への射影によって商群を同一視すると、自由性と各次数の分裂を得る。主張 (2)を示す。商で∂(c+Cn(A))=0\partial(c+C_n(A))=0となる条件は∂c∈Cn−1(A)\partial c\in C_{n-1}(A)である。商で二つの輪体の差が境界となる条件は、ある境界∂b\partial bが存在して、輪体の差からこの境界を引いた鎖がCn(A)C_n(A)に属することである。▨

2 対と三つ組の長完全列

定理 2.1. 位相空間の対(X,A)(X,A)に対し、包含i ⁣:A→Xi\colon A\to Xと商の鎖写像qqによる自然な長完全列

⋯⟶Hn(A)→i∗Hn(X)→q∗Hn(X,A)→δHn−1(A)→i∗Hn−1(X)⟶⋯\cdots\longrightarrow H_n(A)\xrightarrow{i_*}H_n(X) \xrightarrow{q_*}H_n(X,A)\xrightarrow{\delta}H_{n-1}(A) \xrightarrow{i_*}H_{n-1}(X)\longrightarrow\cdots

が存在する。相対輪体をc∈Cn(X)c\in C_n(X)で代表すると、連結準同型はδ[c+Cn(A)]=[∂c]\delta[c+C_n(A)]=[\partial c]である。

証明.補題 1.3により、0→C∙(A)→C∙(X)→C∙(X,A)→00\to C_\bullet(A)\to C_\bullet(X)\to C_\bullet(X,A)\to0は鎖複体の短完全列である。§E6.34 定理 2.2を適用すると長完全列を得る。相対輪体の持ち上げにccをとると、その境界はCn−1(A)C_{n-1}(A)の元∂c\partial cなので、一般の連結準同型の公式は表示された式になる。対の写像は短完全列の射を与えるから、§E6.34 命題 2.3により列は対の写像について自然である。▨

例 2.2.I=[0,1]I=[0,1]、∂I={0,1}\partial I=\{0,1\}とし、ι ⁣:Δ1→I\iota\colon\Delta^1\to Iをι(t0,t1)=t1\iota(t_0,t_1)=t_1とする。このとき、∂ι=[1]−[0]\partial\iota=[1]-[0]はC0(∂I)C_0(\partial I)に属するので、ι\iotaは相対輪体を表すが通常の輪体ではない。定理 2.1により

δ[ι]=[1]−[0]∈H0(∂I)\delta[\iota]=[1]-[0]\in H_0(\partial I)

である。区間は可縮なので§E21.13 系 3.4 (2)によりH1(I)=0H_1(I)=0である。§E21.13 命題 2.2によりH0(∂I)→H0(I)H_0(\partial I)\to H_0(I)はZ2→Z\Z^2\to\Zの和の写像に対応する。完全性からδ\deltaは単射であり、その像はZ([1]−[0])\Z([1]-[0])である。したがってH1(I,∂I)H_1(I,\partial I)は[ι][\iota]を生成元とする無限巡回群である。

定義 2.3 (係数付き相対ホモロジー). 位相空間の対(X,A)(X,A)とアーベル群MMに対し、相対鎖複体のテンソル複体を

Cn(X,A;M)=Cn(X,A)⊗ZM,∂nM=∂n⊗id⁡MC_n(X,A;M)=C_n(X,A)\otimes_{\Z}M, \qquad\partial_n^M=\partial_n\otimes\id_M

と書く。そのホモロジーHn(X,A;M)H_n(X,A;M)をMM係数相対ホモロジー群 (relative homology group with coefficients) という。

命題 2.4.(X,A)(X,A)、(Y,B)(Y,B)を位相空間の対、M,NM,Nをアーベル群とする。

  1. 対の写像f ⁣:(X,A)→(Y,B)f\colon(X,A)\to(Y,B)と準同型u ⁣:M→Nu\colon M\to Nは鎖写像f#⊗uf_\#\otimes uを誘導する。この対応と、それがホモロジー上に誘導する対応は、恒等写像と合成を保つ。
  2. 自然な同型C∙(X,A;M)≅C∙(X;M)/C∙(A;M)C_\bullet(X,A;M)\cong C_\bullet(X;M)/C_\bullet(A;M)があり、自然な長完全列 ⋯⟶Hn(A;M)⟶Hn(X;M)⟶Hn(X,A;M)→δHn−1(A;M)⟶⋯\cdots\longrightarrow H_n(A;M)\longrightarrow H_n(X;M) \longrightarrow H_n(X,A;M)\xrightarrow{\delta}H_{n-1}(A;M)\longrightarrow\cdots を得る。相対輪体をc∈Cn(X;M)c\in C_n(X;M)で代表するとδ[c]=[∂Mc]\delta[c]=[\partial^Mc]である。自然性は対の写像と係数の準同型について成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。補題 1.1 (2)の鎖写像へテンソル積を施すと、§E6.12 命題 12.1により鎖写像と関手性を得る。主張 (2)を示す。補題 1.3 (1)の各次数の分裂は、§E6.12 命題 18.1により−⊗ZM-\otimes_{\Z}Mの後も分裂である。したがって

0⟶C∙(A;M)⟶C∙(X;M)⟶C∙(X,A;M)⟶00\longrightarrow C_\bullet(A;M)\longrightarrow C_\bullet(X;M) \longrightarrow C_\bullet(X,A;M)\longrightarrow0

は短完全列であり、商の同一視を得る。§E6.34 定理 2.2と§E6.34 命題 2.3により、長完全列、連結準同型の公式および自然性を得る。A=∅A=\varnothingならば、この鎖複体はC∙(X;M)C_\bullet(X;M)に等しい。▨

命題 2.5.A⊆B⊆XA\subseteq B\subseteq Xを位相空間の部分空間とする。

  1. 包含と商の写像による列 0⟶C∙(B,A)⟶C∙(X,A)⟶C∙(X,B)⟶00\longrightarrow C_\bullet(B,A)\longrightarrow C_\bullet(X,A) \longrightarrow C_\bullet(X,B)\longrightarrow0 は、各次数で分裂する鎖複体の短完全列である。
  2. 任意のアーベル群MMに対し、三つ組の写像と係数の準同型について自然な長完全列 ⋯⟶Hn(B,A;M)⟶Hn(X,A;M)⟶Hn(X,B;M)→δHn−1(B,A;M)⟶⋯\cdots\longrightarrow H_n(B,A;M)\longrightarrow H_n(X,A;M) \longrightarrow H_n(X,B;M)\xrightarrow{\delta}H_{n-1}(B,A;M)\longrightarrow\cdots がある。δ\deltaは、対(X,B)(X,B)の連結準同型と商の誘導射Hn−1(B;M)→Hn−1(B,A;M)H_{n-1}(B;M)\to H_{n-1}(B,A;M)の合成である。

証明.主張 (1)を示す。Cn(X,A)C_n(X,A)の基底を、像がBBに含まれるものと含まれないものに分けると、前者がCn(B,A)C_n(B,A)、後者の類がCn(X,B)C_n(X,B)の基底になる。したがって各次数の列は分裂短完全である。写像は微分と可換であり、−⊗M-\otimes Mの後も分裂短完全である。主張 (2)を示す。§E6.34 定理 2.2を適用すると長完全列を得る。c∈Cn(X;M)c\in C_n(X;M)が(X,B)(X,B)の相対輪体を代表すると、その連結像は∂Mc\partial^McのCn−1(B,A;M)C_{n-1}(B,A;M)における類である。これは主張の合成に等しい。三つ組の写像は三つの対(B,A)(B,A)、(X,A)(X,A)、(X,B)(X,B)の間の写像を与える。したがって§E6.34 命題 2.3により自然性を得る。▨

補題 2.6.A⊆B⊆XA\subseteq B\subseteq Xを位相空間の部分空間、MMをアーベル群とする。

  1. AAがBBの変位レトラクトならば、包含A↪BA\hookrightarrow Bはすべての次数で同型Hn(A;M)→Hn(B;M)H_n(A;M)\to H_n(B;M)を誘導する。
  2. 包含A↪BA\hookrightarrow Bがすべての次数で同型Hn(A;M)→Hn(B;M)H_n(A;M)\to H_n(B;M)を誘導するならば、すべての次数でHn(B,A;M)=0H_n(B,A;M)=0である。
  3. 同じ仮定のもとで、対の写像(X,A)→(X,B)(X,A)\to(X,B)はすべての次数で同型Hn(X,A;M)→Hn(X,B;M)H_n(X,A;M)\to H_n(X,B;M)を誘導する。

証明.主張 (1)を示す。変位レトラクトの包含は§E21.1 命題 3.2によりホモトピー同値写像であるから、§E21.14 命題 1.5 (2)により係数付きホモロジーの同型を誘導する。主張 (2)を示す。包含が全次数でホモロジーの同型を誘導すると仮定する。対(B,A)(B,A)の係数付き長完全列において、Hn(B;M)→Hn(B,A;M)H_n(B;M)\to H_n(B,A;M)は零写像であり、Hn(B,A;M)→Hn−1(A;M)H_n(B,A;M)\to H_{n-1}(A;M)は単射で像が零である。したがってHn(B,A;M)=0H_n(B,A;M)=0である。主張 (3)を示す。三つ組の長完全列でHn(B,A;M)H_n(B,A;M)とHn−1(B,A;M)H_{n-1}(B,A;M)が零となるので、Hn(X,A;M)→Hn(X,B;M)H_n(X,A;M)\to H_n(X,B;M)は同型である。▨

3 被約ホモロジー

補題 3.1. 位相空間XXに対し、各特異零単体を11へ送る準同型をε ⁣:C0(X)→Z\varepsilon\colon C_0(X)\to\Zとする。このとき、ε∂1=0\varepsilon\partial_1=0であり、C∙(X)C_\bullet(X)に次数−1-1の項Z\Zと微分∂0=ε\partial_0=\varepsilonを加え、次数−2-2以下を零とすると鎖複体を得る。

証明. 特異一次単体の境界は終点と始点の差であるから、その増大は1−1=01-1=0である。ほかの隣接する微分の合成は、特異鎖複体の平方零の等式か、零写像との合成である。▨

定義 3.2 (被約ホモロジー). 位相空間XXに対し、補題 3.1の準同型ε\varepsilonを増大写像 (augmentation)、同補題の鎖複体を増大特異鎖複体 (augmented singular chain complex) といい、C~∙(X)\widetilde C_\bullet(X)と書く。そのホモロジーH~n(X)\widetilde H_n(X)を第nn被約ホモロジー群 (reduced homology group) という。

補題 3.3.XXを位相空間とする。

  1. n>0n>0ではH~n(X)=Hn(X)\widetilde H_n(X)=H_n(X)であり、H~0(X)=ker⁡(ε∗ ⁣:H0(X)→Z)\widetilde H_0(X)=\ker(\varepsilon_*\colon H_0(X)\to\Z)である。
  2. x0∈Xx_0\in Xを選ぶと、H~−1(X)=0\widetilde H_{-1}(X)=0であり、k↦k[x0]k\mapsto k[x_0]を切断とする分裂短完全列 0⟶H~0(X)⟶H0(X)→ε∗Z⟶00\longrightarrow\widetilde H_0(X)\longrightarrow H_0(X)\xrightarrow{\varepsilon_*}\Z\longrightarrow0 を得る。特にH0(X)≅H~0(X)⊕ZH_0(X)\cong\widetilde H_0(X)\oplus\Zであり、XXが弧状連結ならばH~0(X)=0\widetilde H_0(X)=0である。
  3. x0∈Xx_0\in Xとn≥1n\geq1に対し、商の鎖写像が誘導するHn(X)→Hn(X,{x0})H_n(X)\to H_n(X,\{x_0\})は同型である。

証明.主張 (1)を示す。正の次数では輪体と境界を定める微分は通常の複体と同じであり、次数零の輪体群はker⁡ε\ker\varepsilonである。ε∂1=0\varepsilon\partial_1=0なので、商をとるとH~0(X)=ker⁡ε∗\widetilde H_0(X)=\ker\varepsilon_*を得る。主張 (2)を示す。x0∈Xx_0\in Xならばε(x0)=1\varepsilon(x_0)=1であるからε\varepsilonは全射である。したがって、H~−1(X)=0\widetilde H_{-1}(X)=0である。さらにε∗(k[x0])=k\varepsilon_*(k[x_0])=kなので表示された切断を得る。XXが弧状連結ならば§E21.13 命題 2.2により[x0][x_0]がH0(X)H_0(X)の基底であるから、核は零である。

主張 (3)を示す。対(X,{x0})(X,\{x_0\})の長完全列で、§E21.13 命題 2.4によりHn({x0})=0H_n(\{x_0\})=0はn≥1n\geq1で成り立つ。n≥2n\geq2ではHn−1({x0})=0H_{n-1}(\{x_0\})=0でもあるので所要の射は同型である。n=1n=1ではH0({x0})→H0(X)H_0(\{x_0\})\to H_0(X)が上の切断に等しく単射である。完全性により、この場合もH1(X)→H1(X,{x0})H_1(X)\to H_1(X,\{x_0\})は同型である。▨

系 3.4.

  1. 位相空間の間のホモトピー同値写像f ⁣:X→Yf\colon X\to Yは、すべての整数nnで同型f∗ ⁣:H~n(X)→H~n(Y)f_*\colon\widetilde H_n(X)\to\widetilde H_n(Y)を誘導する。
  2. 空でない可縮な位相空間XXについて、すべての整数nnでH~n(X)=0\widetilde H_n(X)=0である。

証明. 連続写像は特異零単体を特異零単体へ送るので増大写像と可換であり、次数−1-1で恒等写像とすることで増大鎖複体の射を誘導する。主張 (1)を示す。ffがホモトピー同値写像ならば、§E21.13 系 3.3により通常のホモロジーの射は同型である。正の次数では補題 3.3 (1)を用い、次数零では増大写像の核へこの同型を制限すると結論を得る。X≠∅X\ne\varnothingならばY≠∅Y\ne\varnothingでもあるから、次数−1-1の両群は零である。X=∅X=\varnothingならば逆写像の存在からY=∅Y=\varnothingであり、増大複体の射は恒等写像である。次数−2-2以下では両群が零である。主張 (2)を示す。空でない可縮空間は一点空間とホモトピー同値である。一点空間の被約ホモロジーは§E21.13 命題 2.4と補題 3.3により全次数で零なので、可縮空間についても零である。▨

命題 3.5.

  1. AAを位相空間XXの空でない部分空間とする。このとき、対の写像について自然な長完全列 ⋯⟶H~n(A)⟶H~n(X)⟶Hn(X,A)→δH~n−1(A)⟶⋯⟶H~0(X)⟶H0(X,A)⟶0\cdots\longrightarrow\widetilde H_n(A)\longrightarrow\widetilde H_n(X) \longrightarrow H_n(X,A)\xrightarrow{\delta}\widetilde H_{n-1}(A) \longrightarrow\cdots\longrightarrow\widetilde H_0(X)\longrightarrow H_0(X,A)\longrightarrow0 がある。n≥1n\geq1の連結準同型は、相対輪体の代表鎖ccに対してδ[c]=[∂c]\delta[c]=[\partial c]である。
  2. x0∈Xx_0\in Xならば、商の鎖写像はすべての整数nnで同型H~n(X)→Hn(X,{x0})\widetilde H_n(X)\to H_n(X,\{x_0\})を誘導する。

証明.主張 (1)を示す。次数−1-1で恒等写像と零写像を用いると、

0⟶C~∙(A)⟶C~∙(X)⟶C∙(X,A)⟶00\longrightarrow\widetilde C_\bullet(A)\longrightarrow\widetilde C_\bullet(X) \longrightarrow C_\bullet(X,A)\longrightarrow0

は短完全列である。§E6.34 定理 2.2と§E6.34 命題 2.3を適用する。A≠∅A\ne\varnothingなのでH~−1(A)=0\widetilde H_{-1}(A)=0であり、表示された末尾を得る。連結準同型の公式も一般の公式から従う。主張 (2)を示す。A={x0}A=\{x_0\}ならば、一点空間の増大複体のホモロジーは全次数で零であるから、同じ列の完全性がすべての次数の同型を与える。▨

4 整数係数による同型の検出

命題 4.1.

  1. 非負次数に集中する自由アーベル群の鎖複体の間の擬同型φ ⁣:C→D\varphi\colon C\to Dに対し、任意のアーベル群MMについてφ⊗id⁡M\varphi\otimes\id_Mは擬同型である。
  2. 対の写像f ⁣:(X,A)→(Y,B)f\colon(X,A)\to(Y,B)が全次数の整数係数相対ホモロジーで同型を誘導するならば、任意のアーベル群MMと整数nnについてf∗ ⁣:Hn(X,A;M)→Hn(Y,B;M)f_*\colon H_n(X,A;M)\to H_n(Y,B;M)は同型である。

証明.主張 (1)を示す。§E6.35 補題 3.1 (2)をR=ZR=\Zに適用すると、φ⊗id⁡M\varphi\otimes\id_Mは鎖ホモトピー同値であり、したがって擬同型である。主張 (2)を示す。補題 1.3 (1)により、相対特異鎖複体は非負次数に集中する自由アーベル群の複体である。対の写像が誘導する鎖写像に前の結論を適用すると、係数付き相対ホモロジーの同型を得る。▨

例 4.2.CCを次数1,01,0にZ\Zを置き、微分を×2\times2とした鎖複体、DDを次数零にZ/2Z\Z/2\Zだけを置いた鎖複体とする。このとき、次数零の商写像と次数一の零写像によるC→DC\to Dは擬同型である。実際、H1(C)=0H_1(C)=0、H0(C)=Z/2ZH_0(C)=\Z/2\Zであり、ほかの次数の群は零である。M=Z/2ZM=\Z/2\ZをテンソルするとC⊗MC\otimes Mの微分は零となるので、H1(C⊗M)=Z/2ZH_1(C\otimes M)=\Z/2\Zである。一方、H1(D⊗M)=0H_1(D\otimes M)=0である。したがって係数変更後の写像は擬同型でなく、自由性を欠く複体には命題 4.1 (1)を適用することができない。

5 演習

問題 5.1. 任意の位相空間XXと整数nnについて、Hn(X,X)=0H_n(X,X)=0を定義から示せ。

解答.

各次数でCn(X,X)=Cn(X)/Cn(X)=0C_n(X,X)=C_n(X)/C_n(X)=0である。したがって輪体群と境界群はともに零であり、ホモロジーも零である。▨

問題 5.2. 位相空間XXの点x0x_0を含む弧状連結成分をP0P_0とする。H0(X,{x0})H_0(X,\{x_0\})が、P0P_0以外の弧状連結成分を基底とする自由アーベル群と同型であることを示せ。

解答.

対の長完全列の末尾は

H0({x0})⟶H0(X)⟶H0(X,{x0})⟶0H_0(\{x_0\})\longrightarrow H_0(X)\longrightarrow H_0(X,\{x_0\})\longrightarrow0

である。§E21.13 命題 2.2によりH0(X)H_0(X)は弧状連結成分を基底とする自由アーベル群であり、左の射は生成元をP0P_0の基底元へ送る。その余核は残る基底元が張る自由アーベル群である。▨

参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.相対鎖複体、長完全列および被約ホモロジーの標準的な構成を参考にした。

前提記事