§E21.8van Kampen の定理

証明.主張 (1)を示す。$\alpha^{-1}(U),\alpha^{-1}(V)$は区間の開被覆である。§E2.9 補題 2.3により、十分細かい等分割の各小区間は一方の逆像に含まれる。同じ集合を選んだ隣接小区間をまとめると、残る各分点は$U$と$V$の両方に写る。

主張 (2)を示す。二つの制限をつないだ道は、$[0,1/2]$を$[0,s_1]$へ、$[1/2,1]$を$[s_1,1]$へ線形に写す端点を保つ再媒介変数によって元の道から得られる。§E21.3 補題 2.1により両者は両端を固定してホモトピックである。残りの分点へこの議論を順次適用し、§E21.3 命題 1.4と§E21.3 補題 2.3を用いると主張 (2)を得る。▨

証明.主張 (1)を示す。$N$の定義から、$A$内の基点付きループ$\omega$について

である。補題 1.1 (1)の分割を取り、分点へ至る道を$A$の中で選ぶと、必要な組が存在する。

二つの組に共通の細分を取る。各分点の像が$A$に属するときには補助道を$A$内に選び直す。像が$A$に属さない分点では、両方の組の隣接記号は同じ一方の集合である。その集合内で補助道をそろえる。二つの組で記号が異なる小片は$A$内にあるので、その記号もそろえることができる。三つの主張により、二つの$W$は一致する。

主張 (2)を示す。端点固定ホモトピー$H:[0,1]^2\to X$を取る。逆像の被覆の Lebesgue 数を用いて、各小正方形の像が$U$または$V$に含まれる格子を取る。各格子点へ$x_0$から補助道を選ぶ。その点に接する小正方形の記号が二種類なら$A$内、一種類ならその集合内に選ぶ。左辺と右辺ではそれぞれ固定した$\eta,\eta'$を選ぶ。

格子の有向辺$e$の始点と終点の補助道を$\lambda_a,\lambda_b$とし、$\theta_\epsilon([\lambda_a*H(e)*\bar\lambda_b])$を辺の値とする。両側の記号が異なる辺では、辺と補助道はすべて$A$内にあるので値は両側で一致する。各小正方形の下辺、右辺、左辺、上辺の値を$b,r,l,t$とすると、正方形の境界はその像の中で零ホモトピックなので、

を得る。この関係で格子道の「右、上」を「上、右」へ一つずつ交換すると、外枠の下辺と右辺の積が左辺と上辺の積に等しくなる。左右の辺は定値で補助道も一定なので、その値はすべて単位元である。下辺と上辺の値は主張 (1)によりそれぞれ$W_{\eta,\eta'}(\alpha)$と$W_{\eta,\eta'}(\alpha')$に等しい。▨

証明.§E7.9 定理 2.5により$\Phi$が存在する。包含の合成は等しいので$k_Ui_U=k_Vi_V$であり、$N\subseteq\ker\Phi$である。§E7.7 定理 2.4により$\bar\Phi:G=P/N\to\pi_1(X,x_0)$を得る。

$x_0$の定値道を$e$とする。補題 1.2 (2)により$\Omega([\alpha])=W_{e,e}(\alpha)$は$\pi_1(X,x_0)$上の写像を定める。二つのループの分割を連結して用いると$\Omega([\alpha][\beta])=\Omega([\alpha])\Omega([\beta])$となるので、$\Omega$は準同型である。

$\bar\Phi\Omega([\alpha])$では隣り合う補助道と逆道が消去され、補題 1.1 (2)により$[\alpha]$が残る。一方、$U$または$V$内のループには分割を置かずに$W$を計算することができるので、$\Omega\bar\Phi\theta_U=\theta_U$、$\Omega\bar\Phi\theta_V=\theta_V$である。自由積の普遍性の一意性により$\Omega\bar\Phi p=p$となり、$p$の全射性から$\Omega\bar\Phi=\id_G$を得る。ゆえに$\bar\Phi$は同型であり、$\Phi=\bar\Phi p$は全射、$\ker\Phi=N$である。▨

証明.$S=\{x_1,\ldots,x_m\}$と並べる。平面内の円周$C_j=\{z\in\C\mid |z-j|=j\}$は互いに原点だけで交わる。各円周を基点$1$が原点へ写る同相で$C_j$へ写すと、楔和の普遍性により$W_S\to M_m=\bigcup_{j=1}^mC_j$を得る。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射なので同相である。

$C_j\setminus\{2j\}$の座標を$t=\Im z/(2j-\Re z)$とすると、逆写像は

であり、原点は$t=0$に対応する。座標$t$を$(1-s)t$に替えるホモトピーは、この弧を原点へ縮め、原点を固定する。

$m\geq2$とし、$U=M_m\setminus\{2m\}$、$V=M_m\setminus\{2,4,\ldots,2(m-1)\}$と置く。いずれも開集合である。上のホモトピーを用いて、$U$は$M_{m-1}$へ、$V$は$C_m$へ変位レトラクトし、$U\cap V$は原点へ縮む。これらの写像は有限個の閉部分集合$C_j\cap U$などの上で定められ、交わりで原点を固定するので連続である。van Kampen の定理により、包含が誘導する写像は$\pi_1(M_{m-1})*\pi_1(C_m)\cong\pi_1(M_m)$を与える。$m=1$は§E21.6 定理 1.5 (1)と§E21.6 定理 1.5 (2)による。帰納法と§E7.9 命題 2.6により、指定した生成元を保つ同型$\psi_S$を得る。▨

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。球面は Hausdorff なので一点は閉である。$\lVert x-p\rVert^2=2(1-\langle x,p\rangle)$により、$x\neq p$で$\tau_p$の分母は正である。その値は$p$に直交する。$a=\lVert v\rVert^2$と置くと、$v\perp p$により$\lVert2v+(a-1)p\rVert^2=4a+(a-1)^2=(a+1)^2$であり、$\sigma_p(v)$は球面上にある。その高さは$(a-1)/(a+1)<1$なので$p$ではなく、主張 (2)も従う。

逆写像の高さを$\tau_p$に代入すると$\tau_p\sigma_p(v)=v$となる。他方、$t=\langle x,p\rangle$に対し$\lVert\tau_p(x)\rVert^2=(1+t)/(1-t)$である。この等式を$\sigma_p$に代入すると$\sigma_p\tau_p(x)=x$を得る。両写像は分母が零でない式で定まる連続写像なので、互いに逆な同相である。直交補空間の正規直交基底は$p^\perp\cong\R^m$を与える。

主張 (3)を示す。$m\geq1$では、$p^\perp$に単位ベクトル$u$が存在する。二つの弧状連結な開集合$S^m\setminus\{p\}$と$S^m\setminus\{-p\}$はともに$u$を含み、球面を覆う。したがって球面は弧状連結である。▨

証明.$p\in S^n$を取り、$U=S^n\setminus\{p\}$、$V=S^n\setminus\{-p\}$と置く。立体射影により$U,V$は$\R^n$と同相なので単連結である。$\tau_p(-p)=0$であるから、$U\cap V\cong\R^n\setminus\{0\}$である。$n\geq2$では、非零な二点を結ぶ線分が原点を通る場合にも、両点を通る直線の外の一点を経由する二本の線分で両点を結ぶことができる。したがって交わりは弧状連結である。van Kampen の定理により基本群は自明であり、補題 3.2 (3)と基点変更により任意の基点について結論を得る。▨

証明.

有限個の円板を一枚ずつ接着する。接着の普遍性により、反復した接着空間は一括して接着した空間$Y$と同相である。各段の基本群の写像は全射であり、既に得た商群に次の$[\varphi_r\circ\sigma]$の像を単位元とする関係を加える。商群の普遍性によれば、この反復した商は元の群で全ての$[\varphi_r\circ\sigma]$の正規閉包を取った商である。$R=\varnothing$の場合は恒等写像であり、核は自明群である。▨

証明.主張 (1)を示す。円板の各点から境界への道と$W_S$内の道をつなぐと、$M_w$は弧状連結である。命題 3.1の同型の下で、$[\varphi_w\circ\sigma]=[\lambda_w]$は語$w$に対応する。実際、補題 1.1 (2)により、$\lambda_w$は指定された生成ループと逆ループを順につないだ道にホモトピックである。命題 4.1により主張 (1)を得る。主張 (2)は§E21.7 命題 3.5 (3)の同相による。▨

証明.§E21.7 命題 4.4 (1)、§E21.7 補題 4.2と補題 4.2 (2)により表示を得る。関係式は$ab=ba$であり、任意の元は$a^mb^n$と書くことができる。$(m,n)\mapsto a^mb^n$と$a\mapsto(1,0),b\mapsto(0,1)$が誘導する写像は互いに逆な準同型である。▨

証明.§E21.7 命題 4.4 (2)の同相と§E21.7 補題 4.2に補題 4.2 (2)を適用する。▨

証明.§E21.7 系 4.3の同相により$\Sigma_g\cong M_{w_g}$なので、補題 4.2 (1)を適用する。▨

証明. 基本群は§E21.7 系 4.3と補題 4.2 (1)による。連結和の表示は§E21.7 系 5.4と§E21.7 命題 4.4 (3)による。▨