§E21.24胞体ホモロジーと特異ホモロジーの一致

証明.$P=C_\bullet(X^n,X^{n-1})$は非負次数に集中する自由アーベル群の鎖複体である（§E21.15 補題 1.3 (1)）。§E21.23 命題 1.1により、そのホモロジーは次数$n$だけに集中し、胞体の類を基底とする。各基底元の相対輪体代表$z_\alpha$を選ぶ。次数$n$にだけ$\bigoplus_\alpha\Z$を置いた複体$E$から$P$へ、基底元を$z_\alpha$に送る鎖写像を作ると、これは擬同型である。

§E21.15 命題 4.1 (1)により$E\otimes M\to P\otimes M$も擬同型である。したがって係数付きの相対ホモロジーは次数$n$だけに集中し、その次数では$\bigoplus_\alpha M$に同型である。任意の相対輪体$z$について$[z]=\sum_\alpha c_\alpha[z_\alpha]$と書けば、$z-\sum_\alpha c_\alpha z_\alpha$は境界である。これを$m$とテンソルしても境界なので、得られた同型は表示した$\theta_n$に等しく、代表の選択によらない。▨

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。$m=0$では前補題を$(X^0,\varnothing)$に適用する。一般の$m$では、対$(X^m,X^{m-1})$の係数付き長完全列で、相対群が次数$m$以外では零であることを用いる。$k>m$では$H_k(X^{m-1};M)=0$という帰納法の仮定から$H_k(X^m;M)=0$を得る。$k<m-1$では包含の誘導準同型の両側の相対群が零であり、$k=m-1$では右側の相対群が零である。したがって主張 (2)が成り立つ。▨

証明. CW 複体のコンパクト部分集合は有限部分複体に含まれ、したがってある骨格に含まれる（§E21.22 定理 2.4）。§E21.14 系 1.7により

である。前補題によれば、$k<m$では$j\geq m$のすべての遷移写像が同型である。$k=m$では$X^m$から$X^{m+1}$への写像が全射であり、その後の遷移写像はすべて同型である。よって帰納極限への写像はそれぞれ同型、全射となる。▨

証明.主張 (1)を示す。長完全列の連続する準同型の合成は零なので、$d_{n-1}^Md_n^M=0$である。$n\geq1$について、対$(X^n,X^{n-1})$の長完全列で$H_n(X^{n-1};M)=0$を用いると、$j_n^M$は単射で、その像は$\ker\delta_n^M$である。同じ理由により$j_{n-1}^M$も単射なので、$\ker\delta_n^M=\ker d_n^M$となる。$n=0$では$j_0^M$は恒等写像であり、主張 (1)は直ちに成り立つ。

主張 (2)を示す。対$(X^{n+1},X^n)$の長完全列と$H_n(X^{n+1},X^n;M)=0$から、

である。主張 (1)の$j_n^M$を用いて左辺を移せば、$H_n(C_*^M)$となる。さらに補題 1.3により$H_n(X^{n+1};M)\to H_n(X;M)$は同型である。この合成が主張 (2)の式を満たす。主張 (1)によりすべての胞体輪体を$j_n^M(a)$と書くことができるので、一意性も従う。

主張 (3)を示す。胞体写像$f:X\to Y$と準同型$u:M\to N$は、各骨格対の相対ホモロジーに写像を誘導し、長完全列の自然性から$d^M,d^N$と可換になる。$j,\lambda$とも可換なので、主張 (2)の特徴づけから$\Phi$の自然性を得る。最後に、相対輪体の代表について

である。したがって$d_n^M\theta_n=\theta_{n-1}(d_n^{\mathrm{cell}}\otimes\id_M)$となり、各$\theta_n$が同型であることから鎖複体の同型を得る。▨

証明. 各$\sigma_\alpha$の境界は下の骨格に入るので、相対類$[\sigma_\alpha]$は定まる。連結準同型の代表元公式から、その胞体境界は各面の相対類の交代和である。したがって、生成元であることをまだ仮定しなくても、表示した$\Psi$は鎖写像である。

主張 (1)を示す。$n$について帰納法を用いる。$n=0$は一点のホモロジーの計算である。$\Delta^n$に、すべての面からなる CW 構造を入れる。$H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n)$の生成元を$v$とし、$[\id_{\Delta^n}]=mv$と書く。帰納法の仮定により、各$(n-1)$面の相対類は対応する胞体鎖群の基底元$b_j$とすることができる。鎖写像性から

である。右辺の$b_0$の係数は$1$なので、整数$m$は$1$を割り、$m=\pm1$となる。したがって主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。指定された向きを選べば、各$\sigma_\alpha$の相対類は対応する胞体の基底元そのものである。よって既に得た鎖写像$\Psi$は各次数で基底を全単射に写し、鎖複体の同型となる。▨

証明. 単体的輪体$c$に対し、$\iota(c)$は$X^n$上の特異輪体である。その類を$a\in H_n(X^n)$とすれば、$\Psi(c)=j_n(a)$である。胞体比較同型の特徴づけにより

となる。$\Psi_*$と$\Phi_n$は同型なので$\iota_*$も同型である。▨

証明.主張 (1)は定理 2.1 (3)と比較同型の合成である。

主張 (2)を示す。$\iota$は非負次数に集中する自由複体の間の擬同型である。§E21.15 命題 4.1 (1)により、$\iota\otimes\id_M$も擬同型である。▨

証明.主張 (1)を示す。§E21.23 命題 4.1の向きを選ぶと、胞体鎖群は各次数$0,\ldots,m$で$\Z$、境界は正の偶数次で二倍、奇数次で零である。零次では$d_0=d_1=0$なので$H_0\cong\Z$である。途中の奇数次では核が$\Z$、境界の像が$2\Z$であり、正の偶数次では境界の核が零である。最高次では上の境界の像が無いので、$m$が奇数のときだけ$\Z$が残る。

主張 (2)を示す。$\mathbb F_2$とテンソルすると二倍写像も零となる。したがってすべての境界が零であり、各次数の鎖群がそのままホモロジーになる。係数付きの比較定理により所要の群を得る。▨

証明.§E21.22 命題 4.2 (3)により偶数次元に一つずつ胞体があり、奇数次元には胞体が無い。隣り合う二次数の鎖群の一方が零なので、すべての境界作用素は零である。比較定理を適用すれば結論を得る。▨

証明.主張 (1)を示す。$\Sigma_0=S^2$の場合は球面のホモロジーによる。$g\geq1$の場合、§E21.23 命題 4.2の境界はすべて零であり、鎖群は次数$0,1,2$でそれぞれ$\Z,\Z^{2g},\Z$なので主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。$N_h$の境界は$d_1=0$、$d_2(1)=2(a_1+\cdots+a_h)$である。$a_1,\ldots,a_{h-1},a_1+\cdots+a_h$は$\Z^h$の基底である。実際、最後の元から最初の$h-1$個を引けば$a_h$を得る。したがって$d_2$は単射であり、その余核は$\Z^{h-1}\oplus\Z/2\Z$である。比較定理により主張 (2)が従う。▨

証明.主張 (1)を示す。$\ker d_n$は$C_n^{\mathrm{cell}}(X)\cong\Z^{c_n}$の部分群なので、§E6.47 定理 1.1により階数$c_n$以下の有限生成自由アーベル群である。その商$\ker d_n/\operatorname{im}d_{n+1}$は有限生成であり、構造定理（§E6.53 定理 14.1）により自由階数は増えない。比較定理から主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。体係数では$C_n^{\mathrm{cell}}(X)\otimes K\cong K^{c_n}$であり、ホモロジーはその部分空間の商である。比較同型は係数の準同型について自然なので、各$\mu\in K$の掛け算と可換であり、$K$線形である。したがって主張 (2)を得る。▨